Hàm Zeta-Riemann và định lý số nguyên tố

Lài cám ơn Nhân d%p lu¾n văn đưoc hồn thành tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình hưóng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hồn thành bỏn luắn ny H Nđi, thỏng 07 nm 2012 Tác giá Trương Nguyen Minh Lài cam đoan Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn “Hàm Zeta-Riemann Đ%nh lý so nguyên to” đưoc hồn thành, khơng trùng vói bat kỳ lu¾n văn khác Trong q trình làm lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 07 năm 2012 Tác giá Trương Nguyen Minh Mnc lnc Má đau .3 Chương M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± .7 1.1 Hàm hình 1.2 Tích phân cna hàm bien phúc 1.3 Khai trien chuoi luy thùa cna hàm hình 17 1.4 Khai trien chuoi luy thùa cna m®t so hàm sơ cap 19 Chương KHÔNG ĐIEM CÚA HÀM ZETA-RIEMANN 20 2.1 Hàm Zeta-Riemann 20 2.2 Moi liên quan khác cna chuoi Dirichlet vói hàm ζ(s) .25 2.3 Các tong liên quan đen σa(n) 30 2.4 Đ¾c trưng giái tích cna hàm ζ(s) phương trình hàm 33 2.4.1 Thác trien giái tích phương trình hàm .33 2.4.2 Không điem công thúc nhân tú .40 Chương бNH LÝ SO NGUYÊN TO 44 3.1 Giói thi¾u 44 3.2 M®t so bo đe 50 3.3 Đ%nh lý Tauberian 55 3.4 Đ%nh lý so nguyên to .61 3.5 Cơng thúc ti¾m c¾n Selberg 63 3.6 Phép chúng minh bán cna đ%nh lý so nguyên to 66 Ket lu¾n 78 Tài li¾u tham kháo 79 Má đau Lí chon đe tài M®t nhung nhà tốn hoc đ¾t nen móng cho vi¾c nghiên cúu hàm zeta ζ(s) Leonhard Euler, ve m¾t bán ơng mói chí nghiên cúu dưói dang hàm vói bien so thnc M®t nhung ket quan cna ơng cơng thúc tích vơ han (goi tích Euler) lay tat cá so nguyên to Tích h®i tu phan thnc cna s lón Đây m®t phiên bán giái tích cho đ%nh lý bán cna so hoc, rang moi so ngun có the phân tích m®t cách nhat thành thùa so nguyên to Euler dùng tích đe chúng minh rang tong ngh %ch đáo cna so ngun to khơng b% ch¾n Cơng thúc tích Euler thu hút sn quan tâm cna Riemann tói hàm zeta, đieu đưoc the hi¾n qua vi¾c ơng co gang chúng minh m®t giá thuyet cna Legendre Dưói m®t dang xác hơn, giá thuyet đưoc phát bieu bói Gauss qua cơng thúc ¸x π(x) ∼ dt , log(t ) π(x) so so nguyên to không vưot x Riemann tao m®t bưóc tien lón tói giá thuyet cna Gauss Ơng nh¾n rang sn phân bo so nguyên to phu thu®c vào sn phân bo khơng điem cna hàm zeta Cơng thúc tích Euler chúng tó khơng có khơng điem cna ζ(s) có phan thnc lón Bang viắc chỳng minh rang (s) thúa mđt phương trình hàm mà dang đoi xúng cna s ζ (s) = s (s − 1) π 2Γ s ζ (s) = ζ (1 − s) , + Γ(s) hàm Gamma ζ it ; vói < t < T Phương trình hàm chí khơng có khơng điem có phan thnc nhó Như v¾y, moi khơng điem phúc phái nam dái ≤ Re(z) ≤ Riemann đưa m®t cơng thúc tưòng minh cho π(x) phu thu®c vào khơng điem phúc ρ = β + iγ cna ζ(s) M®t dang đơn gián cna cơng thúc nói rang Ψ(x) = Λ(n) = x p − log(2π) − log 1 − x − p x2 n≤x p đưoc thóa mãn neu x khơng phái lũy thùa cna m®t so ngun to, hàm hàm Von Mangoldt Λ(n) = log p neu n = pk vói p so ngun to; k m®t so nguyên Λ(n) = trưòng hop lai Do phái có nhieu vơ han khơng điem ρ é tong tính ρ vói so b®i đưoc hieu lim T →∞ ρ β Chú ý rang |x| = |x| ; |ρ|≤T can chí β < đe chúng minh rang cách Λ(n) ∼ x, m®t n≤x phát bieu khác giá thuyet cna Gauss Cũng tù phương trình hàm nêu chí rang khơng điem phúc Riemann chúng tó rang phái đoi xúng qua đưòng thang Re(s) = so khơng điem N (t) vói phan áo nam giua T , N (T ) = T 2π lo g + + S (T ) + O 2π T e T Thêm nua, Riemann chúng minh rang S (T ) = O (log T ) nêu giá thuyet rang moi không điem cna ζ thnc sn đeu nam đưòng thang ; giá thuyet Riemann Các no lnc cna Riemann Im (z) = tien gan đen vi¾c chúng minh giá thuyet cna Gauss Bưóc cuoi đưoc hồn tat bói Hadamard De la Vallée Poussin, hai ngưòi chúng minh đc lắp nm 1896 rang (s) khỏc khụng phan thnc cna s bang 1, tù dan tói ket lu¾n khang đ%nh cho giá thuyet cna Gauss, bây giò đưoc goi Đ%nh lý so nguyên to Nhung cơng trình cna Riemann mó nhung ngành nghiên cúu mói ket hop giua giái tích hình hoc, bao gom lý thuyet hình hoc Riemann, hình hoc đai so lý thuyet ve đa tap phúc Ông giói thi¾u hàm ZetaRiemann thiet l¾p ket q quan cna vi¾c hieu đưoc sn phân bo cna so nguyên to Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài: “Hàm Zeta-Riemann Đ%nh lý so nguyên to” vói mong muon đưoc tìm hieu ve sn phân bo khơng điem cna hàm Zeta-Riemann moi liên quan tói Đ%nh lý so ngun to đe hồn thành lu¾n văn khóa đào tao Thac sĩ chun ngành Tốn giái tích Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve tính chat khơng điem hàm Zeta-Riemann; Áp dung tính chat khơng điem đe nghiên cúu sn phân bo so nguyên to; Trình bày phép chúng Đ%nh lý so nguyên to cna H.L Keng [7] Nhi¾m nghiên cNu Đoc tài li¾u, tìm hieu hieu ve hàm so Zeta-Riemann kien thúc liên quan Đoi tưang nghiên cNu Nghiên cúu m®t so tính chat bán cna hàm ζ, khái ni¾m khơng điem moi liên quan đen đ%nh lý so nguyên to; Chúng minh đ%nh lý so nguyên to Phương pháp nghiên cNu Tong hop, phân tích tù tài li¾u; Sú dung tính chat khơng điem hàm ζ đ%nh lý so nguyên to DN kien úng gúp cỳa luắn Trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve tính chat bán cna hàm ZetaRiemann; Nêu hai phương pháp chúng minh đ%nh lý so nguyên to − p log q log r +O log qr log p = 2x log p x p 2x log lo g p p≤x p≤x = 2x log−x log r ϑ qr≤x qr≤ px log q log qr p p≤x x + O(x log log x) qr Thay vào công thúc ti¾m c¾n Selberg (3.32), ta có log p log q x ϑ(x) log x = ϑ + O (x log log x) pq≤x log pq pq Bo đe 3.11 Ta có |R(x)| ≤ x log log x x O+ (x ≥ 3) R log log n≤x n x x Thay (3.40) vào công thúc (3.32) ta có R(x) log x = − Tù bo đe 3.10 ta thay rang log p + O(x) Rx p p≤ x x |R(x)| log x ≤ R log p log q log p + R x p≤x p pq ≤x log pq pq +O (x log log x) Tù bo đe 3.9 phép lay tong riêng, vói tính chat ||a| − |b|| ≤ |a − b|, ta có |R(x)| log x ≤ log p + n≤x−1 p≤ n x x n+1 R R − n log p log q log pq pq ≤x + O (x log log x) +O log p + log p log q log pq pq≤x p≤x x x x n ≤2 R − R n≤x−1 n+1 n + O n x x + O(x log log R x) R n log − n≤x−1 2n n+1 n x R ≤2 ϑ − ϑ x x n≤x− + n+1 log 2n n≤x n O n + O x n + O(x log x) log n≤x−1 log 2n n − n+1 Tù đ%nh lý 3.2 ta có n ϑ x − ϑ x n+1 n≤x− log n 2n = ϑ x n log 2n n 2≤n≤x−1 =O x n≤x n− − + O(x) log (n − 1) = O(x log log x) n log n Tù đó, ta thu đưoc |R(x)| log x ≤ x) n≤x R n x + O(x log log ket thóa mãn yêu cau đ¾t Bo đe 3.12 Neu x > 1, ϑ(n) n≤x n≤x n2 = log x + O(1) x ϑ = x log x + O(x) n ChNng minh Tù ta có p≤ n≤ x n2 = n≥p n2 n>x n2 − = 1 +O p p + O , ϑ(n) n≤x n2 =1 x n p≤ n n≤x log p = = log p p≤ x + O log p n2 p≤n≤x + O O(1) p≤x p p2 x = log x + n≤x ϑ n x = n≤x p≤ x = log p = n log p x log p n≤ x p≤x p = x log x + O(x) + O(1) p p≤x Bo đe 3.13 log n R(n) = − n n n≤x R(n)R x + O(x) n n≤x ChNng minh Tù công thúc Selberg tong riêng ta có x log p log + log p = 2x log x + O(x) x log q log p pq p≤x pq≤x Thay the công thúc = + O , log log xp 1 n p = x pq p≤n≤x +O n1 p≤n≤qx vào cơng thúc hốn đoi tong, ta đưoc log2p + log p log x + O(x) n p≤ n≤x n Đieu có nghĩa n n≤x p≤ n q≤ x n p log q = 2x log n ϑ(n) + O(x) n n≤x n ϑ (n) ϑ x = 2x log x + n n≤x Ket q can đòi hói đưoc suy sau thay the (3.40) vào công thúc áp dung bo đe 3.12 Bo đe 3.14 Cho < σ < giá sú rang ton tai x0 cho moi x > x0, ta có |R (x)| < σx (3.42) Khi ton tai xσ cho x > xσ, khống (1 − σ) chúa m®t khống y, e.δy vói tính chat R(z) σ + σ2 , z < y ≤ z ≤ eδy δ = 16 x, x có σ(1 − σ) 32 ChNng minh Tù bo đe 3.13 ta có log n R(n) ≤ R(n)R n n≤x x x0≤n≤ x x + R(n)R n n .n n x1) (3.43) Nhưng neu R(n) đoi dau (xr, x), rõ ràng ton tai y mà xr ≤ y ≤ < x đe |R(y)| = O(log y), cho (3.43) van thóa mãn Tù bo đe 3.9, < y < yr ta có r log p ≤ 2(yr − y) y r y≤p≤yr + O log y Tù (3.40) có |R (yr) − R (y)| < (yr − y) r y +O log yr r Cho x ≤ y1, y2 ≤ x1 y1 thóa mãn (3.43) e ≤ Tù (3.43) (3.44) thay rang R(y ) y 1 y R(y 2) −δ y2 y (3.44) ≤ e−δ 1 .< y + +O − log x y y2 y1 σ(1 + 3σ) δ e + (eδ − 1) < log x +O , (0 < δ < 1) ta có δ Tù e < 1− δ 1 σ(1 + R(y ) 3σ) − 1+ log x + 1−δ < y 1−δ O σ(3 + 5σ) σ+ < +O (x > x0) σ2 < log x Khi y1 + x, có y1 < x, v¾y ta có the lay y = y1 ≤ 7σ eδ x, + 15σ Khi y1 + > 7σ + 15σ e−δy1 > − σ x > x1 1+ 15σ −δ ta có the lay y = e y1 Bo đe dưoc chúng minh ChNng minh đ%nh lý so nguyên to Chúng ta biet rang ton tai c > xr cho vói x > x0 ϑ(x) > cx (3.45) Tù cơng thúc Selberg, có log p + O ϑ(x) = 2x − x p≤ ϑ x x p log x log x x x x ϑ = 2x − log p + log x p log p − ϑ x log x O log x p≤ x x r  0) +O < log x − Tù (3.40) có |R(x)| < σ0(x) , vói x > x0, σ0 = .1 c < σ0 < Cho − ζ = (1 − −16 σ0) , δ= σ0(1 − σ0) 32 Tù bo đe 3.14 thay ton tai xσ0 > x0 cho x > xσ0 , x se chúa m®t khống vói bat kỳ khoáng ζν−1, ν ζ ≤ ζ ≤ σx ζν , δ đe yν ≤ n ≤ eδyν ta có n x σ0 + σ2 R < x n Tù bo đe 3.11 có y ν , e yν |R(x)| < x R log x + x R n log x x n≤ xσ < σ0 x + log x x 1≤ n ≤ xσ < σ0 x log x 1≤ n ≤ < σ0 x − x xσ x x √ O+ log x n xσ0 xσ1 > xσ0 ) , 200 ó σ1 < σ0 L¾p lai q trình ta nh¾n đưoc |R(x)| < σnx (x > xσn ) , ó σn = σn−1 − (1 − σn− 1) ≤ σn−1 − 2000 (1 − σ 0) 2000 n (1 − σ ≤ σ0 − 0) 2000 cho lim σn = n→∞ Tù suy lim x→∞ R(x) x ≤··· = đ%nh lý đưoc chúng minh Ket lu¾n Nđi dung cna luắn ó giỏi quyet mđt so van đe bán sau Nghiên cúu m®t so tính chat bán cna hàm zeta Riemann ζ; Van đe phân bo không điem cna hàm ζ moi liên quan đen đ%nh lý so nguyên to; Trình bày phép chúng minh bán cna đ%nh lý so nguyên to só nghiên cúu ve hàm Zeta-Riemann Các ket q đưoc trình bày lu¾n văn có ý nghĩa khoa hoc m®t van đe mang tính thòi sn liên quan r®ng lón đen nhieu lĩnh vnc khác toán hoc Tài li¾u tham kháo [1] L V Ahlfor (1979), Complex analysis, New York, third edition [2] M M Crum (1940), On some Drichlet Series, J L M S 15, 10-15 [3] H M Edawards (1974), Riemann’s Zeta function, Dover Publications, Inc Mineola, New York [4] G H Hardy (1922), On the intergration of Fourier series, Messenger of Math 51, 186-92 [5] G H Hardy (1916), On Dirichlet’s divisor problem, Proc London Math Soc (2), 15 [6] J Hadamard (1927), Une application d’une formule inte’grale relative aux se’ries de Dirichlet, Bull Soc Math de France, ii, 43-4 [7] H L Keng (1982), Introduction to Number Theory, SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York [8] E C Titchmarsh (1986), The theory of the Riemann Zeta Function, Clarendon Press Oxford ... 1.1 Hàm hình 1.2 Tích phân cna hàm bien phúc 1.3 Khai trien chuoi luy thùa cna hàm hình 17 1.4 Khai trien chuoi luy thùa cna m®t so hàm sơ cap 19 Chương KHÔNG ĐIEM CÚA HÀM ZETA-RIEMANN. .. giói thi¾u hàm ZetaRiemann thiet l¾p ket q quan cna vi¾c hieu đưoc sn phân bo cna so nguyên to Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài: Hàm Zeta-Riemann Đ%nh lý so nguyên to”... điem cna hàm Zeta-Riemann moi liên quan tói Đ%nh lý so ngun to đe hồn thành lu¾n văn khóa đào tao Thac sĩ chun ngành Tốn giái tích Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve tính chat khơng điem hàm Zeta-Riemann;