BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Phạm Văn Thái HÀM ZETA CỦA RIEMANN VÀ ĐỊNH LÍ SỐ NGUYÊN TỐ Chuyên ngành : Toán giải tích LUẬN VĂN THẠC SĨ TÂM LÝ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 MỤC LỤC MỤC LỤC .2 0T T MỞ ĐẦU .3 0T T Lý chọn đề tài 0T 0T Mục đích nghiên cứu 0T 0T Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0T 0T Ý nghĩa khoa học, thức tiễn 0T 0T CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0T 0T 1.1 Hàm số học 0T T 1.2 Chuỗi hàm phức 0T 0T 1.3 Một số tính chất tích phân hm biến phức .6 0T T 1.4 Chuỗi thặng dư .9 0T 0T 1.5 Tích vô hạn 11 0T T 1.6 Hàm gamma 11 0T 0T CHƯƠNG 2: HÀM ZETA CỦA RIEMANN 17 0T 0T 2.1 Hàm zeta 17 0T T 2.2 Thác triển hm zeta 17 0T 0T 2.3.Không điểm hàm zeta 23 0T 0T 2.4 Giá trị hàm zeta điểm nguyên 26 0T T 2.5 Quan hệ hàm zeta chuỗi hàm Dirichlet 29 0T T 3.1.Giới thiệu định lí số nguyên tố 37 0T 0T 3.2 Dạng tương đương định lí số nguyên tố 37 0T T 3.3 Định lí Tauberian 40 0T 0T 3.4 Chứng minh định lí số nguyên tố 47 0T 0T KẾT LUẬN 49 0T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 0T 0T MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lí số nguyên tố định lí hay tiếng Việc chứng minh định lí bộc lộ mối liên hệ thú vị phân bố số nguyên tố giải tích phức Đóng vai trò quan trọng mối quan hệ hàm zeta Riemann Sử dụng công cụ giải tích phức hàm zeta làm cho chứng minh định lí đơn giản nhiều so với chứng minh trước Hơn nữa, trình tìm tòi chứng minh nhà toán học tìm thấy mối liên hệ phân bố số nguyên tố với giả định tiếng Riemann, tất không điểm không tầm thường hàm zeta nằm đường thẳng Rez = Giả định chưa chứng minh Do đó, để tìm hiểu sâu giả định Riemann cần xem lại tính chất hàm zeta Riemann định lí số nguyên tố Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày tính chất hàm zeta chứng minh định lí số nguyên tố Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hàm zeta Riemann định lí số nguyên tố Phạm vi nghiên cứu gồm thác triển hàm zeta, không điểm hàm zeta, giá trị hàm zeta điểm nguyên, quan hệ hàm zeta chuỗi hàm Dirichlet chứng minh định lí số nguyên tố Ý nghĩa khoa học, thức tiễn Hệ thống lại tính chất hàm zeta định lí số nguyên tố Trên sở đó, tìm tòi, phát Vì khả thời gian có hạn nên luận văn nhiều thiếu sót Kính mong góp ý quý thầy cô bạn đọc CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm số học Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi hàm số học hàm số xác định * Định nghĩa 1.1.2 Hàm σ x hàm số học xác định σ x ( n= ) ∑d x , x ∈ , d ∈ * dn Đặc biệt d ( n ) số ước n = d ( n ) σ= (n) ∑1 dn Hàm Euler ϕ hàm số học xác định sau ϕ (1) = ϕ ( a ) số số tự nhiên nhỏ a, nguyên tố với a a > Hàm Mobius µ hàm số học xác định µ (1) = 1, µ ( n ) = ( −1) n tích r số nguyên tố phân r biệt µ ( n ) = trường hợp lại Định nghĩa 1.1.3 Hàm số học f gọi có tính chất nhân f không đồng a, b ∈ * , ( a, b ) = có f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) Định lí 1.1.1( Định lí số học) Mọi số nguyên dương lớn biểu diễn cách dạng tích số nguyên tố, thừa số nguyên tố viết theo thứ tự không giảm Để thuận tiện, ta thường nhóm thừa số nguyên tố thành luỹ thừa Cách biểu diễn số nguyên ta gọi phân tích tiêu chuẩn: n = p1α p α p k α k p 0, ∃N : ∀n > N , ∀z ∈ Ω ⇒ r ( z ) < ε ) n Chuỗi (1.2.1) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∞ ∑ k =1 fk hội tụ Nếu chuỗi (1.2.2) hội tụ chuỗi (1.2.1) hội tụ Định lí 1.2.1 ( Tiêu chuẩn Cauchy) (1.2.2) ∞ ∑ f ( z) k = n +1 k Chuỗi (1.2.1) hội tụ Ω ( ∀ε > 0, ∃N : ∀n, ∀m > n > N , ∀z ∈ Ω ⇒ ) f n +1 ( z ) + + f m ( z ) < ε Định lí 1.2.2 (Dấu hiệu Weierstrass) Nếu chuỗi dương ∞ ∑a n =1 n hội tụ số hạng chuỗi (1.2.1) thoả mãn f n ( z ) ≤ an , ∀z ∈ Ω, ∀n > n0 , n0 số nguyên dương chuỗi (1.2.1) hội tụ Ω 1.3 Một số tính chất tích phân hm biến phức Định lí 1.3.1 Cho f,g hai hàm liên tục đường cong γ ;a,b số phức Khi ∫γ ( af ( z ) + bg ( z ) ) dz = a ∫γ f ( z ) dz + b ∫γ g ( z ) dz Định lí 1.3.2 Cho γ : [ a, b ] → đường cong Kí hiệu γ - đường cong γ với chiều ngược lại Với P P hàm f liên tục γ ta có ∫γ f ( z ) dz = − ∫ f ( z ) dz γ− Định lí 1.3.3 Cho đường cong γ : [ a, b ] → , γ : [b, c ] → cho γ (b) = γ (b) Khi tổng γ γ γ ( t ) , t ∈ [ a, b ] ; γ ( t ) = γ ( t ) , t ∈ [b, c ] Với f liên tục γ ta đường cong γ= γ + γ xác định γ ( t ) = có f ( z ) dz ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz ∫γ = γ γ Định lí 1.3.4 Với hàm f liên tục đường cong γ ta có f (z) l , ∫γ f ( z ) dz ≤ ∫γ f ( z ) dz ≤ sup γ z∈ ∫γ f ( z ) dz hiểu tích phân đường loại γ , l độ dài γ Định lí 1.3.5 Cho { f n } dãy hàm liên tục miền D có tổng f Khi với đường cong trơn khúc γ ⊂ D có = ∫ f ( z ) dz γ ∞ ∑ f n ( z ) dz ∫= ∞ ∑ ∫ f ( z ) dz = n γ γ n 1= n Định lí 1.3.6 ( Định lí Cauchy cho miền đơn liên) Nếu w = f ( z ) hàm chỉnh hình miền đơn liên D với chu tuyến trơn khúc γ nằm D, ta có ∫γ f ( z ) dz = Định lí 1.3.7 Giả sử D miền đơn liên bị chặn với ∂D chu tuyến trơn khúc Khi f hàm chỉnh hình D liên tục D= D ∪ ∂D ∫ f ( z ) dz = ∂D Định lí 1.3.8 ( Định lí Cauchy cho miền đa liên) Nếu D miền n – liên bị chặn, f hàm chỉnh hình D, liên tục D ∫ f ( z )dz = ∂D Định lí 1.3.9 ( Công thức tích phân Cauchy) Giả sử hàm f chỉnh hình miền D z0 ∈ D Khi với chu tuyến γ ⊂ Dγ ⊂ D , ta có công thức Cauchy f ( z0 ) = f (η ) dη ∫ 2π i γ + η − z0 Nếu thêm vào f liên tục D= D ∪ ∂D với ∂D chu tuyến với z ∈ D ta có f ( z) = f (η ) dη 2π i ∂∫D η − z Định nghĩa 1.3.1 Giả sử Γ đường cong đơn, trơn khúc f hàm liên tục Γ Với z ∈ \ Γ có ϕ (η ) = f (η ) hàm liên tục Γ η−z Đặt F ( z ) = f (η ) dη 2π i ∫Γ η − z (1.3.1) ta hàm xác định \ Γ Hàm F(z) gọi tích phân loại Cauchy Định lí 1.3.10 (Cơng thức tích phn loại Cauchy) Giả sử Γ đường cong đơn, trơn khúc f hàm liên tục Γ Khi hàm F xác định công thức (1.3.1) hàm chỉnh hình = D \ Γ Hơn miền D,F có đạo hàm cấp, chúng tính theo công thức F (n) ( z ) = f (η ) n! dη ∫ 2π i Γ (η − z )n +1 (1.3.2) Định lí 1.3.11 Giả sử hàm f chỉnh hình miền D Khi f có đạo hàm cấp đạo hàm hàm chỉnh hình miền D Các đạo hàm f điểm z biểu diễn công thức f (n) ( z ) = f (η ) n! dη , n 1, 2, γ chu tuyến tuỳ ý bao quanh z cho Dγ ⊂ D = ∫ 2π i γ (η − z )n +1 Định li 1.3.12.Giả sử {a, b} ⊂ ϕ hàm biến phức liên tục không gian tích Ω × [ a, b ] , với t ∈ [ a, b ] , hàm z → ϕ ( z , t ) chỉnh hình Ω Hàm F xác định Ω cho công thức b = F ( z) ∫ ϕ ( z, t )dt , z ∈ Ω Khi F chỉnh hình Ω a b = F ( z) ' ∂ϕ ∫ ∂z ( z, t )dt , z ∈ Ω a Định nghĩa 1.3.2 Giả sử { f n } dãy hàm liên tục miền D Ta nói { f n } hội tụ tập compact (trong D) tới hàm f với tập compact K ⊂ D , với ε > , có N = N ( K , ε ) cho f n ( z ) − f ( z ) < ε với z ∈ K , n > N Định lí 1.3.13 (Định lí Weierstrass) Nếu f n chỉnh hình D với n { f n } hội tụ tập compact R R (trong D) tới hàm f f chỉnh hình D Định nghĩa 1.3.3 Giả sử Ω tập mở A(Ω) không gian vectơ hàm chỉnh hình Ω Họ hàm F ⊂ A(Ω) gọi bị chặn tập compact sup { f ( z ) : z ∈ K , f ∈ F } < ∞ với tập compact K ⊂ Ω Họ hàm F ⊂ A(Ω) gọi đồng liên tục z0 ∈ Ω với ε > tồn δ > cho với z ∈ Ω thỏa z − z0 < δ f ( z ) − f ( z0 ) < ε , với f ∈ F Họ hàm F ⊂ A(Ω) gọi đồng liên tục tập compact với tập compact K ⊂ Ω, với ε > 0, tồn δ = δ ( K , ε ) cho f ( z ) − f ( z ' ) < ε , với z , z ' ∈ K m z − z ' < δ Bổ đề 1.3.1 Mọi họ F ⊂ A(Ω) bị chặn tập compact Ω đồng liên tục điểm thuộc Ω Bổ đề 1.3.2 Giả sử F tập đồng liên tục C (Ω) , nghĩa f ∈ F liên tục Ω F đồng liên tục điểm Ω , dy { f n } ⊂ F cho f n hội tụ điểm đến f Ω Khi f liên tục Ω f n → f tập compact Ω Tổng quát hơn, f n hội tụ điểm đến f tập trù mật Ω f n → f tập compact Ω Định lí 1.3.14 ( Định lí Montel) Cho F ⊂ A(Ω) bị chặn tập compact Khi dãy tập compact Ω Định lí 1.3.15 ( Định lí Vitali) { f n } ⊂ F có dãy hội tụ Cho { f n } dãy bị chặn A(Ω) , Ω l tập mở lin thông Nếu dy { f n } hội tụ điểm S ⊂ Ω với S l tập có điểm tụ Ω { f n } hội tụ cc tập compact Ω đến hàm f ∈ A(Ω) 1.4 Chuỗi thặng dư Định lí 1.4.1(Định li Taylor) ∞ ∑ c (z − z ) Nếu hàm f chỉnh hình B( z0 , R) thì= f ( z) n n =0 n n với z ∈ B( z0 , R), hệ số cn xác định công thức cn = f (η ) dη , n 0,1 , với < r < R = n +1 ∫ 2π i z − z0 = ( η z ) − r Định li 1.4.2 (Định li nhất) Giả sử f g hàm chỉnh hình miền D, f ( zn ) = g ( zn ) dãy điểm khác { zn } ⊂ D lim zn= a ∈ D Khi f ( z ) = g ( z ), với z ∈ D +∞ ∑ c (z − z ) Định nghĩa 1.4.1 Chuỗi hàm có dạng k = −∞ gọi chuỗi Laurent theo lũy thừa ( z − z0 ) hay k k chuỗi Laurent z0 Định lí1.4.3 Nếu hàm f(z) chỉnh hình hình vành khăn ≤ r < z − z0 < R < +∞ f(z) biểu diễn dạng f ( z) = +∞ ∑ c (z − z ) k k = −∞ k (1.4.1) Các hệ số chuỗi (1.4.1) xác định công thức cn = f (η ) dη , n = 0, ±1, ±2, , ∫ 2π i γ ρ (η − z0 ) n +1 γ ρ đường tròn z − z0 = ρ , r < ρ < R Định nghĩa 1.4.2 Giả sử hàm f chỉnh hình hình vành khăn < z − z0 < r Khi xảy ba khả sau: i) Tồn lim f ( z )= a ∈ , z0 gọi điểm thường z → z0 ii) Tồn lim f ( z ) = ∞ , z0 gọi cực điểm hàm f z → z0 iii) Không tồn lim f ( z ) , z0 gọi điểm bất thường cốt yếu hàm f z → z0 Ta xét khai triển Laurent hàm f(z) hình vành khăn < z − z0 < r = f ( z) +∞ ∑ c (z − z ) n = −∞ n n (1.4.2) cn = f (η ) dη , n = 0, ±, ±2, , ∫ 2π i γ ρ (η − z0 ) n +1 γ ρ đường tròn z − z0 = ρ ;0 < ρ < r Định li 1.4.4 Nếu tồn lim f ( z )= a ∈ f thác triển chỉnh hình tới z0 z → z0 Định lí 1.4.5 i) Điểm z0 cực điểm hàm f(z) < z − z0 < r khai triển (1.4.2) tồn số m > cho c− m ≠ ck = 0, với k < −m Số nguyên m > gọi bậc cực điểm z0 ii) Điểm z0 điểm bất thường cốt yếu khai triển (1.4.2) tồn vô số k > cho c− k ≠ Định nghĩa 1.4.3 Giả sử f hàm chỉnh hình hình tròn thủng < z − z0 < r Thặng dư hàm f z0 , kí hiệu res [ f , z0 ] , xác định res [ f , z0 ] = f ( z )dz , 2π i ∫γ với γ đường tròn z − z0 = ρ ;0 < ρ < r Định lí 1.4.6 Giả sử hàm f có khai triển Laurent lân cận điểm z0 f ( z) = +∞ ∑ c (z − z ) n = −∞ n n Khi res [ f , z0 ] = c−1 Định lí 1.4.7 Nếu z0 cực điểm đơn hàm f res [ f= , z0 ] lim( z − z0 ) f ( z ) z → z0 Định lí 1.4.8 Nếu f ( z ) = ϕ ( z) ϕ ( z0 ) ψ ′ ( z0 ) ≠ res f ( z ) , z0 = ϕ ( z0 ) ≠ 0,ψ ( z0 ) = ψ ( z) ψ ′ ( z0 ) Định lí 1.4.9 ( Định lí thặng dư) Giả sử f hàm chỉnh hình miền D trừ số hữu hạn điểm z , z ,…,z n nằm D Khi với R chu tuyến γ D cho { z1 , z2 , , zn } ⊂ Dγ ⊂ D có ∫γ n f (η )dη = 2π i ∑ res f ( z ) , zk k =1 R R R R R