Định lý phạm trù baire và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN ****** PHẠM THỊ HƢƠNG ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS BÙI KIÊN CƢỜNG HÀ NỘI- 2012 Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lời cảm ơn Khóa luận em đƣơc hoàn thành với bảo, hƣớng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng Qua em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, ngƣời trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, nhƣ thầy cô giáo khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan khóa luận kết riêng thân, trùng lặp với đề tài nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm2012 Sinh viên PHẠM THỊ HƢƠNG Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU………… Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị §1 Không gian metric §2 Tôpô không gian metric §3 Không gian định chuẩn,không gian Banach Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire số ứng dụng 14 §1.Định lý phạm trù Baire,trƣờng hợp hàm biến thực 14 §2 Định lý ánh xạ mở…… 18 §3 Định lý đồ thị đóng … 20 §4.Nguyên lý bị chặn đều,liên hệ không gian L( X , Y ) 22 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học đƣợc xây dựng vào nửa đầu kỉ XX nhƣng hầu nhƣ đƣợc xem nhƣ ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phƣơng trình vi phân… Trong trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích luỹ đƣợc nội dung phong phú Những phƣơng pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan có sử dụng đến công cụ Giải tích Ngoài ra, có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trừu tƣợng Với mong muốn đƣợc nghiên cứu tìm hiểu sâu môn giải tích hàm, em chọn đề tài “Định lý phạm trù Baire số ứng dụng” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài thấy đƣợc ứng dụng rõ rệt định lý phạm trù Baire Thông qua thấy đƣợc vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết định lý phạm trù Baire số ứng dụng để thấy đƣợc vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích (chứng minh Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội tập tập thƣa,tập không đâu trù mật…) ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Đối tƣợng nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, định lý ánh xạ mở, nguyên lý đồ thị đóng, nguyên lý bị chặn Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phƣơng pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh… Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức liên quan đến định lý phạm trù Baire số ứng dụng Bố cục luận văn Phần mở đầu Nội dung khoá luận gồm hai chƣơng: Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire số ứng dụng Kết luận Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Không gian metric 1.1 Định nghĩa Ta gọi không gian metric tập hợp X   với ánh xạ d từ tích X  X vào tập hợp số thực  thỏa mãn tiên đề metric sau: 1) (x, y  X ), d ( x, y)  0, d ( x, y)   x  y ; 2) (x, y  X ), d ( x, y )  d ( y, x) ; 3) (x, y, z  X ), d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y ) ; Ánh xạ d gọi metric X , số d ( x, y ) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm 1.1.1 Ví dụ Với hai phần tử x, y   d ( x, y)  x  y xác định metric  đƣợc gọi metric tự nhiên  1.2 Sự hội tụ không gian metric 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian metric M  ( X , d ) , dãy điểm ( xn )  X , điểm x0  X Dãy điểm ( xn ) gọi hội tụ tới điểm x0 không gian M n   (  0), (n0    ) ,(n  n0 ) : d ( xn , x0 )   , Kí hiệu : lim  x0 hay xn  x0 ,(n  ) n  Điểm x0 gọi giới hạn dãy ( xn ) không gian M 1.2.2 Ví dụ Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội a) Trong  m ta xét metric thông thƣờng Xét phần tử a  (a1, a2 , , am ) dãy ( x n ) với xn  ( x1n , x2n , , xmn ) Ta có: d ( xn , a)  m (x n i  )  xin  , i  1, , m Từ suy ra: lim xn  a ( m , d )  lim xin  i  1, , m  x  x  b) Sự hội tụ dãy điểm ( xn ) không gian  hội tụ dãy số thực biết giải tích toán học c) Sự hội tụ dãy điểm không gian C[a, b] tƣơng đƣơng với hội tụ dãy hàm liên tục đoạn  a, b : Trong C[a, b] ta xét “metric hội tụ đều” Ta có: d xn  x    0, n0 : n  n0  sup xn (t )  x(t )   a t b  dãy hàm {xn (t )} hội tụ  a, b hàm x (t )  lim xn (t )  x(t ) t   a, b x Nhƣ lim xn (t )  x(t ) t   a, b điều kiện cần để lim xn  x x  x C[a, b] với metric hội tụ 1.3 Không gian metric đầy đủ 1.3.1 Định nghĩa 1.3.1 Cho không gian metric M  ( X , d ) Dãy điểm ( xn )  X gọi dãy M nếu: (  0),(n0  N  ),(n, m  n0 ), d ( xm , xn )   Hay Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội lim d ( xn , xm )  n ,m 1.3.2 Định nghĩa 1.3.2 Không gian metric M  ( X , d ) đƣợc gọi không gian đầy dãy không gian hội tụ 1.3.3 Ví dụ a) Không gian C[a, b] không gian đầy b) Không gian  m với metric d thông thƣờng đầy đủ Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy ( x n ) với xn  ( x1n , x2n , , xmn ) Vì d ( x n , x k )  xin  xik i  1, , m   d ( xn , xk )  nlim ,k   lim xin  xik  n ,k  Nên suy dãy ( xin ) : i  1, , m dãy cauchy  , chúng hội tụ  đầy đủ Đặt  lim xin (i  1, , m) xét phần tử a  (a1, a2 , , am ) , ta có lim x n  a x  x  ( m , d ) §2 Tôpô không gian metric 2.1 Tập mở, tập đóng 2.1.1 Định nghĩa 2.1.1 Không gian metric M  ( X , d ) tập A  X Tập A gọi tập mở không gian M điểm thuộc A điểm A, nói cách khác, điểm x  A tồn lân cận x bao hàm A Tập A gọi tập đóng không gian M điểm không thuộc A điểm A , hay nói cách khác, điểm x  A tồn lân cận x không chứa điểm thuộc tập A Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.1.2 Định lý 2.1.2 Trong không gian metric bất kỳ, hình cầu mở tập mở, hình cầu đóng tập đóng 2.1.3 Hệ 2.1.3 Trong không gian metric bất kỳ, phần tập mở tập mở, bao đóng tập tập đóng 2.2 Tôpô không gian metric 2.2.1 Định lý 2.2.1 Trong không gian metric bất kỳ, họ  tất tập mở M lập thành tôpô X Tập  tất tập mở không gian metric M  ( X , d ) gọi tôpô sinh metric d Trong không gian metric M  ( X , d ) , topo  sinh metric d tôpô có sở lân cận đếm 2.2.2 Hệ 2.2.2 Trong không gian metric bất kỳ, giao họ tùy ý tập đóng, hợp họ hữu hạn tùy ý tập đóng tập đóng 2.3 Tập trù mật, tập không đâu trù mật 2.3.1 Định nghĩa 2.3.1 Cho không gian tôpô X Giả sử A B hai tập X Ta nói tập A trù mật B B  A với A bao đóng tập A Tập A đƣợc gọi trù mật khắp nơi A trù mật toàn không gian X Một tập A đƣợc gọi không đâu trù mật int A   2.3.2 Định lý 2.3.2 Tập A tập không đâu trù mật X tập mở khác rỗng X chứa tập hợp mở khác rỗng điểm chung với A Chứng minh Phạm Thị Hương K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƢƠNG ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG §1 Định lý phạm trù Baire, trƣờng hợp hàm biến thực Định lý phạm trù Baire định quan trọng giải tích hàm đƣợc chứng minh luận văn tiến sỹ Rene - Louis Baire vào năm 1899 Định lý có nhiều hệ Bây phát biểu chứng minh định lý 1.1 Định lý 1.1 (Định lý phạm trù Baire) Cho X không gian metric đủ Fn dãy tập đóng X với phần rỗng (int( Fn )  ) Khi int(U ( Fn ))   Dạng bù Định lý Nếu On dãy tập mở trù mật X On tập trù mật Chứng minh Định lý phạm trù Baire: Cho On dãy tập mở trù mật Thì On trù mật ta chứng minh đƣợc có giao với tập mở Cho W tập mở tùy ý, xo  W , rO  cho B( xo , ro )  W Từ O1 trù mật  giao với B( xo , ro ) khác rỗng Do đó, x1  B( xo , ro )  O1 Từ B( xo , ro )  O1  O1' giao tập mở  O1' tập mở Do đó, r1  cho) B( x1 , r1 )  O1' r1  r0 Bằng phép quy nạp ta thu đƣợc dãy xn cho: B( xn , rn )  B( xn1, rn1 )  On rn  rn1 Phạm Thị Hương 14 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Do đó, d ( xn , xn1 )  rn1  Trường ĐHSP Hà Nội r0 Đây dãy Cauchy On Từ X không 2n1 gian đủ  xn có giới hạn l  X Do B( xn , rn ) đóng hình thành dãy tập hợp giảm dần với n, l  B( xn , rn )  On Do đó, l  On l  B( xn , rn ) Do l  B( xo , ro )  W  l  W  (On )  On giao với tập mở tập trù mật 1.2 Chú ý 1.2.1 Định lý đƣợc sử dụng để chứng minh tập có phần khác rỗng Ví dụ: Nếu T ánh xạ tuyến tính T 1 ( B(0, 1)) tập có phần khác rỗng T bị chặn Ta thấy rằng, T 1 ( B(0, 1)) có phần khác rỗng x0 ,   cho T 1 ( B(0, 1))  B( x0 ,  )  B(0, 1)  T ( B( x0 ,  ))   y thỏa mãn y   , T ( x0  y)   T ( y)   T ( x0 ) với x, T ( ~ x  )  C  T ( x)  C x x Định lý có tên Baire dùng thuật ngữ Baire cho tập hợp: 1.2.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập E  X đƣợc gọi thuộc vào phạm trù thứ hợp đếm đƣợc tập không đâu trù mật X, ngƣợc lại đƣợc gọi thuộc vào phạm trù thứ hai Theo định lý phạm trù Baire không gian metric đầy đủ X thuộc vào phạm trù thứ hai Phạm Thị Hương 15 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Định lý phạm trù Baire khái niệm phạm trù Baire đƣợc giới thiệu định lý hàm đƣờng thẳng thực có ích Ta tìm hiểu đôi chút điều Đầu tiên ta đƣa mô tả yếu định nghĩa tập không đâu trù mật với tập  vài thuật ngữ thích hợp Một tập A   đƣợc gọi trù mật I A giao khác rỗng khoảng I A   đƣợc gọi không đâu trù mật không trù mật khoảng con, nghĩa khoảng có khoảng nằm hoàn toàn A 1.3 Định lý Baire hàm thuộc lớp thứ 1.3.1 Định nghĩa Cho f hàm giá trị thực  Với khoảng I bất kỳ, ta gọi : w( I )  sup f ( x)  inf f ( x) dao động hàm f I xI xI Lấy x cố định bất kỳ, hàm w(( x   , x   )) giảm với  xấp xỉ giới hạn w( x)  lim w(( x   , x   )) đƣợc gọi dao động hàm f x  0 W gọi thác triển hàm giá trị thực R ta thấy w( x0 )  f liên tục x0 Nếu w( x0 )  , w( x0 ) cho ta giá trị gián đoạn f x0 Ta gọi D f  tập điểm mà f gián đoạn Thì : D f  {x : w( x)  } n 1 n Một hàm f đƣợc gọi lớp thứ (của Baire) đƣợc biểu diễn giới hạn điểm dãy hàm liên tục Một phản ví dụ hàm f n ( x)  max(0,1  n x ) f n ( x) liên tục nhƣng hàm hội tụ f(x) = f ( x)  {0} ( x) không liên tục Tuy nhiên, ta chứng minh đƣợc Phạm Thị Hương 16 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội định lý dƣới hàm thuộc lớp thứ gián đoạn khắp nơi 1.3.2 Định lý Baire hàm thuộc lớp thứ Nếu f hàm thuộc lớp thứ f liên tục ngoại trừ tập điểm thuộc phạm trù thứ Chứng minh Ta thấy rằng, với   tập F  {x : w( x)  5 } tập không đâu trù mật, từ Df tập thuộc phạm trù thứ Cho f ( x)  limf n ( x), f n liên tục ta ký hiệu: En   {x : fi ( x)  f j ( x)   },( n  1,2 ) i , j n Thì En tập đóng, En  En1  En  R Cho I  R khoảng đóng I không gian metric đầy đủ theo định lý phạm trù Baire, hợp đếm đƣợc tập không đâu trù mật  Từ I  ( En  I ) , nghĩa ( En  I ) tập không đâu trù mật Do i 1 đó, với số thực dƣơng n , En  I chứa khoảng mở J Ta có fi ( x)  f j ( x)   , x  J ; i, j  n Cho j  n cho i   f ( x)  f n ( x)   , x  J Bây giờ, từ f n liên tục, với x0 bất kỳ, x0  J có lân cận I ( x0 )  J cho f n ( x)  f n ( x0 )   , x  I ( x0 ) Do f ( x)  f n ( x0 )  2 , x  I ( x0 ) Do đó: w( x0 )  w( I ( x0 )) Phạm Thị Hương 17 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  sup f ( x)  inf f ( x) xI ( x0 ) xI ( x0 )  sup f ( x)  f n ( x0 )  f n ( x0 )  inf f ( x) xI ( x0 ) xI ( x0 )  2  2  4 Do điểm J thuộc F Giả sử, khoảng đóng J có khoảng mở J  I \ F Dễ dàng ta thấy khoảng I  R có khoảng F c , nghĩa F tập không đâu trù mật §2 Định lý ánh xạ mở 2.1 Định nghĩa 2.1 (Ánh xạ mở) Ánh xạ A từ không gian metric M1  ( X , d1 ) vào không gian M  (Y , d2 ) gọi ánh xạ mở điểm x0  X ánh xạ A biến lân cận điểm x0  X M1 thành lân cận điểm Ax0 M Ánh xạ A gọi ánh xạ mở, ánh xạ A biến tập mở M1 thành tập mở M 2.2 Định lý 2.2 (Định lý ánh xạ mở Banach) Cho T ánh xạ tuyến tính từ không gian Banach X lên không gian Banach Y Khi T ánh xạ mở ảnh tập mở tập mở Chứng minh Bằng phép tịnh tiến dùng tính chất tuyến tính, với r  ta chứng minh rằng: T ( BX (0, r ))  BY (0, r ') với r ' Phạm Thị Hương 18 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Kí hiệu Fn  T ( B(0, n)) Từ T ánh xạ lên, U Fn  Y theo định lý phạm nN trù Baire, hàm Fn0 có phần khác rỗng  int (T ( B(0,1)))   Do đó, ta giả sử với   bất kì, B(0,  )  T ( B(0,1)) (do có chứa phần không rỗng) Ta chứng minh T ( B(0,1))  T ( B(0,3)) đó: B(0,  )  T ( B(0,3)) Thật vậy: Từ giả thiết không gian tuyến tính T tuyến tính, ta chọn lƣợng thích hợp cho B (0,  r )  T ( B(0, r )) ta chọn r '  r Vì vậy, cho y  T ( B(0,1)) ,ta tìm đƣợc x  B(0,3) cho y  Tx Từ định nghĩa tập đóng  x1  B(0,1) cho: y  Tx1     y  Tx1  B(0, )  T ( B(0, )) 2  Theo định nghĩa tập đóng, x2  B(0, ) cho y  Tx1  Tx2  Vì vậy, ta nhắc lại điều với: n, xn cho y  Tx1  Tx2   Txn   n xn  2n  Vậy ta lấy x   xi hội tụ dãy Cauchy Do đó: i 1   x   xi   i 1  x  B(0,3) Tx  y  T ( B(0,1))  T ( B(0,3)) Phạm Thị Hương 19 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.3 Hệ 2.3 Nếu T ánh xạ tuyến tính bị chặn hai không gian Banach song ánh ánh xạ ngƣợc liên tục Do T đẳng cấu 2.4 Hệ 2.4 Nếu X Y không gian Banach T  L( X ,Y ) song ánh T 1  L( X ,Y ) T đƣợc gọi đẳng cấu Từ định lý ánh xạ mở ta thấy T mở, mà T  (T 1 )1 tập mở  T 1 tập mở §3.Định lý đồ thị đóng Hệ quan trọng khác định lý phạm trù Baire định lý đồ thị đóng 3.1 Định nghĩa 3.1 Cho hai không gian định chuẩn X Y ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y Ta gọi đồ thị toán tử A , kí hiệu  ( A) tập  ( A)  {( x, Ax) : x  X }  X  Y Nếu đồ thị  ( A) toán tử A tập đóng không gian định chuẩn tích X  Y toán tử A gọi toán tử đóng Thật vậy, ta lấy dãy hội tụ {( xn ,Txn )}   (T) xn  x với x  X T liên tục  Txn  Tx Do {( xn ,Txn )} hội tụ tới {( x, Tx)}   (T) T đóng Định lý đồ thị đóng khẳng định X Y không gian đầy hội tụ tất yếu 3.2 Định lý 3.2 (Định lý đồ thị đóng) Cho X ,Y hai không gian Banach T : X  Y ánh xạ tuyến tính Khi T bị chặn đồ thị  (T )  {( x,Tx) : x  X )  X  Y tập đóng Chứng minh Trƣớc chứng minh, ta có nhận xét sau: Phạm Thị Hương 20 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nếu X không gian Banach với chuẩn x C x C  cho C1  cho: x  C1 x Thật vậy, ánh xạ id : ( X , )  ( X , ) ánh xạ bị chặn song ánh Vì vậy, theo hệ định lý ánh xạ mở ánh xạ ngƣợc bị chặn Bây giờ, ta chứng minh định lí Áp dụng kết cho chuẩn cho bởi: x  x X , x  x X  Tx Y Khi rõ ràng x  x Giả sử  (T ) tập đóng Vậy ( X , ) có không gian Banach ? Lấy dãy Cauchy x n nN ( X , ) Do xn  x với , từ bị chặn theo Tƣơng tự lấy {T ( xn )}n dãy Y Vì vậy, từ Y Banach  {T ( xn )}n hội tụ y  Y  ( xn ,T ( xn ))  ( x, y) Do đó, Tx  y từ đồ thị T tập đóng (giả sử, đồ thị chứa tất điểm giới hạn) ta có: xn  x  xn  x  T ( xn  x) Y    Theo ( X , ) không gian Banach Vì vậy, T ( x) y  x  x  x  C1 x  c1 x X Bây giờ, giả sử T bị chặn Do T liên tục Vì vậy, cho { ( xn ,T ( xn )) }hội tụ X  Y cho ( xn ,T ( xn ))  ( x, y)  X  Y  xn  x  T ( xn )  T ( x) T liên tục Do y  Tx ( x, y )  ( x, Tx)  (T ) Vậy đồ thị tập đóng Phạm Thị Hương 21 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội §4.Nguyên lý bị chặn đều, liên hệ không gian L( X , Y ) 4.1 Định nghĩa 4.1 Cho họ (Ti )iI gồm toán tử tuyến tính Ti ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y I tập số có lực lƣợng Họ (Ti )iI gọi bị chặn điểm với x  X tập (Ti x)iI bị chặn Họ (Ti )iI gọi bị chặn tập ( Ti )iI bị chặn 4.2 Định lý 4.2 (Nguyên lý bị chặn Banach – Steinhaus) Cho X không gian Banach Y không gian tuyến tính định chuẩn Cho (Ti )iI họ tùy ý phần tử L( X ,Y ) mà: x  X ,sup Ti ( x )   iI Khi sup Ti   iI Chứng minh Đặt Fn  {x  X : Ti ( x)  n, i  I } U Fn  X x chứa Fn theo giả thiết Tuy nhiên, Fn tập đóng nN liên tục ứng với Ti Định lý phạm trù Baire nói Fn có phần rỗng hợp chúng có phần rỗng Nhƣng U Fn  X tập có nN phần rỗng Do đó, Fn có phần rỗng Giả sử Fno hàm Fn ,khi xo ,   cho B( xo ,  )  int( Fn0 ) Vì y, Ti ( x0  Phạm Thị Hương y  y  )  n0  Ti ( )  n0  Ti ( x0 )  n0   , i  I y y y 22 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bất đẳng thức sau theo giả thiết, với y, Ti ( y) bị chặn 2(  n0 ) i Vì vậy, với y, Ti ( y )  giá trị i để: sup Ti   2(  n0 )  i y Từ độc lập i , ta chọn 4.3 Hệ 4.3 Cho (Tn )nN dãy hàm tuyến tính bị chặn hai không gian Banach X Y cho x  X , Tn ( x) hội tụ tới giới hạn Tx thì: T  L( X , Y ) S up Tn   nN T L ( X ,Y )  liminf Tn n L ( X ,Y ) Chứng minh Rõ ràng T tuyến tính x  X mà x  1, sup Tn ( x) Y   từ Tn ( x) hội tụ theo giả thiết Do đó, theo n nguyên lý bị chặn đều, sup Tn   Ta chứng minh bƣớc sau : nN Trƣớc hết, x  X , Tn ( x) y  C x X  Tx Y  C x (từ RHS bất đẳng thức đầu độc lập theo n) Do T  L( X ,Y ) Cuối cùng, ý x  X , n  N , Tn ( x) y  Tn x X Ta thấy từ Tn ( x)  T ( x) T ( x) Y  liminf Tn x Y n  T  l iminf Tn n Phạm Thị Hương 23 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 4.4 Hệ 4.4 Cho B tập không gian Banach X Nếu f  X  , f ( B)  U f ( x) bị chặn B bị chặn xB Chứng minh Cách chứng minh dựa vào nguyên lý bị chặn họ {Tb }bB cho Tb : X   K , Tb ( f )   f , b với b  B Ta có: f  X  , sup Tb ( f )    f  X * , sup  f , b   bB  f  X * , f ( B) bị chặn Do đó, {Tb }bB thỏa mãn giả thiết nguyên lý bị chặn Vì C cho f  X  , Tb ( f )  C f , b  B  f  X  , b  B,  f , b  C f  b X C 4.5 Hệ 4.5 Cho X không gian Banach B ' tập X  Nếu x  X , B '( x)   f ( x) bị chặn B ' bị chặn f B ' Chứng minh Ta có: Tf ( x)  f ( x) với Tf : X  K Vì vậy: sup T f ( x)  , x f B ' Do đó, theo nguyên lý bị chặn đều: sup T f   Ta kết thúc chứng minh f B ' Phạm Thị Hương 24 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Giải tích hàm nói chung định lý phạm trù Baire nói riêng có vai trò quan trọng giải tích Trong khóa luận tập trung nghiên định lý phạm trù Baire vài ứng dụng Khóa luận em đƣợc hoàn thành thời gian ngắn hiểu biết thân hạn chế nên chắn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc góp ý cảm thông sâu sắc từ phía thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hoàn thiện Cuối em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, nhƣ thầy cô giáo khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Hương 25 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kỹ Thuật HN Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB GD Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG HN Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm (tập 1), NXB GD A.N.Conmogogrop.X.V.Fomin (1971), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm (tập 1), NXB GD Sylvia Serfaty (2006), Functional Analysis Notes, New York University Phạm Thị Hương 26 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Hương Trường ĐHSP Hà Nội 27 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Hương Trường ĐHSP Hà Nội 28 K34C - Toán [...]... lý phạm trù Baire, trƣờng hợp hàm biến thực Định lý phạm trù Baire là một định quan trọng trong giải tích hàm và đã đƣợc chứng minh trong luận văn tiến sỹ của Rene - Louis Baire vào năm 1899 Định lý này có rất nhiều hệ quả Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý 1.1 Định lý 1.1 (Định lý phạm trù Baire) Cho X là một không gian metric đủ và Fn là dãy các tập con đóng của X với phần trong rỗng... x 2 Định lý này có tên là Baire bởi vì nó dùng thuật ngữ của Baire cho tập hợp: 1.2.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập E  X đƣợc gọi là thuộc vào phạm trù thứ nhất nếu nó là hợp đếm đƣợc của các tập không đâu trù mật trong X, còn ngƣợc lại thì đƣợc gọi là thuộc vào phạm trù thứ hai Theo định lý phạm trù Baire thì mọi không gian metric đầy đủ X đều thuộc vào phạm trù thứ hai trong chính nó Phạm. .. một không gian phản xạ Không gian Lp với 1  p   (từ ( Lp )  ( Lp ' )  Lp '' với 1 1   1 và p p' 1 1   1  p ''  p) p ' p '' Không gian L1 không phản xạ vì ( L1 )  L mà ( L )  L1 nhƣ đã thấy trƣớc đó Phạm Thị Hương 13 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 CHƢƠNG 2 ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG §1 Định lý phạm trù Baire, trƣờng hợp hàm biến thực Định lý. .. Định lý phạm trù Baire và khái niệm phạm trù Baire đƣợc giới thiệu trong định lý về hàm trong đƣờng thẳng thực rất có ích Ta sẽ tìm hiểu đôi chút về điều này Đầu tiên ta đƣa ra một mô tả yếu định nghĩa về tập không đâu trù mật với các tập con của  và một vài thuật ngữ thích hợp Một tập A   đƣợc gọi là trù mật trong I nếu A là giao khác rỗng của mọi khoảng con của I A   đƣợc gọi là không đâu trù. .. sup T f   Ta kết thúc chứng minh f B ' Phạm Thị Hương 24 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 KẾT LUẬN Giải tích hàm nói chung và định lý phạm trù Baire nói riêng có vai trò quan trọng trong giải tích Trong khóa luận này đã tập trung nghiên định lý phạm trù Baire và một vài ứng dụng của nó Khóa luận này của em đƣợc hoàn thành trong một thời gian ngắn và sự hiểu biết của bản thân... song ánh thì T 1  L( X ,Y ) và khi đó T đƣợc gọi là một đẳng cấu Từ định lý ánh xạ mở ta thấy T là mở, mà T  (T 1 )1 là một tập mở  T 1 cũng là tập mở §3 .Định lý đồ thị đóng Hệ quả quan trọng khác của định lý phạm trù Baire là định lý đồ thị đóng 3.1 Định nghĩa 3.1 Cho hai không gian định chuẩn X và Y và ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y Ta gọi đồ thị của toán tử A , kí hiệu  ( A) là tập... Fn )  ) Khi đó int(U ( Fn ))   Dạng bù của Định lý Nếu On là một dãy các tập con mở trù mật của X thì On cũng là tập trù mật Chứng minh Định lý phạm trù Baire: Cho On là dãy các tập con mở trù mật Thì On là trù mật nếu ta chứng minh đƣợc nó có giao với mỗi tập mở Cho W là một tập mở tùy ý, xo  W , thì rO  0 sao cho B( xo , ro )  W Từ O1 là trù mật  giao của nó với B( xo , ro ) là khác rỗng... x) là không liên tục Tuy nhiên, ta đã chứng minh đƣợc Phạm Thị Hương 16 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 trong định lý dƣới đây một hàm thuộc lớp thứ nhất không thể gián đoạn khắp nơi 1.3.2 Định lý Baire về các hàm thuộc lớp thứ nhất Nếu f là hàm thuộc lớp thứ nhất thì f liên tục ngoại trừ trên một tập các điểm thuộc phạm trù thứ nhất Chứng minh Ta thấy rằng, với mỗi   0 thì... tập đóng trong không gian định chuẩn tích X  Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng Thật vậy, nếu ta lấy một dãy hội tụ {( xn ,Txn )}   (T) thì xn  x với x  X và do T liên tục  Txn  Tx Do đó {( xn ,Txn )} hội tụ tới {( x, Tx)}   (T) và do đó T là đóng Định lý đồ thị đóng khẳng định rằng nếu X và Y là những không gian đầy thì sự hội tụ là tất yếu 3.2 Định lý 3.2 (Định lý đồ thị đóng) Cho X ,Y... 5 } là tập không đâu trù mật, từ đó Df là tập thuộc phạm trù thứ nhất Cho f ( x)  limf n ( x), f n liên tục và ta ký hiệu: En   {x : fi ( x)  f j ( x)   },( n  1,2 ) i , j n Thì En là tập đóng, En  En1 và  En  R Cho I  R là khoảng đóng bất kỳ thì I chính là không gian metric đầy đủ và theo định lý phạm trù Baire, nó không thể là hợp đếm đƣợc của các tập không đâu trù mật  Từ I  ( En ... trƣớc Phạm Thị Hương 13 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƢƠNG ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG §1 Định lý phạm trù Baire, trƣờng hợp hàm biến thực Định lý phạm trù Baire. .. Baire định quan trọng giải tích hàm đƣợc chứng minh luận văn tiến sỹ Rene - Louis Baire vào năm 1899 Định lý có nhiều hệ Bây phát biểu chứng minh định lý 1.1 Định lý 1.1 (Định lý phạm trù Baire) ... thuộc vào phạm trù thứ hai Theo định lý phạm trù Baire không gian metric đầy đủ X thuộc vào phạm trù thứ hai Phạm Thị Hương 15 K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Định lý phạm trù