Các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian

Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH 2AH .. Gọi I là g[r]

(1)

(2)

Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 1: Khối đa diện

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ KHOẢNG CÁCH 3

DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 3

DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 9

DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 40

(3)

Chun đề: Hình học khơng gian

CHỦ ĐỀ KHOẢNG CÁCH

DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Phương Pháp

Cách xác định:

Việc dựng hình chiếu điểm đường thẳng khơng gian, ta làm theo cách sau:

 Dựng mặt phẳng qua điểm đường thẳng cho Rồi mặt phẳng qua điểm cho dựng đoạn vng góc từ điểm tới đường thẳng

 Dựng mặt phẳng qua điểm cho vuông góc với đường thẳng, lúc giao điểm đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng hình chiếu điểm đường thẳng

Tính tốn: Sau xác định khoảng cách cần tính, ta dùng hệ thức lượng tam giác, đa giác, đường trịn, … để tính tốn

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, AD b, AA' c   Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD’

A

2

2 2

a b c



  B

2

2 2

b b c

a b c



  C

2

2 2

c b c

a b c



  D

2

2 2

abc b c

a b c



 

Hướng dẫn giải

Do AB AD' nên tam giác ABD’ vuông A Trong tam giác ABD’ kẻ đường cao AH





AH d A,BD' Trong ADD', ta có:

2 2

2 2 2

AD' AD DD' b c

BD' AB AD' a b c

   

    

Xét ABD', ta được:

2

2 2

AH.BD' AB.AD'

AB.AD' a b c

AH

BD' a b c





  

 

c

a b

B'

C'

A'

A

D

C

B D'

(4)

Vậy





2

2 2

a b c

d A,BD' AH

a b c



 

  Vậy chọn đáp án A

Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O, cạnh a, hình chiếu C’ mp(ABC) trùng với tâm đáy Cạnh bên CC’ hợp với mp(ABC) góc

60 Gọi I trung điểm AB Tính khoảng cách: Câu 2.1.Từ điểm O đến đường thẳng CC’

A a

2 B

3a

2 C

a

4 D

a Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, suy ra: C'O













OC hch CC' CC', ABC C'CO

Theo giả thiết, ta có: C'CO 60

Trong mp(C’CO) dựng OH CC' H ta được:





d O,CC' OH

Xét COH OH OC.sin30 a 3 a

3 2

   

Suy ra: d O,CC'





 Vậy chọn đáp án A

Câu 2.2.Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC’ A 2a 13

3 B

3a 13

13 C

a

3 D

a 13

Hướng dẫn giải Tính d C,IC'





Trong mp(C’IC) dựng CK IC' K ta được: d C,IC'





Xét CIC' OC'.CI CK.IC' CK OC'.CI

IC'

    

Mà OC' OC.tan60 a 3 a;CI a

3

   

2

2 2 a 13a

IC' IO OC' a

12 12

    

Nên





a

a 3a 3a 13

2

d C,IC' CK

13

a 13 13

2

    Vậy chọn đáp án B

a

a a

60° J

O I

B'

C'

A

C

B A'

(5)

A 2a

3 B

a

3 C

a

2 D

Tính d O,A'B'





Vì C'O



 











A'B'C'J A'B'  A'B'C' OJ A'B' (định lí đường vng góc) Tức là: d O,A'B'





Xét

2

2 2 3a a

OC'J OJ OC' C'J a

4

      

Tức là: d O,A'B'





 Vậy chọn đáp án C

Câu 3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE

A 2a

5 B

a

3 C

a

5 D

3a 5 Hướng dẫn giải

Vì SA





AH BE H SH BE (định lí đường vng góc) Tức khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE đoạn SH Ta có:

2

ABE 1 a

S AB.EF a.a AH.BE

2 2

    

Mà

2

2 2 a a

BE BC CE a

4

    

Nên

2

a 2a

AH

BE 5

  , mà SAH vuông A, nên:

2

2 2 4a 3a 3a

SH SA AH a

5 5

     

Vậy d S,BE





5

 Vậy chọn đáp án D

Câu 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O, SA





a

a a

F

E C

A D

B S

(6)

A a

5 B

a

17 C

a 30

10 D

Do IO













Mà

2

2 a

IK OI OK OK

4

   

Do S OMC 1OK.MC

2

 

2 2

OMC

2

a a a

2

2S a

OK

MC a 2 5

a 

 

 

 

 

   



Suy

2

a a a a 30

IK

4 20 2 5 10

    Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, gọi O tâm đáy SO a 3



Gọi I trung điểm BC K hình chiếu O lên SI Tính khoảng cách từ O đến SA

A a

5 B

a

3 C

a

3 D

a 6 Hướng dẫn giải

Dựng OH SA H d O,SA





3 3

    , suy ra:

1 a a

OH SA

2

  

Vậy d O,SA





6

Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính khoảng cách từ C đến AC

A a

7 B

a

2 C

a

3 D

a

Hướng dẫn giải Nhận xét rằng:

BAC' CA'A DAC' A'AC

        B'C'A D'C'A nên

a

a a

I

O M

C

A D

B

K

a

a a

a 3 3

O I

H

A C

B S

K

C B

(7)

Hạ CH vng góc với AC’, ta được:

2 2

1 1 CH a

3

CH AC CC'   Vậy chọn đáp án C

Câu 8.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Khoảng cách từ D đến đường thẳng SB bằng:

A a

B a

2 C

a

3 D a 32

Hướng dẫn giải Gọi H giao điểm AC BD

AB BC CD DA a    ABCD hình thoi

Do AC BD đồng thời H trung điểm AC BD SAC

 cân S SH AC (1) SBD

 cân S SH BD (2) Từ (1) (2) suy ra: SH





Vì SA SB SC SD   nên HA HB HC HD  

Suy ABCD hình vng (tứ giác đều) (4) Từ (3) (4) ta S.ABCD hình chóp tứ giác

Xét SBD ta có: SA SB a,BD a 2   BD2 SB2SD2 Thế nên SBD vuông S Suy DS SB Vậy d D,SB





Câu 9. Cho tứ diện ABCD có AB





A a

B a

2 C

a

3 D a 32

Hướng dẫn giải Ta có





AC CD d A,CD AC





   

2 2

ABC A 90

AC AB BC 5a 3a 34a

 

     

AC a 34

 

Câu 10 Cho tam giác ABC có AB 14,BC 10,AC 16   Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm O cho OA 8 Khoảng cách từ điểm O đến cạnh BC là:

H

A

C B

D

S

B D

C A

(8)

Chuyên đề: Hình học khơng gian

A 8 B 16 C 8 D 24

Hướng dẫn giải Nửa chu vi tam giác ABC: p 14 16 10 20

2

 

 







ABC

S  20 20 14 20 16 20 10   40

ABC

2S 80

AH

BC 10

  

Nối OH OH BC Khoảng cách từ O đến BC OH:

2

OH OA AH 16

Vậy chọn đáp án B

Câu 11.Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, BC 2a , ABC 60 Gọi M trung điểm cạnh BC SA SC SM a 5   Khoảng cách từ S đến cạnh AB là:

A. a 17

4 B

a 19

2 C

a 19

4 D

Chân đường cao hình chóp tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC (Do SA SC SM  )

Góc AMC 120 , nên H tam giác AMC HAM tam giác nên:

HM AM a 

2 2

SH SM HM  5a a 2a

Từ H kẻ HK AB SK AB : SK khoảng cách từ S đến cạnh AB

a HK MI

2

  (do ABM tam giác cạnh a)

2

2 2 3a 19a a 19

SK SH HK 4a

4

     

A C

B O

H

60° I K

M A

C

B S

(9)

DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA a Góc

giữa đường thẳng SD mặt phẳng (SAC) 300 Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M trung điểm CD

A.a

3 B.

2a

3 C.

4a

3 D

5a Hướng dẫn giải

Chứng minh DB





Từ SO2 AO2 SA2 x a

   

Gọi N trung điểm AB DN / /BM

Suy d D; SBM













 

Kẻ AI BM, AH SM 

Từ chứng minh AH









2

ABM ABCD BCM a

S S S

2

  

Mà SABM 1AI.BM AI 2a

2 5

  

Khi đó: 12 12 12 AH a d D; SBM





3

AH AI SA



     

Vậy chọn đáp án A

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a 2 BC a

Cạnh bên SA vng góc với đáy góc cạnh bên SC với đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)

A.a 38

29 B.

3a 58

29 C.

3a 38

29 D

O M

D N

B C

A S

(10)

của A BD K hình chiếu vng góc A SH

Ta có SA BD AH BD nên





BD SAH

Suy AK BD Mà AK SH nên AK





Ta có: d C; SBD









Ta có: 12 12 12 12 12 12 292

AK SA AH SA AB AD 18a

Vậy d C; SBD





29

  Vậy chọn đáp án B

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA





SA a 3 Gọi I hình chiếu A lên SC Từ I vẽ đường thẳng song song

với SB, SD cắt BC, CD P, Q Gọi E, F giao điểm PQ với AB, AD Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SBD)

A 3a 21

11 B

a 21

9 C.

3a 21

7 D

Gọi O tâm hình vng ABCD

Qua A dựng AH SO Dễ dàng chứng minh AH BD

Khi AH d A, SBD





Trong tam giác vng SAC, ta có:





2 2 2

2

2 2 2 2

IC AC AC AB BC 2a

CI.SC AC

SC SC SA AC SA AB BC 2a 3a



      

   

CBS

 có IP SP IP CP CI CP

SB CB CS CB

    

∥

Áp dụng định lý Talet: BE BP BE BC CP

CQ PC CQ PC



    

Mà AB CD CQ QP CQ BE 5BE

3

     

AEF



O F

E

Q P

D

C A

B S

I

H

60°

B

D C

A S

(11)





2

AEF 1 32 32a

S AE.AF AE AB BE AB

2 2 25 25

      (đvdt)













DA d E, SBD 3d A, SBD

DE 3  5

Tam giác SAO vng A,

2

2 2

1 1 AH 3a

7

AH SA AO  

Vậy d E, SBD







Câu Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, BA a, BC 2a  , SA 2a ,





SA ABC Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB)

A.8a

9 B.

a

9 C.

2a

9 D

5a Hướng dẫn giải Vì BC









AH BC, AH  SBC

AH HK, AH SC

   mà

AK SC





SC AHK

 

Ta có: AH AB.SA 2a

SB 5

  ,

AC.SA 5a AK

SC

  ,

2 8a

HK AK AH

3

   , SK 4a

3

 VS.AHK 4a 2a 8a 32 a3

6 5 5 135

  

Mặt khác SH SA2 AH2 a

   nên SAHS 4a2



Vậy khoảng cách cần tìm là:





AHS

3V 8a

d K, SAB

S

 

Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, ABC BAD 90  0, BA BC a  ,

AD 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a 2 Gọi H hình chiếu A lên SB

Tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) A.5a

3 B

4a

3 C.

2a

3 D

a

A C

B S

(12)

Hướng dẫn giải

Gọi I trung điểm AD Ta có CI IA ID AD

2

   , suy ACD vuông C CD AC

  Mà SA





1

d , d khoảng cách từ B, H đến mp(SCD)

Ta có: SAB SHA SA SB SH SA

 ∽  

2

SH SA

SB SB

  

mà 2 1

1

d

SH d 2d

SB d  3 3

Thể tích khối tứ diện S.BCD:

3

SBCD 1 2a

V SA AB.BC

3

 

Ta có: SC SA2AC2 2a,

2 2

SCD

CD CI ID 2a S SC.CD 2a

2

     

Ta có:

3

S.BCD SCD 2

2a

1 6 a

V d S d

3 2a

   

Vậy khoảng cách từ H đến mp(SCD) d2 2d1 a

3

 

Vậy chọn đáp án D

Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng A, AB AC a  , I trung điểm

của SC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng













A.a

2 B.

a

8 C.

a

4 D

a Hướng dẫn giải Gọi K trung điểm ABHK AB 1

 

Vì SH





 

I

A D

B C

S

H

S

(13)





Ta có SH HK.tanSKH a

 

Vì IH / /SB nên IH / / SAB





















4

HM  HK SH 3a   Vậy





4



Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A AB 2a , AC 2a 3 Hình

chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm H cạnh AB Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Tính khoảng cách từ trung điểm M cạnh BC đến mặt phẳng (SAC)

A.a

5 B

a

3 C.

a

5 D

3a Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng (ABC) kẻ HK BC

KBC





Từ giả thiết ta có: SHK 30

2

BC AB AC 4a

AC HK a

sin ABC HK

BC HB 2

    

Trong tam giác SHK có: a SH HK tanSKH

2

 

Do M trung điểm cạnh BC nên MH // AC, MH // (SAC) Suy ra:













d M, SAC d H, SAC

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ HD SA D Ta có: AC









2 2

1 1 HD a

5

DH HA HS  

Vậy d M, SAC









   Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng A, AB AC a  , I trung điểm

của SC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H BC, mặt H

A C

B S

(14)

A.a

5 B

a

4 C

a

4 D

a

Hướng dẫn giải Gọi K trung điểm AB

 

HK AB

 

Vì SH





 

Do góc (SAB) với đáy góc SK HK SKH 60

Ta có: SH HK tanSKH a

 

Vậy

3

S.ABC ABC 1 a

V S SH AB.AC.SH

3 12

  

Vì IH / /SB nên IH / / SAB





















4

HM  HK SH 3a   Vậy





4



Câu 9.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm cạnh

AB Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H CI, góc đường thẳng SA mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng





A a

29 B.

a 21

4 29 C

a 21

3 29 D

a 21 29 Hướng dẫn giải

K H C

B

A S

M

H'K H I

A C

S

E

I' H' K H I

A

(15)

Ta có: CI AC2 AI2 a

  

Do AH AI2 IH2 a

4

   , suy SH AH.tan600 a 21

4

 

Gọi A’, H’, I’ hình chiếu A, H, I BC, E hình chiếu H SH’









HE SBC d H; SBC HE

Ta có: HH' 1II' 1AA' a

2

   Từ 12 12 2 HE a 21

4 29

HE HS HH'  

Vậy d H; SBC





 Vậy chọn đáp án B

Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAC 60 hình

chiếu S mặt phẳng

















A a

112 B

2a

111 C.

6a

112 D

Trong





a a 3a

OC , OD , OE

2

  

Áp dụng công thức:









2 2

1 1 d 3a

112

d O, SCD OC OD OE  

Mà d B, SCD









 

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAC 600 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng





HD 2HB Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng









A.3a

15 B.

3a

14 C.

a

11 D

2a 15

E

O H A

B C

(16)

0 a a

SH HO.tan60

3 2

  

Tính khoảng cách từ B đến





2

a 57

SD SH HD ;

6 a 21

SC SH HC

6

  







 

SCD

a 57 a 21 SC SD CD

SD ; SC ; CD a, p

6

a 21

S p p SC p SD p CD

12

 

   

    

Từ (1), (2), (3) ta có d B, SCD





Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có mặt ABC, SBC tam giác cạnh a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Hình chiếu vng góc S xuống (ABC) nằm tam giác ABC Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a

A 2a 13

13 B.

3a 13

13 C

3a 13

11 D

Gọi M trung điểm BC

Lập luận góc (SBC) (ABC) SMA 60 SAM

 cạnh a

2 SAM 3a

S

16



 









3

S.ABC SAM

2 SAC

3 B.SAC

2 SAC

1 a

V BC.S

3 16

1 a 13 a a 39

S

2 16

3V 3a 3a 13

d B, SAC

S a 39 13

16 16



 

  

60° 60°

H O

C B

A D

S

60°

M

A C

B S

(17)

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật tâm I, có AB a, BC a 3  Gọi H

trung điểm AI Biết SH vng góc với mặt phẳng đáy tam giác SAC vng S Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

A. 3a

11 B.

a

13 C.

3a

15 D





SH ABCD SH AC

SAC

 vuông S SH2 HA.HC

2

AC AB BC 2a, suy ra:













a 3a a

HA , HC SH

2 2

CI 2HI d C, SBD 2d I, SBD

   

  

Hạ HN BD, N BD  HK SN, KN Suy ra: HK









Ta có: AB.AD 2S ABD 2HN.BD HN AB.AD a

2BD



    

Ta có: 12 12 12 HK 3a 15

HK  HN SH   Vậy





3a

d C, SBD 2HK

15

 

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, BD 2a ; tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SC a 3 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD)

A.3a 21

7 B.

a 21

7 C.

4a 21

7 D

2a 21

Hướng dẫn giải Kẻ SH AC, H AC 

Do



 







2 SA.SC a

SA AC SC a, SH

AC

    

Ta có:













2 a

AH SA SH CA 4HA

2

d C, SAD 4d H, SAD

    

 

DoBC / / SAD

















H

I A

B C

D S

N K

K C B

A D

S

(18)









Chứng minh



 











4

  

2

SH.HK a

HJ

2

SH HK

  

 Vậy









d B, SAD

7

 

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB a , BC 2a 2 Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A.3a 21

7 B.

a 21

7 C.

4a 21

7 D

Gọi H trọng tâm tam giác ABC O tâm hình chữ nhật, ta có:

 

2 1

BH BO AC a 2a a

3 3

    

Ta có SH





0

SH BHtanSBH a.tan60  a

Ta có: d A; SBC

















  

Kẻ HK BC K BC , HI SK I SK









 





Do BC





 

Từ (1) (2) suy HI









3

  Trong tam giác vng SHK ta có:

2 2

2

a a

SH.HK 3 a a 21

HI

14 28

SH HK 3a a

9

   

 

O

K H

C B

A D

S

(19)

Vậy d A; SBC









   Vậy chọn đáp án D

Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có AB AC, BC a 3, BAC 120   Gọi I trung điểm cạnh

AB Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H CI, góc đường thẳng SA mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A.4a 37

37 B.

a

37 C.

3a 37

37 D

2a 37 37 Hướng dẫn giải

Theo định lý cosin tam giác ABC ta AB AC a  Ta có

2

2 2 7a

CI AI AC 2AI.AC.cos120

4

    CI a

2

 

Do đó:





2 2 2

2 AI AC CI 3a a

AH AH

4 16

 

   

Suy SH AH.tan600 3a

 

AH cắt BC K Gọi A’, H’, I’ hình chiếu A, H, I BC Ta có:













d A; SBC AK AA' 4

HK HH'

d H; SBC    d A; SBC









Gọi E hình chiếu H SH’ HE









1 a

HH' AA'

4

  từ 12 12 2 HE 3a 37

HE  HS HH'  

Vậy d A; SBC





37

  Vậy chọn đáp án C

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm I AC BC Mặt bên (SAB) hợp với

120°

K H I

A

B

C S

H'

E I H

A'

B C

A

(20)

A.4a

5 B.

3a

4 C.3a 37 D 3a 32

Hướng dẫn giải Gọi K hình chiếu I lên AB

Suy SKI 60

Do IK / /AD KI BI

AD BD

 

Mà

BI BC a BI BI

ID AD 3a 3    BI ID 4  BD 4

Suy KI KI 3a SI 3a

AD 4    

Gọi H hình chiếu I lên SK Ta có AB IK AB IH AB SI

 

 



 

Từ suy IH









Mà DB 4IB d D; SAB









8

IH  IS IK 27a 9a  

Vậy d D; SAB





Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc

0

DAB 120 Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Góc (SBC) mặt đáy 600 Tính thể khoảng cách từ A đến (SBC)

A.a

5 B.

3a

4 C.

3a

7 D 3a 32



 





 





 







SAC ABCD

SBD ABCD SO ABCD SO BC

SAC SBD SO

 



    



  

Kẻ OK BC BC







 







  

60°

I

B C

D A

S

K H

120°

60°

O A

D C

B S

(21)

















AO SBC C

d A; SBC 2d O; SBC

 

 



 





 



















2 2

SBC SOK

SBC SOK SK OH SBC d O; SBC OH

OH SK

1 1 OH 3a d A; SBC 3a

8

OH OK OS

 



     



 

     

Câu 19 Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh a, ABC 120

Gọi G trọng tâm tam giác ABD Trên đường thẳng vng góc với (P) G, lấy điểm S cho ASC 90 Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD) theo a

A a

17 B.

a

27 C

a

17 D

0

ABC 120 BAD 60  ABD cạnh a Gọi O giao điểm AC BD

a a

AO ; AG AO ; AC a

2 3

    

a

SG GA.GC

3

   (SAC vuông S, đường cao SG)

Kẻ GH SO GH













BD GH  SAO d G; SBD GH

SGO

 vuông G, đường cao GH

2 2

1 1 27 GH a

27

GH GS GO 2a

      Vậy chọn đáp án B

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật tâm I, có AB a, BC a 3  Gọi H

trung điểm AI Biết SH vng góc với mặt phẳng đáy tam giác SAC vng S Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

A a

5 B.

2a

7 C

3a

17 D

3a 15 Phân tích: SH





SAC

 vng S SH2 HA.HC

G

D O

A

B C

S

(22)

2

AC AB BC 2a, suy ra:HA a, HC 3a SH a

2 2

   













CI 2HI d C, SBD 2d H, SBD Hạ HN BD, N BD  HK SN, KN Suy ra: HK









Hướng dẫn giải Ta có:

ABD

AB.AD 2S 2HN.BD

AB.AD a HN

2BD



 

  

Ta có:

2 2

1 1 HK 3a

2 15

HK HN SH  

Vậy d C, SBD





 

Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, BD 2a ; tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a 3 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD)

A 2a 13

7 B.

2a

7 C.

2a 21

7 D

Kẻ SH AC, H AC 

Do



 







2 SA.SC a

SA AC SC a, SH

AC

    

Ta có:













2 a

AH SA SH CA 4HA d C, SAD 4d H, SAD

2

      

Do BC / / SAD

























Chứng minh



 











AHK

 vuông K HK AHsin 450 a

4

  

H I A

B C

D S

N K

K C B

A D

S

(23)

2

SH.HK a

HJ

2

SH HK

  

 Vậy





2a 2a 21 d B, SAD

7

 

Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB a , BC 2a 2 Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A 3a 21

14 B

a 21

15 C

a 21

13 D

Gọi H trọng tâm tam giác ABC O tâm hình chữ nhật, ta có: BH 2BO AC a2

 

3 3

    

Ta có SH





Trong tam giác vng SHB ta có:

0

SH BHtanSBH a.tan60  a

Ta có: d A; SBC

















  

Kẻ HK BC K BC , HI SK I SK









 

Ta có: SH









 









Ta có HK 1DC 1a

3

  Trong tam giác vng SHK ta có:

2 2

2

a a

SH.HK 3 a a 21

HI

14 28

SH HK 3a a

9

   

 

Vậy d A; SBC









  

Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có AB AC, BC a 3, BAC 120   Gọi I trung điểm cạnh

AB Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H CI, góc đường thẳng SA mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

O

K H

C B

A D

S

(24)

A 3a 21

14 B

a 21

15 C

a 21

13 D

Theo định lý cosin tam giác ABC ta

AB AC a 

Ta có

2

2 2 7a

CI AI AC 2AI.AC.cos120

4

   

a CI

2

 

Do





2 AI AC CI 3a a

AH AH

4 16

 

   

Suy SH AH.tan600 3a

 

AH cắt BC K Gọi A’, H’, I’ hình chiếu A, H, I BC

Ta có:













d A; SBC AK AA' 4

HK HH'

d H; SBC   













d A; SBC 4d H; SBC

 

Gọi E hình chiếu H SH’ HE









1 a

HH' AA'

4

  từ 12 12 2 HE 3a 37

HE  HS HH'  

Vậy d A; SBC





37

 

Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm I AC BC Mặt bên (SAB) hợp với đáy góc 600 Biết AB BC a, AD 3a   Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) theo a

A 3a

4 B

a

5 C

a

13 D

Gọi K hình chiếu I lên AB Suy SKI 60

Do IK / /AD KI BI

AD BD

 

120°

K H I

A

B

C S

H' E

H I

A'

B C

A

I' H' K

(25)

Mà BI BC a BI BI

ID AD 3a 3    BI ID 4  BD 4

Suy KI KI 3a SI 3a

AD 4    

Gọi H hình chiếu I lên SK Ta có AB IK AB IH AB SI

 

 



 

Từ suy IH









Mà DB 4IB d D; SAB









8

IH  IS IK 27a 9a  

Vậy d D; SAB





2

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc

0

DAB 120 Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Góc (SBC) mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

A 3a

4 B a 23 C a 33 D



 





 





 







SAC ABCD

SBD ABCD SO ABCD SO BC

SAC SBD SO

 



    



  

Kẻ OK BC BC







 







  

















a 3a

OK SO ; AO SBC C

4

d A; SBC 2d O; SBC

    

 



 





 



















2 2

SBC SOK

SBC SOK SK OH SBC d O; SBC OH

OH SK

1 1 OH 3a d A; SBC 3a

8

OH OK OS

 



     



 

     

120°

60°

O A

D C

B S

(26)

Câu 26 Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh a, ABC 120

Gọi G trọng tâm tam giác ABD Trên đường thẳng vng góc với (P) G, lấy điểm S cho ASC 90 Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD) theo a

A a

5 B

a

5 C

a

9 D

0

ABC 120 BAD 60  ABD cạnh a Gọi O giao điểm AC BD

a a

AO ; AG AO ; AC a

2 3

    

a

SG GA.GC

3

   (SAC vuông S, đường cao SG) Kẻ GH SO GH













BD GH  SAO d G; SBD GH

SGO

 vuông G, đường cao GH 12 12 12 272 GH a

GH GS GO 2a

     

Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D,

AB 3a, AD DC a   Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với đáy mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách từ trung điểm cạnh SD đến mặt phẳng (SBC)

A a 17

5 B

a 15

20 C

a

19 D

Vẽ IK BC BC

 

Vì

2

IDC a IAB 3a

S DI.DC , S AI.BI

2 4

     

Suy SBIC SABCD









IAB

S IK.BC

2

  Suy

2

2a 2a

IK

5 a

 

Trong tam giác vuông SIK ta có: SI IK tan600 2a 15

 

G

D O

A

B C

S

H

E M

I A

D

C S

B

(27)





Gọi E giao điểm AD với BC, ta có: ED DC ED 1AD ID

EA AB 3   2 

Do d M, SBC













2

 

Gọi H hình chiếu I lên SK ta có: d I, SBC





2 2 2

1 1 5 IH a 15

5

IH SI IK 12a 4a 3a  

Vậy d M, SBC





20

Câu 28.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, gọi M trung điểm AB

Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy









A a 15

79 B

a

79 C

2a 15

79 D

Theo giả thiết ta có SM





MC hình chiếu SC









Trong tam giác vng SMC SMD ta có:

2

SM SD MD MC.tan60 mà ABCD hình

vng nên MC MD

2 2

SD MC 3MC MC a SM a 15

      

Dựng hình bình hành AMDI ta có AI / /MD nên







 





 



d DM,SA D DM, SAI d M, SAI

Kẻ MH AI MK SH Chứng minh d M, SAI



 



5 79

   Vậy chọn đáp án C

Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB AC

I

M

C B

A D

S

(28)

A a

7 B

a 21

3 C

a 21

7 D

Theo ta có:





SH ABC

a SH

2

 

 

  

Dựng đường thẳng d qua B d / /AC













d AC,SB d A; SB,d 2d H; SB,d

  

Kẻ đoạn thẳng HJ cho HJ d, J d  Kẻ đoạn thẳng HK cho HK SJ, K SJ 









d H; SB,d HK

2 2

1 1 HK a

2

HK HJ SH  





3 a 21

d AC,SB 2HK a

7

   

Vậy chọn đáp án C

Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a, AD 2a  Tam giác SAB

cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)

A a 1353

98 B

a 153

89 C

a 1353

89 D

Gọi H trung điểm AB SH





2

2 a a 17

SH HC 4a

4

   





















d M, SAC d D, SAC d B, SAC d H, SAC

2

  

Kẻ









HI AC, HK SI  HK AC HK SAC d H, SAC HKKẻ

1

BE AC HI BE

2

  

2 2 2

1 1 1 BE 2a HI a

5

BE  BA BC  a 4a  4a    

d H

A C

B S

J K

45°

E H

C B

A D

S

(29)

Từ suy 12 12 12 52 42 892 d M, SAC





HK  HI HS a 17a 17a   

Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, góc cạnh SC mặt phẳng (ABCD) 600, cạnh AC a Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

A 3a 13

13 B

3a 13

11 C

3a 11

11 D

Gọi I trung điểm đoạn AB



 







SI AB, SAB ABCD SI ABCD

     nên









SCI SC; ABCD 60 , CI

2

   SI CI tan600 3a

2

  

Gọi M trung điểm đoạn BC, N trung điểm đoạn BM

a a

AM IN

2

  

Ta có BC IN, BC SI  BC

 

Trong mặt phẳng (SIN) kẻ IK SN, K SN  Ta có:









IK SN IK SBC d I; SBC IK

IK BC

 

   

  

Lại có: 12 12 12 IK 3a 13 d I; SBC





26 26

IK IS IN    





3a 13 d A; SBC

13

 

Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, hình chiếu vng góc S đường thẳng AB điểm H thuộc đoạn AB cho BH 2AH Gọi I giao điểm HC BD Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD)

A a 33

15 B

3a 22

55 C

3a 33

11 D

Ta có:

2

2 2a a

SH HA.HB SH

9

   

















d I; SCD IC

HC

d H; SCD 

IC CD IC

IH BH 2  HC 5

N M

D I

A

B

C S

K

B

C S

(30)









2 2

13

CH BH BC a

9

1 1 11 HM a 22

11

HM SH HK 2a

3a 22 d I; SCD

55

  

    



Câu 33 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA 3a , BC 4a , mặt

phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB 2a 3 SBC 30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

A 3a

7 B

6a

7 C

a

7 D

Cách 1: Gọi H hình chiếu S BC Vì



 







Ta có SH a 3

Ta có tam giác SAC vng S SA a 21, SC 2a  , AC 5a SSACa 212

Nên ta có được:





SAC

3V 6a

d B, SAC

S 7

 

Cách 2: Hạ HD AC D AC , HK SD K SD

















HK SAC HK d H, SAC

   

BH SBsinSBC 3a  BC 4HC

Hay d B, SAC









2 HC 3a

AC AB BC 5a, HC BC BH a HD AB

AC

        

2

SH.HD 3a

HK

14

SH HD

 



Vậy, d B, SAC









  

Câu 34 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên a.Tính khoảng cách từ A đến (SCD)

A C

(31)

A a

7 B

a

5 C

a

2 D

Cách Ta có:

3 S.ACD S.ABCD a

V V

2 12

 

Mặt khác

















SACD SCD

3 SACD

2 SCD

1

V S d A, SCD

3

a

3V 4 a

d A, SCD

S a 3

4



   

Cách Gọi I trung điểm CD, dựng OH SI H SI





 

CD OI CD SOI CD OH

CD SO

 

   

 

 ;









OH SI OH SCD OH d O, SCD

OH CD

 

   

  

Trong tam giác vuông SOI,

a a.

SO.OI 2 2 a

OH.SI SO.OI OH

SI a 3

4

    



  





AO SCD C

CO d O, SCD

     d A, SCD









3

   

Bài 35 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a Gọi B’, C’ trung điểm SB, SC Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABC’) biết



 



A a 53

4 B

a

14 C

a

14 D

Gọi M, N trung điểm BC, BA H, K hình chiếu S xuống mặt phẳng (ABC) SA a

2

 ,

a 15 SH

6

 thể tích khối chóp S.ABC V a 24 



Tam giác C’AB cân C’

2

C'N C'K KN a

4

   nên ta có SABC' 7a2



O I

D

C A

S

B

H

K C'

B'

H

N M

A C

(32)

Vậy





C'AB C'AB

3V 3V

d C, C'AB

S 2S

  hay khoảng cách cần tìm là: d C, C'AB







Bài 36 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB AC a  , BAC 120 Mặt phẳng









A a

4 B

a

14 C

a

4 D

Xác định góc





0

AKA'AKA' 60

Tính A'K 1A'C' a AA' A'K.tan600 a

2 2

    













d B; AB'C' d A'; AB'C'

Chứng minh:



 



Trong mặt phẳng









AKA'H AB'C' d A'; AB'C'





Tính A'H a

4

 Vậy d B; AB'C'





4



Bài 37 Cho lăng trụ ABC.A B C1 1 có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A C , B C1 1 1 1 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng DE A F1

A a 17

3 B

a

17 C

a 17

4 D

Gọi

 

Gọi K trung điểm FC1 EK / /A F / /AD1 , suy

  



E D

B

A1 C

A

H

K

C B

B' C'

A' A

(33)









Gọi H hình chiếu vng góc F lên đường thẳng DK FH





Trong tam giác vng DKF, ta có: 12 12 12 12 2

FH FD FK a a

4

   

     

a FH

17

 

Câu 38 Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc

0

BAD 60 Gọi O, O’ tâm hai đáy, OO' 2a Gọi S trung điểm OO’ Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB)

A a

11 B

a

19 C

a

19 D

Từ giả thiết suy ABD cạnh a, ACC’A’, BDD’B’ hình chữ nhật với

AA' BB' 2a, AC a 3, BD a    Do đó:

2 ACC'A'

2 BDD'B'

S AA'.AC 2a

S BB'.BD 2a

 

Ta có: OO'





Kẻ OK vng góc với AB AB





Kẻ OH vng góc với SK, OH





Do tam giác ABD nên OK a

 Vì OO' 2a nên OS a

Trong tam giác vuông SOK, ta có 12 12 12 162 12 OH a 19

OH  OK OS 3a a  

Câu 39 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B,

AB a, AA' 2a, A'C 3a   Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

A 2a

5 B

a

3 C

a

3 D

2a 5

S

O O' A'

D' C'

A B

C

D B'

(34)

Hạ IH AC H AC









2 2

IH CI 2 4a

IH AA' IH AA'

AA' CA' 3

AC A'C A'A a 5;BC AC AB 2a

      

     

∥

Hạ AK A'B K A'B









 

AK BC AK IBC

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) AK:

AA'B

2

2S AA'.AB 2a

AK

A'B A'A AB

  



Câu 40 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB BC a  , cạnh

bên AA' a 2 Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C

A a 35

7 B

a

7 C

a

5 D

Từ giả thiết suy tam giác ABC vuông cân B Gọi E trung điểm BB’ Khi B'C / / AME

























d C, AME d B, AME

 

Gọi h khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME)

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đơi vng góc nên:

2 2 2

1 1 1 h a

7

h  BA BM BE  h a  

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM B’C

a

7 Vậy chọn đáp án B

Câu 41. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB a, AC 2a  BAC 120 Gọi M

trung điểm cạnh CC’ BMA' 90 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMA’)

A a

7 B

a

7 C

a

5 D

a 2a

3a

H I

M

B'

C'

A C

B A'

K

E

M B'

C'

A C

(35)

2 2

BC AB AC 2AB.ACcosBAC

a 4a 2.a.2a.cos120 7a BC a

  

     

Đặt CC' 2x

Ta có A'M A'C' C'M2  4a2x2

2 2

BM BC CM 7a x ,

A'B A'B' BB' a 4x

   

Tam giác BMA’ tam giác vuông M nên

2 2

MB MA' A'B

Do 4a2x27a2x2 a24x2x2 5a2 x a





CC' ABB'A'∥ V V V V ;









A'BM

3V d A, A'BM

S



0

A'.ABC ABC 1 15

V AA'.S 2x AB.AC.sin120 a

3 3

  









2 A'BM

3

1

S MA'.MB 3a

2

15a a

d A, A'BM

3 3a

 

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) a Vậy chọn đáp án D

Câu 42 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Gọi M trung

điểm cạnh AA’, biết BM AC' Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BMC’)

A a

5 B 22 a C

a

3 D

a 5

Hướng dẫn giải Ta có:

M B'

C'

A C

(36)



 







0

1 1

BM BA BA' BA BA BB' BA BB'

2 2

AC' AA' A'C'

1

BM.AC' BA BB' AA' A'C' BA.AA' BA.A'C' BB

2

      

 

 

      

 

0

0 2

1

'.AA' BB'.A'C'

2

1 1 1

BA.AC.cos120 BA.AA.cos0 a.a .h.h a h

2 2 2



 

       

 

Theo giả thiết:

2

1

BM AC' BM.AC' h a h a

2

      

Diện tích tam giác ABC là:

2 ABC a

S

4



Vì AM / / BCC'





3 M.BCC'

V a

12



Gọi H hình chiếu M BC’ Ta có: a

MB MC' , BC' a

2

  

2

2 MBC'

a

MH MC' HC'

2

1 a

S MH.BC'

2

   

  

Vậy khoảng cách cần tìm





BMC'

3V

d C, BMC' a

S

 

Câu 43 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC a 3, BC 3a  , ACB 30 Cạnh

bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 mặt phẳng





















A 2a

3 B

3 3a

4 C

3a

2 D

M

B

C

A' C'

B' A

(37)



 





 





 







A'BC ABC

A'AH ABC A'H ABC

A'H A'BC A'AH

 

   

 

 



Suy A'AH 60

2 2

0

2

ABC.A'B'C' ABC

AH AC HC 2AC.HC.cos30 a AH a

A'H AH.tan60 a

3a 9a

V S A'H a

4

     

  

  

Vì AH2AC2 HC2 HA AC AA' AC









2 A'AC

3 A'ABC

2 A'AC

1

S AC.A'A a 3.2a a

2

9 a

3V 4 3a

d B; A'AC

S a 3

  

   

Câu 44 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ABC có cạnh a, AA' a đỉnh A’ cách A, B, C Gọi M, N trung điểm cạnh BC A’B Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN)

A a

23 B

3a

33 C

a

22 D

Gọi O tâm tam giác ABC A'O





2 3

  

2

2 2 a a

A'O AA' AO a

3

     ;

Ta có:









NAMC AMC

V S d N, ABC

3 











AMC

3V d N, ABC

S

 









2

AMC ABC

2

NAMC

1 a a

S S ; d N, ABC A'O

2

1 a a a

V

3 48

   

  

C' B'

B C

A A'

H

E N

O M

C' A'

A C

B

(38)

Lại có: AM AN a

  , nên AMN cân A

Gọi E trung điểm MN, suy AE MN, MN A'C a

2

  









2 2

2

AMN

3a a a 11 a 11

AE AN NE ; S MN.AE

4 16 16

3a a 11 a 22

d C, AMN : ( v d)

48 16 11

       

  

Câu 45 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B,

0

AB a, ACB 30  ; M trung điểm cạnh AC Góc cạnh bên mặt đáy lăng trụ

bằng 600 Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H BM Tính theo a khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (BMB’)

A a

2 B

3a

3 C

3a

4 D a 22





A'H ABC A'H đường cao hình lăng trụ AH hình chiếu vng góc A A’ lên (ABC)

0

A'AH 60

 

ABC.A'B'C' ABC

2 ABC

2

ABC.A'B'C'

V A'H.S

a 3a

AC 2a, MA MB AB a AH A'H

2

1 a

S BA.BC a.a

2 2

3a a 3a

V

2



       

  

  

















BMB'

A.BMB' B'.AMB6 ABC.A'B'C'

3V

d C', BMB' d C, BMB' d A, BMB'

S

1 a

V V V

6

  

Do BM





2

BMB' 1 a

S BB'.BM a 3.a

2 2

    Suy





3

3a a 3a

d C', BMB' :

8

 

(Cách 2: d A, BMB'





2

    )

P Q

B'

C'

H M

A C

B A'

(39)

Câu 46 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình

5

  Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’AC)

A a

2 B

2a

3 C

3a

4 D

Theo ta có IC hình chiếu vng góc A’C mặt phẳng (ABCD) Suy









Xét ta giác vuông A’IC:

a

A'I IC.tan A'CI IC.tan a

2 5

    

Ta có BI

















d B; A'AC 2d I; A'AC

Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ IK / /BDIK AC , mà

A'I AC (do A'I













IH A'K IH A'AC d I; A'AC





Xét tam giác vng A’IK có A'I a, IK BD a

4

  

2 2 2

1 1 IH a

3

IH  IK IA' a a a   Suy





3



Câu 47 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD a 3 Hình chiếu vng góc điểm A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a

A a

2 B

a

3 C

3a

4 D

Gọi O AC BD  , I trung điểm cạnh AD Ta có AD





C'

B' D'

A'

K

C'

D' B'

C I

B

D A

A'

(40)



 







A'IO ADD'A' , ABCD 60

   Vì OI a

2

 nên ta suy A'I 2OI a 

0 a

A'O OI.tan60

  

Do VABCD.A'B'C'D' A'O.SABCD

3

a 3a a.a

2

 

Do B'C A'D∥ B'C A'BD∥













Ta có

2

CD.CB a

CH

2

CD CB

 

 Vậy





a d B', A'BD

2



DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐƯỜNG THẲNG ĐẾN MẶT PHẲNG Phương pháp

Việc tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với nó, tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cần lưu ý việc chọn điểm đường mặt cho việc xác định khoảng cách đơn giản

Câu 1.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh bên cạnh đáy a Hình chiếu vng góc A mp(A’B’C’) trùng với trung điểm B’C’

Câu 1.1.Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt bên BCC’B’

A a

4 B

a

3 C

3a

4 D

Ta có: AA' BB'∥ 









AA' BCC'B'

 ∥

Gọi J hch AA'I IJ AA' BB'∥  IJ BB' Mặt khác, theo giả thiết suy ra:













B'C' A'I AA'I

B'C' AA'I

B'C' AI AA'I

  

  



 



a

a a

a

I B

C

A'

C' B'

(41)









Trong AA'I IJ.AA' AI.A'I IJ AI.A'I AA'

    

Dễ thấy A'I a

 ,

2

2 2 3a a

AI AA' AI a

4

     Suy ra:

a a 3.

a 2

IJ

a

 

Vậy d AA', BCC'B'





 Vậy chọn đáp án A Câu 1.2.Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ A a

4 B

a

2 C a 24 D a 52

Hai đáy lăng trụ song song nên d ABC , A'B'C'



 

















 



AI A'B'C' d ABC , A'B'C' AI

2

   

Câu 2.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, BC b  , CC' c Câu 2.1.Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BDD’B’)

A

2 2

abc

a b c B 2

abc

a b C 2

ab

a b D 2

ac a c

Hướng dẫn giải Ta có: AA' BB'∥ 









AA' BDD'B'

 ∥ Do đó:













d AA', BDD'B' d A, BDD'B'

Gọi H hch A BD AH BD mà



 



suy ra:AH









AH AB AD

    12 12 a22 2b2

a b a b



  

nên

2 2

2 2 2

a b ab

AH AH

a b a b

  

 

Vậy:





2

ab d AA', BDD'B'

a b



 Vậy chọn đáp án C

Câu 2.2. Gọi M, N trung điểm AA’, BB’ Tính khoảng cách từ MN đến mp(ABC’D’)

b a

c

N G1

O'

G2

C

B D

M A

O

C

A B

(42)

A

2 2

2abc

a b c B 2

abc

2 a b C 2

bc

2 a b D 2

2ac a c

Hướng dẫn giải Tính khoảng cách từ MN đến mp(ABC’D’):

Ta có: MN' AB∥ 





















d MN, ABC'D' d M, ABC'D' , A’M cắt mặt phẳng (ABC’D’) A M

trung điểm AA’ Nên: d M, ABC'D'











Gọi K hch AD'A'A'K AD' mà



 







A'K ABC'D' Tức là: d A', ABC'D'





2

2 2 2 2

1 1 1 c b

A'AD'

A'K A'A A'D' c b c b



       , nên:

2 2

2 2 2

c b bc

A'K A'K

c b b c

  

  Vậy





bc d M, ABC'D'

2 a b





Câu 2.3.Tính khoảng cách hai mặt phẳng



 



A

2 2

abc

a b c B

abc ab bc ca 

C

2 2

abc

2 a c c D 2 2 2

abc

a b b c c a

Hướng dẫn giải Ta có: B'D' BC∥ 









Gọi O AC BD,O' A'C' B'D'   

Suy ra: AO' C'O∥ 









Mà AO',B'D'







 



Ta chứng minh A’C bị mặt (AD’B’), (C’BD) chia thành ba đoạn Do đó: d AD'B' , C'BD



 











Vì A’A, A’B’, A’D’ đơi vng góc, nếu:









2 2 2 2

1 1 1 1

d A', AD'B' A'A A'B' A'D' a b c

Vậy:







 



2 2 2

abc

d A', AD'B' d AD'B' , C'BD

(43)

Vậy chọn đáp án D

Ta cần ý kết sau: Nếu tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc thì: d O, ABC





OA OB OC

  

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, mặt bên SBC vng góc với đáy ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, SA, AC Tính khoảng cách hai mp(MNP) mp(SBC)

A a

3 B

a

2 C

a

4 D

Theo giả thiết, suy ra:

















MN SA SAC MN SAC

NP SC SAC NP SAC

 

∥ ∥

Mà MN,NP













mp MNP mp SBC∥

Gọi H trung điểm BC AH BC (do ABC đều) Mà



 









 







BC ABC  SBC AH SBC

Gọi K AH MP  KH





















Do đó: d MNP , SBC



 







2

   

Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy

A. a

3 B

a

2 C

a

2 D

a Hướng dẫn giải Khoảng cách hai mặt phẳng đáy AH Trong HAA', ta có: A' 30

a AH AA'.sin A' a.sin30

2

  

a

a K

H N

M P

B C

A S

H B

C

A'

C'

(44)

Câu Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a

BAD BAA' DAA' 60   Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD) (A’B’C’D’)

A. a

5 B

a 10

5 C

a

3 D

a 3

Hạ A'H AC , ta có nhận xét:









BD AC BD OAA'

BD A'O

BD A'H A'H ABCD

 

 

  

   

Và



 



Nhận xét hình chóp A’.ABD hình chóp đều, nên ta có:

2 a a

AH AO

3 3

  

2

2 2 a 2a a

A'H A'A AH a A'H

3 3

      

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB





Câu 6.1.Tính khoảng cách đường thẳng MN mặt phẳng (BCD) A 2a

3 B

a

2 C

a

4 D









MN CD

MN BCD

CD BCD

 

 

∥









Từ M kẻ MH AB

MH BCD

AB BCD

  

 

∥

Vậy: MH d MN, BCD





 cho: MH AB 5a

2

 

Câu 6.2.Gọi (P) mặt phẳng chứa MN qua trung điểm K AB Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) (BCD)

O

A'

B' D'

A

C B

C'

D

H

N K

M

H

B C

(45)

A a

3 B

3a

2 C

5a

4 D

5a Giải

a Tính d P , BCD :



  



  



MN CD

P BCD

MK BC

   

∥

∥ ∥

 







  



M P 5a

MH d P , BCD

MH BCD



  

 



  Vậy chọn đáp án D

Câu 7.Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Đáy lớn ABCD có cạnh a, đáy nhỏ A’B’C’D’ có cạnh b Góc mặt bên đáy lớn 60 Tính khoảng cách hai mặt đáy hình chóp cụt

A ab

2 B





a b



C







D







Lưu ý: Cần ý rằng, hình chóp cụt mặt bên hình thang cân nhau, góc mặt bên mặt đáy

Hướng dẫn giải Gọi O, O’ tâ hai hình vng ABCD A’B’C’D’; K J trung điểm A’D’ AD Gọi H hình chiếu K mp(ABCD) KH OJ H KH khoảng cách cần tìm

Gọi  góc mặt bên mặt đáy hình chóp cụt  KJH 60

Ta có: O'K b;OJ a

2

  KHOO’ hình chữ nhật nên: a b

JH OJ O'K



  





KH 2.KH

HJK : tan KH

HJ a b



     

 Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA’C’) (ACD’)

A a

2 B

a

3 C

a

2 D

a Phân tích:

Chứng minh B'D BC' :

φ

H J

K O'

B' A'

C'

O

B

D C

A

(46)













 

BC' CB'

BC' CDA'B' BC' B'D

BC' DC DC BB'C'C

 

    

  



Chứng minh A'C' B'D :













 

A'C' B'D'

A'C' BDD'B' A'C' B'D

A'C' BB' BB' A'B'C'D'

 

    

  



Xác định giao điểm K H:







 

















 











BB'D'D B'D

BC'A' BB'D'D BO' O' A'C' B'D' B'D BC'A' K

B'D BO' K

BB'D'D B'D

ACD' BB'D'D D'O O AC BD B'D ACD' H

B'D D'O H

 



      



  

 



      



  

Hướng dẫn giải Từ (1) (2) suy B'D







 



 

BC' AD'

BC'A' ACD'

BA' CD'

   

∥

∥ ∥

Từ (3) (4) suy ra: B'D





 

Ta có: B'D

















B'D D'AC H,B'D ACD'

Do KH khoảng cách cần tìm

 

2 2 2

BDB' : B'D BD B'B a a 3a B'D a

       

Dễ thấy hình chữ nhật BB’D’D ta có: KH 1B'D a

3

 

DẠNG KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AD 2AB ,





SA ABCD , SC 2a 5 góc SC





A.a 510

17 B.

a 51

17 C.

2a 510

17 D

3a 510 17

K

H O'

O

C'

B' D'

A'

C

A B

(47)

Ta có SA











 



   

Ta giác SAC vuông A

0

AC SC.cos60 a

  

và SA SC.sin60 a 15 Ta có

2 2 2

AB AD AC 5AB 5a AB a

Dựng hình bình hành AMDN dựng AH SN H Ta có:













AM / /DN AM / / SDN d AM, SDN d A, SDN

   

AM MD

  nên AMDN hình chữ nhật ND AN

  mà DN SA DN





DN AH

  mà AH SN AH









AH AS AN 15a 2a 30a

a 510 AH

17

  Vậy d AM,SD





17

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB 2a , BAC 60 0, cạnh bên SA vng góc với đáy SA a 3 Gọi M trung điểm cạnh AB Khoảng cách hai đường thẳng SB CM

A.a 10

17 B.

2a

29 C

2a

19 D

N

M C

B

A D

S

(48)

Do SB/ / CMN













d SB,CM d SB, CMN













d B, CMN d A, CMN

 

Kẻ AE MC, E MC  kẻ

AH NE, H NE 

Chứng minh









AH CMN d A, CMN AH

Tính AE 2S AMC

MC

 đó:

2

AMC 1

S AM.AC.sinCAM a.4a a AE 2a

2 2

13 MC a 13





     

 

 

Tính AH 2a d A, CMN









29 29 29

    

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, D, SA vng góc với đáy, SA AD a, AB 2a   Tính khoảng cách AB SC

A a

2 B.

a

C.a D 2a

Hướng dẫn giải Ta có: AB // DC nên









d AB,SC d AB, SDC

Trong mặt phẳng (SAD) từ A kẻ

 

AH SD, H SD 

Ta có:





 

DC AD

DC SAD DC AH

DC SA

 

   



 

Từ (1) (2) suy AH

















AH d AB, SCD d AB,SC

Trong tam giác vng SAD có: 12 12 12 22 AH a

AH  AD SA a  

M N

A C

B S

E H

B E

A

D C

S

(49)

60°

60° H

A

B C

D S

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60 0, cạnh bên SA

vng góc với đáy, SC tạo với đáy góc 600 Khoảng cách hai đường thẳng AB, SD

A 3a

5 B

2a

5 C

a

15 D









SCD

3V

d AB,SD d A, SCD

S

 

Gọi H trung điểm CD Ta có: CD SH

Do

2

SCD a 15

S CD.SH

2

  

Vậy









SCD

3V 3a

d AB,SD d A, SCD

S 15

  

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD a 3 





SA ABCD , góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD

A.3a

2 B.

a

4 C.

3a

4 D

2a Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng (ABCD) đường thẳng qua

D song song với AC, cắt đường thẳng AB E

Trong tam giác ADE kẻ đường cao AK



 







Do













AC/ / SDE d AC;SD d A; SDE AH

Ta có: AK a AH 3a d AC;SD





2 4

     Vậy chọn đáp án A

60°

E

A

C B S

D

I K

(50)

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có cạnh a 3, BAD 120

và cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết số đo góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC

A a

14 B

3a

4 C.

3a

14 D

Gọi O AC BD  Vì

DB AC, BD SC  nên BD





Kẻ OI SC OI đường vng góc

chung BD SC

Sử dụng hai tam giác đồng dạng ICO ACS đường cao tam giác SAC, suy OI 3a

14

 Vậy





d BD,SC

14



Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, cạnh bên SA vng

góc với mặt phẳng đáy Góc SC mặt phẳng đáy 450 Gọi E trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng DE SC theo a

A. a

19 B.2a 389 C.a 3819 D a 389

Hướng dẫn giải Từ C dựng CI / /DEDE / / SCI

 

dựng AK CI , cắt ED H CI K Trong (SAK) dựng HT SK Do CI





 







 



CD.AI 3a a

AK , HK AK

CI 5 5

SA.HK a 38

d DE;SC d H; SCI HT

SK 19

   

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA AD a  Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC

O H

B

D C

A S

I

H

E

D A

B C

S

I

(51)

A.a

10 B

a

6 C

a

4 D

a 2 Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng (SAD), vẽ

AH SD, H SD 

Mặt khác ABCD hình chữ nhật nên









CD SAD AH SCD

Vậy khoảng cách AB SC AH

Trong tam giác vng SAD có AH đường cao nên

2 2

1 1 AH a

2

AH  AS AD  

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB SC a

2

Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB cạnh a, tam giác ABC cân C Hình chiếu S mặt phẳng





A. 3a

13 B.

3a

13 C.

a

13 D

Gọi H trung điểm cạnh AB, ta có SH đường cao hình chóp S.ABC CH đường cao tam giác ABC Từ giả thiết ta SCH 30 Tam giác SHC vuông H nên

0

SH tan30 CH SH 3 3a

CH   

Dựng hình bình hành ABCD, đó:





















d BC,SA d BC, SAD

d B, SAD 2d H, SAD



 

Gọi G, K hình chiếu H đường thẳng AD SG Ta có:

H

B A

D C

S

D

H

A C

B S

(52)





AD HG AD SHG HK AD

AD SH

 

   



 

Mà HK SG nên HK









2 2 2 2

1 1 1 52 HK 3a

2 13

HK HG HS  HB HC HS 9a  

Vậy d BC,SA





13

 Vậy chọn đáp án 3a

13 Vậy chọn đáp án A

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD hình thang cân, hai đáy BC AD Biết SA a 2, AD 2a, AB BC CD a     Hình chiếu vng góc S mặt phẳng





A a 21

3 B.

a 21

7 C.

a

7 D

3a Hướng dẫn giải Ta có:

2 ABCD ABI 3a

S 3S

4

 

Xét SBI vuông I có:

2 2

SI SB BI a SI a

























SBC

AD / /BC

AD / / SBC

BC SBC

d AD,BC d AD, SBC

3V d I, SBC

S

 

 

 

 







3

SIBC S.ABCD a a SBC a

V V ; S p p a p b p c

3 12

       

Vậy d AD,SB





7

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 3a, AD 2a  Hình

chiếu vng góc S lên mặt phẳng





AH 2HB Góc mặt phẳng









A a 39

15 B.

6a 39

13 C

a 39

3 D

a 39 11

I

A D

B C

(53)

Kẻ HK CD K CD









CD HK

CD SHK CD SK

CD SH

 

   



 

Vậy góc (SCD) (ABCD) góc

0

SKH 60

Trong tam giác vuông SHK:

0

SH HK tan60 2a

Vì

















BC AB

BC SAB BC AI

BC SH

 

   



  Mà SB AI AI





Vậy









2

SH.AB 2a 3.3a 6a 39

d AD,SC d A, SBC AI

SB 12a a 13

    



Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD a 17

2

 , hình chiếu vng góc H S mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính khoảng cách hai đường thẳng HK SD theo a

A a

25 B

a

45 C

a

15 D





SH ABCD SH HD Ta có:





2 2 2

SH SD HD SD AH HD

SH a

    

 





HK / /BDHK / / SBD









d HK,SD d H, SBD

 

Gọi E hình chiếu vng góc H BD F hình chiếu vng góc H SE

Ta có: BD HE BD SH nên BD













60°

K H

I A

B C

D S

K H

D A

B C

S

(54)

Ta có: HE HBsin EBH a

 

2

HS.HE a

HF

5

HS HE

  



Vậy d HK,SD





5

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có SC a 70

5

 , đáy ABC tam giác vuông A,

AB 2a, AC a  hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA

A.3a

5 B.

4a

5 C.

a

5 D

2a Hướng dẫn giải Tam giác AHC vuông cân cạnh a nên

CH a 2

Tam giác SHC vuông H nên

2 2a

SH SC CH

5

  

Dựng AK BC, HI BC  Đường thẳng qua A song song với BC cắt IH D BC / / SAD





















d BC,SA s BC, SAD d B, SAD 2d H, SAD

   



 



AD SDH  SAD  SDH

Kẻ HJ SD HJ









5

AK  AB AC    

2 2

1 1 HJ 2a

5

HJ HD HS   Vậy





5



Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho AB 3AH , góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC

A.3a 21

29 B.

3a 21

19 C.

a 21

39 D

D I

H

B C

A K S

(55)





chiếu SC mặt phẳng (ABC)

0

SCH 60

  góc SC mặt phẳng (ABC)

Ta có

2 2

HC AC AH 2AC.AH.cos60

2 2

9a a 2.3a.a 7a

2

   

0

HC a SH HC.tan60 a 21

    

Dựng AD CB AD / /CBBC/ / SAD





















d SA;BC d BC; SAD d B; SAD 3d H; SAD

   

Dựng HE AD E AD



 



 









Ta có: HE AH.sin600 a

2

 









2 2 2

1 1 29 HF a 21 d B; SAD 3a 21

29 29

HF  HE SH 3a 21a 21a    

Vậy d SA;BC





29

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a , AD 2a Hình

chiếu vng góc S mặt phẳng đáy trung điểm H AD, góc SB mặt phẳng đáy (ABCD) 450 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD BH theo a A 2a

3 B.

2 a

5 C.

2 a

3 D

Do SH





SH BH a 2 

Gọi K trung điểm BC, ta có BH / / DKBH/ / SDK

















d BH;SD d BH; SDK d H; SDK

Tứ diện SHDK vuông H nên

60°

H

C A

D B

S

E F

45° K

H

B A

D

(56)









2 2 2

1 1

d H; SDK HS HK HD  2a

Vậy d BH;SD









 

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SD hợp với mặt đáy góc 600 hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt đáy trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD

A a 345

31 B

a 546

31 C.

a 645

31 D

Ta có SH





2

 

Dựng E cho AEBO hình bình hành Gọi M trung điểm AE Hạ HK vuông góc với SM

Chứng minh HK







Chứng minh d BD;SA





  Vậy chọn đáp án D

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, với





AB BC a, AD 2a   a 0 Các mặt bên

















A.2a

5 B.

2a

15 C.

a

15 D

Gọi H AC BD  SH





BH BD

3



Kẻ HE AB AB







 







Mà HE 1AD 2a SH 2a

3 3

   

60°

M E

O H

C B

A

D S

K

I H

D O

A

B C

S

E

(57)

là hình vng cạnh a  ACD có trung tuyến

1

CO AD

2







CD AC CD SAC VÀ BO/ /CD hay CD / / SBO





















d CD;SB d CD; SBO d C; SBO

Tính chất trọng tâm tam giác BCO IH 1IC a

3

  

2 5a

IS IH HS

6

   

Kẻ CK SI mà CK BO CK









Trong tam giác SIC có: SSIC 1SH.IC 1SI.CK CK SH.IC 2a

2 SI

    

Vậy d CD,SB





5

Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC 60 cạnh bên

SD a 2 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn BD cho HD 3HB Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tính khoảng cách hai đường thẳng CM SB

A a

40 B

a 30

8 C

a

8 D

Từ giả thiết có tam giác ABC cạnh a

Gọi O AC BD BO a BD a

2

     

3

HD BD a

4

  

2

2 2 27a 5a a

SH SD HD 2a SH

16 16

      





2

2 2 5a 3a a

SB SH HB SB

16 16

BD AC AC SBD AC OM

AC SH

     

 

   

  

Diện tích tam giác MAC

2

MAC 1 a a

S OM.AC SB.AC a

2 4

    

M

H

O C B

A

(58)





















SB/ /OM SB/ / MAC

d SB;CM d SB; MAC d S; MAC d D; MAC



   













M.ACD ACD 1 ABCD S.ABCD a 15

V d M; ABCD S d S; ABCD S V

3  2 96

   

Mặt khác VM.ACD 1d D; MAC S





3 







3 M.ACD

2 MAC

a 15

3V 32 a 30

d D; MAC

S a 2

8 

   

Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông B C,

AB 2BC 4CD 2a   , giả sử M N trung điểm AB BC Hai mặt phẳng (SMN) (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy cạnh bên SB hợp với (ABCD) góc 600 Tính khoảng cách SN BD

A a

15 B

3 a

65 C

3 a

55 D

3 a

35 Hướng dẫn giải

Gọi H MN BI  



  

Do hai mặt phẳng (SMN) (SBI) vng góc với









Dễ thấy BH hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng đáy, suy SBH 60

Gọi M N trung điểm AB BC, mà

AB 4CD nên suy MN BD H

Xét tam giác BMN ta có:

2 2

1 1 BH a

5

BH  BM BN a  

Xét tam giác SBH lại có: tanSBH SH SH HB.tan600 a 15

HB

   

* Tính khoảng cách SN BD

Do BD SH BD





BD MN

 

 

 



Dựng HK vuông góc SN, suy HK đoạn vng góc chung SN BD





d BD,SN HK

 

Xét BHN có:

2

2 a a a

HN BN BH

4 10

    

H N M

A B

C D

S

(59)

Xét SHN ta có: 12 12 12 202 52 652 HK a 65

HK SH HN a 3a 3a  

Vậy d BD,SN





65



Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B Biết

AD 2AB 2BC 2a, SA SD SC 3a      Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD

A a

3 B

a

3 C

a

2 D

Theo giả thiết ta có BC AB a 

Gọi H trung điểm AD HA HD a  Từ giả thiết ABCH hình vuông cạnh a tâm O

CH a

1 a

CO AC

2

 

  

 

 

Trong tam giác ACD có CH trung tuyến CH 1AD



ACD

  vuông C  H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Gọi K hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) SK





Hơn tam giác vuông SKA, SKC SKD SK chung

SA SD SC 3a   KA KC KD 

 K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD  K trùng với H Trong tam giác vuông SHD ta có: SH2  SD2HD2  9a2a2 2 2a Tứ giác BCDH hình bình hành (vì HD BC, HD BC∥  ) CD BH∥

Ta có:













CD SBH

 

 

  

∥BH

∥

Ta có SB CD hai đường thẳng chéo Mặt khác





















CD SBH

d CD,SB d CD, SBH d C, SBH

SB SBH

   

  

∥

Ta có CO HB CO









2 CO SH

 

    

 

 Vậy chọn đáp án D

H

A D

B C

(60)

Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành thỏa mãn

AB 2a, BC a 2, BD a 6   Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD)

trọng tâm tam giác BCD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD, biết khoảng cách hai đường thẳng AC SB a

A

3

4 2a

3 B

3

5 3a

3 C

3

3a

2 D

3

Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD), M trung điểm CD O tâm đáy ABCD Do AO trung tuyến tam giác ABD nên:

2 2

2

2 2

2

2 2

2

AB AD BD 3a

AO

2

a AO 2a

AO AH AO

2 3

BD BC CD

BM

2

6a 2a 4a 3a

2

2a

BM a BH

3



  

     



 



  

   

Ta có AH2BH24a2 AB2AH BH , kết hợp với AH SH ta AH









Suy AH HK  HK đoạn vng góc chung AC SB, suy HK a Trong tam giác vng SHB ta có: 12 12 12 SH 2a

HK  SH HB  

3

S.ABCD ABCD OAB 4 2a

V SH.S SH.4S SH OA.BH

3 3

    Vậy chọn đáp án A

Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA





AB a, BC 2a, SA a 3   (với a , a 0 ) Gọi M, N trung điểm đoạn

thẳng SB, AD Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BN

A 2a

3 B

3a

3 C

a 21

7 D

Qua A kẻ đường thẳng song song với BN cắt BC E Gọi H AB EN 

O H

M

C

B D

A

S

K

(61)

Kẻ MH SA∥ Suy MH





Ta có: MH a 3, SANBE 2S ANB .a1 a2

2 

   

Suy

3

S.ANBE ANBE a

V MH.S

3

 

Ta lại có: AM a, AE a 2, CB  





Ta có: AE ME a 2   AME cân E

 

2

AME a a a

S a

2 4



   

Vì BN AME∥

















AME AME

3 V

3V 2 a 21

d BN, AME d N, AME

S S

    

Vậy d AM,BN





7

 Vậy chọn đáp án C

Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a 5, AC 4a , SO 2a

và SO vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM

A 5 2a

3 B

3a

6 C

a 21

3 D 2 a3

Hướng dẫn giải Vì M trung điểm SC nên OM SA, MS MC∥ 

Do

















OMB

3V

d SA,BM d SA, OBM d S, OBM d C, OBM

S

   

Ta có OC 1AC 2a

  nên OB BC2 OC2 a SOBC 1OB.OC a2

     

Gọi N trung điểm OC MN SO∥ nên





MN OBC MN 1SO a

2

 

Do VM.OBC 1MN.SOBC 2a3

3

 

Ta có SA SO2OA2 2 3a nên OM 3a Tam giác OMB vuông O nên:

2

OMB

S  OB.OM a N

M

O

D A

(62)





OMB

3V

d SA,BM a

S

  

Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD 60 0, G trọng

tâm tam giác ABD SG





3

 Gọi M trung điểm CD Tính khoảng

cách AB SM theo a

A a

2 B

3a

3 C

a

3 D

Dễ thấy SG đường cao khối chóp S.ABMD a

SG

 Vì ABCD hình thoi cạnh a, BAD 60

nên ABD BCD tam giác cạnh a, M trung điểm CD

Vì AB CD∥ AB SCD∥

















d AB,SM d AB, SCD d B, SCD h

   

Gọi O AC BD 

Hơn

2 1 a 2a

AG AO AC AC GC

3 3 3

     

2

2 2 6a 12a

SC SG GC 2a

9

     

Lại có

2

2 2

a 6a 3a

GD GA SD SG GD a

3 9

       

Suy

2 2 2

0

SC CD SD 2a a a

cosSCD SCD 45

2SC.CD 2.a 2.a 2

   

    

Khi

2

SCM 1 a a

S SC.CM.sin 45 a

2 2 2

    (đvdt)

Mặt khác: S.BCM B.SCM SCM B.SCM

SCM

3V

V V h.S h

3  S



   

2 3 3

B.SCM S.BCM S.ABCD SABMD a a a a a a

V V V V

3 8 24

       

M G

O

D

C A

B

(63)

Suy

3

2

a

3 a 2

24 h

2 a

4

  Vậy d AB,SM





Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt

phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC 2a, BD 4a  Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD SC

A 4a 13

91 B

a 165

91 C

4a 1365

91 D

Gọi O AC BD  , H trung điểm AB, suy

SH AB

Do AB



 





 







2

  

2 2

2 ABCD

BD 4a

OB 2a

2

AB OA OB a 4a a

AB a 15 SH

2

1

S AC.BD 2a.4a 4a

2

  

    

 

  

Thể tích khối chóp S.ABCD

3 ABCD

1 a 15 2a 15

V SH.S 4a

3 3

  

Ta có: BC/ /AD nên AD / / SBC

































Kẻ HK SE, K SE  , ta có BC HK HK









2

BCH ABC ABCD

2S S S 4a 2a

HE

BC BC 2AB 2a 5

    

2 2 2

1 1 91 HK 2a 15 2a 1365

91 91

HK HE SH  4a 15a 60a   

Vậy d AD,SC





91

 

O H

C B

A

D S

(64)

Vậy chọn đáp án C

Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SD a 2 ,

SA SB a  , mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a khoảng

cách hai đường thẳng AC SD A a

4 B

5a

2 C

a

2 D

3a Giải

Theo giả thiết



 







Mặt khác AS AB AD  OS OB OD  hay SBD tam giác vuông S

2 2

BD SB SD  a 2a a

3

2 2 3a a

AO AB OB a

4

    

Trong SBD dựng OH SD H (1)

H trung điểm SD

Theo chứng minh AO





Vậy d AC,SD





2

  

Câu 27 Cho hình chóp S.ABC có SA 2a, AB a  Gọi M trung điểm cạnh BC

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AM, SB

A a 155

47 B

a 512

43 C

a 517

47 D

Gọi O tâm tam giác ABC cạnh a Do S.ABC hình chóp nên SO





2 ABC a

S

4

  OA a 33

Xét SOA có:

2

2 2 a 11a

SO SA OA 4a

3

     SO a 33

3

 

Vậy

2

S.ABC ABC a 33 a a 11

V SO.S

3  3 12

  

Gọi N, I, J trung điểm đoạn SC, CO, OM Do SB/ /MNSB/ / AMN





H

O B

C D

A

S

J I N

O

M

A B

C S

(65)

















d AM,SB d B, AMN d C, AMN 2d I, AMN

Ta có: AM IJ AM

    



 

   

 

 theo giao tuyến NJ

Trong

 









2 2 2

1 1 16 12 188 IK a 11

188

IK IJ IN a 11a 11a  

Vậy d AM,SB





188 47

   Vậy chọn đáp án C

Câu 28 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi K trung điểm DD’ Tính khoảng cách CK A’D

A a

3 B

a

5 C

a

4 D

Gọi M trung điểm BB’ A'M CK∥

















A'DM

d CK,A'D d CK, A'DM

3V d K, A'DM

S



 

Ta có:

3

K.A'DM M.KA'D B'.KA'D 1

V V V B'A' A'D'.KD a

3 12

   

Hạ DH A'M Do AD





2

a 2a

AH

MA' 5

 

Do DH AD2 AH2 3a SA'MD 12DH.A'M 34a2

     

Vậy





3 K.A'DM

2 A'DM

a

3V 12 a

d CK,A'D

3

S a

4

   Vậy chọn đáp án A

Câu 29 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đoạn thẳng B’C’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ B’C’ theo a

M

K

C' B'

C D'

A'

A D

(66)

A a

3 B

a

5 C

a

4 D a 34

Hướng dẫn giải Ta có A’H hình chiếu AA’ lên mặt phẳng (A’B’C’) nên AA'H 30

Xét tam giác vng AHA’ ta có:

0 a a

AH AA'sin30 ,A'H AA'cos30

2

   

Mà tam giác A’B’C’ nên H trung điểm B’C’

Vẽ đường cao HK tam giác AHA’ Ta có B'C'









AA'

   Vậy chọn đáp án D

Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABC), I trung điểm AB tam giác SIC vng cân Tính khoảng cách hai đường thẳng AI SB theo a

A 6a B.a 6

C.a

6

D 6a Hướng dẫn giải

Ta có: CI AB CI





 

   

  

Suy tam giác SIC vuông cân I, nên SI CI a

 

Do đó:

2

2 3a a a

SA SI AI

4

    

Dựng IH vng góc với SB (I thuộc SB) Khi HI đoạn vng góc chung SB CI, d SB;CI





Hai tam giác vuông HBI ABS đồng dạng, nên HI BI

SA SB

a a 2.

BI.SA 2 2 a

HI

SB a 6

2

    Vậy d SB;CI





6

 

300

H B

C

A' C'

B' A

K

I

A C

B S

(67)

Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC 60 cạnh bên

SD a 2 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn BD cho HD 3HB Gọi M trung điểm cạnh SD Tính khoảng cách hai đường thẳng CM SB

A.a 30

8 B.

a

4 C.

30a

7 D a 305

























SB/ /OM SB/ / MAC

d SB;CM d SB; MAC

d S; MAC d D; MAC



 

 

















M.ACD ACD

ABCD

S.ABCD

1

V d M; ABCD S

3

1 1 d S; ABCD S1

3 2

1V a 15

4 96





 

Mặt khác VM.ACD 1d D; MAC S





3 











3 M.ACD

2 MAC

a 15

3V 32 a 30

d D; MAC

S a 2

8 

    Vậy chọn đáp án A

Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, mặt bên SAB tam

giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng





A a 21

8 B

a 21

3 C

a 21

7 D

Gọi H trung điểm AB SH AB Do



 







Do SAB tam giác cạnh a nên SH a

 ,

2

AC BC AB a

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA N

M

H O

C B

A

D S

N M

A C

S