Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng Phần I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: Mục tiêu môn Toán trường THCS nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức phổ thông thiết thực, hình thành rèn luyện kỹ giải toán ứng dụng vào thực tế, rèn luyện khả suy luận hợp lý,sử dụng ngôn ngữ xác, bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêu trên, Phương pháp dạy học giai đoạn tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, rèn luyện khả tự học, tự phát giải vấn đề học sinh nhằm hình thành phát triển học sinh phẩm chất tư cần thiết Toán học môn khoa học đòi hỏi tư cao độ người dạy, người học người nghiên cứu Qua việc dạy học toán, người rèn luyện lực phân tích, tổng hợp, tư linh hoạt khả sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết người lao động thời đại Muốn học giỏi toán, học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức phải học giải toán Học giải toán cách tư sáng tạo toán, đồng thời vấn đề trừu tượng khó học sinh, lại điều cần thiết cho học sinh trình học toán trường THCS.Vì vậy, để nâng cao chất lượng dạy học toán, người thầy giáo cần truyền cho học sinh ham thích giải toán, Phương pháp, kỹ ứng dụng dạng loại toán Cơ sở thực tế: - Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng phát động sôi tất trường, nhằm phát bồi dưỡng học sinh có lực tư linh hoạt sáng tạo, tạo nguồn nhân lực tốt cho công xây dựng đất nước Đây nhiệm vụ quan trọng không phần khó khăn, vì: + Tài liệu giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh THCS thư viện trường tủ sách cá nhân học sinh số giáo viên + Đối tượng học sinh chọn bồi dưỡng, có trình độ không đồng đều, phần lớn không đáp ứng nội dung chương trình bồi dưỡng -Bài toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” thường có đề thi học sinh giỏi lớp 8, thi tuyển vào lớp 10 năm gần Ngoài ra, toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” ứng dụng rộng rãi việc giải số dạng toán khác Nhiều học sinh dự thi học sinh giỏi toán, “rất ngại” phải “chạm trán” với toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” Nguyên nhân chủ quan em không đònh hướng cách giải, nguyên nhân khách quan tính đa dạng toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” Trong kiến thức mà em lónh hội chương trình đại trà lại (vì lí sư phạm) nên đáp ứng yêu cầu - Qua thực tế giảng dạy với cố gắng tìm tòi , tham khảo tài liệu liên quan, nêu “Một số Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ”, nhằm với bạn đồng nghiệp xây dựng hệ thống Phương pháp giải toán “Giải phương trình nghiệm nguyên”, loại toán tương đối khó với nhiều học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học II NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Tên đề tài: “ Một số Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” Nhiệm vụ: Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng - Đưa số sai lầm bế tắc học sinh thường gặp giải phương trình nghiệm nguyên - Nêu số Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (có ví dụ minh họa cho Phương pháp), phù hợp với đối tượng học sinh THCS - Một số ứng dụng toán giải phương trình nghiệm nguyên vào việc giải dạng toán khác III PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Dựa vào: - Căn đề thi làm học sinh dự thi học sinh giỏi toán cấp, thi tuyển vào lớp 10 để tìm sai sót bế tắc học sinh thường mắc phải - Căn vào thực tế giảng dạy giáo viên môn toán bậc THCS đơn vò trường trường bạn - Dựa vào giáo trình Phương pháp dạy học toán tài liệu bồi dưỡng nâng cao môn Toán IV CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN TIẾN HÀNH: - Cơ sở : + Những hạn chế học sinh trình giải Toán, thường gặp lớp bồi dưỡng học sinh giỏi + Bài làm học sinh kỳ thi học sinh giỏi , thi tuyển vào lớp 10 + Các tài liệu nâng cao Toán - Đối tượng: Học sinh lớp 8,9 - Thời gian tiến hành: Từ năm 2006 đến 2008 Phần II: NỘI DUNG I) MÔ TẢ TÌNH TRẠNG HIỆN TẠI: * Qua thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh thường mắc số sai lầm bế tắc sau: 1/ Học sinh không xác đònh Phương pháp hay dạng loại đặc trưng nên chủ yếu thực thử chọn mà không lập luận chặt chẻ dẫn đến bò khuyết nghiệm Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên x; y biết: x.y = x + y Bằng cách thử chọn học sinh kết luận: nghiệm phương trình là: x = y =0 (Học sinh bỏ qua cặp giá trò x = y = không sót nghiệm không lập luận chặt chẽ) 2/ Học sinh không ý đến điều kiện thỏa mãn nghiệm phương trình giá trò ẩn để có đẳng thức xác đònh đúng; dẫn đến học sinh không loại nghiệm ngoại lai Ví dụ 2: Tìm tất số nguyên x thoả mãn: x − + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 (3) Sau giải có kết (Cách giải trình bày rõ Phương pháp 5): x ∈ { −102; −101; −100} Với x = −101 ⇒ 2004 = 2003 (vô lí) Vậy nghiệm phương trình là: x ∈ { −102; −100} II) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN : - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa dạng tổng Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn; vế lại tổng bình phương số nguyên (số số hạng hai vế nhau) 2 A( x , y , ) + B( x , y ) + C( x , y , ) + = m + n + p + (m; n; p, ∈ Z ) - Giải hệ tương ứng: A = m2 ( x , y , ) 2 B( x , y , ) = n C ( x , y , ) = p A = n2 ( x , y , ) 2 B( x , y , ) = m C ( x , y , ) = p A = p2 ( x , y , ) 2 B( x , y , ) = m C ( x , y , ) = n …………… Các ví dụ minh hoạ: 2 - Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x − xy + y = 169 (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy hai vế phương trình biểu diễn tổng hai bình phương GIẢI: ( x − y ) + x = 144 + 25 (1) ⇔ x − xy + y + x = 144 + 25 = 169 + ⇔ 2 ( x − y ) + x = 169 + 2 (I) (II) Từ (I) ta có: ( x − y ) = 122 2 x = x − y ( ) 2 x = 12 = 52 x = ±5 x = ±5 ⇒ ; y = m2 y = m22 x = ±12 x = ±12 ⇒ ; y = m19 y = m29 Tương tự từ (II) ta có: ( x − y ) = 132 x = ⇒ x = y = ±13 ( x − y ) = x = ±13 ⇒ 2 y = ±26 x = 13 ( 5; −2 ) ; ( 5; −22 ) ; ( −5; ) ; ( −5; 22 ) ; ( 12; −19 ) ; ( 12; −29 ) Vậy ( x, y ) ∈ ( −12;19 ) ; ( −12; 29 ) ; ( 0;13) ; ( 0; −13 ) ; ( 13; 26 ) ; ( −13; −26 ) 2 - Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x + y − x − y = (2) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy hai vế phương trình biểu diễn tổng hai bình phương GIẢI: 2 2 2 2 (2) ⇔ x − x + y − y = 32 ⇔ x − x + + y − y + = 34 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = + ⇒ ( x − 1) = 32 x = 2; x = −1 ⇒ 2 y = 3; y = −2 ( y − 1) = ( x − 1) = 52 x = 3; x = −2 ⇒ 2 y = 2; y = −1 ( y − 1) = Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng Vậy ( x; y ) ∈ { ( 2;3) ; ( 2; −2 ) ; ( −1;3) ; ( −1; −2 ) ; ( 3; ) ; ( 3; −1) ; ( −2; ) ; ( −2; −1) } Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên; 2 a/ x + y = 115 − x 2 b/ x + y + z = xy + 3x + z − - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đưa dạng tích Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn phân tích thành nhân tử - Biến đổi phương trình dạng vế tích đa thức chứa ẩn; vế lại tích số nguyên (số nhân tử hai vế nhau) A( x , y , ) B( x , y ) C( x , y , ) = m.n p (m; n; p, ∈ Z ) - Giải hệ tương ứng: A =m ( x , y , ) A ( x , y , ) = n A = p ( x , y , ) A =n ( x , y , ) B ( x , y , ) = m C = p ( x , y , ) A = p ( x , y , ) B ( x , y , ) = m C =n ( x , y , ) …………… Các ví dụ minh hoạ: 3 - Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x − y = 91 (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy vế trái phương trình dễ dàng phân tích thành nhân tử GIẢI: 2 2 (1) ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) = 91.1 = 13.7 (Vì ( x + xy + y ) > ) Ta có: ( x − y ) ( x + xy + y ) x − y = x = x = −5 ⇒ ; 2 ( x + xy + y ) = 91 y = y = −6 = 91.1 ⇒ x − y = 91 ⇒ VN 2 x + xy + y = ( ) - Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x + x − y = (2) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy vế trái phương trình hiệu hai đa thức bậc hai độc lập x y, nên ta phân tích thành nhân tử GIẢI: 2 x + x − y = ⇒ x + x − y = ⇒ ( x + 1) − ( y ) = ⇒ ( x + y + 1) ( x − xy + 1) = 2 x + y + = x = ⇒ x − y + = y = ⇒ 2 x + y + = −1 x = −1 ⇒ 2 x − y + = −1 y = Vậy: ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( −1;0 ) } Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên; Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng a/ x − xy = 25 b/ x − xy = c/ x + y = x y - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp cực hạn Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình đối xứng - Vì phương trình đối xứng nên x; y; z có vai trò bình đẳng Do đó; ta giả thiết x ≤ y ≤ z ; tìm điều kiện nghiệm; loại trừ dần ẩn để có phương trình đơn giản Giải phương trình; dùng phép hoán vò để suy nghiệm Ta thường giả thiết ≤ x ≤ y ≤ z ≤ Các ví dụ minh hoạ: + - Ví dụ 1: Tìm x; y; z ∈ Z thoả mãn: x + y + z = x y.z (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy phương trình đối xứng GIẢI: Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z Khi đó: + (1) ⇒ x y.z = x + y + z ≤ 3z ⇒ x y ≤ (Vì x; y; z ∈ Z ) ⇒ x y ∈ { 1; 2;3} .Nếu: x y = ⇒ x = y = ⇒ + z = z (vô lí) .Nếu: x y = ⇒ x = 1; y = 2; z = .Nếu: x y = ⇒ x = 1; y = ⇒ z = < y (vô lí) Vậy: x; y; z hoán vò ( 1; 2;3) 1 + - Ví dụ 2: Tìm x; y; z ∈ Z thoả mãn: x + y + z = (2) Nhận xét – Tìm hướng giải: Đây phương trình đối xứng GIẢI: Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z Khi đó: 1 3 (2) ⇒ = x + y + z ≤ x ⇒ x ≤ ⇒ x = 1 Với: x = ⇒ = y + z ≤ y ⇒ y ≤ ⇒ y ∈ { 1; 2} = (vô lí) z .Nếu: y = ⇒ z = Vậy: x; y; z hoán vò ( 1; 2; ) .Nếu: y = ⇒ Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: a/ x + y + z + t = x y.z.t 1 1 b/ x + y + z = 1995 c/ x y z.x y.z + + =3 z y x x + y + = x y.z d/ - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có dạng phân thức mà tử số nguyên; dùng để giải toán: “Tìm giá trò nguyên biến để biểu thức nhận giá trò nguyên” Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng - Áp dụng tính chất chia hết Z để xác đònh tập giá trò biểu thức chứa ẩn (thường biểu thức mẫu) Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z để: A = x2 + x x2 + x + nhận giá trò nguyên Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy A phân thức có tử mẫu số nguyên Do ta biến đổi A thành tổng đa thức phân thức có tử số nguyên GIẢI: x2 + x x2 + x + − 1 = = 1+ Khi đó: 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 Để A nhận giá trò nguyên nhận giá trò nguyên x + x +1 ⇒ 1M( x + x + 1) ⇒ ( x + x + 1) ∈ U ( 1) = { −1;1} Ta có: A = x = x = −1 2 Vì : ( x + x + 1) > 0; ∀x ∈ ¢ ⇒ x + x + = ⇒ Vậy để A nhận giá trò nguyên thì: x = x = −1 2 - Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: y x + x + y + = x + y + x y (2) (Đề thi Tuyển sinh vào 10 chuyênToán đại học KHTN Hà Nội) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta nhận thấy hạng tử chứa biến đôi có chứa nhân tử chung nên nhóm hạng tử hợp lí cho ta đa thức có nhân từ chung ( x − 1) ,nên chia hai vế phương trình cho ( x − 1) ta có vế nhận giá trò nguyên GIẢI: Ta có: (2) ⇒ y ( x − 1) − x ( x − 1) − y ( x − 1) + = ( *) Với: x = 1; ( *) ⇒ = ⇒ x = ngiệm phương trình Nên: y2 − x − y + = ( **) x −1 x = ∈ ¢ ⇔ ( x − 1) ∈ U ( 1) = { 1; −1} ⇒ x −1 x = + x - Ví dụ 3: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: + = ( y + 1) (3) Phương trình có nghiệm nguyên ⇔ Nhận xét – Tìm hướng giải: Vì 3x số lẻ; suy ( y + 1) chia hết cho Sử dụng tính chất ta xét điều kiên nghiệm phương trình GIẢI: Ta có: x (3) ⇒ = ( y − 1) − = y ( y + ) 3x số lẻ ⇒ y; ( y + ) hai số lẻ liên tiếp ⇒ ( y; y + ) = ⇒ y; y + luỹ thừa 3, nên: y = 3m ( *) ( m + n = x ) ⇒ 3m + = 3n ⇒ m < n n y + = ( **) Với: m = 0; ⇒ n = ⇒ y = 1; x = Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng y M3 ⇒ ( y; ( y + ) ) ≠ ( vô lí) ( y + ) M3 Với: m ≥ 1; ⇒ n > Từ ( *) ; ( **) ⇒ x = y =1 Phương trình có nghiệm nguyên: Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 a/ x − y = 2 b/ 19 x + 28 y = 729 c/ xy + x − y = 3 3 d/ Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm: x + y + z = x + y + z + 2000 - PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình mà hai vế đa thức có tính biến thiên khác - Áp dụng bất đẳng thức thường gặp: Bất đẳng thức Cô – si: Cho n số không âm: a1 ; a2 ; a3 ; ; an Khi đó: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 .an Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = a3 = = an n Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho 2n số thực: a1 ; a2 ; a3 ; ; an b1 ; b2 ; b3 ; ; bn Khi đó: ( a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 + + an bn ) ≤ ( a1 + a2 + a3 + + an ) ( b1 + b2 + b3 + + bn ) Dấu “=” xảy ⇔ = kbi ( i = 1; n ) Bất đẳng thứcgiá trò tuyết đối: a + b ⇔ a.b ≥ a + b = a − b ⇔ a.b < Các ví dụ minh hoạ: x y y.z z x + - Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z thoả: z + x + y = (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy phương trình đối xứng, nên dùng Phương pháp (Phương pháp cực hạn) Tuy nhiên, hạng tử tổng có giá trò dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô – si để xác đònh điều kiện tích ẩn GIẢI: Áp dụng BĐT Cô – si Ta có: = x y y.z z.x x y y.z z.x + + ≥ 3 = 3 x y.z z x y z x y ⇒ x y.z ≤ ⇔ x y.z ≤ ⇒ x = y = z = Vậy nghiệm phương trình là: x = y = z = 2 - Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: ( x + y + 1) = ( x + y + 1) (2) (Toán Tuổi thơ 2) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta nhận thấy hai vế phương trình có dạng: bình phương tổng tổng bình phương; nên ta vận dụng BĐT Bunhiacôpxki GIẢI: Theo Bunhiacôpxki,ta có: Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng ( x + y + 1) ≤ ( 12 + 12 + 12 ) ( x + y + 1) = ( x + y + 1) x y = = ⇒ x = y =1 1 Vậy nghiệm phương trình là: x = y = - Ví dụ 3: Tìm tất số nguyên x thoả mãn: Dấu “=” xảy ⇔ x − + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 (3) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta nhận thấy: 2104 = + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 a = −a GIẢI: Ta có: (3) ⇒ − x + 10 − x + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 3− x ≥ 3− x 10 − x ≥ 10 − x Mà a ≥ a ⇒ x + 101 ≥ x + 101 ⇒ 2004 ≥ x + 101 + 2003 ⇒ x + 101 ≤ x + 990 ≥ x + 990 x + 1000 ≥ x + 1000 Do đó: −1 ≤ ( x + 101) ≤ ⇒ ( x + 101) ∈ { −1;0;1} ⇒ x ∈ { −102; −101; −100} Với x = −101 ⇒ 2004 = 2003 (vô lí) Vậy nghiệm phương trình là: x ∈ { −102; −100} Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 a/ x − xy + y = 2 b/ x + y + z − xy − yz − z = - PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lựa chọn Phương pháp: Phương pháp sử dụng với phương trình mà ta nhẩm (phát dể dàng) vài giá trò nghiệm - Trên sở giá trò nghiệm biết Áp dụng tính chất chia hết; số dư; số phương; chữ số tận … ta chứng tỏ với giá trò khác phương trình vô nghiệm Các ví dụ minh hoạ: + - Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z thoả: x + 3x + = y Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy với x = 0; y = ±1 phương trình nghiệm Ta cần chứng minh phương trình vô nghiệm với x ≠ GIẢI: + Với x = 0; y = ±1 phương trình nghiệm + Với x > Khi đó: x + x + < x + 3x + < x + x + ⇒ ( x + 1) < y < ( x + ) (*) 2 Vì ( x + 1) ; ( x + ) hai số nguyên liên tiếp nên giá trò y thoả (*) Vậy x = 0; y = ±1 nghiệm phương trình + - Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z thoả: x + x − = 32 y +1 (2) (Tạp chí Toán học tuổi trẻ ) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta nhận thấy vế phải luỹ thừa bậc lẽ nên có tận Ta cần xét chữ số tận vế trái Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n 3 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng GIẢI: Gọi b chữ số tận x ( Với b ∈ { 0;1; 2; ;9} Khi đó: ( x + x − 1) có chữ số tận là: 1, (*) y+1 Mặt khác: luỹ thừa bậc lẻ nên có tận (**) Từ (*) (**) suy phương trình vô nghiệm + 2 - Ví dụ 3: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x − xy + 13 y = 100 (3) Nhận xét – Tìm hướng giải: Với trường hợp ta sử dụng Phương pháp ( Phương pháp đưa dạng tổng) Tuy nhiên vế phải số phương nên ta sử dụng tính không âm luỹ thừa bậc chẳn để giới hạn tập giá trò, sau sử dụng lựa chọn GIẢI: y ≤ 2 ( 25 − y ) = n ( n ∈ ¥ ) (3) ⇒ ( x − 3) = ( 25 − y ) ⇒ Do đó: y ∈ { −5; −4; −3;0;3; 4;5} ⇒ x ∈ { 3;9;11;13} Phương trình có nghiệm nguyên: ( x; y ) ∈ { ( −5;3) ; ( −4;9 ) ; ( −3;11) ; ( 0;13) ; ( 3;11) ; ( 4;9 ) ; ( 5;3 ) } Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: a/ x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) = y 2 b/ x − y = 74 - PHƯƠNG PHÁP 7: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang) Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác - Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) số tự do, để có phương trình đơn giản - Sử dụng linh hoạt Phương pháp để giải phương trình Các ví dụ minh hoạ: 3 - Ví dụ 1: Giải phương trình: x − y − z = (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: 3 3 3 3 Ta thấy x − y − z = ⇒ ( x − y − z ) M3 mà ( −3 y − z ) M3 nên x3 M3 GIẢI: 3 3 Ta có: (1) ⇒ ( x − y − z ) M3 ⇒ x M3 ⇒ x M3 ⇒ x = 3x1 3 3 3 Khi đó: (1) ⇒ ( 27 x1 − y − z ) M3 ⇒ ( x1 − y − z ) M3 ⇒ y M3 ⇒ y M3 ⇒ y = y1 ⇒ ( x13 − 27 y13 − z ) M3 ⇒ z M3 ⇒ z M3 ⇒ y = z1 * Tiếp tục biểu diễn gọi x0 ; y0 ; z0 nghiệm (1) ∈ U ( x ; y ; z ) ≤ x0 ; y0 ; z0 ≤ Thực thử chọn ta được: x0 = y0 = z0 = Vậy nghiệm phương trình là: x0 = y0 = z0 = Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 a/ x + y = z 3 b/ x − y − z = 2 c/ x − y = - PHƯƠNG PHÁP 8: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm phương trình bậc hai Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n 0 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng Phương pháp: Phương pháp sử dụng với phương trình có dạng: f f( x; y ) = f ( x ; y ) đa thức bậc hai Trong đó: - Biến đổi phương trình đưa dạng phương trình bậc hai (một ẩn ẩn phương trình bậc hai; ẩn tham số) Biện luận nghiệm theo điều kiện nghiệm phương trình bậc hai *Chú ý: Nên chọn ẩn có hệ số Các ví dụ minh hoạ: + 2 - Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z thoả: x + y + xy + x + y + = (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy phương trình xem phương trình bậc hai ẩn y tham số x GIẢI: 2 (1) ⇒ y + ( x + 1) y + x + x + = Ta có: ∆′ = x − 4; ( ∆′ ≥ ) ⇒ y1,2 = − ( x + 1) ± ∆′ Do đó: y nhận giá trò nguyên với giá trò nguyên x ⇔ ∆′ nhận giá trò nguyên ⇔ ∆′ = x − = n2 ( n ∈ ¥ ) ⇒ x = ±2 (Áp dụng Phương pháp 2:Đưa dạng tích) + Với x = −2 ⇒ y = −5 + Với x = ⇒ y = Vậy nghiệm phương trình là: ( x = −2; y = −5 ) ; ( x = 2; y = 3) 2 - Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z thoả: 12 x + xy + y = 28 ( x + y ) (2) (Đề thi tốt nghiệp THCS – Bình Đònh; năm học: 2004 – 2005) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy phương trình xem phương trình bậc hai ẩn y tham số x GIẢI: 2 (2) ⇒ y + ( x − 14 ) y + 12 x − 28 x = Ta có: y nhận giá trò nguyên với giá trò nguyên x ⇔ ∆′ = −27 x + 196 = k ≥ ⇒ x ≤ ⇒ x ∈ { 0; ±1; ±2} + Với x = ⇒ y = + Với x = ⇒ y = + Với x = −1 ⇒ y = 10 + Với x = ± ⇒ y ∉ ¢ Vậy nghiệm phương trình là: ( x = 0; y = ) ; ( x = 1; y = ) ; ( x = −1; y = 10 ) + 2 - Ví dụ 3: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x − xy + 13 y = 100 (3) Nhận xét – Tìm hướng giải: Với trường hợp ta sử dụng Phương pháp ( Phương pháp đưa dạng tổng) giải Phương pháp (Phương pháp lựa chọn) Tuy nhiên, ta đưa phương trình bậc hai ẩn x tham số y GIẢI: (3) ⇒ ∆′ = −4 ( y − 25 ) ⇒ y ≤ Do đó: y ∈ { −5; −4; −3;0;3; 4;5} ⇒ x ∈ { 3;9;11;13} Phương trình có nghiệm nguyên: ( x; y ) ∈ { ( −5;3) ; ( −4;9 ) ; ( −3;11) ; ( 0;13) ; ( 3;11) ; ( 4;9 ) ; ( 5;3 ) } Bài tập áp dụng: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 a/ x + y − xy + x + y − 10 = b/ x − xy + y − x + = III) ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN : 10 Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng Bài toán phương trình nghiệm nguyên có nhiều ứng dụng công cụ để giải dạng loại tập khác Việc vận dụng đòi hỏi tư kết hợp Phương pháp giải cách hợp lí Sau đây; số ứng dụng thường gặp toán phương trình nghiệm nguyên Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm n ∈ ¥ cho 28 + 211 + 2n số phương (*) HD Giải: Ta có: 28 + 211 + 2n = a ( a ∈ ¥ ) ⇒ 2n = a − ( 28 + 211 ) = a − 482 = ( a + 48 ) ( a − 48 ) (*) + Đặt: n = p + q ( p, q ∈ ¥ ; p ≥ q ) Ta có: q a − 48 = ⇒ ⇒ p − 2q = 96 ⇔ 2q ( p − q − 1) = 25.3 (Vì ( p − q − 1) lẻ) nên: (*) p a + 48 = q = ⇒ p = ⇒ n = 12 Ví dụ 2: Tìm tất cặp số nguyên tố (x;y) cho: (x − y ) = x y + (2) (Đề thi Học sinh giỏi Lớp – năm học 2007 – 2008;Hoài Nhơn) HD Giải: Ta có: (x − y ) − = x y ⇔ ( x − y + 1) ( x − y − 1) = xy (**) + Vì (2) phương trình đối xứng x, y số nguyên tố nên đặt: x y ≥ 2≤ x< y⇒ y số lẻ (I) Ta có: x + y ≥ x − y + = xy ⇒ xy = ( a ) 2 x − y − = 2 x − y + = xy ⇒ xy = ( b ) x − y − = x − y + = y ⇒ x + y = 1( c ) (**) ⇒ 2 x − y − = x 2 x − y + = x x2 − y −1 = y ⇒ x − y = ( d ) x − y + = xy ⇒ xy − = ( e ) x − y − = + Kết hợp với điều kiện (I) ta có cặp số nguyên tố cần tìm là: ( x; y ) = ( 2;5 ) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên dương: (1) x + y + z = 15 3 x + y + z = 495(2) (Tạp chí Toán học –Tuổi trẻ số 373; tháng 7/2008) HD Giải: Ta có: 3 3 3 Hệ hệ phương trình đối xứng = 343 < 495 < 512 = ⇒ < x + y + z < nên: ≤ x ≤ y ≤ Giả sử: ≤ x ≤ y ≤ x + y + z = 15 ⇔ ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) = 480 (*) 3 x + y + z = 495 Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n 11 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng Vì: ( a − a ) = ( a − 1) a ( a + 1) ; ∀a ∈ ¢ ; nên: (x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) = 480 Kết hợp Phương pháp lựa chonï Phương pháp đưa tổng ta có nghiệm hệ phương trình cho ( x; y; z ) hoán vò ( 3;5;7 ) Ví dụ 4: Bài toán cổ Trăm trâu – n trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm – Trâu nằm ăn ba Lụm khụm trâu già – Ba bó HD Giải: Gọi a; b; c số lượng trâu đứng; trâu nằm; trâu già.Ta có hệ phương trình nghiệm nguyên dương: a + b + c = 100 c = 100 − ( a + b ) ⇒ c 5a + 3b + = 100 14a + 8b = 200 + Áp dụng Phương pháp 4(Phương pháp sử dụng tính chất chia hết) Ta có: 14a ≤ 200 ⇒ a ∈ { 0; 4;8;12} 14a M * Nếu a = ⇒ b = 25 ⇒ c = 75 * Nếu a = ⇒ b = 18 ⇒ c = 78 * Nếu a = ⇒ b = 11 ⇒ c = 81 * Nếu a = 12 ⇒ b = ⇒ c = 84 Ví dụ 5: Tìm số nguyên x;y z thoả: (5) (Thi GVDG năm học 2008 – 2009; Hoài Nhơn) x + y + z < xy + y + z − HD Giải: Ta có: (5) ⇔ x + y + z < xy + y + z − ⇔ x + ( x − y ) + ( y − 3) + ( z − 1) < 2 Đặt: A = x + ( x − y ) + ( y − 3) + ( z − 1) 2 2 x ≤1 x − y ≤1 ⇔ y −3 ≤1 z −1 ≤ x ( x − y ) ( y − 3) ( z − 1) = • Xét x = ⇒ x − y = y ≤ ⇒ y − ≥ ⇒ A ≥ (vô lí) Vậy x ≠ • Xét x ≠ ⇒ x = (a) + Nếu x − y = ⇒ y = x ⇒ y − ≥ ⇒ A ≥ (vô lí) Vậy x ≠ y ⇒ x − y = (b) + Nếu y − = ⇒ y = ⇒ x − y ≥ ⇒ A ≥ (vô lí) Vậy y ≠ ⇒ y − = (c) + Nếu z − = ⇒ z = (d) Từ (a); (b); (c); (d) ta có: x = 1; y = 2; z = Bài tập tham khảo: Tìm số nguyên tố p cho 4p + số phương Tìm số nguyên a lớn để: T = 427 + 41016 + 4a số phương (Toán Tuổi thơ – Số 11; Tháng1/2004) Tìm tất ba số nguyên dương x; y; z thoả: xyz = x + y + z + 10 12 Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng (Tạp chí Toán học –Tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008) Tìm số nguyên dương x; y; z thoả: xy − = z ( x − 1) ( y − 1) (Tạp chí Toán học –Tuổi trẻ số 370; tháng 4/2008) Tìm số nguyên dương nhỏ thoả mãn điều kiện sau: phần hai số bình phương số nguyên; phần ba số lập phương số nguyên; phần năm số luỹ thừa bậc năm số nguyên (Toán Tuổi thơ – Số 47) + HD: Đưa tập Tìm số nguyên dương x; y; z x; y; z ∈ ¢ x; y; z nhỏ thoả: x −1.3 y.5 z = a x y −1 z = b x.3 y.5z −1 = c5 Tìm tất số nguyên dưong: x; y; z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: x − y 2006 số hữu tỉ y − z 2006 2 (ii) x + y + z số nguyên tố (i) Phần III: KẾT LUẬN Bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ có tầm quan trọng nghiệp trồng người Để thực tốt nhiệm vụ này, đòi hỏi giáo viên cần nỗ lực cao công tác nghiên cứu nội dung chương trình, soạn thảo nội dung giảng dạy truyền thụ kiến thức cho học sinh Đề tài đưa số Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên số ứng dụng phương trình nghiệm nguyên vào việc giải dạng toán khác Chúng không mục đích trao đổi với đồng nghiệp để tìm phương án tối ưu cho việc giảng dạy phương trình nghiệm nguyên, qua nâng cao chất lượng đào tạo học sinh giỏi toán * Kết quả: - Bước đầu học sinh thấy sai sót tiếp cận với Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, vận dụng vào việc giải tập áp dụng - Học sinh hình thành số kỹ đáng kể việc phân tích đề, tìm cách giải trình bày giải Những học sinh đội tuyển học sinh giỏi ngày yêu thích môn, việc dạy học ngày thuận lợi có hiệu quả, trường có học sinh đạt học sinh giỏi cấp huyện môn Toán - Giáo viên môn Toán có thêm tài liệu Phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng * Đề xuất – kiến nghò: - Triển khai chuyên đề đến lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tổ chức ngoại khóa chuyên đề - Kiểm tra đánh giá khả tiếp thu học sinh theo Phương pháp giải, rút kinh nghiệm bổ sung cho phù hợp với đối tượng học sinh Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n 13 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng Môn Toán môn học có tính trừu tượng cao Việc giảng dạy học sinh đại trà khó, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lại khó nhiều học sinh Trong thực tế nay, động học tập nhiều học sinh bò chi phối lớn bới tác động xã hội Trên đường học toán – giải toán, phần lớn học sinh chưa xác đònh đường cách đi, người giáo viên người dẫn dắt em Mong đề tài bổ sung thêm tài liệu tham khảo cho công tác dạy bồi dưỡng học sinh dạy toán Chúng mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để chuyên đề ngày hoàn thiện, thực tài liệu bổ ích cho giáo viên học sinh Mục Lục Phần mở đầu ……………………………………………………………………………………………………… Trang Nội dung ……………………………………………………………………………………………………………… Trang - Mô tả tình trạng việc tại………………………………………………………………… Trang - Các Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên………………………… Trang - Phương pháp đưa dạng tổng …………………………….…………………………………… Trang - Phương pháp đưa dạng tích …………………………………………………………….…… Trang - Phương pháp cực hạn ………………… ………………………………………………………………… Trang - Phương pháp sử dụng tính chất chia hết ………………………………………………… Trang - Phương pháp sử dụng bất đẳng thức ………………………………………………………… Trang - Phương pháp lựa chọn …………………………… ……………………………………………………… Trang 10 - Phương pháp lùi vô hạn ………………………………………………………………………………… Trang 11 - Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm phương trình bậc hai… Trang 12 - Ứng dụng toán phương trình nghiệm nguyên ………………………… Trang 13 Kết luận………………………………………………………………………………………………………………… Trang 17 14 Tr¬ng Qc H¨ng Trêng THCS Yªn Nh©n