Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN ****** PHẠM THỊ HƢƠNG ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS BÙI KIÊN CƢỜNG HÀ NỘI- 2012 Phạm Thị Hương K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Hương Trường ĐHSP Hà Nội K34C - Tốn Lời cảm ơn Khóa luận em đƣơc hoàn thành với bảo, hƣớng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng Qua em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, ngƣời trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ giải tích, nhƣ thầy giáo khoa Tốn trƣờng ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan khóa luận kết riêng thân, trùng lặp với đề tài nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm2012 Sinh viên PHẠM THỊ HƢƠNG MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU………… Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị §1 Khơng gian metric .3 §2 Tơpơ không gian metric §3 Khơng gian định chuẩn,khơng gian Banach Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire số ứng dụng 14 §1.Định lý phạm trù Baire,trƣờng hợp hàm biến thực 14 §2 Định lý ánh xạ mở…… 18 §3 Định lý đồ thị đóng … .20 §4.Nguyên lý bị chặn đều,liên hệ không gian L( X ,Y ) 22 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học đƣợc xây dựng vào nửa đầu kỉ XX nhƣng hầu nhƣ đƣợc xem nhƣ ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phƣơng trình vi phân… Trong trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích luỹ đƣợc nội dung phong phú Những phƣơng pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan có sử dụng đến cơng cụ Giải tích Ngồi ra, có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành tốn học nói trên, mặt khác đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trừu tƣợng Với mong muốn đƣợc nghiên cứu tìm hiểu sâu mơn giải tích hàm, em chọn đề tài “Định lý phạm trù Baire số ứng dụng” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài thấy đƣợc ứng dụng rõ rệt định lý phạm trù Baire Thơng qua thấy đƣợc vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng vào lĩnh vực khác tốn học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết định lý phạm trù Baire số ứng dụng để thấy đƣợc vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích (chứng minh Phạm Thị Hương K34C - Tốn tập tập thƣa,tập không đâu trù mật…) ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Đối tƣợng nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, định lý ánh xạ mở, nguyên lý đồ thị đóng, nguyên lý bị chặn Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phƣơng pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh… Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức liên quan đến định lý phạm trù Baire số ứng dụng Bố cục luận văn Phần mở đầu Nội dung khoá luận gồm hai chƣơng: Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire số ứng dụng Kết luận 3.2 Định lý 3.2 (Định lý đồ thị đóng) Cho X ,Y hai không gian Banach T:X ánh xạ tuyến tính Khi T bị chặn đồ thị  Y (T ) {(x,Tx) : x X ) X Y tập đóng Chứng minh Trƣớc chứng minh, ta có nhận xét sau: Nếu X không gian Banach với chuẩn x th C1 cho: ì 0 x C x và1 C 0 cho C1 x 2 Thật vậy, ánh xạ id : ( X , ) (X, ) ánh xạ bị chặn song ánh Vì vậy, theo hệ định lý ánh xạ mở ánh xạ ngƣợc bị chặn Bây giờ, ta chứng minh định lí Áp dụng kết cho chuẩn cho bởi: x  x  ,x x X Giả sử (T ) tập đóng Vậy Lấy dãy Cauchy x n  bị chặn theo n  N x Khi rõ ràng  T x X Y x ( X , ) có không gian Banach ? ( X , ) Do , từ xn 1  x với Tƣơng tự lấy {T (xn )}n dãy Y Vì vậy, từ Y Banach {T (xn )}n hội tụ y Y (xn ,T (xn )) (x, y) Do đó, Tx y từ đồ thị T tập đóng (giả sử, đồ thị chứa tất điểm giới hạn) ta có: xn x Theo xn x  T (xn  x) 0 0 0 Y (X, ) khơng gian Banach Vì vậy, T (x)  y x  x x C1 x c1 x X Bây giờ, giả sử T bị chặn Do T liên tục Vì vậy, cho { (xn ,T (xn )) }hội tụ X Y cho (xn ,T (xn )) (x, y) X Y xn x T (xn ) T (x) T liên tục Do y Tx (x, y) (x,Tx) (T ) Vậy đồ thị tập đóng §4.Ngun lý bị chặn đều, liên hệ không gian L( X ,Y ) 4.1 Định nghĩa 4.1 Cho họ (Ti gồm tốn tử tuyến tính )iI Ti ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y I tập số có lực lƣợng Họ (Ti gọi bị chặn điểm với x tập (Ti x)iI )iI X bị chặn Họ (Ti )iI gọi bị chặn tập ( Ti ) bị chặn i  I 4.2 Định lý 4.2 (Nguyên lý bị chặn Banach – Steinhaus) Cho X không gian Banach Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Cho (Ti )iI họ tùy ý phần tử L( X ,Y ) mà: Khi sup Ti iI   x  Ti ( X ,sup x)  iI Chứng minh Đặt Fn {x X : U n  N Ti (x) Fn X x chứa n,i I} Fn theo giả thiết Tuy nhiên, Fn tập đóng liên tục ứng vớiTi Định lý phạm trù Baire nói Fn có phần rỗng hợp chúng có phần rỗng Nhƣng nN U Fn X khơng thể tập có phần rỗng Do đó, Fn khơng thể có phần rỗng Giả sử F hàm F ,khi x ,0 cho n no Vì Ti (x0 vậyy  , o B(x ,) int(F ) o n0 Ti Ti (x0 y  n0 0 ,i n0 ( n )  I  )y y )y y  Bất đẳng thức sau theo giả thiết, với y, Ti ( y) bị chặn i Vì vậy, với y, T ( i y)  giá trị i để: sup Ti 2(0  n0 ) y Từ độc lập i , ta chọn  2(0  n0 )  i 4.3 Hệ 4.3 Cho (Tn )nN dãy hàm tuyến tính bị chặn hai không gian Banach X Y cho x  hội tụ tới giới hạn Tx thì: X , Tn (x) T L( X ,Y ) S up Tn  nN  T L( X ,Y ) Tn L( X ,Y )  liminf n  Chứng minh Rõ ràng T tuyến tính x X mà x 1, sup Tn  (x) Y n  từ nguyên lý bị chặn đều, sup Tn Tn (x) hội tụ theo giả thiết Do đó, theo   Ta chứng minh bƣớc sau : nN Trƣớc hết, T n (x) x X , C x y  X T Y C x (từ RHS bất đẳng x thức đầu độc lập theo n) Do đóT L( X ,Y ) Cuối cùng, ý x X , n Tn (x) T (x) N , T (x)  liminf Y Tn x Y n T l iminf Tn n Tn (x) y  Tn x Ta thấy từ X 4.4 Hệ 4.4 Cho B tập không gian Banach X Nếu f f (B) U f (x) bị chặn B bị chặn  xB X , Chứng minh Cách chứng minh dựa vào nguyên lý bị chặn họ {Tb }bB cho Tb : XK , T ( f ) f , bvới b B Ta có: b f X , sup Tb ( f )  * f X , sup f ,b bB * f X , f (B) bị chặn Do đó, {Tb }bB C cho  f X , thỏa mãn giả thiết nguyên lý bị chặn Vì Tb ( f C , b B f )  f X ,b B, f ,bC f b C X 4.5 Hệ 4.5 Cho X không gian Banach B ' tập  X Nếux X , B f (x) bị chặn '(x)  f B ' B ' bị chặn Chứng minh Ta có:Tf (x)  f (x) với Tf :X K Vì vậy: sup Tf (x) , x f B' Do đó, theo nguyên lý bị chặn đều: sup Tf   Ta kết thúc chứng minh f B' KẾT LUẬN Giải tích hàm nói chung định lý phạm trù Baire nói riêng có vai trò quan trọng giải tích Trong khóa luận tập trung nghiên định lý phạm trù Baire vài ứng dụng Khóa luận em đƣợc hoàn thành thời gian ngắn hiểu biết thân hạn chế nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc góp ý cảm thơng sâu sắc từ phía thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hồn thiện Cuối em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, nhƣ thầy giáo khoa Tốn trƣờng ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kỹ Thuật HN Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB GD Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG HN Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm (tập 1), NXB GD A.N.Conmogogrop.X.V.Fomin (1971), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm (tập 1), NXB GD Sylvia Serfaty (2006), Functional Analysis Notes, New York University ... gian định chuẩn,khơng gian Banach Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire số ứng dụng 14 §1 .Định lý phạm trù Baire, trƣờng hợp hàm biến thực 14 §2 Định lý ánh xạ mở…… 18 §3 Định lý. .. giải tích hàm, em chọn đề tài Định lý phạm trù Baire số ứng dụng làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài thấy đƣợc ứng dụng rõ rệt định lý phạm trù Baire Thơng qua thấy đƣợc vai trò... II: Định lý phạm trù Baire số ứng dụng Kết luận CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Khơng gian metric 1.1 Định nghĩa Ta gọi không gian metric tập hợp X  cùng với ánh xạ d từ tích X  vào