1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

chương 7 phương trình vi phân

14 629 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 366,24 KB

Nội dung

 Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm..  Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y= x thỏa mãn phương trình.. Nghiệm tổng quát:Nghiệm tổng quát của phương trình vi p

Trang 1

CHƯƠNG 7 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y(n))= 0 trong đó

x là biến số độc lập, y =y (x) là hàm số, y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm

 Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm

 Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y= (x) thỏa mãn phương trình

7.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

7.1.1 Khái niệm

Phương trình vi phân cấp 1: là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0

Nếu có thể giải ra đối với y’ thì phương trình có dạng y’= f(x,y)

Nghiệm tổng quát:Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số

y =  (x,C) thỏa phương trình vi phân

Nghiệm riêng: Nghiệm y = (x,C0) nhận được từ nghiệm tổng quát

y = (x,C) ứng với một giá trị cụ thể C = Co gọi là nghiệm riêng.Giá trị cụ thể Co

của C được suy ra từ điều kiện ban đầu y (x0) = y0

Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được

nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = (x,C) mà tìm được hệ thức dưới dạng ẩn (x,y,C) = 0 Ta gọi đó là tích phân tổng quát của phương trình vi phân

Đường cong tích phân : Đồ thị của mỗi nghiệm y =  (x,C) của phương

trình vi phân gọi là đường cong tích phân của phương trình nầy

Nghiệm kỳ dị :Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ

họ nghiệm tổng quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị

7.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly ( hay là tách biến được)

1 Định Nghĩa: Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có

dạng:

f(x)dx = g(y)dy (1)

2 Cách giải

Lấy tích phân 2 vế của (1)

Trang 2

f(x)dxg(y)dy

F(x) = G(y) + C

Ví Dụ 1 Giải phương trình vi phân: xy’ + y = 0

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trên với điều kiện ban đầu y (3) = 1

0

C

x

Thay điều kiện ban đầu y(x = 3) = 1 Ta được C = 3

Vậy nghiệm riêng của pt là: y = 3

x

Ví Dụ 2 Giải phương trình vi phân : (1+x2)dy – ydx = 0

2

ar

(1 )

Ví Dụ 3 Giải phương trình vi phân : (y x y dy 2 ) (xy2x dx) 0 (1)

Ta có (1) y(1x dy x y2)  ( 21)dx0 (2)

 Nếu x2    1 0 x 1 thì dx 0, nên (2) thỏa mãn Vậy x  1 là nghiệm của (1)

 Nếu x2    1 0 x 1 thì (2) 2 2

Vậy nghiệm của phương trình là: 2 1 ( 2 1)

1

y C x x

   

  

Ví Dụ 4 Giải phương trình vi phân : y 3x y2 (1)

dx

 Nếu y0 thì y0 nên (2) thỏa mãn Vậy y0 là nghiệm của (1)

Trang 3

 Nếu y0 thì (2) dy 3x dx2

y

  Lấy tích phân hai vế:

dy

Vậy nghiệm của phương trình là: y Cex3

7.1.3 Phương trình đẳng cấp

1 Định nghĩa

Phương trình vi phân y’ = f (x,y) được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình có dạng: y’ = f (

x

y

)

2 Cách giải

Đặt u =

x

y

hay y = ux Suy ra : y’ = u + xu’

f(u) = u + x

dx

du

<=> x

dx

du

= f (u) - u

Nếu f (u) - u  0 ta có :

x

dx

=

u u f

du

 ) ( Đây là ph trình biến số phân ly

Ví Dụ 1 Giải phương trình vi phân : y x y

x y

 

 (1) Đặt yux yu x u  , ta có:

2

(1)

Lấy tích phân hai vế ta được:

2

ln

ar ln(1 ) ln ln ar ln(1 )

dx d udu dx du

Cx

Vậy nghiệm của phương trình là: 2arctg y ln (C x2 y2)

Trang 4

Ví Dụ2 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ =

x

y

+ sin

x y

với điều kiện ban đầu y (1) =

2

ĐS : y = 2xarctgx

7.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

1 Định Nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng là y’ + p(x).y = q(x) (1) trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục

Phương trình vi phân tuyến tính gọi là thuần nhất nếu q(x) = 0 :

y’ + p(x) y = 0 (2)

Nhận xét :

Nếu y1 là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính thuần nhất:

y’ + p(x) y = 0 (2) thì nghiệm tổng quát của nó là y = Cy1

(C là hằng số tùy ý)

Nghiệm tổng quát của (1) = nghiệm tổng quát của (2) + nghiệm riêng của (1)

2 Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1)

Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng :

y’ + p(x)y = 0 (2) Giả sử y = (x,C) nghiệm tổng quát của phương trình (2)

Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tính y’ rồi thay vào (1)

Ví Dụ 1 Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x2+1)y’+xy = 1 thỏa điều kiện ban đầu y (0) = 2

ĐS :y =

2

2

1

2 ) x 1 (x

ln

x

Ví dụ 2 Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe -x 2

ĐS : 2

2

-x

x

y = ( + K ) e

2

Ví Dụ 3 Giải phương trình vi phân : y 2xy x (1)

 Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y 2xy0, ta có nghiệm

0

Trang 5

 Xem C là một hàm số theo x: C x( )

( ) x ( ) x 2 ( ) x

y C x e  y C x e  xC x e

Thay y y, vào phương trình (1):

2

1 ( )

2

x

Vậy nghiệm của phương trình là: 1 2 2

2

y  e K e

Ví Dụ 4 Giải phương trình vi phân : 2

y  xy xe  (1)

 Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y 2xy0, ta có nghiệm

0

y

 Xem C là một hàm số theo x: C x( )

( ) x ( ) x 2 ( ) x

y C x e   y C x e   xC x e

Thay y y, vào phương trình (1):

2

( ) 2

x

Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2

2

x

x

yK e 

  

 

7.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li)

1 Định Nghĩa Phương trình Bec-nu-li là phương trình có dạng:

y’ + p(x)y = q(x).y

trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục,  R

2 Cách giải

 Nếu  = 0 hoặc  =1, phương trình trở thành phương trình tuyến tính

 Giả sử   0 và  1:

Với y 0, chia 2 vế cho y :

Trang 6

y- y’ + p(x).y1- = q(x) Đặt z = y1-  suy ra z’= (1-  ) y -.y’, phương trình trở thành :

z’+ (1- ) p(x)z = (1-  )q(x) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với z

Ví Dụ Giải phương trình vi phân : 2

y  xy xe  (1) Nếu y 0 y0, (1) thỏa mãn nên y = 0 là nghiệm của phương trình Nếu y0 thì (1) y y 32xy2 2x3

2

y

 

    , phương trình trở thành: z 4xz2 (2)x3

Giải phương trình thuần nhất: z 4xz  0 z Ce2x2

Xem C là một hàm số theo x: C x( )

Ta được: z C x e ( ) 2x2  zC x e ( ) 2x2  4xC x e( ) 2x2

Thay z z, vào phương trình (2):

(2) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 2

1 1

2 2

C x e xC x e xC x e x C x e x

dC x edx C x x eK

 

        

 

Vậy nghiệm của phương trình (2) là:

Nghiệm của phương trình (1) là:

2

2

2

2 0

x

y y



7.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

7.2.1 Khái niệm

 Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0

Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác:

y’’= f(x,y,y’)

Trang 7

 Nghiệm tổng quát : y = (x,C1,C2)

 Nghiệm riêng : y =  (x, 0

2

0

1 ,C

2

0

1,C

C là các giá trị xác định của

C1, C2

 Tích phân tổng quát :  (x,y,C1,C2)

7.2.2 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được

Xét phương trình vi phân y’’ = f (x.y,y’)

(1) Vế phải không chứa y,y’ :

y’’ = f (x)

 y’ = ſ f(x)dx + C1

 y = ſ (ſ f(x)dx)dx + C1x + C2

Ví Dụ : Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ = sinkx (k0) thoả điều kiện ban đầu y(o) = 0 và y’(o) = 1

ĐS : y = - 12

k sin kx + (1+

k

1) x (2) Vế phải không chứa y :

y’’ = f(x,y’)

Đặt y’=z lúc đó ta được phương trình vi phân cấp 1 theo ʓ

z’= f (x,z)

Giải ra nghiệm tổng quát z =  (x,C1)

 y’ =  (x,C1)  y( , )x C dx C1  2

Ví Du 1 Giải phương trình vi phân ( 1-x2 )y’’ – xy’ = 2

ĐS : y = (arcsinx) 2 + C 1 arcsinx + C 2

(3) Vế phải không chứa x :

y’’ = f (y,y’)

Đặt y’ = ʓ, đạo hàm 2 vế :

y’’ =

dy

dz z dx

dy dy

dz dx

dz

Phương trình có dạng : ʓ

dy

dz = f (y,z) Giải ra ʓ =  (y,C1)

Trang 8

 y’ =  (y,C1)

=>

y

x'

1 =  (y, C1) =>x' y =

) , (

1

1

C y

=> x =  ( , )

1

C y

dy

Ví Dụ 2 Giải phương trình vi phân 2yy’’ = y’2 +1

1

1 ( ) 2

x

C

    

2 1

1

1 ( ) 2

C x

C

    

7.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)

Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng với (1):

y’’ + py’ + qy = 0 (2)

 Phương pháp giải :

Bước 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:

y’’+py’ +qy = 0 (2) Bước 2 : Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1)

Bước 3 :Nghiệm tổng quát của (1) = nghiệm tổng quát của (2) + nghiệm riêng của (1)

1- Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất:

y’’ + py’ + qy = 0 (2)

Giải phương trình đặc trưng :

k 2 + pk + q = 0 (3)

Ta cĩ 3 trường hợp xảy ra :

* ∆= p 2 - 4 q > 0 : Phương trình (3) cĩ 2 nghiệm thực phân biệt k1 và k2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

Trang 9

* ∆ = p 2 - 4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k

Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

y = e k x(C 1 + C 2 x)

* ∆ = p2 - 4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp :

k1 =  +  i và k2 = -  i Nghiệm tổng quát của pt (2) là :

Ví Dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện

ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1

Ví Dụ2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0

Ví Dụ3 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 2y’ + 5y = 0

2-Bước 2: Giải phương trình vi phân không thuần nhất :

y’’ + py’ + qy = f(x) (1)

Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt :

Trường hợp 1: f(x) =exP n (x)

a) Nếu  không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = exQn(x)

b) Nếu  trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = xexQn(x)

c) Nếu  trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng y = x2exQn(x)

Ví dụ 1 Giải phương trình: y2y3y e 4x

 Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y2y3y0.(2)

3

k

k

 

y C e  C e

( )

4

n

f x e

   

y = C 1e 1x +C 2e 1x

y =ex(C 1 cosx + C 2 sinx)

Trang 10

Vì   4 không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: yAe4xy4Ae4xy16Ae4x

Thay y y y, ,  vào phương trình (1)

5

Nghiệm riêng của (1) là: 1 4

5

x

Vậy nghiệm của phương trình (1): 3 4

1 5

Ví dụ 2 Giải phương trình: y2y y 6xe x (1)

 Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y2y y 0.(2)

Phương trình đặc trưng: k2 2k   1 0 k 1( nghiệm kép) Nghiệm (2) là: y C e 1 xxC e2 x

1

n

f x xe

   

Vì   4 trùng với nghiệm kép phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng:

(Ax ) (Ax ) (3 2 ) (Ax ) (3 2 Ax )

x

y x B e Bx e y Ax Bx e Bx e

Ax Bx Bx e

Thay y y y, ,  vào phương trình (1)

Nghiệm riêng của (1) là: y x e 3 x Vậy nghiệm của phương trình (1): 3

y C e xC ex e

Ví dụ 3 Giải phương trình: y  y 4xe x (1)

 Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y  y 0.(2)

Phương trình đặc trưng: k2     1 0 k i

Nghiệm (2) là: y C 1cosx C 2sinx

1

n

f x xe

   

Vì   4 không trùng với nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: y(AxB e) xy(Ax A B e  ) xy(Ax2A B e ) x

Trang 11

Thay y y y, ,  vào phương trình (1)

Nghiệm riêng của (1) là: y(2x2)e x Vậy nghiệm của phương trình (1): y C 1cosx C 2sinx (2 x2)e x

Ví dụ 4 Giải phương trình: y  y 2e xx2 (1)

 Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y  y 0.(2)

Phương trình đặc trưng: k2     1 0 k 1 Nghiệm (2) là: y C e 1 xC e2 x

f xexf xf x với 1

2 2

( ) 2 ( )

x

 



 Với 1( ) 2 ( ) 2

1

n

f x e

   

Vì   1 trùng với nghiệm đơn phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: yAxe xy(Ax A e ) xy(Ax2 )A e x

Thay y y y, ,  vào phương trình (1) (1)2A  2 A 1

Nghiệm riêng của (1) là: y xex

2

( ) ( )

0

n

P x x

f x x

  

   

Vì   0 không trùng với nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng (1) có dạng: yAx2Bx C  y2Ax B  y2A

Thay y y y, ,  vào phương trình (1)

1

2

A

x Bx C A x B

C

        

 

Nghiệm riêng của (1) là: y x 22

Vậy nghiệm của phương trình (1): 2

Trường hợp 2: f(x) = Pm (x) cos  x + P n (x) sin  x

Trang 12

a) Nếu  i  không trùng với nghiệm của pt đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng:

y = Q l (x) cos  x + R l (x) sin  x ( l = max (m,n) )

b) Nếu  i  trùng với nghiệm của pt đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng :

y = x [ Q l (x) cos  x + R l (x) sin  x ] ( l = max (m,n) )

Ví Dụ 1: Giải phương trình : y’’ + y’ = sin 2x

ĐS : y = C 1 + C 2 e -x 1

10

cos2x 1

5

sin2x

Ví Dụ 2: Giải phương trình : y’’+ 4y = 3cos2x

ĐS : y = C 1 cos2x + C 2 sin2x +3

4xsin2x

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Phương trình vi phân cấp 1

7.1 Giải các phương trình vi phân

1) xdx + ydy = 0

2) x2(y + 1) dx + (x3 - 1) (y - 1)dy = 0

3) xy’+ y = 0 ; y (3) = 1

4) y’cosx =

y

y

ln ; y (0) = 1 5) ln (cosy) dx + xtgydy = 0

6)

x

yy'

+ ey = 0 ; y (1) = 0

7) y’ = ex-y

8) y’ = 2 x – y ; y (-3) = - 5

9 (1 + x3) dy - x2ydx = 0 ; y(1) = 2

Trang 13

7.2 Giải các phương trình vi phân

1/ (x2+ 2xy) dx + xydy = 0 ÑS : ln|x+y| +

y x

x

 - C = 0

2/ xsin

x

y y’ + x = ysin

x

y ÑS : Cx = x

y

ecos

3/ xy + y2 = (2x2+ xy) y’ ÑS : y2= Cxe -

x y

4/ xy’ln

x

y = x + y ln

x

y ÑS : ln|Cx| =

x

y





ln

x y

7.3 Giải các phương trình vi phân

1/ y’ + 2

1 x

xy

 = arcsinx + x

(arcsin ) 1

2/ xy’ – y = x2 cosx

3/ (1+x2) y’ + y = arctgx

4/ y’cos2x + y = tgx ; y(o) = 0 ÑS : y = tgx – 1 + e-tgx

7.4 Giải các phương trình vi phân

1/ y’ +

x

y = x2y4 ÑS : y =

3 3

1

ln K

x x

2/ y’ –

1

x

1

2

x

K x

7.5 Giải các phương trình vi phân cấp 2

1/ y’’ -4y’ +3y = 0

2/ y’’ -2y’ + y = 0

3/ y’’ +y’ +2y = 0

4/ y’’ – 3y’- 4y = e - x (x-2)

5/ y’’- 4y’ = e2x ( x2 + x+1)

6/ y’’ + 3y’ = x2-1

Trang 14

7/ y’’ - 4y’+ 4y = e2xx2

8/ y’’ – 2y’ = 2cos2x

Ngày đăng: 21/06/2014, 16:52

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w