Mệnh đề 3.2.1. Cho f : Rn 7−→ (−∞;∞] là một hàm đóng và cho X
là một hàm đóng sao cho X ∩dom(f) = ∅. Giả sử rằng
(1). Các phương tiệm cận của X là phương ngang địa phương kéo lại.
(2). Với mọi dãy vô hướng giảm {γk} sao cho các tập
Sk = X ∩ {x : f(x) ≤γk}, k = 0,1,2, ...
khác rỗng cho mọi phương tiệm cận d của {Sk} và cho mỗi x ∈ X ta có
lim
α→∞f(x+αd) =−∞ hoặc f(x−d) ≤ f(x). Khi đó f có giá trị cực tiểu so với X khi và chỉ khi infx∈X f(x) hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử rằng f∗ = infx∈X f(x), giá trị tối ưu hữu hạn. Cho
{γk} là một dãy vô hướng với γk ↓ f∗ và
Vk = {x : f(x) ≤ γk}
do đó Sk = X ∩Vk. Có thể chứng minh rằng mỗi phương tiệm cận d của
{Sk} là kéo lại cho {Vk} (vì d kéo lại cho X điều này chứng minh rằng d
kéo lại cho {Sk}, áp dụng mệnh đề 2.2.1). Thực tế nếu d là một phương tiệm cận của {Sk}, khi đó d là phương ngang địa phương của X sao cho mỗi x ∈ X và α đủ lớn, x +αd ∈ X và vì vậy f(x+ αd) ≤ f∗. Do đó chúng ta có lim
α→∞f(x+αd) = −∞ từ giả thiết f(x−d) ≤ f(x) với mọi
x ∈ X.
Bây giờ ta xét dãy tiệm cận {xk} tướng ứng với phương tiệm cận d
của {Sk}, với mọi k, f(xk−d) ≤f(xk). Vì xk ∈ Vk chứng tỏ xk−d ∈ Vk
và do đó d kéo lại cho {Vk}. Vì d là một phương tiệm cận của X và do đó kéo lại cho X, do đó d kéo lại cho {Sk}. Kết quả trước có thể được sử dụng để chứng minh kết quả của giả thiết không mấy chắc chắn rằng chỉ các phương tiệm cận này của X đồng thời là phương tiệm cận của tập f (không phải là tất cả các phương tiệm cận của X) là các phương ngang địa phương kéo lại của X.
Giả thiết (2) ở mệnh đề 13 được thỏa mãn nếu f là hàm lồi giá trị thực, có thể xác minh rõ ràng. Nó cũng được thỏa mãn nếu f là một hàm bậc hai
f(x) =< x, Qx > + < c, x >, ∀x∈ Rn
trong đóQ là ma trận n×n, c là véctơ trong Rn. Thực chất mọi phương tiệm cận d của {x : f(x) ≤ γk}, trong đó {γk} là chuỗi giảm vô hướng nếu
< d, Qd >≤ 0
Do đó với mọi x ∈ Rn, có < (c+ 2Qx), d >< 0 trong đó
hoặc < (c+ 2Qx), d >≥0 trong đó
f(x−d) =f(x)−< (c+ 2Qx), d > + < d, Qd >≤ f(x)
trong trường hợp X = X1∩X2 ∩...∩Xm, với mỗi Xi là tổng véctơ của một tập compact và một nón đa diện Ni (ví dụ X là một tập đa diện), mọi phương tiệm cận của X là phương ngang địa phương kéo lại (xem ví dụ 2.3.3). Do đó giả sử trên X của mệnh đề trước được thỏa mãn và tồn tại một kết quả tối ưu khi giá trị tối ưu hữu hạn. Kết quả mở rộng định lý Frank-Wolfe được chuyển tới Kummer [15] bởi Belousov và Klatte [10] trong trường hợp f bậc hai và tới Belousov [17]. Kết quả mở rộng khác được cung cấp bởi Perold, trong đó X là tập đa diện và f
thuộc lớp G khái quát hóa hàm bậc hai, hàm lồi, hàm cưỡng bức. Định lý Frank-Wolfe mở rộng được cung cấp ở đây mang tính khái quát hơn. Ví dụ nó áp dụng cho một số trường hợp trong đó tập không đổi được hữu hạn là bất đẳng thức lõm (xem mệnh đề 2.2.4, ví dụ 2.3.1). Cụ thể một hàm bậc hai hay hàm lồi trên một tập X được hữu hạn bằng bất đẳng thức bậc hai lõm.
X = {x :< x, Qjx > + < cj, x > +bj ≤ 0, j = 1,2, ..., r}
trong đó Qj là ma trận hữu hạn dương khác không (xem ví dụ 2.3.7). Ngoài hàm bậc hai và hàm lồi có các hàm khác thỏa mãn giả thiết (2) của mệnh đề 3.2.1 chưa từng có trước đây. Một trong các hàm đó có dạng
f(x) = p(< x, Qx >)+ < c, x > +b
trong đó Q là ma trận bán hữu hạn dương, c là véctơ, b là vô hướng và
p(.) là đa thức. Thực tế giả thiết (2) giữ nguyên nếu p không đổi. Nếu
p không phải là hàm không đổi, với mọi phương tiệm cận d của {Sk} có hai trường hợp
lim
α→∞f(x+αd) = −∞. (2). Qd = 0 trong đó lim
α→∞f(x+αd) = −∞ hoặc f(x+αd) là hàm giảm của α tùy thuộc vào c0d < 0 hay c0d ≥ 0. Do đó giả thiết (2) được giữ nguyên lần nữa.
Một ví dụ khác là hàm đa thức f lồi elliptic so với X đó là tập giao X với mỗi tập mức f lồi. Thực tế với mỗi phương tiệm cận d của
{Sk} và mỗi x ∈ X ta có x ∈ S và {xk} ⊂ S trong đó Sk được hữu hạn như trong giả thiết (2), {xk} là một dãy tiệm cận tương ứng với d, và
S = X ∩ {y : f(y) ≤ max{f(x), γ0}}
vì S lồi, d là phương vô hạn của S do đó x+αd ∈ S với mọi α > 0. Khi đó f(x+αd) ≤ max{f(x), γ0} với mọi α > 0. Do đó f(x+αd) là một hàm đa thức α, chứng tỏ lim
α→∞f(x+αd) = −∞ hoặc f(x+ αd) là hàm không đổi α. Do đó giả thiết (2) giữ nguyên không đổi.
Lưu ý rằng định lý Frank-Wolfe mở rộng được chứng minh để giải quyết bài toán cực tiểu hàm lập phương trên một tập đa diện. Phần mở rộng khác của định lý Frank-Wolfe trong đó dạng Hessian của hàm bậc hai và ma trận ràng buộc bên trái và hữu tỉ là một số biến thiên không đổi là giá trị nguyên tố. Một kết quả khác là giả sử các giữ liệu bài toán là hữu tỉ được chứng minh trước đó bởi Mandel. Các kết quả liên quan có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các ý kiến trong tài liệu này không? Đây là chủ đề được quan tâm trong nhiều những nghiên cứu khác.
3.3 Kết luận
Chương này trình bày một số những ứng dụng của những kết quả đã nghiên cứu ở chương 2 vào việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu và tồng quát hóa định lý Frank-Wolfe.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau cùng một số ứng dụng của chúng. Cụ thể:
Chương 1: Giới thiệu một số khái niệm và kết quả quan trọng về định lý Cantor, tập lồi, hàm lồi, bài toán tối ưu và định lý Frank-Wolfe sẽ được sử dụng trong luận văn.
Chương 2: Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu về một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau, chương này trình bày một cách có hệ thống các kết quả về các phương tiệm cận, phương lùi xa, phương tới hạn, phương kéo lại, phương ngang, một số ví dụ được đưa ra để minh hoạ cho các khái niệm trên.
Chương 3: Trên cơ sở xây dựng các khái niệm, định lý và các tính chất của nội dung chương 2 dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại của lời giải tối ưu và tổng quát hoá định lý Frank-Wolfe.
Với phạm vi luận văn và thời gian cũng như khả năng còn hạn chế, việc nghiên cứu các ứng dụng của một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng còn cần được nghiên cứu sâu hơn để tìm được nhiều hơn các kết quả ứng dụng trong giải tích lồi và tối ưu hóa.
Tài liệu tham khảo
A Tài liệu Tiếng Việt
[1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội.
[2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội.
[3] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Giáo trình trường Đại học Khoa học Huế.
[4] Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Hà Nội.
B Tài liệu Tiếng Anh
[5] A. Auslender, M. Teboull (2003), Asymptotic Cones and
Functions in Optimization and Variational Inequalities, Springer- Verlag, New York, Inc.
[6] A. Auslender (1996), Non coercive optimization problems, Math, Oper, Res 21, 769-782.
[7] A. Auslender (2000), Existence of optimal solution and duality re- sults under weak conditions, Math, Program, Study 21, 45-59. [8] D.B Bertsekas, P.Tseng (2007), Set intersection theorems and exis-
tence of optimal solutions, Math, Program, Ser, A 110, 287-314. [9] D.P Bertsekas, A. Nedic, A.E Ozdaglar (2003), Conver Analysis and
[10] J.P Dedieu (1977),Cone asymptotiques d’un ensemble non convexe, application a l’optimization, C.R Acad Sci, 287, 91-103.
[11] J.P Dedieu (1979),Cone asymptotiques d’un ensemble non convexe, Bulletin Societe Mathematiques de France, Analyse Non Convexe, Memoire 60, 31-44.
[12] W. Fenchel (1951), Convex Cones, Sets and Functions, Mimeographed Notes, Princeton University, Princeton.
[13] E.Helly (1921), Uber Systeme Linearer Gleichungen mit Unendlich Vielen Unbekannten, Monatschr, Math, Phys, 31, 60-91.
[14] G.M.Lee, N.N.Tam, N.D.Yen, (2005), Quadratic programming and Ane Variational Inequalities: A Quadratic Study, Series: Nonconver Optimization and Its Applications, Vol.78, Springer Verlag, New York.
[15] Z.Q Lou, S.Z Zhang (1999), On the extension of Frank-Wolfe theo- rem, Comput, Optim, Appl, 13, 87-110.
[16] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton.
[17] R.T Rockafellar, R.J.B Wets (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin Heidelberg New York.
[18] P. Tseng, A.E Ozdaglar (2004), Existence of global minima for con- strained optimization, J. Optim, Theory Appl, 128.