SANG KIEN KINH NGHIEM CAP TINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS A. ĐẶT VẤN ĐỀ I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm. Thực tiễn dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh còn rất yều. Nhận thức về đề trên, tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán, . Một trong các dạng toán đó là “Dạng toán chia hềt”. Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và giúp các em HS nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán II./THỰC TRẠNG BAN ĐẦU Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người dạy và người học rất vất vả nhất là đối với HS lớp 8 và lớp 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đã học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian của tiết dạy. Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dài dòng và rất phức tạp, thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì rất đơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ý tới dạng toán này vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong SGK nên không nghĩ đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường. Từ những suy nghĩ đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này III/ GIẢI PHÁP Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từnbg chương, từng khối lớp. Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều B./GIẢI QUYẾT VẦN ĐỀ I/CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thể hiện dạng toán “chia hết”. Và trong những năm gần đây phương pháp dạy học môn Toán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh bằng cách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duy trong quá trình giảng dạy bài mới. Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán “chia hết” cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán. Nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic II./GIẢ THUYẾT Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đã trang bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giải các bài tập dạng này 1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích -Nếu a  m và b  m thì a+b  m , a -b  m, a.b  m -Nếu a  m thì a n  m (n là số tự nhiên) 2.Dấu hiệu chia hết cho2;4;5;6;3;8;9;11 Chia hết cho Dấu hiệu 2 Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn 3 số có tổng các chữ số chia hết cho 3 4 Số chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4 5 Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 6 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3 8 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8 9 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 10 Số có chữ số tận cùng là 0 11 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 3.Đồng dư + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu (mod )a b c≡ + Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+ (mod )a a m≡ (mod ) (mod )a b m b a m≡ ⇔ ≡ (mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m≡ ≡ ⇒ ≡ (mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m≡ ≡ ⇒ ± ≡ ± Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” (mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m≡ ≡ ⇒⇒ ≡ (mod ) (mod ) n n a b m a b m≡ ⇔ ≡ 4.Nguyên tắc Đirichlê Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng(n>m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ. 5.Phương pháp chứng minh quy nạp Muốn chứng minh một khẳng định A n đúng với mọi n=1,2,3 . ta chứng minh như sau: -Khẳng định A 1 đúng -Giả sử A k đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khẳng định A k+1 đúng Kết luận: Khẳng định A n đúng với mọi n=1,2,3 . 6.Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau: -Giả sử P sai -Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý -Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng *CÁC DẠNG TOÁN Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người học tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó. Một bài có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quá trình giải toán 1.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số Bài toán 1:Tìm các chữ số a và b sao cho ab19 chia hết cho 5 và 8 Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và 8 Vì ab19 chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và ab19 chia hết cho 8 nên suy ra b=0 Mặt khác , 019a chia hết cho 8 nên 019a chia hết cho 4 khi 0a chia hết cho 4 suy ra a ∈ {0;2;4;6;8}. Ta có 019a chia hết cho 8 khi 09a chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 ên số cầm tìm là 1920 và 1960 Bài toán 2 Chữ số a là bao nhiêu để 96aaaaa chia hết cho cả 3 và 8 vì 96aaaaa  8 ↔ 96a  8 ↔ 100a + 96  8 suy ra 100a  8 vậy a là số chẵn → a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1). vì 96aaaaa  3 ↔ (a + a + a + a + a + 9 + 6 )  3 ↔ 5a + 15  3 mà 15  3 → 5a  3 mà (5, 3) = 1 Suy ra a  3 vậy a ∈{ 3, 6 ,9} (2). từ (1) và (2 ) suy ra a = 6 KL: Vậy dố phải tìm là 6666696. Bµi to¸n 3 : Tìm chữ số a để 11aaa  11. Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a. *Nếu 2a ≥ a + 2 → a ≥ 2 thì 2a – (a + 2) = a -2 ≤ 9 – 2 = 7 mà (a - 2)  11 nên a - 2 = 0 ↔ a = 2 *Nếu 2a ≤ a + 2 ↔ a <2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc là 1 không chia hết cho 11.vậy a=2 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm x,y sao cho 721994 xy HD: xy1994  72 = 72. 2769 + 32 + xy  72 ↔ 32 + xy  72 Vì 32 ≤ 32 + xy ≤ 32 + 99 = 131 nên 32 + xy = 72 ↔ xy = 40 vậy x = 4 , y = 0. Bài 2; Tìm x để 1994x 3 nhưng không chia hết cho 9 HD: Vì 1994x chia hết cho 3 ↔ (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3 Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1≤ x ≤ 9 nên 24 ≤ 23 + x ≤ 32 Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Bài 3 phải viết ít nhât mấy số 1994 liên tiếp để được một số chia hết cho 3 HD: ta thấy tổng các chữ số của số 1994 là 23 nên khi chia cho 3 thì dư 2 nều viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tồng các chữ số của số nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho 3. Để nhận được sốp chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3 tức là phải viết ít nhât 3 lần số 1994 liên tiếp nhau 2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số Bài toán 1 : Chứng minh rằng 21 39 +39 21 chia hết cho 45 *Cách 1: Ta có 21 39 + 39 21 = (21 39 - 1 ) + (39 21 + 1) Vì 21 39 - 1 = 20 (21 38 + 21 37 + …+ 1) chia hết cho 5 Vậy 39 21 + 1 = 40 (39 20 - 39 19 + …+1) chia hết cho 5 Suy ra: (21 39 - 1 ) + (39 21 + 1) chia hết cho 5 Mặt khác 21 39 - 39 21 = (21 39 - 3 39 ) + (39 21 - 3 21 ) + (3 39 + 3 21 ) Mà 21 39 - 3 39 = 18 (21 38 + …+3 38 ) chia hết cho 9 21 39 - 3 39 = 36 (39 20 +…+3 20 ) chia hết cho 9 Vậy 3 39 + 3 21 = 3 21 (3 18 + 1) = (3 3 ) 7 (3 18 + 1) chia hết cho 9 Mà ( 5,9) = 1 nên 21 39 + 39 21  45 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” *Cách 2: vì 45 = 5.3 2 nên để chứng minh 21 39 + 39 21 chia hết cho 45 thì ta chứng minh 21 39 + 39 21 chia hết cho 5.3 2 Ta có: 21 39 = (20 + 1) 39 = 20 39 + 39. 20 38 + …+ 39.20 + 1= 10M + 1.39 21 = (30 + 9) 21 = 30 21 + 21.30 20 .9 + 9 +…+ + 21.30.9 20 + 9 21 = 10N + 9 Như vậy: 21 39 + 39 21 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5 Mặt khác 21 39 + 39 21 = (7.3) 39 + (13.3) 21 = 7 39 .3 39 + 13 21 + 3 21 = 3 21 . 7 39 . 3 18 + 13 21 . 3 21 = 3 21 (7 39 . 3 18 + 13 21 ) = (3 3 ) 7 (7 39 . 3 18 + 13 21 ) chia hết cho 9 *C¸ch 3 Ta có: 21 ≡ 1 (mod 20) 39 ≡ -1 (mod 20) Vậy 21 39 + 39 21 ≡ 1 39 + (-1) 21 ≡ 0 (mod 20) Như vậy 21 39 + 39 21 chia hết cho 20; do đó 21 39 + 39 21 chia hết cho 5 (*) Tương tự ta chứng minh 21 39 + 39 21 chia hết cho 9 KL: Vậy 21 39 + 39 21 chia hết cho 45 Bài toán 2 : Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15. Ta có: A =2 + 2 2 + 2 3 +…+ 2 60 A = 2(1+2)+ 2 3 (1+2)+…+ 2 59 (1+2) = 3 (2 + 2 2 + 2 3 +…+ 2 59 ) A = 3 (2 + 2 2 + 2 3 +…+ 2 59 ) chia hết cho 3 Ta có A = 2 + 2 2 + 2 3 +…+ 2 60 A = 2 (1 + 2 + 2 2 ) + 2 4 (1 + 2 + 2 2 ) + … + 2 58 (1 + 2 + 2 2 ) A = 2 . 7 + 2 4 .7 + … + 2 58 .7 A = 7 (2 + 2 4 + …+ 2 58 ) chia hết cho 7 Ta có A = 2 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + 2 5 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + … +2 57 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) A = 2. 15 + 2 5 .15 + …+ 2 57 .15 A = 15( 2 + 2 5 + … + 2 57 ) chia hết cho 15 KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15. Bài toán 3:Chứng minh rằng 43 43 -17 17 chia hết cho 5 Ta có 43 43 = 43 40 . 43 3 = (43 4 ) 10 .43 43 Ta có 43 3 có tập cùng là chữ số 1 nên 43 4 có tận cùng là chữ số 1 hay 43 40 có tận cùng là chữ số 1 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” 43 43 có tận cùng là chữ số 7. Vậy 43 40 .43 3 có tận cùng là chữ số 7 hay 43 3 có tận cùng là chữ số 7 Ta có 17 17 = 17 16 .17 = (17 4 ) 4 . 17 Vì 17 4 có tận cùng là 1 nên 44 )17( cũng có tận cùng là 1 hay 17 6 cũng có tận cùng là 1. Do đó 17 16 .17 có tận cùng là 7 Hai số 43 43 và 17 17 có chữ số tận cùng giống nhau nên 43 43 -17 17 có chữ số tận cùng là 0, Suy ra 43 43 -17 17 chia hết cho 5 Bài tập tương tự Bài1 Cho B = 3 + 3 3 + 3 5 + …+ 3 1991 . Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41 Bài 2 Cho C = 11 9 + 11 8 + 11 7 + …+ 11 + 1. Chứng minh rằng C chia hết cho 5 Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + …+ 99 3 + 100 3 B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100 Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ Bài toán 1: Chứng minh rằng n 3 -n chia hết cho 6 với n nguyên *Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n 3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Ta có n 3 – n = n(n 2 – 1) = n(n + 1)(n - 1) Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)  2. Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k ∈ Z) + Nếu n = 3k thì n 3 – n = (3k) 2 - 3k = 3k (9k 2 – 1)  3 + Nếu n = 3k + 1 thì n 3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2)  3. + Nếu n = 3k + 2 thì n 3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2)  3. KL: Vậy n 3 – n  6 với n nguyên *Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6) + Nếu n = 6p thì n 3 – n = 6p (6p + 1)(6p - 1)  6 +Nếu n = 6p + 1 thì n 3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2)  6. + Nếu n = 6p + 2 thì n 3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1)  6. Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 6 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” + Nếu n = 6p + 3 thì n 3 – n = 6(36p 3 + 54p 2 + 26p – 4)  6. + Nếu n = 6p + 4 thì n 3 – n = 6(36p 3 + 54p 2 + 26p – 4)  6. + Nếu n = 6p + 5 thì n 3 – n = 6(36p 3 + 54p 2 + 26p – 4)  6. KL: Vậy n 3 – n  6 với n nguyên *Cách 3: Ta chứng minh n 3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 Nếu n ≡ 0 (mod 2) thì n 3 – n ≡ 0 3 – 0 ≡ 0 (mod 2) Nếu n ≡ 1 (mod 2) thì n 3 – n ≡ 1 3 – 1 ≡ 0 (mod 2) Như vậy với n nguyên, n 3 – n ≡ 0 (mod 2) nghĩa là n 3 – n chia hết cho 2 Mặt khác + Nếu n ≡ 0 (mod 3) thì n 3 – n ≡ 0 3 – 0 ≡ 0 (mod 3) + Nếu n ≡ 1 (mod 3) thì n 3 – n ≡ 1 3 – 1 ≡ 0 (mod 3) + Nếu n ≡ 2 (mod 3) thì n 3 – n ≡ 2 3 – 2 ≡ 0 (mod 3) Với n nguyên n 3 – n ≡ 0 (mod 3) nghĩa là n 3 – n chia hết cho 3. KL: Vậy n 3 – n  6 với n nguyên Bài toán 2: Chứng minh rằng 2n +  nchuso 1 .11 chia hết cho 3. *Chú ý: Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho 9. Do đó  nchuso 1 .11 - n chia hết cho 9. Ta có: 2n +  nchuso 1 .11 = 3n + (  nchuso 1 .11 - n) chia hết cho 3. Bài toán 3: Chứng minh rằng A = 10 n + 18n – 1 chia hết cho 27. *Cách 1 : A = 10 n + 18n – 1 = 10 n - 9n + 27n – 1 =  nchuso 9 .99 - 9n + 27n = 9(  nchuso 1 .11 - n) + 27n Mà 27n chia hết cho 27 nên (  nchuso 1 .11 - n) chia hết cho 9 suy ra 9(  nchuso 1 .11 - n) Vậy 10 n + 18n – 1 chia hết cho 27. *Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học) + Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27. Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 7 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Vậy mệnh đề đúng với n = 1. + Giả sử mệnh đề đúngv với n = k tức là A k = 10 k + 18k -1 chia hết cho 27 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy A k+1 = 10 k+1 + 18(k + 1) – 1 = 10 k .10 + 18k + 18 – 1 A k+1 = 10 (10 k + 18k -1) – 9.18k +27 A k+1 = 10 (10 k +18k-1) – 27.6k + 27 Mà 10 ( 10 k + 18k-1)  27 => A k+1  27 27 . 6k  27 ; 27  27 Vậy 10 n + 18 n-1 chia hết cho 27 Bài toán 4: Với mọi n dương chứng minh: B = 7 n +3n -1 chia hết cho 9. Cách 1: (Phương pháp quy nạp toán học) +Nếu n = 1 thì B = 7 + 3 - 1 = 9  9. Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là B k = 7 k +3k -1 chia hết cho 9. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1. Thật vậy: B k+1 = 7 k+1 = 3 ( k+1) -1. B k+1 = 7. 7 k + 3k + 3 -1 B k+1 = 7 ( 7 k + 3k -1) – 6. 3k – 9 B k+1 = 7( 7 k + 3k -1) – 9.2k -9 B k+1  9 Vậy 7 n + 3n -1  9 mọi n nguyên dương Cách 2: Ta có : 7 n + 3n -1 = (6 + 1) n + 3n -1 = 6 n + c 1 n 6 n-1 + c 2 n . 6 n-2 + …. + c n n-1 . 6 + c n n + 3n-1 =(6 n + c n 1 .6 n-1 + c n 2 . 6 n-2 +… + c n n-2 . 6 2 ) + c n n-1 . 6+ c n n +3n-1 =(3.2) n +c n 1 . . (2.3) n-1 + c n 2 .(3.2) n-2 +….+c n n-2+(3.2) n+2 +d c n n-1 . 6 + c n n + 3n-1 =2 n . 3 n + c n 1 .2 n-1 .3 n-1 +….+ c n n-2 .3 n-2 .2 n-2 + 6n + 1 + 3n -1 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 8 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” =3 2 (2 n . 3 n-2 + c n 1 .2 n-1 .3 n-2 + …. +c n n-2 .2 2 )+9n. =9(2 n . 3 n-2 + c n 1 . 2 n-1 . 3 n-2 +…+ c n n-2 .2 2 ) + 9n  9 Vậy 7 n + 3n -1  9 mọi n nguyên dương Bài tập tương tự Bài1: Chứng minh rằng : a)-10 n + 72n -1 chia hết cho 91. b)- 2 2n +15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì (n+ 1993 1994 ) (n+ 1994 1993 ) chia hết cho 2. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì12 2n+1 + 11 n+2 chia hết cho 133. +Đối với bài số 3 thì đây là dạng toán chia hết mà số mũ chứa chữ nên khi làm cần định hướng cho học sinh cách làm như sau: Cách 1: Ta có: 12 2n+1 +11 n+2 = (12 2 ) n .12 + 11 n . 11 2 . =144 n .12 + 11 n . 121 =12( 144 n – n n ) + 12.11 n + 121. n n = 12 . 133 . M + 133 . 11 n . Mỗi số hạng đều hết cho 133 nên 12 2n+1 + 11 n+2 chia hết cho 133. Cách 2 : (Phương pháp quy nạp toán học). Với n =1 thì tổng 12 3 + 11 3 = (12 + 11) (12 2 -12 .11 + 11 2 ) =22.133 chia hết cho 133. vậy mệnh đề đúng với n=1. Giả sử mệnh đề đúng với n=k Tức là 12 2k+1 +11 k+2 chia hết 133. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Thật vậy: 12 2k+3 +11 k+3 =144 .12 2k+1 +11 k+3 . = 133. 12 2k+1 +11. 12 2k+1 + 11 k+3 . =133. 12 2k+1 +11 (12 2k+1 + 11 k+2 ). Vỉ 133 . 12 2k+1  133; 11(12 2k+1 +11 k+2 )  133 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 9 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” 133. 12 2k+1 +11(13 2k+1 +11 k+2 ) chia hết cho 133 Vậy 12 2n+1 + 11 n+2 chia hết cho 133. Cách 3: Ta có : 12 2n+1 +11 n+2 =12 2n+1 +11 n+2 +11 2(2n+1) -11 2(2n+1) =(12 2n+1 +11 2(2n+1) ) - (11 2(2n+1) -11 n+2 ) =12 2n+4 +(11 2 ) 2n+1 –(11 4n+2 -11 n+2 ). =(12 2n+1 +(11 2 ) 2n+1 ) -11 n+2 (11 3n -1) Vì 12 2n+1 + (11 2 ) 2n+1 = (12 +11 2 ) . P  133. và 11 3n -1 = (11 3 -1) . Q =(n-1) (n 2 +11 +1) .Q = 10 . 133 . Q  133 Vậy 12 2n+1 +11 n+2 chia hết cho 133 Dạng 4:Tìm điều kiện để một bài toán chia hết cho một số hoặc cho một biểu thức Bài toán 1:tìm số tự nhiên n sao cho n 2 +4  n +1 Ta có : 1 4 + + n n n = 1 51 + +− n n = 1 5)1)(1( + ++− n nn = n-1 + 1 5 + n để (n 2 + 4)  (n+1) thì 5  n+1 hay n+1 ∈ Ư(5). Mà Ư(5) ={1; 5} *n+1 = 5 -> n = 0 (thoả mãn) *hoặc n+1 = 5 -> n = 4 (thoả mãn). Vậy với n = 0 ; n = 4 thì n 2 + 4  n+1 Bài toán 2: tìm số tự nhiên n để : 3 2n+3 + 2 4n +1)  25 đặt A = 3 2n+3 + 2 4n +1) =27.3 2n + 2. 2 4n =25 .3 2n + 2(3 2n +2 4n ) =BS25 + 2(9 n + 16 n ) +Nếu n lẻ thì 9 n +16 n  25 do đó A  25 +Nếu n chẵn thì 9 n có tận cùng là 1, còn16 n có tận cùng là 6  2( 9 n +16 n ) có tận cùng là 4. Vậy A không chia hết cho 25 Vậy với n lẻ thì 3 2n+3 + 2 4n +1)  25 Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a 2 x 3 +3ax 2 -6x -2a (a ∈Q). Xác định a sao cho f(x)  (x +1) +Cách 1: đặt phép chia đa thức. a 2 x 3 +3ax 2 -6x -2a = (x +1) a 2 x 2 +(3a –a 2 ) x +(a 2 -3a -6) +(-a 2 +a +6) Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 10 [...]... cao kỹ năng giải toán chia hết là rất cần thiết và phương pháp cho từng dạng toán đã đem lại hiệu quả cao trong việc nâng cao kỹ năng giải toan chia hết nói chung và giải toán nói riêng C/BÀI HỌC KINH NGHIỆM I. /Kinh nghiệm cụ thể Thực tế sáng kiến đúc rút từ thực tiễn trong quá trình dạy và học môn toán Đây là một sáng kiến thuộc dạng dạy và học nên hy vọng không chỉ người dạy quan tâm tới việc nâng cao... KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Tài liệu tham khảo 1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD 2/ Thực hành giải toán_Nhà xuầt bản GD 3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản GD 4/ Toán số học nâng cao của tác giả Vũ Dương Thụy_Nàh xuâr1 bản GD XÁC NHẬN CỦA CHUYÊN MÔN NHÀ TRƯỜNG Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 15 SÁNG KIẾN KINH. .. KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” A/Đặt vấn đề Trang 1 I/Mục đích yêu cầu Trang 1 II/Thực trạng ban đầu Trang 1 III/Giải pháp đã sử dụng Trang 1 B/Giải quyết vần đề .Trang 2 I/Cơ sở lý luận .Trang 2 II/Giả thuyết Trang 2 III/ Quá trìnhthử nghiệm SGK Trang 12 IV/Hiệu quả mới Trang 12 C/Bài học kinh nghiệm... người dạy cần vận dụng trình tự sơ đồ như sau: Áp dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt để giải toán hoạt Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm Kiểm tra, đánh giá kết quả thực 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” * Đối với học sinh cần vận dụng theo trình tự sơ đồ hoá sau: Học sinh cần: Nắm vững các kiến thức đã học cũng như phương pháp giải cho từng dạng toán Có tính... toán tôi chọ một số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Sau một số năm làm như vậy ở các lớp 6,7,8,9 trong tiết học, trong tiết luyện tập, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh tiến bộ... +1, n=3k +2 Chỉ có n =3k thì 5n -2n  9 Bài 3: Xác định các hằng số a,b để a) x4 + ax2 +b  x2 –x +1 b) ax3 + bx2 + 5x – 50  x2 + 3x - 10 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” HD: thực hiện phép chia a) x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0, do đó a=1, b=a b) Đặt phép...SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” để f(x)  (x+1), ta phải có: -a2+a +6 = 0  (a+2) (3-a) = 0 => a+2 = 0 hoặc (3-a) = 0 nên a = -2; a = 3 Kết luận: Vậy với a=-2; a=3 thì f(x)  (x+1) +Cách 2:... .Trang 2 I/Cơ sở lý luận .Trang 2 II/Giả thuyết Trang 2 III/ Quá trìnhthử nghiệm SGK Trang 12 IV/Hiệu quả mới Trang 12 C/Bài học kinh nghiệm Trang 12 I /Kinh nghiệm cụ thể Trang 12 II/Sử sụng SKKN Trang 12 III/Kết luận và kiến nghị Trang 13 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 17 . năng giải toan chia hết nói chung và giải toán nói riêng. C/BÀI HỌC KINH NGHIỆM I. /Kinh nghiệm cụ thể Thực tế sáng kiến đúc rút từ thực tiễn trong quá. KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GIÁO DỤC MỤC LỤC Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 16 SÁNG KIẾN KINH