Hàm Zeta-Riemann và định lý số nguyên tố

Đây là một phiên bản giải tích cho định lý cơ bản của số học, rằng mỗi sốnguyên có thể phân tích một cách duy nhất thành các thừa số nguyên tố.. Bước cuối cùngđược hoàn tất bởi Hadamard

Lời cảm ơn

Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tácgiả trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đạihọc sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhàtrường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đãtạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên vàtạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Tác giả

Trương Nguyễn Minh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn “Hàm Zeta-Riemann và Định lý số nguyên tố” được hoànthành, không trùng với bất kỳ luận văn nào khác

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Tác giả

Trương Nguyễn Minh

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Hàm chỉnh hình 7

1.2 Tích phân của hàm biến phức 9

1.3 Khai triển chuỗi luỹ thừa của hàm chỉnh hình 17

1.4 Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp 19

Chương 2 KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM ZETA-RIEMANN 20 2.1 Hàm Zeta-Riemann 20

2.2 Mối liên quan khác của chuỗi Dirichlet với hàm ζ(s) 25

2.3 Các tổng liên quan đến σa(n) 30

2.4 Đặc trưng giải tích của hàm ζ(s) và phương trình hàm 33

2.4.1 Thác triển giải tích và phương trình hàm 33

2.4.2 Không điểm và công thức nhân tử 40

Chương 3 ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ 44

3.1 Giới thiệu 44

3.2 Một số bổ đề 50

3.3 Định lý Tauberian 55

3.4 Định lý số nguyên tố 61

3.5 Công thức tiệm cận Selberg 63

3.6 Phép chứng minh cơ bản của định lý số nguyên tố 66Kết luận 78Tài liệu tham khảo 79

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Một trong những nhà toán học đặt nền móng cho việc nghiên cứu hàmzeta ζ(s) là Leonhard Euler, nhưng về mặt cơ bản ông mới chỉ nghiêncứu nó dưới dạng hàm với biến số thực Một trong những kết quả quantrọng của ông đó là công thức tích vô hạn (gọi là tích Euler) lấy trên tất

cả các số nguyên tố Tích này hội tụ khi phần thực của s lớn hơn 1 Đây

là một phiên bản giải tích cho định lý cơ bản của số học, rằng mỗi sốnguyên có thể phân tích một cách duy nhất thành các thừa số nguyên

tố Euler đã dùng tích này để chứng minh rằng tổng nghịch đảo của các

số nguyên tố là không bị chặn

Công thức tích Euler đã thu hút sự quan tâm của Riemann tới hàm zeta,điều đó được thể hiện qua việc ông cố gắng chứng minh một giả thuyếtcủa Legendre Dưới một dạng chính xác hơn, giả thuyết được phát biểubởi Gauss qua công thức

một phương trình hàm mà dạng đối xứng của nó là

ζ (s) = s (s − 1) πs2Γ

s2

ra một công thức tường minh cho π(x) phụ thuộc vào các không điểmphức ρ = β + iγ của ζ(s) Một dạng đơn giản của công thức nói rằng

trên ρ với số bội và được hiểu là lim

Cũng từ phương trình hàm nêu trên chỉ ra rằng các không điểm phứcphải đối xứng qua đường thẳng Re(s) = 1

7

8 + S (T ) + O

 1T

.Thêm nữa, Riemann cũng chứng minh rằng S (T ) = O (log T ) và nêu ragiả thuyết rằng mỗi không điểm của ζ thực sự đều nằm trên đường thẳng

Im (z) = 1

2; đó chính là giả thuyết Riemann Các nỗ lực của Riemann

đã tiến gần đến việc chứng minh giả thuyết của Gauss Bước cuối cùngđược hoàn tất bởi Hadamard và De la Vallée Poussin, hai người đã chứngminh độc lập nhau trong năm 1896 rằng ζ(s) khác không khi phần thựccủa s bằng 1, và từ đó dẫn tới kết luận khẳng định cho giả thuyết củaGauss, bây giờ được gọi là Định lý số nguyên tố.

Những công trình của Riemann mở ra những ngành nghiên cứu mới kếthợp giữa giải tích và hình học, bao gồm lý thuyết hình học Riemann,hình học đại số và lý thuyết về đa tạp phức Ông đã giới thiệu hàm Zeta-Riemann và thiết lập các kết quả quan trọng của nó trong việc hiểu được

sự phân bố của số nguyên tố Được sự định hướng của người hướng dẫn,

em chọn đề tài: “Hàm Zeta-Riemann và Định lý số nguyên tố”với mong muốn được tìm hiểu về sự phân bố các không điểm của hàmZeta-Riemann và mối liên quan tới Định lý số nguyên tố để hoàn thànhluận văn khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về tính chất các không điểm hàm Zeta-Riemann;

Áp dụng tính chất các không điểm để nghiên cứu sự phân bố số nguyêntố;

Trình bày phép chứng Định lý số nguyên tố của H.L Keng [7]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc tài liệu, tìm hiểu hiểu về hàm số Zeta-Riemann và các kiến thứcliên quan

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất căn bản của hàm ζ, khái niệm không điểm

và mối liên quan đến định lý số nguyên tố;

Chứng minh định lý số nguyên tố

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích từ tài liệu;

Sử dụng các tính chất không điểm hàm ζ và định lý số nguyên tố

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Trình bày một cách hệ thống về các tính chất căn bản của hàm Riemann;

Zeta-Nêu hai phương pháp chứng minh định lý số nguyên tố

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1 Cho D là tập con mở trong mặt phẳng phức C và f

là một hàm nhận giá trị phức trên D Giả sử h ∈ C và h 6= 0 sao cho

z0 + h ∈ D Nếu tồn tại giới hạn

lim

h→0

f (z0 + h) − f (z0)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f tại điểm z0 và được

ký hiệu bởi f0(z0) Biểu thức

f (z0 + h) − f (z0)

hđược gọi là thương vi phân của hàm f tại điểm z0

Định nghĩa 1.2 Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó khả

vi phức trong một lân cận của điểm đó nằm trong D Hàm f được gọi

là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm z ∈ D Nếu M làtập con đóng của mặt phẳng phức C, ta nói rằng f chỉnh hình trên Mnếu f chỉnh hình trên một tập con mở nào đó chứa M

Ví dụ 1.1 Hàm f (z) = z chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C

và f0(z) = 1 Thật vậy, với mọi z ∈ C chúng ta có

Rõ ràng, hàm f chỉnh hình tại z0 ∈ D nếu và chỉ nếu tồn tại số phức asao cho

0

= f

0.g − f.g0

g2 Hơn nữa, nếu f : D → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì hợpthành g ◦ f cũng là hàm chỉnh hình trên D và ta có

(g ◦ f )0(z) = g0(f (z)) f0(z)

Từ ví dụ 1.2 cho ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệm khả

vi thông thường của hàm hai biến thực Thực vậy, hàm f (z) = ¯z tươngứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) 7→ (x, −y) Hàmnày khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại mộtđiểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, matrận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Tuy nhiên, ta thấyđiều kiện tồn tại các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Đểhàm f khả vi phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực chúng

ta cần đến điều kiện (C - R) được cho bởi định lý dưới đây mà chứngminh của nó có thể tìm trong [1]

Định lý 1.1 (Điều kiện Cauchy-Riemann [1]) Điều kiện cần và đủ đểhàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại điểm

đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng thờicác đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann

1.2 Tích phân của hàm biến phức

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình

là tích phân của hàm dọc theo đường cong Trước khi đưa ra kết quảchính, chúng ta trình bày một số khái niệm về đường cong và miền.Đường cong tham số trong C là một hàm liên tục z(t) = x(t) + iy(t) ánh

xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặt phẳng phức, trong đó các hàm x(t) và y(t)

là các hàm thực liên tục Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạohàm z0(t) liên tục trên [a, b] và z0(t) 6= 0 với mọi t ∈ [a, b]

Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trênđoạn [a, b] và tồn tại các điểm

a = a0 < a1 < · · · < an = bsao cho z(t) là trơn trên mỗi đoạn [ak, ak+1]

Hai đường cong tham số

z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → Cđược gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s 7→ t(s)

từ [c, d] vào [a, b] sao cho t0(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)) Điều kiện t0(s) > 0đảm bảo rằng hướng của đường cong được định khi s chạy từ c đến dthì t chạy từ a đến b Họ tất cả các đường cong tham số tương đươngvới z(t) xác định một đường cong trơn γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn[a, b] qua z với hướng cho bởi z khi t chạy từ a đến b Chúng ta có thểxác định đường cong γ− thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngượchướng Như một dạng tham số hoá đặc biệt đối với γ−, chúng ta có thểlấy z− : [a, b] → R2 xác định bởi

z−(t) = z(b + a − t)

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong.Bởi vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với tchạy từ a đến b, nên một cách tự nhiên gọi z(a) là điểm đầu và z(b) làđiểm cuối của đường cong

Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z(a) =z(b) với tham số hoá bất kỳ của nó

Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đơn nếu nó không có

điểm tự cắt, nghĩa là z(s) 6= z(t) khi s 6= t ngoại trừ s = a và t = b.Đường cong đơn và đóng gọi là chu tuyến.

Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây(i) D là tập mở;

(ii) Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong L ⊂ D nối a và b

Miền giới hạn bởi chu tuyến γ được ký hiệu là Dγ Miền D được gọi làđơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có Dγ ⊂ D Miền thuđược từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n-miền Dγ1, Dγ2, , Dγn khônggiao nhau nằm trong D được gọi là miền (n + 1)-liên (khi không cầnphân biệt rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên)

Quy ước Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theobiên thì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại làchiều âm Đối với miền D được xét người ta thường ký hiệu ∂D là biêncủa nó lấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm

Định nghĩa 1.3 Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hoá bởiphương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ Tích phân củahàm f dọc theo γ được cho bởi công thức

Nếu viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì

v(x, y)dx + u(x, y)dy

Từ công thức trên đây cho ta thấy tích phân của hàm biến phức trênđường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường Từ tính chấtcủa tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau củatích phân hàm biến phức

Mệnh đề 1.3 Tích phân của hàm liên tục trên đường cong có các tínhchất sau

(ii) Tính chất phụ thuộc hướng của đường cong Nếu γ− là đườngcong γ với hướng ngược lại thì

γ

f (z)dz

Ví dụ 1.4 Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham số

z = z(t); t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b) Khi đó

Định lý 1.2 (Cauchy-Goursat, [1]) Giả sử D là một miền n- liên trong

C với biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f là hàm chỉnhhình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D Khi đó, ta có

(udx − vdy) + i(vdx + udy)

Theo định lý Green đối với tích phân đường

Z

∂D

F =Z

D

dF

Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta có

Tương tự, tích phân của phần ảo trong cũng bằng 0 và định lý đượcchứng minh

Định lý 1.3 (Công thức tích phân Cauchy) Nếu f là hàm chỉnh hìnhtrong một miền D và z0 ∈ D Khi đó, với mọi chu tuyến đóng bất kỳ

γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì

f (z0) = 1

2πiZ

∂D

f (ξ)

ξ − zdξ.

Chứng minh Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0 sao cho

Dγ ⊂ D Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0, ρ) tâm z0 bán kính ρ chứatrong Dγ Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ) và Dγ, ρ = Dγ\S(z0, ρ).Bởi vì f (ξ)

ξ − z0 là hàm chỉnh hình với mọi ξ ∈ Dγ\S(z0, ρ), nên chúng tacó

Thực hiện phép đổi biến đối với tích phân ở vế phải ξ − z0 = ρeit;

f(n)(z0) = n!

2πiZ

γ

f (z)(z − z0)n+1dz; với mọi z0 ∈ Dγ

Chứng minh Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n.Trường hợp n = 0, ta nhận được từ công thức tích phân Cauchy Giả sử

công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức là

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0 + h ∈ Dγ, thương vi phân đối với hàm

f(n−1) tại z0 được cho bởi công thức



1(ξ − z0 − h)n −

1(ξ − z0)n

dξ

(ξ − z0 − h)n −

1(ξ − z0)n

n(ξ − z0)n−1



dξ = n!

2πiZ

γ

f (z)(z − z0)n+1dz.Định lý được chứng minh

1.3 Khai triển chuỗi luỹ thừa của hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.4 Giả sử hàm f khả vi vô hạn lần tại điểm z0 Khi đó,

n

là chuỗi Taylor của hàm f (z) trong lân cận của điểm z0 Khi z0 = 0 thìchuỗi được gọi là chuỗi Maclaurin

Định lý 1.5 Giả sử f là hàm chỉnh hình trong một tập mở D NếuS(z0, ρ) = {z : |z − z0| < ρ} là đĩa tâm z0 bán kính ρ mà bao đóng của

nó chứa trong D, thì f có khai triển chuỗi luỹ thừa tại z0

Chứng minh Cố định z ∈ S(z0, ρ) và gọi Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ).Theo công thức tích phân Cauchy, chúng ta có

f (z) = 1

2πiZ

Cρ

f (ξ)dξ

ξ − z .Chúng ta viết nhân của tích phân dưới dạng

chuỗi hội tụ đều với mọi ξ ∈ Cρ Điều đó cho phép ta lấy tích phân từng

số hạng của chuỗi và thu được

Cρ

f (ξ)(ξ − z0)n+1dξ





(z − z0)n

1.4 Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ

znn! + · · ·sin z = z − z

3

3! +

z55! − · · · + (−1)n z

2n+1

(2n + 1)! + · · ·cos z = 1 − z

2

2! +

z44! − · · · + (−1)n z

2n

(2n)! + · · ·sinh z = z + z

3

3! +

z55! + · · · +

z2n+1(2n + 1)! + · · ·cosh z = 1 + z

2

2! +

z44! + · · · +

z2n(2n)! + · · ·ln(1 + z) = z − z

Trong cả hai định nghĩa trên s là biến số phức s = σ + it Khi đó chuỗiDirichlet (2.1) là hội tụ với σ > 1, hội tụ đều trong miền σ ≥ 1 + δ, với

δ > 0 Do đó chuỗi xác định một hàm giải tích, đều với σ > 1

Tích vô hạn (2.2) cũng hội tụ tuyệt đối khi σ > 1; có được điều này

là do

X

p

...

Tầm quan trọng hàm ζ(s) lý thuyết số nguyên tốnằm kiện kết hợp hai biểu thức, hai biểu thứcchứa số nguyên tố biểu thức cịn lại khơng liên quan đếnyếu tố Lý thuyết số nguyên tố có mối liên quan... được

Bởi số ngun dương n phân tích cách thànhtích lũy thừa số nguyên tố pm nên thu chuỗi (2.1).Như công thức (2.1) (2.2) tương đương mặt giải tíchcủa định lý nói biểu diễn số nguyên. .. diễn số nguyên dạng tích s? ?nguyên tố xác định cách

Một phép chứng minh chặt chẽ xây dựng dễ dàng việctrước hết lấy số hữu hạn nhân tử Từ việc lấy tích

số hữu hạn chuỗi hội tụ tuyệt