Bài toán quy hoạch lồi

Bài toán quy hoạch lồi.

Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46A. Mở đầuTrong quản lý và phát triển nền kinh tế quốc dân ta luôn đụng chạm tới rất nhiều mối quan hệ qua lại chằng chịt và quy định lẫn nhau một cách phức tạp. Bên cạnh mặt chất lượng, những mối quan hệ ấy, ở những mức độ khác nhau đều được thể hiện dưới dạng số lượng và điều đó cho phép sử dụng các công cụ toán học để phân tích. Sự phát triển vũ bão của khoa học kỹ thuật, sự cải tiến thường xuyên công nghệ và kết cấu sản xuất, sự ra đời của những mặt hàng sản phẩm mới, sự phân công lao động sâu hơn và hợp tác trên những quy mô lớn ngày càng làm cho các mối quan hệ đó tăng thêm mạnh mẽ. Do đó, việc giải quyết các vấn đề nảy sinh trong công tác quản lý trở nên hết sức phức tạp và khó khăn, tốn nhiều công sữc. Trong tình hình như vậy, việc lựa chọn một giải quyết có căn cứ khoa học đòi hỏi phải thu nhập và sử lý một khối lượng thông tin đồ sộ, tới mức nếu dùng những phương pháp và công cụ quản lý cổ điển thì thời gian cần thiết trở nên quá lớn, vượt xa khả năng thực tế của con người. Vì thế, để có thể lựa chọn được những cách giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quản lý tốt nhất theo một quan điểm nào đó, những chiến lược hiệu quả nhất để đạt được các mục tiêu đã đặt ra trong một giai đoạn nhất định, cần phải có những phương pháp, công cụ mới, cho phép trong một khoảng thời gian chấp nhận được tìm ra giải pháp thích đáng và có căn cứ. Từ nhu cầu của thực tế quản lý nảy sinh và phát triển một ngành toán học mới: quy hoạch toán học, chuyên nghiên cứu những bài toán hình thành trong lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật và cơ sở lý luận của những phương pháp giải chúng.Đề án này khảo sát một bài toán quy hoạch lồi, định lý Kuhn-Tucker và ứng dụng của định lý Kuhn-Tucker trong kinh tế.Xin chân thành cảm ơn thầy Cao Xuân Hòa đã giúp tôi hoàn thành đề án này!1 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46B.Quy Hoạch Lồi1.Bài toán quy hoạch lồi tổng quát:f(x) và gi(x) : hàm lồi, xác định trên tập lồi đóng D ∈ En, khi đó bài toán quy hoạch lồi tổng quát có dạng sau đây:Tìm x = {x1, x2, …, xn} sao cho:f(x) → min (1)x ∈ D, gi (x) ≤ 0 (i = 1,m) (2)Điểm x* nghiệm đúng (2) được gọi là phương án hay điểm chấp nhận được. Nếu x* thoả mãn (1) và (2) thì nó là phương án tối ưu hoặc điểm tối ưu.Tập phương án M = { x ∈ D, gi (x) ≤ 0 (i = 1,m) } Nếu x* là cực tiểu địa phương của f(x) trên M thì nó cũng là cực tiểu tuyệt đối của f(x) trên M, do đó để giải quy hoạch lồi người ta chỉ cần xây dựng các thuật toán tìm cực tiểu địa phương là đủ.2.Hướng chấp nhận được:Với X ∈ M, ta nói z ∈ En là hướng chấp nhận được tại X nếu ∃ε>0 sao cho X+ zλ∈ M λ∀ ∈[0, ε].Cũng có thể nói z là hướng chấp nhận được tại X nếu z = ε(x - X) trong đó x là một điểm bất kỳ thuộc M, và ε> 0 bất kỳ.Gọi M x là tập các phương chấp nhận được tại X. Khi đó Mx sẽ là một nón lồi. Thật vậy, dễ thấy nếu z ∈ Mx thì ( 0)z M xλ λ∈ ∀ >. Hơn nữa với z1, z2 M x∈ thì z1 + z2 cũng thuộc M x vì nếu z1 M x∈ thì phải tồn tại 10ε> để 22X z Mε+ ∈, lúc đó chỉ cần lấy 1 2min( , )ε ε ε= ta sẽ có:1 2 21( ) ( )2 2X z z X z Mεε+ + = + ∈ tức 1 2z z M x+ ∈Tiêu chuẩn tối ưu:Định lý: Phương án X tối ưu khi và chỉ khi: δf(, ) 0x z z M x≥ ∀ ∈Hệ quả: Nếu f(x) khả vi và ∇f(x) – 0 vời X M∈ thì xlà tối ưu.Thật vậy, khi ấy δf( ) ( ), , 0x z f x z z≤ ∇ ∀ ≥ ⇒tối ưu.Điều kiện chính quy:Tập phương án M của bài toán (1) và (2) thoả mãn điều kiện chính quy (hay còn gọi là giả thiết Slater) nếu 0x M∃ ∈ sao cho:1) 0 0 0(x D D∈là miền trong của D)2) gi(x0) < 0 với các gi phi tuyến thực sựMột dạng khác của giả thiết chính quy là 0x M∃ ∈ sao cho:2 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 461’) x0∈D2’)gi(x0) < 0 (1,i m∀ =)Hàm Lagrange và điều kiện tối ưu:Định nghĩa 1:Hàm f(x, t) = f(x) + 1( )mi iit g x=∑(3)Xét trên miền x∈ D, t ≥ 0 được gọi là hàm Largrange của quy hoạch lồi (1) (2)Định nghĩa 2:Cặp điểm (,x t) được gọi là điểm yên ngựa của hàm Largrange (3) trên miền x ∈ D và t ≥ 0 nếu x D∈, 0t ≥ và ta luôn luôn có:F(,x t) ≤ F(,x t) ≤ F(,x t) (4), 0x D t∀ ∈ ∀ ≥Định lý 1:Nếu (,x t) là điểm yên ngựa của hàm F(x,t) trên miền x∈D, t≥0 thì:x = arg min f(x)x∈MĐịnh lý 2 - Định lý Kuhn –Tucker:Định lý 2a (Định lý Kuhn – Tucker):Giả sử bài toán (1) (2) thoả mãn giả thiết Slater, khi ấy điều kiện cần và đủ để một điểm x là phương án tối ưu của nó là: 0,mt t E∃ ≥ ∈ sao cho (,x t) là điểm yên ngựa của hàm Largrange F(x,t) trên miền x ∈ D, t ≥ 0.Các chú ý:Chú ý 1:Từ (4) ta có:Max ( , ) ( , ) min ( , )F x t F x t F x t≤ ≤0,t x D≥ ∈min [ max F(x,t) ] ≤ max [ min F(x,t) ] x D∈ 0t ≥ x D∈ t≥0Đồng thời bất đăng thức ngược lại luôn luôn đúng với mọi hàm F(x,t) vì (x D∀ ∈) và 0t∀ ≥ ta luôn có:max F(x,t) ≥ F(x,t) ≥ min F(x,t) t0≥ xD∈và từ đó: min [ max F(x,t) ] ≤ max [ min F(x,t) ] xD∈ t0≥ x∈D t0≥Như vậy từ (4) ta có hệ thức tương đương sau:min[max F(x,t) ] = F(,x t) = max[ min F(x,t) ] (4’)Chú ý 2:3 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46Vế phải của (4’) có nghĩa là với t = t thì ( , ) min{F(x, ) / }F x t t x D= ∈Vế trái của (4’) có ngihĩa là với x x= thì ( , ) ax{F( , ) / 0}F x t m x t t= ≥Hay 1 1, ( ) ax ( ) / 0m mii i ii it g x m t g x t= = = ≥  ∑ ∑từ đó định lý Kuhn – Tucker được phát biểu lại như sau:Định lý 2.b:Mỗi điểm x D∈ là phương án tối ưu của quy hoạch lồi (1) (2) khi và chỉ khi ∃mt E∈. 0t ≥ sao cho:a) 1arg min ( ) ( ) /mi iix f x t g x x D= = + ∈  ∑b) 1arg min ( ) / 0mi iit t g x t= = ≥  ∑Chú ý 3: Ta thấy điều kiện b) trong định lý 3.2.b tương đương với: 1( ) 0, ( ) 0( 1, )mi i iit g x g x i m== ≤ =∑Vì từ điều kiện này hiển nhiên có b), và ngược lại nếu có b) thì lập luận như trong chứng minh định lý 2.2 ta có: ( ) 0( 1, )ig x i m≤ ∀ =, từ đó 0t∀ ≥ ta có 1( ) 0mi iit g x=≤∑ và tổng này sẽ đạt cực đại bằng 0 khi 0t = tức là có1( ) 0mi iit g x==∑vì vậy định lý Kuhn – Tuker có thể được phát biểu lại như sau:Định lý 2.cPhương án x của quy hoạch lồi (1) (2) là tối ưu khi và chỉ khi mt E∃ ∈, 0t ≥ sao cho: a) 1arg min ( ) ( ) /mi iix f x t g x x D= = + ∈  ∑b) 1( ) 0mi iit g x==∑ Chú ý 4:Xét trường hợp nD E≡ và các hàm ( )f x, ( )g x (1,i m=) điều khải vi, khi ấy a) tương đương với 1( )( )0miij jg xf xtx x=∂∂+ =∂ ∂∑ (1,i m=) . Vì vậy ta có:Định lý 2.d:4 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46Phương án x của quy hoạch lồi (1) (2) là tối ưu khi và chỉ khi mt E∃ ∈, 0t ≥ sao cho:a) 1( ) ( ) 0mi iif x t g x=∇ + ∇ =∑b) 1( ) 0mi iit g x==∑Chú ý 5:Xét quy hoạch lồi: ( ) minf x → ( ) 0ig x = (1,i L=) ( ) 0ig x ≤ (1,i L m= +) Lúc đó: ( ) 0ig x ≤( 0)ig x = ⇔ ( ) 0ig x− ≤Điều này xảy ra khi và chỉ khi ( )ig xđang xét là afin. Khi áp dụng định lý3.2 Hàm Lagrange cho bài toán này có dạng:' ''1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )L mi i i i ii i LF x t f x t t g x t g x= = += + − +∑ ∑Trong đó:'0it ≥, ''0it ≥ (1,i L=) 0it ≥ (1,i L m= +) Nếu đặt ' "i i it t t= − (1,i L=) thì hàm Lagrange có dạng như cũ nhưng các it này có dấu tuỳ ý.3.Cách thiết lập điều kiện Kuhn – Tuker đối với một số bài toán kinh tế.3.1. Phân tích hành vi của người tiêu dùng:Vấn đề kinh tế: giả thết:Người tiêu dùng có hàm lợi ích khả vi hai lần 1 2( , )u x x, trong đó 1x và 2x là lượng hàng hoá 1 và 2 được người tiêu dùng, tiêu dùng tương ứng.Người tiêu dùng có thu nhập được dùng để chi tiêu cho hai hàng hoá đó là y.Giá của hàng hoá i là ip.Ta cũng giả thiết là người tiêu dùng hoặc mua hoặc không mua hàng hoá… do đó 0x ≥. Giả thiết người tiêu dùng cực đại lợi ích tiêu dùng.5 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46Bài toán max ( )xu x 1 1 2 2p x p x y+ ≤ 10x ≥, 20x ≥3.1.1. Bước 1: Lập hàm Lagrange.Hàm Lagrange của bài toán có dạng sau: ( ) ( )L u x y pxλ= + −3.1.2. Bước 2: Tìm các đạo hàm riêng cấp một của hàm Lagrange theo các biến và các nhân tử Lagrange. Đạo hàm của hàm Lagrange theo biến ix ta được. ( )0iiu xpxλ∂− ≤∂, 1,2, .,i n=.Đạo hàm của hàm Lagrange theo nhân tử Lagrange ta được Lλ∂∂* 0y px= − ≥và điều kiện bù [ ]* 0Ly pxλ λλ∂= − =∂ 0λ≥; * 0ix ≥ 1,2, ., .i n= 3.1.3. Bước 3: Phân tích và rút ra kết luận từ kết quả thu được.Như vậy nếu * 0 : * 0j kx x> > ( )0iiu xpx∂− =∂ ,i j k= nghĩa là người tiêu dùng mua cả hai hàng hoá j và k thì chúng ta phải có: ( )( )j jk ku x pu x p=Điều kiện này chỉ ra rằng nếu người tiêu dùng, tiêu dùng cả hai hàng hoá j và k thì nhất định tỉ lệ lợi ích biên giữa hàng hoá phải bằng tỉ giá của hai hàng hoá đó.3.2. Phân tích hành vi của người tiêu dùng. Với giả thiết không bão hoà địa phương ta có thể phát biểu lại bài toán cực đại lợi ích dưới dạng sau: 1 1 2 2max ( )u xp x p x y+ =Giả sử hàm lợi ích có dạng CES 11 2 1 2( , ) ( )f x x x xρ ρ ρ= +và giả sử 0 1ρ≠ <. Giải bài toán cực đại lợi ích của người tiêu dùng, ta có:6 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46 1111 21221 2( , )( , )rr rrr rp yx p xp pp yx p xp p−−=+=+ (1 )rρ ρ= −Giải thích nhân tủ LagrangeXét bài toán cực đại lợi ích tiêu dùng 1 1 2 2max ( )u xp x p x y+ =Hàm Lagrange của bài toán là [ ]1 1 2 2( )L u x y p x p xλ= + − +Điều kiện cấp một là 1 12 21 1 2 200u pu py p x p xλλ− =− == +Chúng ta hãy xem xét ý nghĩa của nhân tử Lagrange λ. Từ điều kiện cấp một ta có 1 21 2u up pλ= =Dễ dàng suy ra rằng: 1 1 2 2 1 1 2 2u x u x ( )p x p x yλ λ+ = + =Vì thế: 1 2 1 1 2 21 2u x u xu up p yλ+= = = 1 1u x : Lợi ích thu được từ việc tiêu dùng 1x đơn vị hàng hoá. 2 2u x: Lợi ích thu được từ việc tiêu dùng 2x đơn vị hàng hoá. 1 1 2 2u x u x+- tổng lợi ích thu được từ việc tiêu dùng 1 2x x+ đơn vị hàng hoá.Mối liên hệ này cung cấp cho ta một cách thức quan trọng để giải thích ý nghĩa của nhân tử λ. Ở một điểm tiêu dùng bất kỳ một lượng nhất định của lợi ích tăng thêm 1u có thể thu được bằng việc tiêu dùng thêm một lượng 1x. Tuy nhiên chi phí biên của việc làm tăng thêm lượng 1x là 1p. Vì thế lợi ích biên tính trên chi tiêu thêm một đơn vịi tiền tệ đối với 1x là 1 1u p.3.3. Phân tích hành vi của người sản xuất.Bài toán cực tiêu chi phíHoặc có thể viết lại bài toán này dưới dạng: (w, ) min wxC y x=Với các rạng buộc ( )y f x≤7 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46 0x ≥Trong đó ( )f x là hàm sản xuất.3.3.1. Bước 1: Lập hàm Lagrange. Hàm Lagrange w ( ( ) )L x f x yλ= + −3.3.2. Bước 2: Tìm các đạo hàm riêng cấp một của hàm Lagrange theo các biến các nhân tử Lagrange.Điều kiện cấp một (điều kiện Kuhn - Tuker) cho nghiệm của bài toán. ( *)w 0( *)*( w 0( *) * 0( ( *) *) 0iiiif xxf xxxf x yf x yλλλ∂− + ≥∂∂− + =∂− ≥− =3.3.3. Bước 3: Phân tích và rút ra kết luận từ kết quả thu được.Như vậy nếu * 0jx >; * 0kx > ( )w 0iiu xx∂− =∂ ,i j k=, nghĩa là hãng mua cả hai yếu tố đầu vào j và k thì khi đó điều kiện sau phải thoả mãn: ( *) ( *)( ) (w w )j kj kf x f xx x∂ ∂=∂ ∂Điều kiện này chi ra rằng nếu hãng sử dụng cả hai hàng hoá j và k thì nhất định tỷ lệ sản phẩm biên giữa hai đầu vào phải bằng tỷ giá của hai đầu vào đó.3.3. Trường hợp đặc biệt.Ta hãy xét trường hợp cộng nghệ được biểu hiện dưới dạng hàm sản xuất khả vi ( )f x. Bài toán trên có dạng:Bài toán cực đại lợi nhuận ( ) max wp px xπ= − ( )f x y≥ 0x≥Trong đó ( )f x - hàm sản xuất thoả mãn các giả thiết sao cho bài toán giải được.Điều kiện Kuhn – Tuker (điều kiện cần cho tối ưu)Hàm Lagrange w ( ( ) )L py x f x yλ= − + −Điều kiện Kuhn – Tuker Đối với lời giải (y*,x*) y: 0pλ− ≤ *( ) 0y pλ− =8 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46 x: ( *)w 0iif xxλ∂− + ≤∂ ( *)*( w ) 0iif xxxλ∂− + =∂ λ: ( *) * 0( ( *) *) 0f x yf x yλ− ≥− =Phân tích ý nghĩa của các điều kiện cần của cực đại lợi nhuận:Từ các điều kiện trên ta thấy rẳng nếu hãng hoạt động nghĩa là có sản xuất thật sự y* > 0, điều này kéo theo p đúng bằng giá bóng. Và nếu giá dương (p>0) thì f(x*) – y* = 0, nghĩa là điều kiện sản xuất đúng bằng khả năng hãng có thể.Điều kiện thứ nhất và thứ ba cho biết: ,( *) ( *)wii if x f xpx x∂ ∂≤ =∂ ∂ sản phẩm biên.Nếu hãng sản xuất y* > 0 thì x* ≥ 0. Nếu hãng sử dụng x*j > 0 thì ( *)wiif xpx∂=∂ Nghĩa là giá trị của sản phẩm hiện vật biên đúng bằng tiến công trả cho lao động để sản xuất ra sản phẩm biên ấy. Và ( *) ( *)( ) (w w )j kj kf x f xx x∂ ∂=∂ ∂, nghĩa là tỷ lệ của các sản phẩm biên đúng bằng tỷ lệ giữa các giá nhân tố. 9 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46C.Ứng Dụng Mô hình kinh tế hộ nông dân với hoạt động phi nông nghiệpMô hình hộ nông dân đưa ra khung phân tích tương đối tổng hợp cho việc phân tích quyết định của hộ nông dân về phân bổ thời gian, tiêu dùng và sản xuất. Phiên bản đầu tiên của mô hình này do Chyanov- một nhà kinh tế học người Nga từ đầu thế kỷ 20 xây dựng. Một phiên bản sau này được tìm thấy trong Singh, Squire and Strauss (1986). Phiên bản này có sự cải tiến nhất định so với mô hình ban đầu và được xây dựng trong khung khổ của mô hình liên kết hai khu vực. Tuy nhiên, mô hình của của Singh được phát triển cho việc xem xét mối quan hệ giữa làm thuê và tự làm dựa trên mức lương ở thị trường lao động. Trong bối cảnh nông thôn của các nước đang phát triển-khi thị trường lao động còn sơ khai thì mô hình của Singh không hoàn tòan phù hợp. Một phiên bản khác của mô hình kinh tế hộ đưa ra khung phân tích sâu hơn về quan hệ nông nghiệp và phi nông nghiệp là của Lopez (1986). Mô hình có thể tóm lược như sau:Hộ nông dân tối đa hoá độ thỏa dụng dựa trên hàm sau:Max U(Th, Ch; Zh ) (1)Giới hạn bởi:Tổng thời gian: T=Tf + Th + Tn (2)Tiêu dùng: C=g(Tf , p, Zf) + wnTn + V (3)Không âm: Tn ≥ 0 (4)Trong đó: Th= Thời gian ở nhà (nghỉ ngơi, việc nhà….)Ch= Tiêu dùngZh= Các đặc điểm cá nhânT = Tổng thời gianTf= Thời gian làm việc nông nghiệpTn= Thời gian làm việc phi nông nghiệpP = Giá của đầu vào và đầu ra, không bao gồm lao độngZf= Đầu vào cố định cho sản xuất nông nghiệpWn= Tiền công cho hoạt động phi nông nghiệpHn= Chất lượng của người lao động10Tf , Th , Tn, C [...]... Toán Kinh Tế 46 Trong hình trên trên, độ thoả dụng tối đa nếu đạt được tại A, nơi đường cong của hàm thu nhập nông nghiệp (g) có cùng độ dốc với đường cong bàng quan I* Giá bóng của thời gian nghỉ ngơi là độ dốc chung của 2 đường cong tại A Khi giá bóng được quy t định, các quy t định kinh tế của hộ có thể được miêu tả như là nghiệm của (1) bài toán tối đa hoá lợi nhuận và tiếp theo đó là (2) bài toán. .. khảo 1 .Bài giảng tối ưu hóa trong kinh tế PTS.TS Nguyễn Khắc Minh 2.Giải tích lồi và tối ưu hóa GS.TS Trần Văn Túc 3.Báo cáo nghiên cứu các yếu tố tác động đến quá trình chuyển dịch cơ cấu lao động nông thôn Việt Nam Viện Nghiên cứu quản lý kinh tế trung ương 2005 16 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46 Mục Lục A.Mở đầu B .Quy hoạch lồi C Ứng dụng 17 ... quy t định tham gia cùng một hướng như khi chúng tác động lên tiền công Đây là cơ sở cho việc kiểm định các giả thuyết khi ước lượng hàm tham gia phi nông nghiệp Mặt khác, sự tác động của các biến Hf, p, Zf, Zh, T và V đến quy t định tham gia luôn luôn ngược với sự tác động của các biến này lên w0 Điều này thực sự rõ khi w0 được quy t định từ việc giải hệ phương trình (22-24) Tài liệu tham khảo 1 .Bài. .. thời gian được quy t định một cách nội sinh (w 0), là giá kinh tế của lao động nông nghiệp trong phương trình tối đa hoá lợi nhuận và giá kinh tế của thời gian nghỉ ngơi ở nhà và một trong các nhân tố quy t định đến tổng thu nhập trong vấn đề tối đa hoá độ thoả dụng, nó đóng vai trò như wn trong Giá bóng và quy t định tham gia vào hoạt động phi nông nghiệp Điều kiện (9) và (10) giúp đưa ra quy t định... phải là biến ngoại sinh Không có phương trình nào trong hệ phương trình này (19-21) có thể quy t định một biến nội sinh một cách độc lập, do đó, w0 là hàm của tất cả các biến ngoại sinh trong hệ phương trình này w0 = w0 (T,V,Zh,P,Zf) (22) Thời gian lao động nông nghiệp và các quy t định sản xuất 13 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46 Thời gian lao động nông nghiệp tối ưu Tf có thể được đạo hàm từ hàm sản xuất... động nông nghiệp thì sự tăng lên của độ thoả dụng vẫn có thể đạt được Với sự điều chỉnh này, độ thoả dụng có thể được tăng lên ở mức như đường bàng quan I2 Hình 3 Nhân tố quy t định của hoạt động phi nông nghiệp 15 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46 Thảo luận trên có thể được tóm tắt bằng hệ phương trình dưới đây: (28) Tn >0 nếu i*(Hn,,Zn,Hf, Zh,T,V) ≡ wn(Hn, Zn)-w0(Zf,Hf,p,Zh,T,V) >0 Tn =0 nếu i*(Hn,,Zn,Hf,... dùng Do đó, cầu tiêu dùng C có thể được viết như các hàm cầu Marshalian: C=C(1,wn, wnT+ π*(wn, p, Zf) + V) = C (1,wn, k) (18) Như vậy, các quy t định về sản xuất và tiêu dùng của hộ có thể được xác định dựa trên 2 giai đoạn Thứ nhất, thời gian lao động nông nghiệp được quy t định từ tối đa hoá lợi nhuận từ nông nghiệp Thứ hai, tổng thu nhập được phân bổ cho tiêu dùng và thời gian ở nhà bởi vậy tỷ lệ thay... (23) (xem lại 23 hay 26) ta có lợi ích nông nghiệp tối đa hoá từ phương trình π*= g (Tf*)-w0 Tf* Sử dụng bổ đề Hotelling để đạt được Tf=-πw* (w0, p, Zf) (24) Quy t định tiêu dùng Thay thế lợi ích tối ưu vào (24) ta có thể phân tích các nhân tố quy t định đến tiêu dùng và thời gian ở nhà C+w0Th = w0T+[g(Tf)-w0Tf ] + V = w0T+π* (w0)+ V (25) Xem đến (28) và (23) ta có điều kiện cho tối đa hoá tiêu dùng... = 0, do λ ≠ 0 ta có g1 = wn (11) Chia (6) cho (7) và thay τ với λg1 (có được từ (8)) và sau đó g1 với wn1 (có được từ (11)) ta có 1 U1 = wn U2 (12) Chúng ta giả sử là Th, C, Tf , >0 11 Trịnh Anh Dũng Toán Kinh Tế 46 Lấy Tn từ (2) và thay vào (3) ta có C+wnTh = wnT+[g(Tf)-wnTf ] + V (13) Ý nghĩa của phương trình (13) là ta có tổng tiêu dùng ở bên trái bằng với tổng thu nhập Trong trường hợp này, tổng... nhập không do lao động và được xác định là ngoại sinh Phương trình (11) g1 = wn thường là điều kiện tối ưu của vấn đề tối đa hoá lợi nhuận sản xuất nông nghiệp Max π = g(Tf ;p, Zn ) - wnTf (14) Việc giải quy t phương trình (14) ta tìm Tf* , thay trở lại vào (14) ta có hàm mục tiêu gián tiếp: π*(wm, p, Zf) = g (Tf*; p, Zf )-wn Tf* (15) Sử dụng bổ đề của Hotelling, ta có đạo hàm của hàm đầu vào Tf* = -π* . Dũng Toán Kinh Tế 46B .Quy Hoạch Lồi1 .Bài toán quy hoạch lồi tổng quát:f(x) và gi(x) : hàm lồi, xác định trên tập lồi đóng D ∈ En, khi đó bài toán quy hoạch. tế quản lý nảy sinh và phát triển một ngành toán học mới: quy hoạch toán học, chuyên nghiên cứu những bài toán hình thành trong lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật