Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.. Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y= x thỏa mãn phương trình.. Nghiệm tổng quát:Nghiệm tổng quát của phương trình vi p
Trang 1CHƯƠNG 7 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y(n))= 0 trong đó
x là biến số độc lập, y =y (x) là hàm số, y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm
Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y= (x) thỏa mãn phương trình
7.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
7.1.1 Khái niệm
Phương trình vi phân cấp 1: là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0
Nếu có thể giải ra đối với y’ thì phương trình có dạng y’= f(x,y)
Nghiệm tổng quát:Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số
y = (x,C) thỏa phương trình vi phân
Nghiệm riêng: Nghiệm y = (x,C0) nhận được từ nghiệm tổng quát
y = (x,C) ứng với một giá trị cụ thể C = Co gọi là nghiệm riêng.Giá trị cụ thể Co
của C được suy ra từ điều kiện ban đầu y (x0) = y0
Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = (x,C) mà tìm được hệ thức dưới dạng ẩn (x,y,C) = 0 Ta gọi đó là tích phân tổng quát của phương trình vi phân
Đường cong tích phân : Đồ thị của mỗi nghiệm y = (x,C) của phương
trình vi phân gọi là đường cong tích phân của phương trình nầy
Nghiệm kỳ dị :Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ
họ nghiệm tổng quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị
7.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly ( hay là tách biến được)
1 Định Nghĩa: Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có
dạng:
f(x)dx = g(y)dy (1)
2 Cách giải
Lấy tích phân 2 vế của (1)
Trang 2 f(x)dxg(y)dy
F(x) = G(y) + C
Ví Dụ 1 Giải phương trình vi phân: xy’ + y = 0
Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trên với điều kiện ban đầu y (3) = 1
0
C
x
Thay điều kiện ban đầu y(x = 3) = 1 Ta được C = 3
Vậy nghiệm riêng của pt là: y = 3
x
Ví Dụ 2 Giải phương trình vi phân : (1+x2)dy – ydx = 0
2
ar
(1 )
Ví Dụ 3 Giải phương trình vi phân : (y x y dy 2 ) (xy2x dx) 0 (1)
Ta có (1) y(1x dy x y2) ( 21)dx0 (2)
Nếu x2 1 0 x 1 thì dx 0, nên (2) thỏa mãn Vậy x 1 là nghiệm của (1)
Nếu x2 1 0 x 1 thì (2) 2 2
Vậy nghiệm của phương trình là: 2 1 ( 2 1)
1
y C x x
Ví Dụ 4 Giải phương trình vi phân : y 3x y2 (1)
dx
Nếu y0 thì y0 nên (2) thỏa mãn Vậy y0 là nghiệm của (1)
Trang 3 Nếu y0 thì (2) dy 3x dx2
y
Lấy tích phân hai vế:
dy
Vậy nghiệm của phương trình là: y Ce x3
7.1.3 Phương trình đẳng cấp
1 Định nghĩa
Phương trình vi phân y’ = f (x,y) được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình có dạng: y’ = f (
x
y
)
2 Cách giải
Đặt u =
x
y
hay y = ux Suy ra : y’ = u + xu’
f(u) = u + x
dx
du
<=> x
dx
du
= f (u) - u
Nếu f (u) - u 0 ta có :
x
dx
=
u u f
du
) ( Đây là ph trình biến số phân ly
Ví Dụ 1 Giải phương trình vi phân : y x y
x y
(1) Đặt yux yu x u , ta có:
2
(1)
Lấy tích phân hai vế ta được:
2
ln
ar ln(1 ) ln ln ar ln(1 )
dx d udu dx du
Cx
Vậy nghiệm của phương trình là: 2arctg y ln (C x2 y2)
Trang 4Ví Dụ2 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ =
x
y
+ sin
x y
với điều kiện ban đầu y (1) =
2
ĐS : y = 2xarctgx
7.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
1 Định Nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng là y’ + p(x).y = q(x) (1) trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục
Phương trình vi phân tuyến tính gọi là thuần nhất nếu q(x) = 0 :
y’ + p(x) y = 0 (2)
Nhận xét :
Nếu y1 là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính thuần nhất:
y’ + p(x) y = 0 (2) thì nghiệm tổng quát của nó là y = Cy1
(C là hằng số tùy ý)
Nghiệm tổng quát của (1) = nghiệm tổng quát của (2) + nghiệm riêng của (1)
2 Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1)
Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng :
y’ + p(x)y = 0 (2) Giả sử y = (x,C) nghiệm tổng quát của phương trình (2)
Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tính y’ rồi thay vào (1)
Ví Dụ 1 Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x2+1)y’+xy = 1 thỏa điều kiện ban đầu y (0) = 2
ĐS :y =
2
2
1
2 ) x 1 (x
ln
x
Ví dụ 2 Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe -x 2
ĐS : 2
2
-x
x
y = ( + K ) e
2
Ví Dụ 3 Giải phương trình vi phân : y 2xy x (1)
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y 2xy0, ta có nghiệm
0
Trang 5 Xem C là một hàm số theo x: C x( )
( ) x ( ) x 2 ( ) x
y C x e y C x e xC x e
Thay y y, vào phương trình (1):
2
1 ( )
2
x
Vậy nghiệm của phương trình là: 1 2 2
2
y e K e
Ví Dụ 4 Giải phương trình vi phân : 2
y xy xe (1)
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y 2xy0, ta có nghiệm
0
y
Xem C là một hàm số theo x: C x( )
( ) x ( ) x 2 ( ) x
y C x e y C x e xC x e
Thay y y, vào phương trình (1):
2
( ) 2
x
Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2
2
x
x
y K e
7.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li)
1 Định Nghĩa Phương trình Bec-nu-li là phương trình có dạng:
y’ + p(x)y = q(x).y
trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục, R
2 Cách giải
Nếu = 0 hoặc =1, phương trình trở thành phương trình tuyến tính
Giả sử 0 và 1:
Với y 0, chia 2 vế cho y :
Trang 6y- y’ + p(x).y1- = q(x) Đặt z = y1- suy ra z’= (1- ) y -.y’, phương trình trở thành :
z’+ (1- ) p(x)z = (1- )q(x) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với z
Ví Dụ Giải phương trình vi phân : 2
y xy xe (1) Nếu y 0 y0, (1) thỏa mãn nên y = 0 là nghiệm của phương trình Nếu y0 thì (1) y y 32xy2 2x3
2
y
, phương trình trở thành: z 4xz2 (2)x3
Giải phương trình thuần nhất: z 4xz 0 z Ce2x2
Xem C là một hàm số theo x: C x( )
Ta được: z C x e ( ) 2x2 z C x e ( ) 2x2 4xC x e( ) 2x2
Thay z z, vào phương trình (2):
(2) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 2
1 1
2 2
C x e xC x e xC x e x C x e x
dC x e dx C x x e K
Vậy nghiệm của phương trình (2) là:
Nghiệm của phương trình (1) là:
2
2
2
2 0
x
y y
7.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
7.2.1 Khái niệm
Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0
Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác:
y’’= f(x,y,y’)
Trang 7 Nghiệm tổng quát : y = (x,C1,C2)
Nghiệm riêng : y = (x, 0
2
0
1 ,C
2
0
1,C
C là các giá trị xác định của
C1, C2
Tích phân tổng quát : (x,y,C1,C2)
7.2.2 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được
Xét phương trình vi phân y’’ = f (x.y,y’)
(1) Vế phải không chứa y,y’ :
y’’ = f (x)
y’ = ſ f(x)dx + C1
y = ſ (ſ f(x)dx)dx + C1x + C2
Ví Dụ : Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ = sinkx (k0) thoả điều kiện ban đầu y(o) = 0 và y’(o) = 1
ĐS : y = - 12
k sin kx + (1+
k
1) x (2) Vế phải không chứa y :
y’’ = f(x,y’)
Đặt y’=z lúc đó ta được phương trình vi phân cấp 1 theo ʓ
z’= f (x,z)
Giải ra nghiệm tổng quát z = (x,C1)
y’ = (x,C1) y( , )x C dx C1 2
Ví Du 1 Giải phương trình vi phân ( 1-x2 )y’’ – xy’ = 2
ĐS : y = (arcsinx) 2 + C 1 arcsinx + C 2
(3) Vế phải không chứa x :
y’’ = f (y,y’)
Đặt y’ = ʓ, đạo hàm 2 vế :
y’’ =
dy
dz z dx
dy dy
dz dx
dz
Phương trình có dạng : ʓ
dy
dz = f (y,z) Giải ra ʓ = (y,C1)
Trang 8 y’ = (y,C1)
=>
y
x'
1 = (y, C1) =>x' y =
) , (
1
1
C y
=> x = ( , )
1
C y
dy
Ví Dụ 2 Giải phương trình vi phân 2yy’’ = y’2 +1
1
1 ( ) 2
x
C
2 1
1
1 ( ) 2
C x
C
7.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng với (1):
y’’ + py’ + qy = 0 (2)
Phương pháp giải :
Bước 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:
y’’+py’ +qy = 0 (2) Bước 2 : Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1)
Bước 3 :Nghiệm tổng quát của (1) = nghiệm tổng quát của (2) + nghiệm riêng của (1)
1- Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất:
y’’ + py’ + qy = 0 (2)
Giải phương trình đặc trưng :
k 2 + pk + q = 0 (3)
Ta cĩ 3 trường hợp xảy ra :
* ∆= p 2 - 4 q > 0 : Phương trình (3) cĩ 2 nghiệm thực phân biệt k1 và k2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :
Trang 9
* ∆ = p 2 - 4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k
Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :
y = e k x(C 1 + C 2 x)
* ∆ = p2 - 4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp :
k1 = + i và k2 = - i Nghiệm tổng quát của pt (2) là :
Ví Dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện
ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1
Ví Dụ2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0
Ví Dụ3 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 2y’ + 5y = 0
2-Bước 2: Giải phương trình vi phân không thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt :
Trường hợp 1: f(x) =exP n (x)
a) Nếu không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = exQn(x)
b) Nếu trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = xexQn(x)
c) Nếu trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = x2exQn(x)
Ví dụ 1 Giải phương trình: y2y3y e 4x
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y2y3y0.(2)
3
k
k
y C e C e
( )
4
n
f x e
y = C 1e 1x +C 2e 1x
y =ex(C 1 cosx + C 2 sinx)
Trang 10Vì 4 không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: y Ae4x y4Ae4x y16Ae4x
Thay y y y, , vào phương trình (1)
5
Nghiệm riêng của (1) là: 1 4
5
x
Vậy nghiệm của phương trình (1): 3 4
1 5
Ví dụ 2 Giải phương trình: y2y y 6xe x (1)
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y2y y 0.(2)
Phương trình đặc trưng: k2 2k 1 0 k 1( nghiệm kép) Nghiệm (2) là: y C e 1 xxC e2 x
1
n
f x xe
Vì 4 trùng với nghiệm kép phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng:
(Ax ) (Ax ) (3 2 ) (Ax ) (3 2 Ax )
x
y x B e Bx e y Ax Bx e Bx e
Ax Bx Bx e
Thay y y y, , vào phương trình (1)
Nghiệm riêng của (1) là: y x e 3 x Vậy nghiệm của phương trình (1): 3
y C e xC e x e
Ví dụ 3 Giải phương trình: y y 4xe x (1)
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y y 0.(2)
Phương trình đặc trưng: k2 1 0 k i
Nghiệm (2) là: y C 1cosx C 2sinx
1
n
f x xe
Vì 4 không trùng với nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: y(AxB e) x y(Ax A B e ) x y(Ax2A B e ) x
Trang 11Thay y y y, , vào phương trình (1)
Nghiệm riêng của (1) là: y(2x2)e x Vậy nghiệm của phương trình (1): y C 1cosx C 2sinx (2 x2)e x
Ví dụ 4 Giải phương trình: y y 2e xx2 (1)
Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y y 0.(2)
Phương trình đặc trưng: k2 1 0 k 1 Nghiệm (2) là: y C e 1 xC e2 x
f x e x f x f x với 1
2 2
( ) 2 ( )
x
Với 1( ) 2 ( ) 2
1
n
f x e
Vì 1 trùng với nghiệm đơn phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: yAxe x y(Ax A e ) x y(Ax2 )A e x
Thay y y y, , vào phương trình (1) (1)2A 2 A 1
Nghiệm riêng của (1) là: y xe x
2
( ) ( )
0
n
P x x
f x x
Vì 0 không trùng với nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: yAx2Bx C y2Ax B y2A
Thay y y y, , vào phương trình (1)
1
2
A
x Bx C A x B
C
Nghiệm riêng của (1) là: y x 22
Vậy nghiệm của phương trình (1): 2
Trường hợp 2: f(x) = Pm (x) cos x + P n (x) sin x
Trang 12a) Nếu i không trùng với nghiệm của pt đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng:
y = Q l (x) cos x + R l (x) sin x ( l = max (m,n) )
b) Nếu i trùng với nghiệm của pt đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng :
y = x [ Q l (x) cos x + R l (x) sin x ] ( l = max (m,n) )
Ví Dụ 1: Giải phương trình : y’’ + y’ = sin 2x
ĐS : y = C 1 + C 2 e -x 1
10
cos2x 1
5
sin2x
Ví Dụ 2: Giải phương trình : y’’+ 4y = 3cos2x
ĐS : y = C 1 cos2x + C 2 sin2x +3
4xsin2x
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
Phương trình vi phân cấp 1
7.1 Giải các phương trình vi phân
1) xdx + ydy = 0
2) x2(y + 1) dx + (x3 - 1) (y - 1)dy = 0
3) xy’+ y = 0 ; y (3) = 1
4) y’cosx =
y
y
ln ; y (0) = 1 5) ln (cosy) dx + xtgydy = 0
6)
x
yy'
+ ey = 0 ; y (1) = 0
7) y’ = ex-y
8) y’ = 2 x – y ; y (-3) = - 5
9 (1 + x3) dy - x2ydx = 0 ; y(1) = 2
Trang 137.2 Giải các phương trình vi phân
1/ (x2+ 2xy) dx + xydy = 0 ÑS : ln|x+y| +
y x
x
- C = 0
2/ xsin
x
y y’ + x = ysin
x
y ÑS : Cx = x
y
ecos
3/ xy + y2 = (2x2+ xy) y’ ÑS : y2= Cxe -
x y
4/ xy’ln
x
y = x + y ln
x
y ÑS : ln|Cx| =
x
y
ln
x y
7.3 Giải các phương trình vi phân
1/ y’ + 2
1 x
xy
= arcsinx + x
(arcsin ) 1
2/ xy’ – y = x2 cosx
3/ (1+x2) y’ + y = arctgx
4/ y’cos2x + y = tgx ; y(o) = 0 ÑS : y = tgx – 1 + e-tgx
7.4 Giải các phương trình vi phân
1/ y’ +
x
y = x2y4 ÑS : y =
3 3
1
ln K
x x
2/ y’ –
1
x
1
2
x
K x
7.5 Giải các phương trình vi phân cấp 2
1/ y’’ -4y’ +3y = 0
2/ y’’ -2y’ + y = 0
3/ y’’ +y’ +2y = 0
4/ y’’ – 3y’- 4y = e - x (x-2)
5/ y’’- 4y’ = e2x ( x2 + x+1)
6/ y’’ + 3y’ = x2-1
Trang 147/ y’’ - 4y’+ 4y = e2xx2
8/ y’’ – 2y’ = 2cos2x