Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng

Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, khônggian định chuẩn, không gian Banach, định lý ánh xạ mở, nguyên lý đồ thị đóng,nguyên

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI- 2012

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Em xin chân thành cảm ơn!

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tậntình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quảnghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng vàlòng biết ơn

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có

sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm2012

Sinh viên

PHẠM THỊ HƯƠNG

Không gian định chuẩn,không gian Banach 7

Chương II: Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng 14

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ

XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổ điển Nộidung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mởrộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân…

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ đượcmột nội dung hết sức phong phú Những phương pháp và kết quả rất mẫu mựccủa giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có

sử dụng đến những công cụ của Giải tích Ngoài ra, nó còn có những ứng dụngtrong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngànhtoán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kếtnhững kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề

ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải

tích hàm, em đã chọn đề tài “Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng” làm

đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy đượcứng dụng rõ rệt của định lý phạm trù Baire Thông qua đó thấy được vai tròquan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vựckhác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết về định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng đểthấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích (chứng minh

một tập là tập thưa,tập không đâu trù mật…) và ứng dụng vào các lĩnh vực kháccủa toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung.

3 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, khônggian định chuẩn, không gian Banach, định lý ánh xạ mở, nguyên lý đồ thị đóng,nguyên lý bị chặn đều

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phântích, tổng hợp, so sánh…

Nội dung khoá luận gồm hai chương:

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II: Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng

Kết luận

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1 Không gian metric 1.1 Định nghĩa

Ta gọi là không gian metric một tập hợp X  cùng với một ánh xạ d từ

gọi là khoảng cách giữa hai

phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm

trên  và được gọi là metric tự nhiên trên 

1.2 Sự hội tụ trong không gian metric

1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian metric M ( X , d ) , dãy

điểm

(x n ) X ,

điểm

x0 X Dãy điểm (x n )

gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không

gian M khi n  nếu

(0), (n0  ) ,(n n0 ) : d(x n , x0 ) ,

trong 

b) Sự hội tụ của một dãy điểm (x n ) trong không gian

dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

□ là sự hội tụ của

c) Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian

sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn a,b:

Trong C[a,b] ta xét “metric hội tụ đều” Ta có:

C[a,b] tương đương với

C[a,b] với metric hội tụ đều.

1.3 Không gian metric đầy đủ

1.3.1 Định nghĩa 1.3.1 Cho không gian metric

gọi là dãy cơ bản trong M nếu:

M ( X , d ) Dãy điểm (x n )

X

Hay

( 0),(n0 N

),(n, m n0 ), d (xm, xn) .



n,md (x n , x m ) 0

1.3.2 Định nghĩa 1.3.2 Không gian metric M ( X

, d )

được gọi là không gian

đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ

1.3.3 Ví dụ

a) Không gian C[a,b] là không gian đầy.

b) Không gian 

m với metric d thông thường là đầy đủ Thật vậy, xét tùy

ý dãy Cauchy (x n ) với x n

 lim x x n k  0

Nên suy ra các dãy (x n ) : i

và tập A X Tập A

gọi là tập mở trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong

của A, nói cách khác, nếu điểm x A thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc A

đều là điểm ngoài của A , hay nói cách khác, nếu điểm x

A

cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A

thì tồn tại một lân

2.1.2 Định lý 2.1.2 Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập

mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.

2.1.3 Hệ quả 2.1.3 Trong không gian metric bất kỳ, phần trong của một tập

mở là một tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng

2.2 Tôpô trong không gian metric

2.2.1 Định lý 2.2.1 Trong không gian metric bất kỳ, họ tất cả các tập

mở trong M lập thành một tôpô trên X

Tập tất cả các tập mở trong không gian

metric sinh bởi metric d

M ( X , d )

gọi là tôpô

Trong không gian metric bất kỳ

tôpô có cơ sở lân cận đếm được.

M ( X , d ) , topo sinh bởi metric

d là

2.2.2 Hệ quả 2.2.2 Trong không gian metric bất kỳ, giao của một họ tùy ý các

tập đóng, hợp của một họ hữu hạn tùy ý các tập đóng là tập đóng

2.3 Tập trù mật, tập không đâu trù mật

2.3.1 Định nghĩa 2.3.1 Cho không gian tôpô X Giả sử A và B là hai tập con

của X Ta nói tập A trù mật trong B nếu B

Tập A đƣợc gọi là trù mật khắp nơi nếu A trù mật trong toàn không gian X

Một tập A đƣợc gọi là không đâu trù mật nếu int A  

2.3.2 Định lý 2.3.2 Tập A là tập không đâu trù mật trong X khi và chỉ khi

mỗi tập mở khác rỗng trong X đều chứa một tập hợp mở khác rỗng không có điểm chung với A

Chứng minh

Giả sử A là tập không đâu trù mật và U là tập mở khác rỗng trong X Vì int A  nên U A Do đó:

W U ( X \ A) 

Vậy W là tập mở không rỗng và W U, W A 

Đảo lại, mỗi tập hợp mở không rỗng U đều tồn tại W là tập hợp mở

không rỗng và W U , W A

A X

nếu U  là tập mở

bất kỳ thì U A Vì vậy int A .

§3 Không gian định chuẩn, không gian Banach 3.1 Không gian định chuẩn

3.1.1 Định nghĩa 3.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một ánh xạ

từ X vào tập số thực  , kí hiệu là thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau đây:

 2

 xn n1

Cho không gian véctơ

l2 Đối với véctơ bất kỳ x (x n

) l2

ta đặt:

x 

thì đây chính là một chuẩn trên l2 Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu là l2 .

3.1.3 Định nghĩa 3.1.3 Ta nói chuẩn và

1 trên không gian véctơ X là

3.1.5 Định nghĩa 3.1.5 Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định

chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn

Hai chuẩn và là tương đương 

3.2 Không gian Banach

3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định

chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đó của không gianấy)

2 1

3.2.2 Ví dụ

a) Không gian Hilbert là không gian Banach

b) L P ( X ,d) ,1 p là không gian Banach.

3.2.3 Định nghĩa 3.2.3 (Toán tử tuyến tính bị chặn) Một ánh xạ tuyến tính

bị chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn ( X1, 1 ) và( X 2 , 2 ) là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn c 0 sao

cho:

Tx 2 c  Tx .1Như đã biết từ trước đó, T bị chặn T liên tục T liên

tục tại một điểm Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:

T sup Tx 2

x 1 1

3.2.4 Bổ đề 3.2.4 Chuẩn của toán tử cũng là một chuẩn trên không gian

L( X ,Y ) tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y.

Tx 0 Theo tính chất tuyến tính

3.2.5 Định lý 3.2.5 Nếu Y là một không gian Banach thì

không gian Banach L( X ,Y) cũng là một

3.3.1 Phát biểu định lý Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trong một

không gian con M của một không gian véctơ thực X Nếu có một hàm dưới tuyến tính xác định trong X sao cho

(x M ) f (x) (x)

Thì phải có một phiếm hàm tuyến

tính F (x) xác định trong toàn thể X sao cho :

1) F là khuếch của f , nghĩa là:

3.3.2 Hệ quả 3.3.2 Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một

không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên toàn thể X , mà có F f

3.3.3 Hệ quả 3.3.3 Cho không gian định chuẩn X Với mỗi phần tử khác

không x0



X

tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn

không gian X sao cho f (x o ) x o

và

f 1

3.4 Đối ngẫu đơn và đối ngẫu kép

3.4.1 Định lý 3.4.1 (Định lý Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực Khi

a) (L2 )L2

.b)

u J (x) X 

thì ta nói rằng X là phản xạ.

3.4.5.1 Ví dụ về không gian phản xạ

Không gian Hilbert là một không gian phản xạ.

Không gian L p với 1 p 

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

§1 Định lý phạm trù Baire, trường hợp hàm biến thực

Định lý phạm trù Baire là một định quan trọng trong giải tích hàm và đã đượcchứng minh trong luận văn tiến sỹ của Rene - Louis Baire vào năm 1899 Định

lý này có rất nhiều hệ quả Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý

1.1 Định lý 1.1 (Định lý phạm trù Baire) Cho X là một không gian metric đủ

và F n là dãy các tập con đóng của X với phần trong rỗng (int(F n )

O n giao với tập mở và do đó nó là tập trù mật.

Định lý này có tên là Baire bởi vì nó dùng thuật ngữ của Baire cho tập hợp:

1.2.2. Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập E

phạm trù thứ nhất nếu nó là hợp đếm đƣợc của các tập không đâu trù mật trong

X, còn ngƣợc lại thì đƣợc gọi là thuộc vào phạm trù thứ hai

Theo định lý phạm trù Baire thì mọi không gian metric đầy đủ X đềuthuộc vào phạm trù thứ hai trong chính nó

Định lý phạm trù Baire và khái niệm phạm trù Baire được giới thiệutrong định lý về hàm trong đường thẳng thực rất có ích Ta sẽ tìm hiểu đôichút về điều này Đầu tiên ta đưa ra một mô tả yếu định nghĩa về tập khôngđâu trù mật với các tập con của  và một vài thuật ngữ thích hợp Một tập A

 được gọi là trù mật trong I nếu A là giao khác rỗng của mọi khoảng con của I A  được gọi là không đâu trù mật nếu nó khôngtrù mật trong mọi khoảng con, nghĩa là mọi khoảng đều có một khoảng con

nằm hoàn toàn trong A

được gọi là dao động của hàm f tại x

W gọi là thác triển hàm giá trị thực trên R và ta thấy

rằng

và chỉ khi f là liên tục tại x0

w(x0 ) 0 khi

Nếu w(x0 ) 0,

w(x0 ) cho ta giá trị gián đoạn của f tại x0 Ta gọi D f là

tập các điểm mà tại đó f gián đoạn Thì :

Một hàm f đƣợc gọi là lớp thứ nhất (của Baire) nếu nó có thể đƣợc biểu

diễn bởi giới hạn điểm của một dãy hàm liên tục

trong định lý dưới đây một hàm thuộc lớp thứ nhất không thể gián đoạn khắp nơi.

I chính là không gian metric đầy đủ và theo định lý phạm trù Baire, nó không

thể là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật

trong M1 thành lân cận của điểm Ax0 trong

M 2 Ánh xạ A gọi là ánh xạ mở, nếu ánh xạ A biến mỗi tập mở trong M1 thành

tập mở trong M 2

2.2 Định lý 2.2 (Định lý ánh xạ mở Banach) Cho T là ánh xạ tuyến tính từ

không gian Banach X lên không gian Banach Y Khi đó T là ánh xạ mở nếu ảnh của một tập mở bất kỳ là một tập mở.

Chứng minh

Bằng phép tịnh tiến và dùng tính chất tuyến tính, với

minh rằng:

r

 0bất kì ta chứng

T (B X (0, r)) B Y (0,

r ') với

r ' bất kỳ

r ' r

.3

Vì vậy, cho y T (B(0,1)) ,ta sẽ tìm

Từ định

nghĩa của tập đóng 

y Tx1

 Tx2

 Vì vậy, ta4

n

nhắc lại điều này với: n, x n

2.3 Hệ quả 2.3 Nếu T là ánh xạ tuyến tính bị chặn giữa hai không gian Banach

là một song ánh thì ánh xạ ngƣợc của nó liên tục Do đó T là một đẳng cấu

2.4 Hệ quả 2.4 Nếu X và Y là những không gian Banach và T L( X ,Y ) là song

Hệ quả quan trọng khác của định lý phạm trù Baire là định lý đồ thị đóng

3.1 Định nghĩa 3.1 Cho hai không gian định chuẩn X và Y và ánh xạ A từ

không gian X vào không gian Y Ta gọi đồ thị của toán tử A , kí hiệu

Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng.

Thật vậy, nếu ta lấy một dãy hội tụ{(x n ,Tx n )}

3.2 Định lý 3.2 (Định lý đồ thị đóng) Cho X ,Y là hai không gian Banach và

Nếu X là không gian Banach với các chuẩn

Vậy ( X , ) có là một không gian Banach ?2

Lấy một dãy Cauchy

 N

bị chặn theo trên bởi

2 Tương tự lấy {T (x n )}n là dãy cơ bản trong Y Vì vậy,

từ Y là Banach {T (x n )}n hội tụ về y Y nào đó (x n ,T (x n )) (x, y)

Do đó, Tx y và từ đồ thị của T là tập đóng (giả sử, đồ thị chứa tất cả

c1 x X

Bây giờ, giả sử T là bị chặn Do đó T liên tục Vì vậy, cho

{ (x n ,T (x n )) }hội tụ trong X Y sao cho (x n ,T (x n )) (x, y)

§4.Nguyên lý bị chặn đều, liên hệ không gian L( X ,Y )

4.1. Định nghĩa 4.1 Cho họ (T i

)i I gồm các toán tử tuyến tính T i ánh xạ khônggian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y trong đó I là tập chỉ số có lực lƣợng nào đấy Họ (T i

)i I gọi là bị chặn từng điểm nếu với mỗi x X tập (T i x) i I

4.2 Định lý 4.2 (Nguyên lý bị chặn đều Banach – Steinhaus)

Cho X là một không gian Banach và Y là một không gian tuyến tính định chuẩn Cho (T i )i I là họ tùy ý các phần tử

F n theo giả thiết Tuy nhiên, mỗi F n là tập đóng và

liên tục ứng vớiT i Định lý phạm trù Baire nói rằng nếu F n có phần trong rỗng thìhợp của chúng cũng có phần trong rỗng Nhƣng

2(0  n0 )



Bất đẳng thức sau cùng là đúng theo giả thiết, với mỗi y, T i ( y) là bị chặn đều tại

i Vì vậy, với y, T i (

T n (x) hội tụ theo giả thiết Do đó, theo

nguyên lý bị chặn đều, sup

x

Y n

T n x Y

T l iminf T n

n

4.4 Hệ quả 4.4 Cho B là một tập con của không gian Banach

Do đó, theo nguyên lý bị chặn đều: sup T f

f B'   Ta kết thúc chứng minh

KẾT LUẬN

Giải tích hàm nói chung và định lý phạm trù Baire nói riêng có vai tròquan trọng trong giải tích Trong khóa luận này đã tập trung nghiên định lýphạm trù Baire và một vài ứng dụng của nó

Khóa luận này của em được hoàn thành trong một thời gian ngắn và sựhiểu biết của bản thân còn hạn chế nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Emrất mong nhận được sự góp ý và cảm thông sâu sắc từ phía các thầy cô giáo vàcác bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lờicảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, cũng như các thầy côgiáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để emhoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!