Đầu tiên ta giới thiệu phương tiệm cận của một dãy tập lồng nhau {Sk}, ví dụ một dãy Sk+1 ⊂ Sk với mọi k.
Định nghĩa 2.2.1. Cho {Sk} là một dãy các tập đóng, khác rỗng, lồng vào nhau. Ta nói rằng, một véctơ khác không d là một phương tiệm cận của {Sk} nếu tồn tại một dãy {xk} sao cho xk ∈ Sk, k = 0,1, ...
kxkk → ∞; xk
kxkk →
d
kdk
dãy {xk} gắn với phương tiệm cận đã nói trên được gọi là một dãy tiệm cận tương ứng với d.
Định nghĩa 2.2.2. Một phương tiện cận d của {Sk} được gọi là co lại được nếu với mọi dãy tiệm cận tương ứng {xk} tồn tại một số nguyên k
sao cho
xk −d ∈ Sk;∀k ≥ k.
Dãy tập {Sk} được gọi là co lại được nếu tất cả các phương tiệm cận là co lại được. x5 x3 x6 x4 x2 x0 x1 S1 S0 S2 S3 Hình 2.1
Nói một cách tổng quát, phương tiệm cận là một phương mà dọc đó ta có thể hướng tới ∞ thông qua mỗi tập Sk (hình 2.1). Cụ thể,
{Sk} có phương tiệm cận khi và chỉ khi các tập Sk bị chặn. Tương ứng, véctơ khác không d là một phương tiệm cận của {Sk} nếu tồn tại một
tập {xk} và một dãy dương {tk} với xk ∈ Sk với mọi k, tk → ∞ và
xk/tk → d. Ta thấy phương tiệm cận chính là véctơ khác không theo giới hạn ngang {Sk}. Một phương tiệm cận co lại được d là phương có dãy tiệm cận thuộc tập Sk tương ứng khi chuyển bằng −d. Tầm quan trọng của phương co lại được được minh họa theo mệnh đề sau. Mệnh đề chỉ ra rằng tập giao của một dãy các tập đóng khác rỗng lồng nhau
Sk, k = 0,1, .... là khác rỗng. Bằng cách sử dụng giả thiết nếu tập giao này là tập rỗng, dãy véctơ cực tiểu xk của Sk sẽ bị chặn và mỗi điểm tụ
d của xk/kxkk sẽ là một phương tiệm cận. Do đó việc di chuyển xk đối diện dk sẽ tạo ra một điểm khác ở Sk có giá trị ít hơn xk, mâu thuẫn với
xk có giá trị cực tiểu.
Mệnh đề 2.2.1. Một dãy các tập đóng khác rỗng, lồng vào nhau có giao khác rỗng.
Chứng minh. Cho {Sk} là dãy đã cho. Mỗi k, xk là một véctơ có giá trị cực tiểu trên các tập đóng Sk (véctơ đó tồn tại theo định lý Weierstrass có thể rút ra được bằng cách cực tiểu hóa kxk trên mọi x trong một tập co lại được
Sk ∩ {x : kxk ≤ kxkk}
trong đó xk là một véctơ bất kỳ trong Sk). Ta có thể chứng minh rằng dãy con {xk}k∈K bị chặn. Khi đó vì {Sk} lồng vào nhau, với mỗi m, ta có xk ∈ Sm với mọi k ∈ K, k ≥ m và vì Sm đóng, mỗi điểm giới hạn
{xk}k∈K sẽ thuộc mỗi Sm và cũng vì vậy thuộc T∞
m=0Sm, kết quả được chứng minh. Do đó ta sẽ chứng tỏ mệnh đề bằng cách chỉ ra rằng không có dãy con của {xk} bị chặn.
Giả sử ngược lại cho {xk}k∈K là dãy sao cho: lim
k→∞,k∈Kkxkk = ∞
và cho d là giới hạn của dãy con {xk/kxkk}k∈K trong đó K ⊂ K. Với mỗi k = 0,1, ..., xác định yk = xm, trong đó m là chỉ số nhỏ nhất m ∈ K
với k ≤m. Khi đó vì yk ∈ Sk với mọi k và lim
k→∞{yk/kykk} = d, chúng ta thấy rằng d là một phương tiệm cận của {Sk} và {yk} là một dãy tiệm cận tương ứng với d. Sử dụng giả thiết về sự co lại được cho k, sao cho
yk−d ∈ Sk với mọi k ≥ k. Ta có d0yk → ∞ do d0yk/kykk → kdk2 = 1 do đó với mọi k ≥k với 2d0yk > 1 ta có:
kyk −dk2 = kykk2 −(2d0yk −1) < kykk2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
dẫn đến mâu thuẫn vì k , yk không phải là một véctơ có giá trị cực tiểu trên Sk.
Ví dụ áp dụng mệnh đề trên (hình 2.2), trong R2 các phương
d x3 0 x2 x1 x0 S0 S1 S2 d S0 S1 S2 x2 x1 x0 0 Hình 2.2
tiệm cận là {(0, β) : β > 0} và các giao điểm của chuỗi tương ứng là
{(0, x2) : x2 ≤ 0} cho
Sk = {(x1, x2) : |x1| ≤ k + 11 , x2 ≥ −k + 11 }
tại đây, phương tiệm cận (0, β), β > 0 được co lại được và tập giao
T∞
cần thiết để xác định T∞
k=0Sk.
Ví dụ cho dãy (hình 2.2) Sk = {(x1, x2) : x2 ≥ (k + 1)x21} có tập giao khác rỗng, phương tiệm cận (0, β), β > 0 không co lại được.
Chúng ta lưu ý, kết luận của mệnh đề trước đúng với giả thiết yếu hơn giả thiết về phương co lại được, trong đó d được gọi là co lại được nếu với mỗi dãy tiệm cận {xk} tồn tại một dãy vô hướng dương {αk} và chỉ số k sao cho xk−αkd ∈ Sk với mọi k ≥ k. Khái niệm này chưa được làm rõ tuy nhiên khi xem xét hai (hoặc hơn hai dãy) bằng mâu thuẫn nêu ở định nghĩa 2.2.2, ta thu được kết quả tích Đề-các của hai dãy co lại được là co lại được. Cụ thể chúng ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.2. Cho {Skj}, j = 1,2, ...., r là dãy các tập đóng khác rỗng lồng vào nhau. Dãy {Uk} và {Tk}, trong đó
Uk = Sk1 ∪Sk2 ∪...∪ Skr, k = 0,1, ... Tk = Sk1 ×Sk2 ×...×Skr, k = 0,1, ...
là co lại được. Nếu các tập
Nk = Sk1 ∩Sk2 ∩ ....∩Skr, k = 0,1, ...
khác rỗng, thì {Nk} co lại được.