vẫn chưa đủ để giải thích một số kết quả của tập giao cơ bản, có ứng dụng rất lớn trong tối ưu hóa. Nổi bật trong số này là các kết quả về các tập bất đẳng thức bậc hai. Trong phần này, giới thiệu thêm một số đặc tính của phương tiệm cận cùng với đặc tính co lại được, có thể sử dụng để đưa ra một khung hoàn chỉnh hơn về tập giao.
Chúng ta sẽ tập trung vào câu hỏi chính. Cho hai dãy tập lồng nhau {Sk1} và Sk2 mỗi dãy có một tập giao khác rỗng và với
Sk1 ∩ Sk2 6= ∅ , k = 0,1, ...
điều gì làm cho giao hai dãy {Sk1 ∩Sk2} khác rỗng? Bằng cách phác họa một số ví dụ (hình 2.3), cho các tập{Sk1}vàS2 vớiSk1∩S2 6= ∅, k = 0,1, ...
và T∞
k=0∩S2 = ∅, câu hỏi đặt ra là có tồn tại hay không tiệm cận ngang của Sk1 và S2, vấn đề nằm ở sự hiện diện của phương tiệm cận tới hạn. Nói một cách sơ lược, các phương tiệm cận d, của {Sk1} và {Sk2} bắt đầu tại T
kSk2 (hoặc T
kSk1) và di chuyển dọc d. Ta không gặp T
kSk1
(hoặc TkSk2, tương ứng). Với suy nghĩ này ta giới thiệu một tập con của phương tiệm cận gọi là phương ngang, sẽ sử dụng sau này để làm rõ nghĩa "tiệm cận tới hạn".
Định nghĩa 2.3.1. Cho một dãy tập đóng lồng nhau {Sk} có giao khác rỗng. Ta nói rằng phương tiệm cận d của {Sk} là phương ngang đối với tập Gnếu với mọi x ∈ G, tồn tại α ≥ 0sao cho x+αd ∈ T∞
k=0Sk với mọi
α ≥ α. Ta nói rằng d là một phương nằm ngang toàn cục nếu G = Rn và nói rằng nó là một phương nằm ngang địa phương nếu G = T∞
k=0Sk. Do đó, d có phương ngang đối với G nếu bắt đầu tại điểm G và đi dọc d ta thậm chí có thể thêm vào ở trong T∞
k=0Sk. Định nghĩa về phương ngang của một dãy tập chi tiết hóa trường hợp của một tập đóng đơn S bằng cách xem tập như một dãy tập {Sk} trong đó Sk = S với mọi k. Do đó kết luận rằng d là một phương ngang của S với G, nghĩa là d là phương ngang của dãy {Sk} với G, trong đó Sk = S với mọi k.
Ta thấy nếu các tập Sk lồi, tập các phương ngang địa phương bằng với tập các phương tiệm cận và bằng với tập các phương lùi xa khác không của các tập Sk (xem mệnh đề 2.2.3). Tập phương ngang địa phương có thể là một tập con đóng của tập các phương tiệm cận, thậm chí nếu các tập Sk lồi (lấy ví dụ các tập Sk bằng các đường giống nhau
trên mặt phẳng).
Lưu ý rằng nếu{Sk1}và {Sk2} là các dãy tập đóng lồng nhau sao cho dãy {Sk1T
Sk2} có tập giao khác rỗng, khi đó một véctơ có phương ngang với cả {Sk1} và {Sk2} đối với G cũng là phương ngang của {Sk1T
Sk2} đối với G. Tuy nhiên suy luận ngược lại thì không đúng, theo chứng minh từ một ví dụ đơn giản. Mặt khác, tập véctơ có phương ngang toàn cục của cả{Sk1} và{Sk2}trùng với tập các phương ngang toàn cục của {Sk1T
Sk2}. Sau đây là một số ví dụ minh họa phương ngang.
Ví dụ 2.3.1. Cho S là phần bù của một tập mở ràng buộc. Khi đó các phương khác không là các phương tiệm cận cũng là các phương ngang toàn cục.
Sk1
S2 d
Hình 2.3
Ví dụ 2.3.2. Cho f : Rn → R là hàm lồi và S = {x : f(x) ≥ γ} trong đó γ vô hướng. Khi đó S đóng và khác rỗng (vì f là giá trị thực và liên tục trên Rn, đồng thời vô hướng ) và do phần bù của f bị ràng buộc (bằng vô hướng của f) các phương khác không là các phương tiệm cận cũng là các phương ngang như ví dụ trước.
Ví dụ 2.3.3. (Tổng véctơ của các tập compact và nón đa diện).
tập compact và một nón đa diện Ni. Khi đó tập các phương tiệm cận là các véctơ khác không trong Tm
i=1Ni bằng với tập các phương ngang địa phương. Tuy nhiên tập các phương ngang toàn cục có thể nhỏ hơn và có thể là tập rỗng, thậm chí nếu Tm
i=1Ni chứa một phương khác không (lấy ví dụ m = 1 và X1 là nửa đường thẳng trên mặt phẳng).
Ta giới thiệu một loại hàm lồi gồm các hàm bậc hai lồi và khái quát hơn là các hàm đa thức lồi. Các hàm này được giới thiệu ở sách của Bertsekas và Nedie và Ozdaglar đây là bài tập khá hay về các bài toán tập giao, sự tồn tại của các lời giải tối ưu và hàm lồi. Nhắc lại rằng đối với một hàm lồi đóng f : Rn → (−∞;∞] nón vô hướng của f và tập con không đổi của f là Rf và Lf tương ứng là nón vô hướng và tập con tuyến tính của các tập khác rỗng. Hơn nữa, một phương d thuộc nón vô hạn Rf khi và chỉ khi cho mọi x ∈ dom(f) ta có: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
lim
α→∞
f(x+αd)
α ≤ 0
Ví dụ 2.3.4. (Các hàm lồi bẹt song phương)
Cho f : Rn → (−∞;∞] là một hàm lồi đóng với tính chất là phương d thuộc tập con không đổi Lf khi và chỉ khi
lim
α→∞
f(x+αd)
α = 0 , ∀x ∈ dom(f) (2.2) Các hàm loại này được gọi là hàm bẹt song phương. Rõ ràng rằng các hàm đa thức lồi gồm các hàm bậc hai lồi và các hàm bẹt song phương vì chúng là hàm đa thức dọc các hướng và do đó không đổi dọc phương d
thỏa mãn phương trình (2.2). Một loại khác của hàm bẹt song phương, gồm các hàm bậc hai lồi có dạng:
f(x) = h(Ax) +c0x+b (2.3) trong đó A là một ma trận m×n, c là một véctơ, b là một đại lượng vô hướng và h :Rm →(−∞;∞] là hàm lồi đóng thỏa mãn
lim
kyk→∞inf h(y)
xem xét tính chất này ta thấy rằng phương trình (2.2) được thỏa mãn khi và chỉ khi d là không gian không hạch của A và c0d = 0, đúng khi và chỉ khi d ∈ Lf.
Một hàm bẹt song phương khác với một hàm lồi giải tích yếu, là một hàm liên tục dọc một đoạn thẳng mở. Cụ thể hàm mũ f(x) = ex là hàm giải tích lồi yếu nhưng không phải là hàm bẹt song phương, hàm
f(x) =max{0, x−1,−x−1}là hàm bẹt song phương nhưng không phải là hàm giải tích yếu hay hàm lồi. Xin lưu ý hàm lồi và hàm giải tích yếu cũng bao gồm các hàm đa thức lồi khác không như các trường hợp đặc biệt, đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo khoảng cách đối ngẫu (không phải là sự tồn tại lời giải) trong các phương trình lồi.
Cho {Sk} là một dãy tập xác định bởi các tập f:
Sk = {x : f(x) ≤γk}
với {γk} là một chuỗi vô hướng không âm và γk ↓ 0 và các tập Sk khác rỗng. Khi đó mọi véctơ khác không d ∈ Rf, một trong các trường hợp sau:
(1). d ∈ Lf trong đó d là phương ngang địa phương co lại được. (2). d /∈ Lf trong trường hợp này
lim
α→∞
f(x+αd)
α < 0 , ∀x ∈ Rn.
Ta có lim
α→∞f(x+ αd) = −∞ với mọi x ∈ dom(f), thể hiện rằng
x+αd ∈ T∞
k=0Sk với mỗi α đủ lớn. Do đód là phương ngang vớidom(f). Tương tự nếu tồn tại một phươngdvớid ∈ Rf nhưng d /∈ Lf khi đó bằng giả thiết trước ta có infx∈Rnf(x) =−∞ do đó T∞k=0Sk 6= ∅. Mặt khác có
Rf = Lf, khi đó theo mệnh đề 2.2.6(a) f đạt giá trị cực tiểu Rn bởi vậy (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
T∞
k=0Sk 6= ∅. Kết luận, nếu f là hàm bẹt song phương, các phương tiệm cận ngang {Sk} có phương ngang với dom(f) hoặc có phương ngang địa phương co lại được, hơn nữa T∞
k=0Sk 6= ∅.
xác định bởi bất đẳng thức bậc hai lồi
Sk = {x : x0Qx+c0x+b ≤ γk}
với mỗi phương tiệm cận d có hai khả năng:
(a.) d là phương ngang toàn cục thỏa mãn Qd = 0 và c0d < 0.
(b.) dlà phương ngang địa phương đồng thời là phương tuyến tính (thỏa mãn Qd= 0 và c0d = 0) do đó nó được co lại được.
Lưu ý tính chất này không có trong bất đẳng thức bậc hai không lồi (trừ trường hợp bậc hai là lõm, xem ví dụ 2.3.2). Ví dụ với tập con của mặt phẳng
S = {(x1, x2) : x1x2 ≥ 1}
phương tiệm cận (0; 1) không phải là phương ngang địa phương (di chuyển từ (−1; 1) ∈ S dọc (0; 1) tồn tại S ). Đây không phải là phương co lại được vì với một số dãy tiệm cận tương ứng (như dãy {(1 : k, k)}
yêu cầu co lại được không hoàn thành). 2.3.1 Phương tới hạn
Chúng ta giới thiệu một loại phương tiệm cận khác có đặc tính phản ánh các nguyên nhân cơ bản dẫn đến tính chất rỗng của các tập giao. Ý tưởng là nếu hai dãy lồng nhau {Sk1} và {Sk2} với mỗi tập giao khác rỗng (T∞k=0 6= ∅ và T∞k=0 6= ∅ ) và với tập giao khác rỗng (Sk1 ∩ Sk2 6= ∅
với mọi k), kết hợp lại để tạo thành một tập giao rỗng T∞
k=0(Sk1 ∩Sk2), khi đó một số các phương tiệm cận chung là phương tới hạn ở một nghĩa nào đó. Định nghĩa dưới đây tạo nên ý tưởng này và được hỗ trợ bởi các tính chất của các phương tiệm cận của các hàm bẹt song phương.
Định nghĩa 2.3.2. Cho một dãy tập đóng {Sk} với tập giao khác rỗng, chúng ta nói rằng một phương tiệm cận d của {Sk} là một phương tới hạn với một tập G nếu d không phải là phương ngang của {Sk} với G, hoặc cũng không phải là phương ngang địa phương co lại được {Sk}.
Một phương tiệm cận {Sk} được nói đến là một phương tiệm cận tới hạn với G nếu không tới hạn với G.
Theo quy ước, mọi phương tiệm cận {Sk} là không tới hạn ở mọi tập rỗng. Thực tế định nghĩa 2.2.3 và 2.3.1 cho khả năng tập G rỗng và không đổi theo quy ước này. Định nghĩa về một phương tới hạn hay lùi xa của một dãy tập làm rõ trường hợp một tập đóng đơn S bằng cách xem tập như một dãy liên tục của tập {Sk} với Sk = S với mọi
k, ví dụ (hinh2.4) cho phương tiệm cận (0, β), β > 0 là phương ngang và không phải là phương tới hạn đối với bất kỳ một tập con nào của
{(x1, x2) : −1 < x1 < 1} nó không là phương ngang và là phương tới hạn đối với bất kỳ một tập con khác. Lưu ý rằng các phương ngang toàn cục và các phương ngang địa phương co lại được là không tới hạn với tập khác rỗng. Xin lưu ý các phương tiệm cận của dãy các tập hàm bẹt song phương f, như phương nêu trong ví dụ 2.4, không tới hạn với dom(f). Cụ thể dãy các tập bậc hai khác rỗng
Sk = {x : x0Qx+c0x+b ≤ γk}
trong đó γk ↓ 0 có hướng tiệm cận không tới hạn với Rn.
Ý nghĩa của các phương tới hạn được minh họa theo mệnh đề sau, chứng minh rằng một dãy {Sk1 ∩Sk2∩....∩Skr} với tập giao rỗng phải có phương tiệm cận tới hạn với ít nhất một trong các thành phần {Skj} với một số thành phần khác. Cụ thể, điều này ám chỉ rằng nếu các thành phần {Skj} có hướng không tới hạn, thì giao T∞k=0(Sk1 ∩ Sk2 ∩ .... ∩ Skr) khác rỗng. Mệnh đề dưới đây là một trường hợp đặc biệt của mệnh đề khái quát hơn mà ta sẽ chứng minh một cách ngắn gọn. Chúng được viết thành mệnh đề riêng ra vì nó đơn giản hơn và có thể chứng minh kết quả về sự tồn tại của các lời giải tối ưu được đưa ra ở phần 3.1. Mệnh đề 2.3.1. Cho một dãy {Sk} có dạng
trong đó {Skj} , j = 1,2, ..., r là các dãy tập đóng khác rỗng lồng vào nhau Sk 6= ∅ với mọi k và T∞
k=0Skj 6= ∅ với mọi j. Nếu T∞
k=0Sk 6= ∅ tồn tại một tập con chỉ số J ⊂ {1,2, ...., r} sao cho T∞k=0(Tj∈J Skj) = ∅) và một phương tiệm cận của {T
j∈J Skj} cho một số j ∈ J là một phương tới hạn của {Skj} với S
j∈J−{j}
T∞
k=0Skj. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết quả của mệnh đề trước là một trường hợp đặc biệt của dãy con mệnh đề 2.3.2. Lưu ý một trường hợp đặc biệt của tập giao T∞
k=0Sk là tập khác rỗng của Sk, k = 0,1, ... và T∞
k=0Skj, j = 1,2, ..., r khác rỗng và phương tiệm cận của mỗi dãy {Skj} là không tới hạn đối với Rn. Kết luận của mệnh đề không được thay thế bằng kết luận chắc chắn hơn rằng nếu T∞k=0Sk = ∅ tồn tại một phương tiệm cận của {Sk} do đó một số
j ∈ {1,2, ..., r} là phương tiệm cận của {Skj} với S
j∈{1,2,...,r}−{j}
T∞
k=0Skj. Điều này được thể hiện bằng ví dụ sau:
Ví dụ 2.3.5. (Ví dụ ngược lại).
Xét ba dãy các tập đóng khác rỗng sau
Sk1 = {(x, y, z) : 0≤ z ≤ 1 : k} , k = 0,1, ... Sk2 = {(x, y, z) : x > 0 ,1 : x ≤ z} , k = 0,1, ... Sk3 = {(x, y, z) : y ≥x2} , k = 0,1, ...
mỗi dãy có một tập giao khác rỗng và Sk = Sk1 ∩ Sk2 ∩Sk3 khác rỗng với
k = 0,1, ...
Tập giao T∞
k=0Sk1 và T∞
k=0Sk2 rỗng và do đó T∞
k=0Sk là rỗng. Tuy nhiên các phương tiệm cận {Sk} dọc trục tung y và các phương ngang của {Sk3}. Đây là các phương ngang địa phương co lại được của {Sk1} và
{Sk2} do đó chúng là các phương không tới hạn của {Skj}đối với R3 (và do đó đối với tập nhỏ hơn S
j∈{1,2,3}−{j}
T∞
k=0Skj với j ∈ {1,2,3}). Theo minh họa về cách áp dụng mệnh đề 2.3.1 xét một dãy {Sk} dưới dạng:
trong đó với mỗi j , Skj được cho bởi:
Skj = {x : x0Qjx+c0jx+bj ≤ γkj}
và Qj là ma trận bán xác định dương đối xứng thực, cj là một véctơ,
bj vô hướng và {γkj} là dãy vô hướng với γkj ↓ 0. Ngoài ra X là một tập đóng sao cho các phương tiệm cận của nó là phương ngang toàn cục hoặc phương ngang địa phương co lại được. Khi đó tất cả các phương tiệm cận của {Skj} và X vô hướng đối với Rn, áp dụng mệnh đề 2.3.1 chỉ ra rằng T∞ k=0Sk khác rỗng. Giả sử tập Sk khác rỗng và ∞ \ k=0 Skj = {x : x0Qjx+c0jx+bj ≤0}
khác rỗng với mọij. Kết quả này khái quát hóa định nghĩa Luo và Zhang (xem [21]) trong trường hợp bậc hai (X = Rn).
Lí luận trên cũng áp dụng cho hầu hết các trường hợp khi các hàm bậc hai lồi được thay thế bởi các hàm bẹt song phương giá trị thực. Tuy nhiên mệnh đề 2.3.1 không áp dụng các tập giao về các hàm bẹt song phương giá trị thực đã mở rộng (trừ khi miền các hàm này đã được xác định). Mệnh đề dưới đây là phần khái quát hóa của mệnh đề 2.3.1 cho phép hình thành các tình huống đó (xem mệnh đề 2.3.3). Luận cứ sử dụng mệnh đề 2.2.1 và khái quát hóa một lí luận.
Mệnh đề 2.3.2. Xem xét một dãy {Sk} dưới dạng
Sk = Xk∩ Sk1 ∩Sk2 ∩...∩Skr
trong đó{Xk}và {Skj} , j = 1,2, ..., r là dãy các tập đóng khác rỗng lồng nhau, sao cho Sk 6= ∅ với mọi k, T∞
k=0Xk 6= ∅ và T∞ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
k=0Skj 6= ∅ với mọi j. Nếu T∞
k=0Sk 6= ∅ tồn tại một tập con khác rỗng J ⊂ {1,2, ..., r} sao cho
T∞
k=0(Xk∩(T
j∈J Skj)) 6= ∅và một phương tiệm cậndcủa{Xk∩(T
j∈J Skj)}
0 x2 −1 1 x1 0 x1 x2 x2 0 x1 0 x2 x1 Hình 2.4
(1). d không phải là một phương ngang địa phương co lại được của {Xi}
(2). Với một số j ∈ J, d là phương tới hạn của {Skj} với tập
[ j∈J−{j} ∞ \ k=0 (Xk ∩Skj)
với quy ước tập này bằng T∞