Phần này ta tập trung vào diễn giải các phương tiệm cận và sự co lại được của các tập trong dãy giống nhau. Trong trường hợp này, khái niệm phương tiệm cận được nghiên cứu trong nghiên cứu của Dedieu [10,11] và tài liệu khác [5,16] .
Định nghĩa 2.2.3. Cho một tập đóng khác rỗng S, ta nói rằng véctơ khác không d là một phương tiệm cận của S nếu nó là phương tiệm cận của {Sk} trong đó Sk = S với mọi k, ví dụ tồn tại một dãy {xk} ⊂ S,
gọi là dãy tiệm cận tương ứng với d sao cho:
kxkk → ∞ và xk
kxkk →
d
kdk.
Một phương tiệm cận d được gọi là co lại được nếu cho một dãy tiệm cận tương ứng {xk}, tồn tại một số nguyên tố k sao cho:
xk −d ∈ S , ∀k ≥ k.
Tập S được gọi là co lại được nếu mọi phương tiệm cận d của nó co lại được.
Xin lưu ý khái niệm về một tập co lại được tương ứng với khái niệm về một tập tuyến tính tiệm cận đưa ra bởi Auslender [7] và Teboulle [5], những người đã có những phân tích liên quan có ở mệnh đề 2.2.2 tương ứng. Với mọi tập đóng khác rỗng S, As là tập phương tiệm cận
S. Mệnh đề tiếp theo chỉ ra rằng tập phương tiệm cận của một dãy tập đóng là phương tiệm cận chung cho các tập trong dãy. Mệnh đề này có thể được suy ra từ ví dụ 4.21 trong [16] về giới hạn ngang của một dãy tập.
Mệnh đề 2.2.3. Cho {Sk} là một dãy tập khác rỗng lồng nhau. Khi đó
d là một phương tiệm cận của {Sk} khi và chỉ khi d ∈ T∞
k=0ASk.
Chứng minh. Cho d ∈ T∞
k=0ASk với mỗi k, vì d ∈ ASk, tồn tại một
xk ∈ Sk sao cho kxkk ≥ k và | xk kxkk − d kdk| ≤ 1 k.
Khi đó kxkk → ∞ và xk/kxkk → d/kdk, vậy d là một phương tiệm cận của {Sk}.
Ngược lại cho d là một phương tiệm cận của {Sk} và {xk} là một phương tiệm cận tương ứng. Sau đó với mỗi k, ta có xk ∈ Sk ⊂ Sk với mọi k ≥ k, với d ∈ AS
k. Từ đó với mỗi k ta có d ∈ T∞
tập S, ta nói véctơd là phương lùi xa của S nếux+αd với mọi x ∈ S và
α ≥ 0 (xem [9,15,16]). Tập các phương lùi xa của S, kí hiệu RS là nón các phương lùi xa của S. Biết rằng, cho một tập lồi đóng không lồng nhau, tập phương tiệm cận trùng với tập phương lùi xa khác không. Tập con tuyến tính của S được xác định là:
LS = RS ∩(−RS)
rõ rằng tập con tuyến tính được co lại được. Kết quả dưới đây đã chứng minh rằng phần bù lồi co lại được.
Mệnh đề 2.2.4. Cho S là một tập đóng khác rỗng, là phần bù của một tập lồi mở. Khi đó S được co lại được.
Chứng minh. Giả sử tồn tại một phương tiệm cận d của S không co lại được và cho{xk} là dãy tiệm cận tương ứng không thoả mãn định nghĩa về sự co lại được. Khi đó xk −d 6= S cho một dãy con chỉ số xác định
k. Không làm mất tính tổng quát, giả sử rằng điều này là đúng cho mọi chỉ số k. Ta có xk/kxkk → d/kdk và kxkk → ∞ do dó kxk −dk → ∞
và (xk −d)/k(xk − d)k → d/kdk. Nó chỉ ra rằng {xk −d} là một dãy tập đóng lồi Rn \ S và d là phương tiệm cận tương ứng. Khi đó d là phương lùi xa của tập lồi đóng. Vì xk −d nằm trong Rn \S, mọi véctơ có dạng xk +αd với α ∈ [−1;∞) gồm xk thuộc Rn \S mâu thuẫn giả thiết xk ∈ S.
Mệnh đề trước có thể được mở rộng thành các tập lồi tổng quát hơn bằng cách hạn chế chú ý tới vỏ affin. Cụ thể, nếu C là một tập lồi tương đối mở (là tập lồi trùng với phần trong tương hỗ) thì tập giao của phần bù của C với vỏ affin được co lại được. Lưu ý, theo mệnh đề 2.2.4, một nửa không gian đóng được co lại được vì phần bù của nó là một nửa không gian lồi mở.
Theo mệnh đề 2.2.2, một tập đa diện là tập co lại được vì đó là giao của một nửa không gian xác định. Tổng quát hơn, giao hay hợp của
một phần bù xác định của các tập lồi mở được co lại được. Ví dụ về tập này là:
S = {x :f(x) ≥ 0}
trong đó, f là số dương nhỏ nhất của một số hàm lồi giá trị thực xác định. Lưu ý giả thiết về tính xác định là rất cần thiết để tập co lại được và đặc biệt nón lồi, đóng đa diện không cần co lại được (xem ví dụ cuối phần 2.2). Ta biết một tập đa diện S có thể được biểu diễn dưới dạng tổng véctơ các tập compact và nón đa diện N. Hơn nữa phương tiệm cận của S chính là véctơ khác không trong N. Mệnh đề dưới đây chứng minh khái quát hóa thực tế này.
Mệnh đề 2.2.5. Cho tập S là tổng véctơ của một tập compact và một tập đóng N. Khi đó phương tiệm cận của S chính là phương tiệm cận của N và S co lại được khi và chỉ khi N co lại được.
Chứng minh. Ta viết S = S + N trong đó S khác rỗng và compact, d
là một phương tiệm cận của N. Khi đó, tồn tại một dãy {yk} ⊂ N với
kykk → ∞ và yk/kykk → d/kdk. Cố định bất kì x ∈ S và cho
xk = x+yk , k = 0,1,2...
khi đó xk ∈ S,kxkk → ∞ và xk/kxkk → d/kdk suy ra d là một phương tiệm cận của S.
Ngược lại, cho d là một phương tiệm cận củaS. Khi đó tồn tại một dãy {xk} ⊂ S với kxkk → ∞ và xk/kxkk → d/kdk có thể suy ra xk như sau
xk = xk +yk , ∀k = 0,1,2, ...
trong đó xk ∈ S và yk ∈ N. Vì S là compact, {xk} bị chặn, nên có
kykk → ∞ và yk/kykk → d/kdk, vậy d là một phương tiệm cận của N. Xin lưu ý d là một phương tiệm cận của S với {xk} là dãy tiệm cận tương ứng khi và chỉ khi xk = xk+yk trong đó {xk} ⊂ S và {yk} là
một dãy tiệm cận của N tương ứng với d, xem như là một phương tiệm cận của N. Do đó, d được xem là một phương tiệm cận của S khi và chỉ khi d là một phương tiệm cận co lại được của N.
Theo mệnh đề2.2.2và 2.2.5phương tiệm cận của một tập khác rỗng của các giaoS = S1∩S2∩....∩Sm, sao cho mỗi một tậpSi, i= 1,2, ..., m, là tổng véctơ của một tập compact và một nón đa diện Ni và là véctơ khác không trong Tm
i=1Ni. Hơn nữa, S co lại được. Tương tự tổng véctơ của một tập compact và tập hợp một số nón đa diện xác định là tập co lại được. Các tập loại này đã được giới thiệu bởi Auslender và Teboulle [5]. Theo mệnh đề 2.2.1 và 2.2.3 ta có kết quả mới về tập giao phương tiệm cận và tập con tuyến tính như sau.
Mệnh đề 2.2.6. Cho {Ck} là một dãy tập đóng khác rỗng lồng nhau
A = ∞ \ k=0 ACk , L = ∞ \ k=0 LCk
(a). Nếu A ⊂ L thì {Ck} co lại được và T∞
k=0Ck khác rỗng.
(b).Cho X là một tập đóng co lại được. Giả sử tất cả các tậpSk = X∩Ck
khác rỗng và AX ∩A ⊂ L, thì {Sk} co lại được và T∞
k=0Sk khác rỗng.
Chứng minh. (a). Đây là trường hợp đặc biệt của (b) trong đó ta thấy
X = Rn sao choAX là một tập véctơ khác không trongRn vàAx∩A = A. (b). Theo mệnh đề 2.2.3, một phương tiệm cận d của {Sk} phải thuộc
AX ∩A và thuộc L. Do đó với bất cứ một dãy tiệm cận tương ứng {xk}
ta có xk ∈ Ck và do đó xk −d ∈ Ck với mọi k. Vì d là một phương tiệm cận của X và X co lại được, suy ra d co lại được trên {Sk}. Theo mệnh đề 2.2.1, T∞
k=0Sk khác rỗng
. Nếu tập Ck lồi khi đó ACk gồm các véctơ khác không trong RCk
và vì RCk ⊃ LCk ta có A ⊃ L \ {0}, giả sử A ⊂ L trong phần (a) mệnh đề 2.2.6 tương ứng với A = L \ {0}. Trong trường hợp này phần (a) là trường hợp đặc biệt, trong đó X là tập đa diện trong phần (b) đã biết.
Phần (b) khái quát hơn trong trường hợp X là tổng véctơ của một tập compact và tập N, với N là tập giao và là tập hợp của một số nón đa diện nhất định và là phần bù của các tập lồi mở (xem mệnh đề 2.2.2, 2.2.4 và 2.2.5).
Việc bảo toàn tính đóng của tập C dưới phép biến đổi tuyến tính
A bằng cách áp dụng mệnh đề 2.2.1 và 2.2.2 ta thu được kết quả là AC
đóng nếu C là tập đóng co lại được (ta sử dụng cách co lại được dãy
{Nk} của phương trình (2.1)). Kết quả được trình bày ở Auslender và Teboulle nhưng sử dụng giả thiết chi tiết hơn. Một điều kiện khác để đảm bảo tính chất đóng của AC đưa ra bởi Pataki người đã giả thiết C
là một nón lồi đóng "phù hợp" (cụ thể một nón đa diện, nón bậc hai, hoặc nón ma trận đối xứng nửa xác định dương, thêm vào đó sự chuyển hóa ràng buộc liên quan đến hạng của AT, nón đối ngẫu C∗, bao đóng của tập các phương chấp nhận được của C∗. Về bản chất kết quả của Pataki khác với kết quả này vì có thể thấy rằng không một nón bậc hai nào là đồ thị hàm chuẩn Euclidean hay nón n×n là ma trận bán xác định dương đối xứng co lại được. Ví dụ, d = (1,0,1) là phương tiệm cận của nón thứ hai C = {(u, v, w)/k(u, v)k ≤ w} với dãy tiệm cận tương ứng xk = (k,√
k,√
k2 +k) nhưng xk −d /∈ C với mọi k = 1,2, ... ).
2.3 Phương ngang và định lý tập giao liên quanTrong khi phương co lại được là một đặc tính khá quan trọng , nó