(1). Tối ưu trong không gian hữu hạn chiều (Giả sử X là không gian véctơ hữu hạn chiều).
a, Tối ưu tuyến tính: f(x) tuyến tính và C là một tập đa diện, tức là được cho bởi (1.1) trong đó các gi(x) afin.
b, Tối ưu phi tuyến: lồi, không lồi, trơn, không trơn, địa phương, toàn cục.
c, Tối ưu rời rạc (tổ hợp): C là một cấu trúc rời rạc.
d, Tối ưu đa mục tiêu: không phải chỉ có một hàm mục tiêu duy nhất như trong bài toánP mà có một số mục tiêu không tương thích với nhau (nghĩa là không có lời giải nào tối ưu theo mọi mục tiêu), cho nên cần "dung hòa" các hàm mục tiêu theo cách nào hợp lí, hữu hiệu nhất.
e,Tối ưu nhiều cấp: bài toán gặp trong một hệ thống phân cấp, mà hàm mục tiêu của cấp cao là f(x, y) phụ thuộc hai nhóm biến: x ∈ Rp và
y ∈ Rq. Cấp cao chỉ trực tiếp kiểm soát x, còn y do cấp dưới quyết định. Khi cấp cao quyết định một trị cụ thể của x thì cấp dưới căn cứ theo trị đó để lựa chọn phương án tối ưu cho bản thân họ. Cấp cao biết bài toán tối ưu của cấp dưới, tức là biết rằng khi cho x thì y là lời giải tối ưu của bài toán này. Vấn đề đặt ra là cấp cao phải tìm x để đạt tối ưu mục tiêu của mình.
(2). Tối ưu trong không gian vô số chiều (Giả sử X là một không gian véctơ định chuẩn).
a, Các bài toán biến phân:
X là không gian các hàm liên tục x : [0, T] → R
f(x) =
T
Z
0
L(t, x(t), x(t))dt, C = {x ∈ X : x(0) = x0, x(T) = xT}
(tìm một hàm liên tục x(t),0 ≤ t≤ T, sao cho x(0), x(T) có giá trị cho trước và tích phân
T
R
0
b, Các bài toán điều khiển tối ưu.
Tìm u : [0, T] → Rn (hàm điều khiển) sao cho u(t) ∈ U hầu khắp nơi trên [0, T] và quỹ đạo x : [0, T] → Rn tương ứng điều khiển ấy, tức là nghiệm x(t) của phương trình vi phân x(t) = g(t, x(t), u(t)) đạt cực tiểu của hàm phí tổn h(x(0), x(T)) + T Z 0 J(t, x(t), u(t))dt,
ở đây U, g(t, x(t), u(t)), h(., .) và J(t, x(t), u(t)) cho trước. Như vậy, f(u) = h(x(0), x(T)) +
T
R
0
J(t, x(t), u(t))dt và C là tập các hàm u : [0, T] → U sao cho u(t) ∈ U hầu khắp nơi trên [0, T] và
x(t) =g(t, x(t), u(t)).