Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ VÂN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIAO KHÁC RỖNG CỦA HỌ TẬP LỒNG NHAU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ VÂN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIAO KHÁC RỖNG CỦA HỌ TẬP LỒNG NHAU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Hà Nội, 2012 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Hoàng Thị Vân LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Hoàng Thị Vân Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Mở đầu 7 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần . . . . . . . 9 1.1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần . . . 9 1.2 Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Bài toán tối ưu, Định lý Frank-Wolfe . . . . . . . . . . . 23 1.3.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Các loại bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Sự tồn tại lời giải tối ưu . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4 Định lý Frank- Wolfe cổ điển . . . . . . . . . . . 27 1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau 29 2.1 Giao khác rỗng của một số họ tập lồng nhau . . . . . . . 29 2.1.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Phương tiệm cận và phương co lại được . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Phương tiệm cận của các tập đóng . . . . . . . . 36 4 2.3 Phương ngang và định lý tập giao liên quan . . . . . . . 41 2.3.1 Phương tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Chương 3. Ứng dụng 59 3.1 Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu . . . . 59 3.2 Tổng quát hóa định lý Frank-Wolfe . . . . . . . . . . . . 63 3.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R đường thẳng thực mở rộng R n không gian Euclid n - chiều x, y tích vô hướng của x và y x chuẩn của x conv C bao lồi của tập C aff C bao affine của tập C pos C bao dương của tập C intC phần trong của tập C C bao đóng của tập C ri C phần trong tương đối của tập C ext C tập các điểm biên của tập C extray C tập các tia cực biên của tập C σ C hàm giá của tập C δ C hàm chỉ của tập C γ C hàm cỡ của tập C K ∗ nón cực của K M ⊥ phần bù trực giao của M 6 f ∗ , f ∗∗ liên hợp, liên hợp bậc hai của f lev(f, λ) tập mức của hàm f inf f cận dưới đúng của hàm f sup f cận trên đúng của hàm f min f giá trị nhỏ nhất của hàm f max f giá trị lớn nhất của hàm f Ker f hạt nhân, hạch của hàm f rge f ảnh của hàm f dom f miền hữu hiệu của hàm f epi f trên đồ thị của hàm f ∂f ∂x i đạo hàm riêng của hàm f theo biến x i ∇f(x) gradient của f C ∞ nón tiệm cận của tập C f ∞ hàm tiệm cận của hàm f C f không gian hằng của f K f nón tiệm cận của f L f không gian tuyến tính của f adc hằng số theo phương tiệm cận als hàm ổn định mức tiệm cận. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vấn đề về giao khác rỗng của một họ tập đóng lồng nhau là một chủ đề cơ bản trong những chủ đề quan trọng trong lý thuyết tối ưu, bao gồm sự tồn tại nghiệm tối ưu, sự thỏa mãn của bất đẳng thức minimax trong lý thuyết trò chơi tổng zero và sự triệt tiêu khoảng cách đối ngẫu trong tối ưu có ràng buộc. Do đó, sau khi học xong chương trình cao học giải tích, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, với mong muốn hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài “Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm, định lý và ứng dụng về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau nhằm củng cố, hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu "Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng". 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau trong không gian Euclid và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan. Sử dụng các phương pháp của giải tích, đại số tuyến tính và tối ưu hóa. 8 Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới của đề tài Nghiên cứu, tổng hợp, hệ thống và làm rõ một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng. [...]... lại được và chứng minh một kết quả quan trọng về tính khác rỗng của một tập giao đóng Tiếp theo là giới thiệu các phương ngang và phương tới hạn sử dụng chúng để đưa ra kết quả về tính khác rỗng trong trường hợp Sk là giao của một số tập đóng xác định Một số kết quả này liên quan đến tập hàm bẹt song phương, một loại hàm bậc hai lồi và khái quát hơn là hàm đa thức lồi Cuối cùng là thống nhất và mở rộng... giao khác rỗng của họ tập lồng nhau Trong phần này, chúng ta thảo luận câu hỏi tập giao ∞ k=0 Sk n có là tập rỗng hay không trong đó {Sk } là tập đóng khác rỗng trong R với Sk+1 ⊂ Sk với mọi k Đây là một vấn đề cơ bản của tối ưu hóa, là trọng tâm của một số câu hỏi quan trọng Những nội dung trình bày trong chương này tham khảo trong [8] 2.1 2.1.1 Giao khác rỗng của một số họ tập lồng nhau Bài toán 1 Hàm... Sk , k = 0, 1, là khác rỗng Bằng cách sử dụng giả thiết nếu tập giao này là tập rỗng, dãy véctơ cực tiểu xk của Sk sẽ bị chặn và mỗi điểm tụ d của xk / xk sẽ là một phương tiệm cận Do đó việc di chuyển xk đối diện dk sẽ tạo ra một điểm khác ở Sk có giá trị ít hơn xk , mâu thuẫn với xk có giá trị cực tiểu Mệnh đề 2.2.1 Một dãy các tập đóng khác rỗng, lồng vào nhau có giao khác rỗng Chứng minh Cho {Sk... của hệ (1.2), ta có thể viết gọn lại như sau: C = {x ∈ Rn :< ai , x >≤ bi , i = 1, m} , ¯ θ = inf {f (x) : x ∈ C} ¯ Định lý 1.3.4 Nếu θ = inf {f (x) : x ∈ C} > −∞ là số thực xác định thì bài toán (1.2) có nghiệm 1.4 Kết luận Chương này trình bày: nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần, tập lồi, hàm lồi, bài toán tối ưu, định lý Frank-Wolfe cổ điểm Chương 2 Một số định lý về giao khác rỗng của họ. .. thức phương tiệm cận và phương co lại được được sử dụng để tối ưu hóa các kết quả hiện tại của Auslender và Luo và Zhang [14] Xin lưu ý trong trường hợp các tập Sk lồi hoặc đóng, tập phương tiệm cận {Sk } sẽ ảnh hưởng đến tập giao nón các phương lùi xa của tập Sk và tập phương tiệm cận Sk , tập phương co lại được liên quan đến (nhưng không bằng) tập giao của các tập con tuyến tính của tập Sk (xem phần... nửa đường thẳng là mặt của C Tập các tia cực biên của C kí hiệu là extray C Định lý 1.2.2 (Định lý Krein - Milman) (Xem [2]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng không chứa đường thẳng nào Khi đó C = conv(ext C ∪ extray C) Định lý 1.2.3 (Định lý Minkowski) (Xem [2]) Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong Rn Khi đó C = conv(ext C) 1.2.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.2.18 Cho f : Rn → R, các tập dom f = {x ∈ Rn |... nào khác thì véctơ và các tập con được tính trong Rn Mọi véctơ được xem như là véctơ cột và yếu tố biểu hiện sự biến đổi định mức Euclidean tiêu chuẩn, √ x = < x, x > được sử dụng liên tục 2.2 Phương tiệm cận và phương co lại được Đầu tiên ta giới thiệu phương tiệm cận của một dãy tập lồng nhau {Sk }, ví dụ một dãy Sk+1 ⊂ Sk với mọi k 33 Định nghĩa 2.2.1 Cho {Sk } là một dãy các tập đóng, khác rỗng, ... tập {xk } và một dãy dương {tk } với xk ∈ Sk với mọi k, tk → ∞ và xk /tk → d Ta thấy phương tiệm cận chính là véctơ khác không theo giới hạn ngang {Sk } Một phương tiệm cận co lại được d là phương có dãy tiệm cận thuộc tập Sk tương ứng khi chuyển bằng −d Tầm quan trọng của phương co lại được được minh họa theo mệnh đề sau Mệnh đề chỉ ra rằng tập giao của một dãy các tập đóng khác rỗng lồng nhau Sk , k... cứu của Helly [13] và những nghiên cứu khác như Frenchel [12] và Rockafellar [15] Một nghiên cứu gần đây tập trung vào các bài toán 1 và 3, thảo luận nói trên được đưa ra trong phần (1.5) tài liệu của Bertsekas [9] và dựa trên khái niệm phương tiệm cận và tập con tuyến tính Trong phần này phát triển các điều kiện đảm bảo tính khác rỗng của giao ∞ k=0 Sk trong trường hợp nói chung, trong đó các tập. .. khi và chỉ khi K ∗ là nón nhọn 15 Định nghĩa 1.2.9 Cho C ⊂ Rn là tập lồi khác rỗng, nón pháp tuyến của C tại x, kí hiệu NC (x) được định nghĩa   {v ∈ Rn | v, x − x ≤ 0 ∀x ∈ C} nếu x ∈ C NC (x) = ∅ nếu x ∈ C / Định nghĩa 1.2.10 Cho C ⊂ Rn là tập lồi khác rỗng, nón tiếp tuyến của C tại x, kí hiệu TC (x) được định nghĩa TC (x) = {d ∈ Rn | ∃ t > 0, x + td ∈ C} Với x ∈ C, nón NC (x) và TC (x) là cực của . định lý và ứng dụng về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau nhằm củng cố, hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu " ;Một số định lý về giao khác. về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng& quot;. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau trong không gian Euclid và ứng dụng. 5. Phương. giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, với mong muốn hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng để