Hàm Zeta-Riemann và định lý số nguyên tố

Lời cảm ơn Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Trương Nguyễn Minh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn “Hàm Zeta-Riemann và Định lý số nguyên tố” được hoàn thành, không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Trương Nguyễn Minh Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . 7 1.1. Hàm chỉnh hình . . 7 1.2. Tích phân của hàm biến phức. 9 1.3. Khai triển chuỗi luỹ thừa của hàm chỉnh hình . . 17 1.4. Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp . 19 Chương 2. KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM ZETA-RIEMANN . . 20 2.1. Hàm Zeta-Riemann. . 20 2.2. Mối liên quan khác của chuỗi Dirichlet với hàm ζ(s) . 25 2.3. Các tổng liên quan đến σ a (n) . . . 30 2.4. Đặc trưng giải tích của hàm ζ(s) và phương trình hàm. . 33 2.4.1. Thác triển giải tích và phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2. Không điểm và công thức nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 3. ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1. Giới thiệu . . 44 3.2. Một số bổ đề . . . . 50 3.3. Định lý Tauberian . . . 55 3.4. Định lý số nguyên tố . . . 61 3.5. Công thức tiệm cận Selberg. . . 63 1 3.6. Phép chứng minh cơ bản của định lý số nguyên tố . . 66 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Một trong những nhà toán học đặt nền móng cho việc nghiên cứu hàm zeta ζ(s) là Leonhard Euler, nhưng về mặt cơ bản ông mới chỉ nghiên cứu nó dưới dạng hàm với biến số thực. Một trong những kết quả quan trọng của ông đó là công thức tích vô hạn (gọi là tích Euler) lấy trên tất cả các số nguyên tố. Tích này hội tụ khi phần thực của s lớn hơn 1. Đây là một phiên bản giải tích cho định lý cơ bản của số học, rằng mỗi số nguyên có thể phân tích một cách duy nhất thành các thừa số nguyên tố. Euler đã dùng tích này để chứng minh rằng tổng nghịch đảo của các số nguyên tố là không bị chặn. Công thức tích Euler đã thu hút sự quan tâm của Riemann tới hàm zeta, điều đó được thể hiện qua việc ông cố gắng chứng minh một giả thuyết của Legendre. Dưới một dạng chính xác hơn, giả thuyết được phát biểu bởi Gauss qua công thức π(x) ∼ x  2 dt log(t) , trong đó π(x) là số các số nguyên tố không vượt quá x. Riemann đã tạo ra một bước tiến lớn tới giả thuyết của Gauss. Ông nhận ra rằng sự phân bố các số nguyên tố phụ thuộc vào sự phân bố các không điểm của hàm zeta. Công thức tích Euler chứng tỏ không có không điểm nào của ζ(s) có phần thực lớn hơn 1. Bằng việc chứng minh rằng ζ(s) thỏa mãn 3 một phương trình hàm mà dạng đối xứng của nó là ζ (s) = s (s − 1) π s 2 Γ  s 2  ζ (s) = ζ (1 − s) , trong đó Γ(s) là hàm Gamma ζ  1 2 + it  ; với 0 < t < T. Phương trình hàm chỉ ra không có không điểm nào có phần thực nhỏ hơn 0. Như vậy, mọi không điểm phức phải nằm trong dải 0 ≤ Re(z) ≤ 1. Riemann đưa ra một công thức tường minh cho π(x) phụ thuộc vào các không điểm phức ρ = β + iγ của ζ(s). Một dạng đơn giản của công thức nói rằng Ψ(x) =  n≤x Λ(n) = x −  p x p p − log(2π) − 1 2 log  1 − 1 x 2  được thỏa mãn nếu x không phải là lũy thừa của một số nguyên tố, trong đó hàm hàm Von Mangoldt Λ(n) = log p nếu n = p k với p là số nguyên tố; k là một số nguyên nào đó và Λ(n) = 0 trong các trường hợp còn lại. Do đó phải có nhiều vô hạn các không điểm ρ. Ở đây tổng tính trên ρ với số bội và được hiểu là lim T →∞  |ρ|≤T . Chú ý rằng |x| ρ = |x| β ; do đó cần chỉ ra β < 1 để chứng minh rằng  n≤x Λ(n) ∼ x, đây là một cách phát biểu khác giả thuyết của Gauss. Cũng từ phương trình hàm nêu trên chỉ ra rằng các không điểm phức phải đối xứng qua đường thẳng Re(s) = 1 2 . Riemann đã chứng tỏ rằng số các không điểm N(t) với phần ảo nằm giữa 0 và T, là N (T) = T 2π log T 2πe + 7 8 + S (T ) + O  1 T  . Thêm nữa, Riemann cũng chứng minh rằng S (T ) = O (log T ) và nêu ra giả thuyết rằng mỗi không điểm của ζ thực sự đều nằm trên đường thẳng Im (z) = 1 2 ; đó chính là giả thuyết Riemann. Các nỗ lực của Riemann 4 đã tiến gần đến việc chứng minh giả thuyết của Gauss. Bước cuối cùng được hoàn tất bởi Hadamard và De la Vallée Poussin, hai người đã chứng minh độc lập nhau trong năm 1896 rằng ζ(s) khác không khi phần thực của s bằng 1, và từ đó dẫn tới kết luận khẳng định cho giả thuyết của Gauss, bây giờ được gọi là Định lý số nguyên tố. Những công trình của Riemann mở ra những ngành nghiên cứu mới kết hợp giữa giải tích và hình học, bao gồm lý thuyết hình học Riemann, hình học đại số và lý thuyết về đa tạp phức. Ông đã giới thiệu hàm Zeta- Riemann và thiết lập các kết quả quan trọng của nó trong việc hiểu được sự phân bố của số nguyên tố. Được sự định hướng của người hướng dẫn, em chọn đề tài: “Hàm Zeta-Riemann và Định lý số nguyên tố” với mong muốn được tìm hiểu về sự phân bố các không điểm của hàm Zeta-Riemann và mối liên quan tới Định lý số nguyên tố để hoàn thành luận văn khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về tính chất các không điểm hàm Zeta-Riemann; Áp dụng tính chất các không điểm để nghiên cứu sự phân bố số nguyên tố; Trình bày phép chứng Định lý số nguyên tố của H.L. Keng [7]. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc tài liệu, tìm hiểu hiểu về hàm số Zeta-Riemann và các kiến thức liên quan. 5 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu một số tính chất căn bản của hàm ζ, khái niệm không điểm và mối liên quan đến định lý số nguyên tố; Chứng minh định lý số nguyên tố. 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích từ tài liệu; Sử dụng các tính chất không điểm hàm ζ và định lý số nguyên tố. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Trình bày một cách hệ thống về các tính chất căn bản của hàm Zeta- Riemann; Nêu hai phương pháp chứng minh định lý số nguyên tố. 6 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1. Cho D là tập con mở trong mặt phẳng phức C và f là một hàm nhận giá trị phức trên D. Giả sử h ∈ C và h = 0 sao cho z 0 + h ∈ D. Nếu tồn tại giới hạn lim h→0 f (z 0 + h) − f (z 0 ) h , thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f tại điểm z 0 và được ký hiệu bởi f  (z 0 ). Biểu thức f(z 0 + h) − f(z 0 ) h được gọi là thương vi phân của hàm f tại điểm z 0 . Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 nếu nó khả vi phức trong một lân cận của điểm đó nằm trong D. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm z ∈ D. Nếu M là tập con đóng của mặt phẳng phức C, ta nói rằng f chỉnh hình trên M nếu f chỉnh hình trên một tập con mở nào đó chứa M. Ví dụ 1.1. Hàm f(z) = z chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f  (z) = 1. Thật vậy, với mọi z ∈ C chúng ta có f  (z) = lim h→0 f(z + h) − f(z) h = lim h→0 (z + h) − z h = 1. 7 Ví dụ 1.2. Hàm f(z) = ¯z không chỉnh hình. Bởi vì, f(z + h) − f(z) h = z + h − ¯z h = h h , nó không có giới hạn khi h → 0. Thật vậy, khi cho h → 0 theo trục thực thì biểu thức trên có giới hạn 1, còn khi cho h → 0 theo trục ảo thì biểu thức đó có giới hạn là i. Rõ ràng, hàm f chỉnh hình tại z 0 ∈ D nếu và chỉ nếu tồn tại số phức a sao cho f(z 0 + h) − f(z 0 ) = ah + hϕ(h), ở đó ϕ(h) là hàm xác định với h đủ bé và lim h→0 ϕ(h) = 0. Dĩ nhiên, chúng ta cũng thấy ngay f  (z 0 ) = a. Cũng từ công thức trên chúng ta nhận được Mệnh đề 1.1. Nếu hàm f chỉnh hình tại z 0 thì liên tục tại điểm đó. Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta dễ dàng chứng minh được các phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình Mệnh đề 1.2. Nếu f và g là các hàm chỉnh hình trên D thì (i) f ± g chỉnh hình trên D và (f ± g)  = f  ± g  ; (ii) f.g chỉnh hình trên D và (f.g)  = f  .g + f.g  ; (iii) Nếu g(z 0 ) = 0 thì f/g chỉnh hình tại z 0 và  f g   = f  .g −f.g  g 2 . Hơn nữa, nếu f : D → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì hợp thành g ◦f cũng là hàm chỉnh hình trên D và ta có (g ◦f)  (z) = g  (f(z)) .f  (z). 8 [...]... của hàm ζ(s) trong lý thuyết của các số nguyên tố nằm trong sự kiện kết hợp giữa hai biểu thức, một trong hai biểu thức chứa các số nguyên tố và biểu thức còn lại thì không liên quan gì đến yếu tố này Lý thuyết của các số nguyên tố có mối liên quan rất phong phú đến hàm π(x), được xác định bởi số các số nguyên tố không vượt quá x Chúng ta có thể biến đổi công thức (2.2) để có mối quan hệ giữa ζ(s) và. .. ĐIỂM CỦA HÀM ZETA-RIEMANN 2.1 Hàm Zeta-Riemann Định nghĩa 2.1 Hàm Zeta-Riemann ký hiệu là ζ và được định nghĩa bởi công thức ∞ ζ(s) = n=1 1 ; ns hoặc 1 1− s p ζ(s) = p (2.1) −1 (2.2) với p thuộc tập hợp các số nguyên tố Trong cả hai định nghĩa trên s là biến số phức s = σ + it Khi đó chuỗi Dirichlet (2.1) là hội tụ với σ > 1, hội tụ đều trong miền σ ≥ 1 + δ, với δ > 0 Do đó chuỗi xác định một hàm giải... biểu diễn của một số nguyên dưới dạng tích các số nguyên tố được xác định một cách duy nhất Một phép chứng minh chặt chẽ được xây dựng dễ dàng bằng việc trước hết lấy một số hữu hạn các nhân tử Từ việc có thể lấy tích một số hữu hạn các chuỗi hội tụ tuyệt đối, ta nhận được 1+ p≤P 1 1 + 2s + · · · ps p =1+ 1 1 s + ns + · · · ; n1 2 ở đó n1 , n2 , là những số nguyên mà các thừa số nguyên tố của chúng không... thường của hàm hai biến thực Thực vậy, hàm f (z) = z tương ¯ ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y) Hàm này khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Để hàm f... phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực chúng ta cần đến điều kiện (C - R) được cho bởi định lý dưới đây mà chứng minh của nó có thể tìm trong [1] Định lý 1.1 (Điều kiện Cauchy-Riemann [1]) Điều kiện cần và đủ để hàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann... ∂x 1.2 Tích phân của hàm biến phức Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình là tích phân của hàm dọc theo đường cong Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng ta trình bày một số khái niệm về đường cong và miền Đường cong tham số trong C là một hàm liên tục z(t) = x(t) + iy(t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặt phẳng phức, trong đó các hàm x(t) và y(t) là các hàm thực liên tục Đường... + 2)p−ms + · · · 2 1 + 4p−s + · · · + (m + 1)2 p−ms + · · · = p 27 và suy ra công thức (2.18) Các công thức khác ζ(2s) = ζ(s) ∞ n=1 λ(n) ; σ > 1, ns (2.19) ở đó λ(n) = (−1)r nếu n có r thừa số nguyên tố, một thừa số bậc k được tính k lần ζ(s − 1) = ζ(s) ∞ n=1 φ(n) ; σ > 2, ns (2.20) ở đó φ(n) là số các số nhỏ hơn n và nguyên tố n; và 1 − 21−s ζ(s − 1) = 1 − 2−s ∞ n=1 a(n) ; σ > 2, ns (2.21) ở đó a(n)... ps p 1 pσ ∞ và một sự lựa chọn các số hạng thích hợp từ chuỗi n=1 20 n−σ Nếu khai triển các nhân tử chứa p theo lũy thừa của p−s ta nhận được 1+ p 1 1 + 2s + · · · s p p Bởi vì mỗi số nguyên dương n được phân tích một cách duy nhất thành tích của lũy thừa các số nguyên tố pm nên chúng ta thu được chuỗi (2.1) Như vậy các công thức (2.1) và (2.2) là tương đương về mặt giải tích của định lý nói rằng... n và log(1 − n−s ) = O(n−σ ) Mặt khác, ta lại có 1 = ζ(s) 1− p 1 ps và thực hiện phép nhân chúng ta nhận được 1 = ζ(s) ∞ µ(n) ; σ > 1, ns n=1 (2.4) ở đó µ(1) = 1, µ(n) = (−1)k nếu n là tích của k số nguyên tố khác nhau và µ(n) = 0 nếu n chứa bất kỳ nhân tử nào có lũy thừa cao hơn thừa số đầu tiên Quá trình dễ dàng được thiết lập như trong trường hợp của ζ(s) Hàm µ(n) được biết đến với tên gọi là hàm. .. chuỗi Dirichlet với hàm ζ(s) Trước hết ta có ∞ d(n) ; σ > 1, n2 2 ζ (s) = n=1 (2.10) trong đó d(n) ký hiệu là số các ước của n (gồm cả 1 và n), với ∞ 2 ζ (s) = µ=1 ∞ 1 µs ν=1 1 = νs ∞ n=1 1 1 ns µν=n và số các số hạng trong tổng cuối là d(n) Tổng quát ∞ k ζ (s) = n=1 dk (n) ;σ > 0 ns (2.11) với k = 2, 3, 4, và dk (n) ký hiệu số các cách biểu diễn n dưới dạng một tích của k thừa số, các biểu diễn của . . 40 Chương 3. ĐỊNH LÝ SỐ NGUYÊN TỐ . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1. Giới thiệu . . 44 3.2. Một số bổ đề . . . . 50 3.3. Định lý Tauberian . . . 55 3.4. Định lý số nguyên tố . . . 61 3.5 tài: Hàm Zeta-Riemann và Định lý số nguyên tố với mong muốn được tìm hiểu về sự phân bố các không điểm của hàm Zeta-Riemann và mối liên quan tới Định lý số nguyên tố để hoàn thành luận văn khóa. hiểu về hàm số Zeta-Riemann và các kiến thức liên quan. 5 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu một số tính chất căn bản của hàm ζ, khái niệm không điểm và mối liên quan đến định lý số nguyên tố; Chứng