Phương trình vi phân - Chương 7 potx

1 Phương trình vi phân Bài 8B PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO Chương 7 HỆ PHI TUYẾN VÀ CÁC HIỆN TƯỢNG § 7.1. Nghiệm cân bằng và tính ổn định • Sự ổn định của nghiệm kì dị 1. Đặt vấn đề • Đối với một phương trình vi phân bất kì không phải luôn tìm được nghiệm tường minh • Ngay cả khi không tìm được nghiệm tường minh thì vẫn cần nhận được những thông tin có giá trị về nghiệm; chẳng hạn như tính không bị chặn, bị chặn, tuần hoàn của nghiệm, minh hoạ qua một số ví dụ dưới đây Ví dụ 1. Gọi x(t) là nhiệt độ của một vật thể với nhiệt độ ban đầu x(0) = x 0 . Ở thời điểm t = 0 vật thể được nhúng trong một dung dịch có nhiệt độ không đổi bằng A. Theo định lý làm nguội của Newton thì ( ) dx k x A dt = − − (k > 0, k = const) • Sử dụng phương pháp tách biến, nhận được nghiệm x(t) = A + (x 0 - A)e -kt rõ ràng rằng lim ( ) t x t A →∞ = Hình 7.1.1. Các đường cong nghiệm điển hình của phương trình làm nguội của Newton ( ) dx k x A dt = − − 2 Ví dụ 2. Xét phương trình về tăng trưởng dân số ( ) dx f x dt = ở đó ( ) f x là tỷ lệ sinh và tỷ lệ tử vong của các cá thể trong một đơn vị thời gian. • Đây là phương trình Otonom cấp 1. • Nếu ( ) = 0 f c thì có x(t) = c là nghiệm. Nghiệm hằng số của một phương trình vi phân còn được gọi là nghiệm cân bằng. • Như vậy đặc trưng nghiệm của phương trình otonom cấp 1 có thể được mô tả qua các điểm kỳ dị của phương trình. Ví dụ 3. Xét phương trình Logistic ( ) dx kx M x dt = − , ở đó k > 0, M > 0. • Có 2 điểm kỳ dị, đó là các nghiệm x = 0 và x = M • Có nghiệm (từ mục 1.7) là 0 0 0 ( ) ( ) kMt Mx x t x M x e − = + − • Từ đó có ( ) = 0 x t và ( ) = x t M là nghiệm cân bằng Hình 7.1.3. Các đường cong nghiệm điển hình của phương trình ( ) dx kx M x dt = − 2. Sự ổn định của các điểm kỳ dị • Điểm kỳ dị x = c của 1 phương trình vi phân cấp 1, otonom, được gọi là ổn định nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: |x 0 -c| < δ thì có |x(t) - c| < ε, ∀t > 0. • Điểm kỳ dị x = c được gọi là không ổn định, nếu nó không là điểm ổn định. 3 Ví dụ 4. Hình 7.1.4. Các đường cong nghiệm, phễu và vòi của phương trình 2 4 dx x x dt = − • Hình 7.1.4 cho cách nhìn "rộng hơn" về đường cong nghiệm của một phương trình logistic với k = 1 và M = 4. Chú ý rằng dải 3,5 < x < 4,5 (bao lấy đường x = 4) giống như cái phễu của các đường cong nghiệm: khi di chuyển từ trái sang phải thì các đường cong nghiệm chui vào phễu và ở lại trong đó. Ngược lại, dải -0,5 < x < 0,5 (bao lấy đường cong nghiệm không ổn định x = 0) giống như 1 cái vòi: các đường cong nghiệm đi vào dải rồi sau đó đi ra khỏi dải. Vậy điểm kỳ dị x = M = 4 là điểm ổn định, còn điểm kỳ dị x = 0 là điểm không ổn định. Ví dụ 5. Xét phương trình nổ/tắt ( ) dx kx x M dt = − , ( ) = 0 0 x x . • Có 2 điểm kỳ dị là x = 0 và x = M tương ứng với các nghiệm cân bằng x(t) = 0 và x(t) = M. • Nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu là 0 0 0 ( ) ( ) kMt Mx x t x M x e = + − Hình 7.1.6. Các đường cong nghiệm điển hình của phương trình ( ) dx kx x M dt = − • Một dải hẹp quanh nghiệm ổn định x = 0 được xem như một cái phễu, trong khi một dải dọc theo đường cong nghiệm x = M được xem như một cái vòi của các đường cong nghiệm. Tính chất các nghiệm của phương trình (9) được tóm 4 tắt bởi sơ đồ pha ở Hình 7.1.7. Điểm kỳ dị x = 0 là điểm ổn định, còn điểm kỳ dị x = M là điểm không ổn định. Hình 7.1.7. Biểu đồ pha điển hình của phương trình ( ) ( ) dx f x kx x M dt = = − a) Bùng nổ dân số Phương trình vi phân otonom 2 dx ax bx h dt = − − với a > 0, b > 0, h > 0 được coi là phương trình mô tả việc bùng nổ dân số. Ví dụ 6. Xét phương trình vi phân ( ) dx kx M x h dt = − − (2.1) • Phương trình này thể hiện số dân tới hạn M khi h = 0 mà không có bùng nổ dân số. • Các điểm kỳ dị ± − = 2 ( ) 4 , 2 kM kM hk H N k • Giả sử tỷ lệ bùng nổ h đủ nhỏ sao cho 4h < kM 2 , khi đó các căn của H, N đều thực và khi 0 < H < N < M, ta viết lại phương trình dưới dạng: ( )( ) dx k N x x H dt = − − • Có nghiệm ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k N H t k N H t N x H H x N e x t x H x N e − − − − − − − = − − − Hình 7.1.8. Các đường cong nghiệm điển hình của phương trình ( )( ) dx k N x x H dt = − − • Vậy đường cong nghiệm được mô tả như ở Hình 7.1.8 (dễ thấy một phễu của nghiệm dọc theo đường x = N và một vòi của nghiệm dọc theo đường x = H). 5 Nghiệm hằng x(t) = N là nghiệm tới hạn cân bằng, còn nghiệm hằng x(t) = H là nghiệm ngưỡng cân bằng nghiệm này chia các nghiệm thành 2 nhánh: nếu x 0 > H thì dân số đạt đến giá trị N, nếu x 0 < H thì dân số giảm dần. • Điểm kỳ dị ổn định x = N và điểm kỳ dị không ổn định x = H, được mô tả ở sơ đồ pha trong Hình 7.1.9 Hình 7.1.9. Sơ đồ pha của phương trình ( ) ( )( ) dx f x k N x x H dt = = − − Ví dụ 7. Chúng ta xét một ứng dụng cụ thể về các kết luận ổn định ở ví dụ 6, với giả thiết rằng k = 1 và M = 4 với lượng cá trong hồ là x(t) gồm hàng trăm lần kiểm tra sau t năm. Dù cá không bị câu thì cuối cùng trong hồ vẫn còn khoảng 400 con, cho dù số cá ban dầu với số lượng như thế nào. Bây giờ, giả sử h = 3 để cho hàng năm thu hoạch được 300 con (ở mức hằng số qua các năm), khi đó phương trình (2.1) trở thành (4 ) 3 dx x x dt = − − , và phương trình bậc 2: -x 2 + 4x - 3 = 0 = (3 - x).(x - 1) = 0 có các nghiệm là H = 1, N = 3. Do vậy lượng cá ngưỡng cân bằng là 100 con và ngưỡng tới hạn cân bằng là 300 con. Tóm lại, nếu trong hồ ban đầu có hơn 100 con, thì số cá sẽ đạt giá trị tới hạn 300 con khi thời gian t tăng lên. Nhưng nếu lượng cá ban đầu trong hồ ít hơn 100 con, thì hồ sẽ bị "câu hết" và số lượng cá sẽ hết sau một khoảng thời gian hữu hạn. b) Sự rẽ nhánh và tính độc lập các tham số • Một hệ sinh học hoặc một hệ vật lý, được đặc trưng bởi một phương trình vi phân, sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị của các hệ số hay các tham số có mặt trong phương trình. Chẳng hạn, số lượng các điểm kỳ dị của một phương trình vi phân có thể bị thay đổi đột ngột khi thay đổi giá trị của một tham số. Ví dụ 8. Phương trình vi phân (4 ) dx x x h dt = − − (x có giá trị hàng trăm) đặc trưng cho sự bùng nổ dân số (2.1) khi k = 1 và cho số dân tới hạn khi M = 4. Trong Ví dụ 7, chúng ta đã xét trường hợp h = 3 và thấy rằng ngưỡng tới hạn cân bằng là N = 300 và số dân ngưỡng cân bằng là H = 100. Các đường cong nghiệm điển hình, bao gồm cả các nghiệm cân bằng x(t) = 3 và x(t) = 1, được mô tả ở Hình 7.1.8. • Khi k = 1 và M = 4, dân số tới hạn N và số dân đạt ngưỡng H là 1 , (4 16 4 ) 2 4 2 H N h h = ± − = ± − (2.2) 6 Hình 7.1.8. Các đườ ng cong nghi ệ m đ i ể n hình c ủ a ph ươ ng trình ( )( ) dx k N x x H dt = − − • N ế u h < 4: khi đ ó chúng ta có các nghi ệ m cân b ằ ng x(t) ≡ N và x(t) ≡ H, v ớ i N > H, nh ư ở Hình 7.1.8. • N ế u h = 4: Khi đ ó ph ươ ng trình (2.2) cho k ế t qu ả H = N = 2, nên ph ươ ng trình vi phân ch ỉ có nghi ệ m cân b ằ ng x(t) ≡ 2. Trong tr ườ ng h ợ p này các đườ ng cong nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đượ c mô t ả nh ư ở hình 7.1.10. Hình 7.1.10. Các đườ ng cong nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (4 ) dx x x h dt = − − v ớ i h = 4 N ế u s ố cá ban d ầ u x 0 ( đơ n v ị là 100) v ượ t quá 2, thì l ượ ng cá đạ t đế n s ố l ượ ng t ớ i h ạ n 200 con. Tuy nhiên, v ớ i m ọ i l ượ ng cá ban đầ u x 0 < 200 s ẽ d ẫ n đế n tình tr ạ ng suy gi ả m do cá ch ế t – m ộ t h ậ u qu ả c ủ a s ự b ộ i t ă ng 400 con/n ă m. • N ế u h > 4: khi đ ó H, N không là s ố th ự c, nên bài toán không có nghi ệ m ổ n đị nh. Lúc này, các đườ ng cong nghi ệ m gi ố ng nh ư các đườ ng cong ở Hình 7.1.11 và cá ch ế t d ầ n (dù v ớ i b ấ t k ỳ s ố l ượ ng nào ban đầ u), do h ậ u qu ả c ủ a b ộ i t ă ng 400 con/n ă m. Hình 7.1.11. Các đườ ng cong nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (4 ) dx x x h dt = − − v ớ i h = 5 7 • N ế u chúng ta t ă ng d ầ n giá tr ị c ủ a tham s ố h thì hình dáng các đườ ng cong nghi ệ m thay đổ i t ừ Hình 7.1.8. v ớ i h < 4 đế n Hình 7.1.10 v ớ i h = 4 và hình 7.1.11 v ớ i h > 4. V ậ y ph ươ ng trình vi phân đ ã cho: - Có 2 đ i ể m k ỳ d ị khi h < 4 - Có 1 đ i ể m k ỳ d ị khi h = 4 - Không có đ i ể m k ỳ d ị nào khi h > 4 • Giá tr ị h = 4 mà ứ ng v ớ i nó, b ả n ch ấ t nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình vi phân s ẽ thay đổ i khi h t ă ng, đượ c g ọ i là đ i ể m r ẽ nhánh c ủ a ph ươ ng trình vi phân có ch ứ a tham s ố h. M ộ t ph ươ ng pháp chung để th ấ y đượ c s ự "r ẽ nhánh" c ủ a các nghi ệ m, là v ẽ s ơ đồ r ẽ nhánh g ồ m các đ i ể m (h, c), trong đ ó c là đ i ể m k ỳ d ị c ủ a ph ươ ng trình x' =x(4 - x) +h. Ch ẳ ng h ạ n, n ế u chúng ta vi ế t (2.2) d ướ i d ạ ng 2 4 c h = ± − ; 2 ( 2) 4 c h − = − , trong đó C = N hoặc C = H, chúng ta sẽ có đường parabol như ở Hình 7.1.12. Parabol này là sơ đồ rẽ nhánh của phương trình vi phân mô tả sự tăng trưởng dân số. Hình 7.1.12. Parabol (c - 2) 2 = 4 - h là sơ đồ rẽ nhánh của phương trình x' = x(4 - x) - h 8 § 7.2. Tính ổn định và mặt phẳng pha • Ảnh pha • Tính chất của điểm tới hạn 1. Đặt vấn đề a) Nhiều hiện tượng tự nhiên được đặc trưng bởi hệ gồm hai phương trình vi phân cấp một hai chiều dưới dạng sau (hệ otonom) ( , ) ( , ) dx F x y dt dy G x y dt = = (1.1) ở đ ó F và G kh ả vi liên t ụ c trong mi ề n R c ủ a m ặ t ph ẳ ng oxy ( đượ c g ọ i là m ặ t ph ẳ ng pha c ủ a h ệ (1.1)). • V ớ i ∀ (x 0 , y 0 ) ∈ R, h ệ trên luôn luôn t ồ n t ạ i nghi ệ m duy nh ấ t tho ả mãn các đ i ề u ki ệ n đầ u x(t 0 ) = x 0 ; y(t 0 ) = y 0 • Các ph ươ ng trình x = x(t), y = y(t) mô t ả đườ ng cong nghi ệ m d ướ i d ạ ng tham s ố trong m ặ t ph ẳ ng pha • Qu ỹ đạ o c ủ a h ệ (1.1) là m ọ i đườ ng cong nghi ệ m nh ư trên đ i qua m ộ t đ i ể m c ủ a mi ề n R • Đ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a h ệ (1.1) là đ i ể m (x ∗ , y ∗ ) sao cho F (x ∗ , y ∗ ) = G(x ∗ , y ∗ ) = 0, khi đ ó các hàm h ằ ng x(t) = x ∗ , y(t) = y ∗ là nghi ệ m cân b ằ ng c ủ a h ệ (có qu ỹ đạ o ch ỉ g ồ m m ộ t đ i ể m). b) Trong nh ữ ng bài toán th ự c t ế , nh ữ ng đ i ể m đơ n gi ả n này cùng v ớ i các qu ỹ đạ o là các đố i t ượ ng đượ c quan tâm nhi ề u nh ấ t. • Ch ẳ ng h ạ n, gi ả s ử h ệ ' ( , ) ' ( , ) x F x y y G x y =   =  đặ c tr ư ng cho 2 đ àn súc v ậ t v ớ i s ố l ượ ng x(t), y(t) s ố ng trong cùng m ộ t môi tr ườ ng và c ạ nh tranh nhau v ề cùng lo ạ i th ứ c ă n ho ặ c m ồ i. Đ i ể m (x ∗ , y ∗ ) c ủ a h ệ cho th ấ y s ố l ượ ng x ∗ lo ạ i này và s ố l ượ ng y ∗ c ủ a loài kia cùng t ồ n t ạ i song song. Còn n ế u (x 1 , y 1 ) không ph ả i là đ i ể m t ớ i h ạ n thì không th ể có các s ố l ượ ng h ằ ng s ố x 1 , y 1 c ủ a t ừ ng loài cùng chung s ố ng mà ph ả i x ả y ra s ố l ượ ng c ủ a m ộ t ho ặ c c ả hai s ẽ ph ả i thay đổ i theo th ờ i gian. c) Ví dụ 1. Tìm các đ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a h ệ  = − −     = − −   2 2 14 2 16 2 dx x x xy dt dy y y xy dt • Xét h ệ ph ươ ng trình sau 9 2 2 14 2 0 16 2 0 x x xy y y xy  − − =   − − =   ( ) ( )  − − =  ⇔  − − =   14 2 0 16 2 0 x x y y y x = − − =   = − − =   − − = − − =  = =  0, 16 2 0 0, 14 2 0 14 2 0, 16 2 0 0 x y x y x y x y y x x y = =   = =  ⇔  = =  = =  0, 8 7, 0 4, 6 0, 0 x y x y x y x y • Hệ có 4 điểm tới hạn (0, 0); (0, 8); (7, 0); (4, 6). • Nếu gọi x(t) là số lượng thỏ, y(t) là số lượng sóc và các số lượng ấy là những hằng số thì chỉ có 3 khả năng: +) không có thỏ, chỉ có 8 sóc. +) có 7 thỏ và không có sóc +) có 4 thỏ và 6 sóc. • Như vậy điểm tới hạn (4, 6) cho biết khả năng duy nhất mà thỏ và sóc cùng tồn tại với số lượng khác 0. 2. Ảnh pha • Ảnh pha là một bức tranh trên mặt phẳng pha về các điểm tới hạn và các quỹ đạo không suy biến. • Mỗi quỹ đạo (không gồm quỹ đạo chỉ có một điểm) là một đường cong không suy biến, không tự cắt. Hình 7.2.1. Trường véc tơ và ảnh pha của hệ 2 2 ' 14 2 ' 16 2 x x x xy y y y xy  = − −   = − −   Hình 7.2.1. thể hiện trường véc tơ và ảnh pha của hệ thỏ - sóc ở Ví dụ 1. Các mũi tên của trường véc tơ thể hiện hướng chuyển động của điểm (x(t), y(t)). Chúng ta thấy rằng khi cho số lượng thỏ x 0 ≠ 4 và số lượng sóc y 0 ≠ 6 thì điểm (x(t), y(t)) chuyển động dọc theo một quỹ đạo mà quỹ đạo đó tiến tới điểm (4, 6) khi t tăng lên. 10 Ví dụ 2. Tìm điểm tới hạn của hệ 2 ' ' 1 x x y y x = −    = −   • Giải hệ: − =    − =   2 0 1 0 x y x = =  ⇔  = − =  1 1 x y x y do đó hệ có 2 điểm tới hạn là (1, 1); (−1, −1). Hình 7.2.2. Trường véc tơ của hệ Trường véc tơ thể hiện trong hình 7.2.2 gợi lên ý tưởng rằng các quỹ đạo tựa tròn, đi ngược chiều kim đồng hồ quanh điểm (−1, −1), trong khi một số quỹ đạo đến điểm (−1, −1), còn một số quỹ đạo khác thì lùi xa khởi điểm đó. Quan sát này được xác thực bởi ảnh pha của hệ cho trong hình 7.2.3. Hình 7.2.3. Ảnh pha của hệ 3. Tính chất của điểm tới hạn • Người ta đặc biệt quan tâm tới tính chất của các quỹ đạo ở gần một điểm tới hạn riêng rẽ của hệ otonom. Ví dụ 3. Hệ tuyến tính otonom ( ) ( ) 0 0 , 0 , ( , 0), 0 dx x x x dt dy ky k const k y y dt  = − =     = = > =   • Có 0 0 x ky − =   =  ⇔ = = 0 x y nên hệ này chỉ có duy nhất một điểm tới hạn (0, 0). [...]... mãn phương trình (3.1) vi phân c p hai: x"(t) + 2x'(t) + 2x(t) = 0 •  dx  dt = y  t y = x' chúng ta có h c p m t tương ương   dy = −2 x − 2y  dt  (3.2) • H (3.2) có i m t i h n là (0, 0) • (3.1) có phương trình c trưng là r 2 + 2r + 2 = 0 ⇔ r1,2 = −1 ± i , do ó h (3.2) có nghi m t ng quát là: x(t) = e-t (Acost + Bsint) = Ce-t cos(t - α) y(t) = e-t [(B - A)cost - (A + B)sint] = -C 2 e-t sin (t-α... mãn phương trình vi phân x" + ω2x = 0 (trong ó dx ω2 = k/m) G i y = là v n t c c a v t, chúng ta s có h phương trình: dt  dx  dt = y    dy = −ω 2 x  dt  • H có nghi m t ng quát là: x ( t ) = A cos ωt + B sin ωt y ( t ) = − Aω sin ωt + Bω cos ωt óC= A2 + B 2 ; A = C cosα; B = C sinα • Ta vi t l i x(t) = C cos(ωt - α) y(t) = - C sin (ωt - α) 13 thì có qu o là ư ng elíp có phương trình Hình 7. 2 .7. .. u = x - x0; v = y - y0)  dx  dt = x (3 − x − y )  Ví d 1 Xét h phương trình vi phân:   dy = y (1 − 3 x + y )  dt  • Có i m (1, 2) là i m t i h n cô l p  du 2  dt = (u + 1)( −u − v ) = −u − v − u − uv  • i bi n: u = x - 1; v = y - 2 có h   dv = (v + 2)( −3u + v ) = −6u + 2v + v 2 − 3uv  dt  có (0,0) là m t i m t i h n cô l p 17 Hình 7. 3.1 Hình yên ng a quanh i m (1,2) c a h Hình 7. 3.2... Hình 7. 2.4 M t nút thích h p; các hư ng d n n g c to nên nó là m t nút chìm Hình 7. 2.5 M t nút không thích h p vì t t c các hư ng ti p xúc v i m t ư ng cong ơn; chúng d n n g c nên nó là m t nút chìm • i m t i h n (0, 0) trong các Hình 7. 2.4 và 7. 2.5 là n Hình 7. 2 .7 Trư ng véc tơ và các qu o elíp c a h x' = y, y ' = − i m (0, 0) là tâm n 15 nh ti m c n nh 1 x 4 • i m (0, 0) ư c th hi n Hình 7. 2 .7 là... dv = 3u − 2v  dt  • Phương trình −2 − λ 3 c trưng −3 = 0 ⇔ (λ + 2)2 + 9 = 0 ⇔ λ = −2 ± 3i −2 − λ • Có (0,0) là m t i m t i h n n nh ti m c n c a h tuy n tính ( L 1) và t ó i m (4, 3) là i m t i h n n nh ti m c n c a h á tuy n tính (do nh lí 2) 23 Hình 7. 3.16.Qu o xo n c c a h tuy n tính • Hình 7. 3.16 ch ra m t qu Hình 7. 3. 17 nh pha c a h o i n hình c a h tuy n tính • Hình 7. 3. 17 ch ra i m xo n c tính... chính thư ng, còn Hình v y, g c to 7. 2.5 thì g c to là m t i m nút lõm phi chính ∗) Khi k < 0 Hình 7. 2.6 i m yên ng a: các qu o tương t các ư ng vi n c a m t i m yên ng a trên m t ph ng pha • Khi k < 0 thì các qu o gi ng v i qu o khi k = -1 , ư c mô t Hình 7. 2.6 N u x0 và y0 cùng khác 0 thì qu o tương ng Hình 7. 2.6 là m t nhánh c a hypebol cân xy = b và |y(t)| → +∞ khi t → +∞ N u x0 = 0 ho c y0 = 0 thì... t như Hình 7. 2.5, v i i m khác bi t là các ư ng y = bxk ti p xúc v i tr c y (ch không ph i v i tr c x) t i g c to 11 • Các i m t i h n, như ư c mô t nút các Hình 7. 2.4 và 7. 2.5 ư c g i là i m • Chính xác hơn, i m t i h n (x∗, y∗) c a h otonom (1.1) ư c g i là i m nút, n u tho mãn 2 i u ki n sau: o u ti n t i (x∗, y∗) khi t →+∞ ho c là m i qu - Ho c là m i qu r i xa i m (x∗, y∗) khi t →+∞ - M i qu o... (x0, y0), là x(t) = x0e-t; y(t) = y0e-kt y y • N u x0 ≠ 0 thì có y = y0e-kt = 0 ( x0e −t )k = bxk, v i b = 0 k k x0 x0 • B n ch t c a i m t i h n (0,0) tuỳ thu c vào tham s +) Khi k >0: thì có i m (x(t), y(t)) d n t i g c to khi t → +∞ Hình d ng c a ư ng cong ph thu c vào y ∗) N u k = 1, khi ó y = bx (v i b = 0 ) là ư ng th x0 Các ư ng qu o là các ư ng th ng, ư c mô t Hình 7. 2.4 M t nút thích h p;... cùng d u ∗) N u λ1, λ2 > 0 thì ( 0, 0 ) là nút phi chính (ngu n nh) ∗) N u λ1, λ2 < 0 thì ( 0, 0 ) là nút phi chính (ngu n Ví d 1 a) Ma tr n A = 1 7 8  −3  3 17   • Có λ1 = 1, λ2 = 2 , (0,0) là i m nút phi chính b) Ma tr n B = − A = 1  7 8 3  −3  − 17   19 nh chìm) • Có giá tr riêng λ1 = −1 và λ2 = −2 , có (0,0) là nút lõm phi chính (ngu n chìm) − Giá tr riêng th c khác nhau nhưng trái d u:... nh λ1,2 = a ± bi (a > 0) λ1,2 = ±bi i m xo n c không n nh n nh ho c không, tâm ho c i m xo n c Hình 7. 3.12 L p các i m t i h n c a m t h á tuy n tính Ví d 1 Xác nh d ng và tính n nh c a i m t i h n (0,0) c a h á tuy n tính  dx 2 2  dt = 4 x + 2y + 2 x − 3 y    dy = 4 x − 3 y + 7 xy  dt  • Phương trình c trưng c a h tuy n tính tương ng là : 4−λ 2 4 −3 − λ = 0 ⇔ (4 − λ )( −3 − λ ) − 8 ⇔ λ1 = 5, . Hình 7. 1.12. Parabol này là sơ đồ rẽ nhánh của phương trình vi phân mô tả sự tăng trưởng dân số. Hình 7. 1.12. Parabol (c - 2) 2 = 4 - h là sơ đồ rẽ nhánh của phương trình x' = x(4 -. bởi một phương trình vi phân, sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị của các hệ số hay các tham số có mặt trong phương trình. Chẳng hạn, số lượng các điểm kỳ dị của một phương trình vi phân có. phương trình vi phân còn được gọi là nghiệm cân bằng. • Như vậy đặc trưng nghiệm của phương trình otonom cấp 1 có thể được mô tả qua các điểm kỳ dị của phương trình. Ví dụ 3. Xét phương trình