Diện riemann và định lí riemann roch

Lời mở đầuĐịnh lý Riemann - Roch đóng một vai trò hết sức quan trọng trong hìnhhọc đại số, nó diễn tả tính chất của không gian các hàm phân hình trên diệnRiemann qua tính chất của diện R

Trường đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp

Vinh - 2006

Mục lục

Trang phụ bìa 1

Mục lục 2

Lời mở đầu 4

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Diện Riemann 6

1.2 Một số diện Riemann 6

1.2.1 Đường thẳng xạ ảnh 6

1.2.2 Mặt cầu phức Riemann 7

1.2.3 Các xuyến phức 7

1.2.4 Các đường cong phẳng affine 9

1.2.5 Các đường cong phẳng xạ ảnh 10

1.3 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên các diện Riemann 11

1.3.1 Các khái niệm cơ bản 11

1.3.2 Hàm phân hình trên một số diện Riemann 12

1.4 ánh xạ chỉnh hình giữa các diện Riemann 13

1.5 Các 1- dạng chỉnh hình và 1- dạng phân hình 15

1.6 Khái niệm về ước 16

1.6.1 Ước chính 16

1.6.2 Ước chính tắc 17

1.6.3 Tương đương tuyến tính của các ước 17

1.7 Không gian các hàm và các 1- dạng kết hợp với một ước 18

1.8 Các ước và các ánh xạ đối với không gian xạ ảnh 22

1.8.1 Khái niệm hệ tuyến tính của một ánh xạ chỉnh hình 23

1.8.2 Điểm đáy của một hệ tuyến tính 25

1.8.3 Xác định ánh xạ chỉnh hình qua một hệ tuyến tính 26

Chương 2 : Đường cong đại số và định lý Riemann - Roch 30 2.1 Khái niệm về đường cong đại số 30

2.2 Ví dụ về đường cong đại số 30

2.4 Tính toán trường hàm M(X) 32

2.5 Khái niệm về ước phần dư Laurent 35

2.6 Tính hữu hạn chiều của các không gian H1(D) 38

2.7 Định lý Riemann - Roch 41

2.7.1 Định lý Riemann - Roch dạng thứ nhất 41

2.7.2 ánh xạ thặng dư 42

2.7.3 Định lý Riemann - Roch dạng thứ hai 46

Chương 3 : Một số ứng dụng của định lý Riemann - Roch 48 3.1 ứng dụng cho đại số 48

3.2 Tiêu chuẩn để một ước là 'Very ample' 49

3.3 Mọi đường cong đại số đều nhúng chỉnh hình được vào không gian xạ ảnh 49

3.4 Phân loại các đường cong đại số theo giống của nó 50

3.4.1 Các đường cong đại số có giống bằng 0 50

3.4.2 Các đường cong đại số có giống bằng một 51

3.4.3 Các đường cong đại số có giống bằng hai 51

3.5 Định lý Clifford 51

3.6 Hệ chính tắc là hệ tự do 53

3.7 Sự tồn tại của các 1-dạng phân hình 53

Lời mở đầu

Định lý Riemann - Roch đóng một vai trò hết sức quan trọng trong hìnhhọc đại số, nó diễn tả tính chất của không gian các hàm phân hình trên diệnRiemann qua tính chất của diện Riemann Gần đây, những tính chất kiểu nhưvậy tìm thấy ứng dụng trong lý thuyết trường bảo giác của vật lý hiện đại Việcnghiên cứu lý thyết kiểu định lý Riemann - Roch thú vị cho cả vật lý và toánhọc

Trong luận văn này chúng tôi trình bày lý thuyết diện Riemann và định lýRiemann - Roch: Cho X là một đường cong đại số, D là một ước trên X Kýhiệu L(D) là tập hợp tất cả các hàm phân hình trên X bị chặn bởi ước D :L(D) = {f ∈ M (X) | div(f ) ≥ −D} Khi đó L(D) cùng với phép toán cộnghai hàm và nhân số phức với một hàm lập thành một không gian véctơ phức.Vấn đề đặt ra là tính toán số chiều của không gian đó Lời giải cho bài toánnày là định lý Riemann - Roch

Luận văn được trình bày trong ba chương

Chương I chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến diệnRiemann để làm cơ sở cho việc trình bày các kiến thức trọng tâm của luậnvăn ở chương II Đồng thời trong suốt luận văn này chúng tôi chú trọng việctrình bày chứng minh và ứng dụng của định lý Riemann – Roch, vì vậy trongchương này chúng tôi còn đưa ra các ví dụ cụ thể về diện Riemann

Chương II là chương trọng tâm, trong chương này chúng tôi trình bày chi tiếtkhái niệm về đường cong đại số và trường hàm M(X) Đặc biệt trong chươngnày chúng tôi trình bày việc xây dựng các ánh xạ cắt cụt của các hàm phân hìnhthành các đa thức Laurent, là cơ sở cho việc nghiên cứu các không gian nói trêndưới dạng các dãy khớp và từ đó đánh giá tính hữu hạn chiều của các khônggian H1(D), làm cở sở để chứng minh các định lý Riemann – Roch Trên cơ

sở chứng minh tính hữu hạn chiều của của các không gian H1(D) chúng tôitrình bày đầy đủ và chi tiết chứng minh các định lý Riemann - Roch.

Chương III chúng tôi nêu lên một số ứng dụng ban đầu của định lý Riemann

- Roch Đặc biệt trong đó có ứng dụng phân loại các đường cong đại số cógiống tôpô từ 0 đến 5: g = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáocủa GS-TSKH Đỗ Ngọc Diệp Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết

ơn sâu sắc đối với Thầy Trong thời gian học tập và thực hiện Luận văn này,tác giả đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của các Thầy, Cô giáo thuộc KhoaToán và Khoa Sau đại học của trường đại học Vinh Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn đến các Thầy, các Cô Đặc biệt, trong suốt thời gian học tập tại trường

Đại học Vinh, tác giả đã nhận được sự dạy dỗ, chỉ bảo và động viên giúp đỡchân thành của PGS-TS Nguyễn Hữu Quang, TS Phạm Ngọc Bội, TS NguyễnDuy Bình, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đối với các Thầy

Tác giả xin cám ơn các thành viên của lớp Cao học 12 chuyên ngành Hìnhhọc-tôpô, những người đã cùng trao đổi, giúp đỡ và động viên tác giả hoànthành khoá học và bản Luận văn này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một cách tổng quát về khái niệm diệnRiemann và một số khái niệm cơ bản trên diện Riemann là cở sở cho việc trìnhbày các chứng minh định lý Riemann – Roch trong chương II

1.1Diện Riemann

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff, liên thông, thỏamãn tiên đề đếm được thứ hai X được gọi là một diện Riemann(Riemannsurface) nếu trên X tồn tại một cấu trúc phức 1-chiều

φ1 : U1 → C xác định bởi φ1([z : ω]) = z

ω.Khi đó P1 là một diện Riemann, được gọi là đường thẳng xạ ảnh, với cấu trúcphức φi như trên

L = Zω1 + Zω2 = {m1ω1 + m2ω2 | m1, m2 ∈ Z}.

Khi đó L là một nhóm con của nhóm cộng của C Đặt X = C/L là nhómthương với phép chiếu π : C → X Ta xác định một tôpô trên X như sau: Mộttập U là mở trong X khi và chỉ khi π−1(U ) là mở trong C Khi đó π là mộttoàn ánh, liên tục; mà C liên thông nên X liên thông

Mọi tập mở trong X là ảnh của tập mở trong C, bởi vì nếu U mở trong X thì

U = π(π−1(U ) Hơn nữa, nếu V là một tập mở trong C thì ta có

π−1(π(V )) = [

ω∈L

(ω + V )

là hợp của các dịch chuyển của tập mở V nên là tập mở

Với z ∈ C ta xác định hình bình hành đóng sau đây

Pz = {z + λ1ω1 + λ2ω2 | λ1, λ2 ∈ [0, 1]}

Khi đó, chú ý rằng một điểm bất kỳ của C sẽ đồng dư môđun L với một điểmcủa Pz Vì thế ánh xạ chiếu π ánh xạ Pz lên X, mà Pz compact nên X compact.Dàn L là một tập con rời rạc của C nên

∀ω ∈ L, ω 6= 0∃ε > 0 sao cho |ω| > 2ε

Cố định ε như trên và cố định z0 ∈ C, xét đĩa mở D(z0, ε) Với cách chọn εnhư trên đảm bảo rằng không tồn tại hai điểm của L cùng nằm trong D Ta cầnchứng tỏ rằng hạn chế của ánh xạ chiếu π ánh xạ D một cách chỉnh hình lênπ(D) Ta có π|D : D → π(D)là lên, liên tục và mở, vì thế ta chỉ cần chứng tỏrằng φ là ánh xạ 1-1, điều này lại được suy từ cách chọn ε

Bây giờ ta xác định một hệ bản đồ phức trên X Cố định ε như trên, vớibất kỳ z0 ∈ C lấy D = D(z0, ε) và xét φz 0 : π(Dz0) → Dz0 là ánh xạ ngượccủa π|D thì với lập luận trên đây, các φ là các bản đồ trên X Ta cần chứng tỏchúng phù hợp đôi một

Chọn hai điểm z1, z2 và xét hai bản đồ φ1 = φz1 : π(Dz1) → Dz1 và

φ2 = φz2 : π(Dz2) → Dz2 Đặt U = π(Dz 1)T π(Dz2), giả thiết U 6= ∅, đặt

T (z) = φ2(φ−11 (z)) = φ2(π(z)), ∀z ∈ φ1(U )

Ta phải chứng tỏ T chỉnh hình trên φ1(U )

Ta có π(T (z)) = π(φ2(π(z))) = π(z), ∀z ∈ φ1(U )vì thế T (z)−z = ω(z) ∈

L, ∀z ∈ φ1(U )

Hàm ω : φ1(U ) → L là liên tục và L rời rạc vì thế ω là một hằng số địaphương trên φ1(U )(Hằng số trên các thành phần liên thông của U) Bởi thế,một cách địa phương, T (z) = z + ω, với ω ∈ L là số cố định, là hàm chỉnhhình, do đó φ1, φ2 là phù hợp cho nên họ các bản đồ {φz|z ∈ C} là một hệ bản

đồ phức trên X và X là một diện Riemann, ta gọi các diện Riemann như thế

là các xuyến phức

1.2.4 Các đường cong phẳng affine

Cho f(z, ω) là một đa thức hai biến z, ω trên C2 Gọi X là tập các không

điểm của f thì X được gọi là một đường cong phẳng affine Đa thức f đượcgọi là không suy biến tại nghiệm p nếu các đạo hàm riêng ∂f

∂z,∂f

∂ω không đồngthời bằng 0 tại p X được gọi là không suy biến tại p nếu f không suy biến tại

p X được gọi là không suy biến, hay trơn nếu nó không suy biến tại mọi p.Bây giờ ta xây dựng trên X một cấu trúc phức như sau: Giả sử rằng X trơn,

được xác định bởi f như trên Khi đó tại p ∈ X nếu ∂f

∂z(p) 6= 0, thì theo định

lý hàm ẩn, tồn tại hàm chỉnh hình ω = g(z) trong một lân cận U của p Xác

định ánh xạ chiếu

πz : U → C(z, ω) 7→ z

ánh xạ tập mở U lên tập mở ảnh V ⊂ C và ta được một bản đồ trên X Mặtkhác, do X trơn nên tại mọi p ∈ X thì ít nhất một trong các đạo hàm ∂f

nếu cả hai bản đồ đều sử dụng phép chiếu lên thành phần thứ nhất πz thì ánhxạ chuyển tương ứng sẽ là ánh xạ đồng nhất, vì thế chỉnh hình, nhận xét tương

Định lí 1.1 Nếu f(z, ω) là một đa thức bất khả quy thì tập các không điểm

X của nó liên thông, vì vậy nếu f không suy biến và bất khả quy thì X là mộtdiện Riemann

1.2.5 Các đường cong phẳng xạ ảnh

Ta ký hiệu P2 là không gian xạ ảnh phức hai chiều: P2 = {[x : y :z]|(x, y, z) ∈ C3, (x, y, z) 6= (0, 0, 0)} Cho F (x, y, z) là một đa thức thuầnnhất bậc d, đặt X = {[x : y : z] ∈ P2|F (x, y, z) = 0} thì X được gọi là đườngcong phẳng xạ ảnh Đa thức F (x, y, z) được gọi là không suy biến nếu hệ sau

đây không có nghiệm trong P2: F = ∂F

là hệ này không có nghiệm khác không trong C3 Ta có mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.1 Cho F (x, y, z) là một đa thức thuần nhất không suy biến Khi

đó đường cong phẳng xạ ảnh X tương ứng là một diện Riemann compact Hơn

nữa, tại mỗi điểm của X có thể lấy tọa độ địa phương là tỷ số của các tọa độthuần nhất.

Chứng minh mệnh đề này có trình bày trong [1]

1.3Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên các diện mann

Rie-1.3.1 Các khái niệm cơ bản

Cho X là một diện Riemann Và f : X → C là một hàm số xác định trên X.Hàm số f được gọi là chỉnh hình tại p ∈ X nếu tồn tại bản đồ φ : U → V, p ∈ Usao cho f ◦φ−1 chỉnh hình tại φ(p), f được gọi là chỉnh hình nếu nó chỉnh hìnhtại mọi p ∈ X

Hàm số f được gọi là phân hình(meromorphic) tại p ∈ X nếu tồn tại bản đồ

φ : U → V, p ∈ U sao cho f ◦ φ−1 phân hình tại p ∈ X (tức là hoặc f chỉnhhình tại p hoặc p là điểm kỳ dị bỏ được của f hoặc p là cực điểm của f) Tanói f phân hình trên tập mở W nếu nó phân hình tại ∀p ∈ W

Giả sử rằng f phân hình tại p,tức là f chỉnh hình trong một lân cận thủng của

p Chọn bản đồ φ : U → V, p ∈ U và φ(p) = z0 tương ứng với tọa độ địaphương z thì trong lân cận của điểm z0 ta khai triển Laurent của hàm f ◦ φ−1

có dạng

f ◦ φ−1(z) =X

n

cnzn,

và cũng gọi là chuỗi Laurent của f tại p Khi đó ta định nghĩa bậc của f tại

điểm p, ký hiệu là ordp(f ), là số ordp(f ) = min{n|cn 6= 0}

Với định nghĩa này ta thấy: f chỉnh hình tại p nếu và chỉ nếu ordp(f ) ≥ 0,

đặc biệt, nếu ordp(f ) > 0 thì f(p) = 0 và p được gọi là không điểm của f

p là cực điểm của f nếu và chỉ nếu ordp(f ) < 0 Nếu p không là cực điểm

và cũng không là không điểm của f thì ta có ordp(f ) = 0

Nếu f và g là các hàm phân hình tại p thì:

i) ordp(f g) = ordp(f ) + ordp(g)

ii) ordp(f /g) = ordp(f ) − ordp(g)

iii) ordp(1/f ) = 1 − ordp(f )

1.3.2 Hàm phân hình trên một số diện Riemann

Trong mục này chúng tôi nêu lên (mà không chứng minh) các mệnh đề xác

định các hàm phân hình trên các diện Riemann đã được trình bày trong mục 1với mục đích làm ví dụ để ứng dụng định lý Riemann – Roch sẽ được trìnhbày trong chương III

i)Trên đường thẳng xạ ảnh

Định lí1.2 Mọi hàm phân hình trên đường thẳng xạ ảnh

P1 = {[z : ω], trong đóz, ω không đồng thời bằng không là tỷ số của các

đa thức thuần nhất cùng bậc của z và ω

ii)Trên mặt cầu Riemann

Định lí1.3 Một hàm f là phân hình trên mặt cầu Riemann khi và chỉ khi nó

là hàm hữu tỷ (tỷ số của các đa thức)

iii) Trên các xuyến phức

Định lí1.4 Tập hợp các hàm phân hình trên một xuyến phức là tập các tỷ sốcủa các hàm theta

iv) Trên các đường cong phẳng affine

Mệnh đề1.2 Cho X là một đường cong phẳng affine trơn được xác định bởi

đa thức không suy biến, bất khả quy f(x, y) = 0 Khi đó, mọi tỷ số r = g(x, y)

h(x, y)

là một hàm phân hình trên X nếu f không chia hết cho mẫu h(điều này tương

đương với h không đồng nhất triệt tiêu trên X)

Trong trường hợp xạ ảnh, cho X là một đường cong phẳng xạ ảnh trơn đượcxác định bởi đa thức thuần nhất không suy biến bất khả quy F (x, y, z) = 0.Khi đó tỷ số của các đa thức thuần nhất G(x, y, z)/H(x, y, z), trong đó G và

H có cùng bậc, là một hàm phân hình trên X nếu F không chia hết cho H.v) Trên các đường cong phẳng xạ ảnh

Mệnh đề1.3 Cho X là một đường cong xạ ảnh trơn trong Pn Khi đó bất kỳ

tỷ số của các đa thức thuần nhất R = G(z0, z1, , zn)/H(z0, z1, , zn), trong

đó G và H có cùng bậc, là một hàm phân hình trên X nếu H không đồng nhấttriệt tiêu trên X

1.4ánh xạ chỉnh hình giữa các diện Riemann

Cho F : X → Y là một ánh xạ từ diện Riemann X đến diện Riemann Y

F được gọi là chỉnh hình tại điểm p ∈ X nếu tồn tại bản đồ φ tại p trên X vàbản đồ ψ tại F (p) trên Y sao cho hàm ψ ◦ F ◦ φ−1 chỉnh hình tại φ(p)

F được gọi là chỉnh hình trên tập mở W nếu F chỉnh hình tại p ∈ W Cho f : X → C là hàm phân hình trên diện Riemann X Ta xây dựng ánhxạ: F : X → C∞ như sau: F (x)=

(

f (x) ∈ C nếu không là cực điểm củaf

∞ nếu x là cực điểm của f

Khi đó có một tương ứng 1-1 giữa tập các hàm phân hình trên X và tập các

ánh xạ chỉnh hình trên X đến mặt cầu Riemann, F được gọi là ánh xạ chỉnhhình kết hợp của f Ta có các kết quả quan trọng sau đây để dẫn đến khái niệm

số bội và bậc của ánh xạ chỉnh hình:

Mệnh đề1.4 Cho F : X → Y là ánh xạ chỉnh tại p ∈ X, khác hằng số Khi

đó tồn tại duy nhất số m ≥ 1 thỏa mãn tính chất sau đây: Với mọi bản đồ

φ2 : U2 → V2 trên Y tâm tại F (p), tồn tại một bản đồ φ1 : U1 → V1 trên Xtâm tại p sao cho φ2 ◦ F ◦ φ−11 (z) = zm

Số nguyên duy nhất m nói trên được gọi là số bội của ánh xạ F tại p; ký hiệumultp(F )

Chứng minh Cố định bản đồ φ2 trên Y tâm tại F (p), và chọn bản đồ bất kỳ

ψ : U → V trên X tâm tại p Khi đó hàm T (ω) = φ2(F (ψ−1(z)))có T (0) = 0nên chuỗi Taylor của nó có dạng

z = η(ω)hay z = ωR(ω) Bởi vậy:

φ2(F (φ−11 (z))) = φ2(F (ψ−1 ◦ η(z)) = T (η−1(z) = T (ω) = (ωR(ω))m = zm

Mệnh đề 1.5 Cho F : X → Y là ánh xạ chỉnh hình khác hằng số giữa cácdiện Riemann compact Khi đó tổng dF(y) = P

p∈F −1 (y)

multp(F ) là hằng số độclập với y Ta gọi số dF(y) là bậc của F ; ký hiệu là deg(F )

Từ các khái niệm trên ta có các kết quả quan trọng sau đây(Các chứng minh

cụ thể đã có trong[1])

Định lí1.5 Một ánh xạ chỉnh hình F giữa các diện Riemann compact là một

đẳng cấu khi và chỉ khi nó có bậc một (Chú ý rằng khi đó ánh xạ đạo hàm F

là đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian tiếp xúc với các đa tạp nguồn và

đích)

Định lí 1.6 Nếu X là một diện Riemann compact có hàm phân hình f vớimột cực điểm đơn, khi đó X đẳng cấu với mặt cầu Riemann C∞ (Lưu ý rằngkhi đó ánh xạ chỉnh hình kết hợp của nó có bậc một)

Định lí 1.7 Cho f là hàm phân hình trên diện Riemann compact X Khi đóP

Cho ω1 = f (z)dz là 1- dạng chỉnh hình trên tập mở V1 trong tọa độ z,

ω2 = g(ω)dω là 1- dạng chỉnh hình trên tập mở V2 trong tọa độ ω Cho

ánh xạ chỉnh hình T : V2 → V1 Ta nói ω1 biến đổi thành ω2 qua T nếug(ω) = f (T (ω))T0(ω)

Một họ {ωφ} gồm các 1- dạng chỉnh hình, trong đó φ : U → V là một bản

đồ, được gọi là 1- dạng chỉnh hình trên diện Riemann compact X nếu hai bản

đồ bất kỳ φi : Ui → Vi(i = 1, 2) có miền xác định giao nhau thì 1- dạng chỉnhhình kết hợp ωφ 1 sẽ biến đổi thành ωφ 2 qua phép đổi tọa độ T = φ1 ◦ φ−12

Hoàn toàn tương tự khái niệm 1- dạng chỉnh hình ta có khái niệm 1- dạngphân hình trên diện Riemann X là họ các 1- dạng phân hình ωφ, trong đó

φ : U → V là một bản đồ, sao cho nếu hai bản đồ bất kỳ φi, i = 1, 2 có miềnxác định giao nhau thì 1- dạng phân hình kết hợp ωφ 1 sẽ biến đổi thành ωφ 2 quaphép đổi tọa độ T = φ1 ◦ φ−12

Cho ω là 1- dạng phân hình được xác định trong một lân cận của điểm p.Chọn một tọa độ địa phương tâm tại p, chúng ta có thể viết ω = f(z)dz, trong

đó f(z) là hàm phân hình tại z = 0 và đi đến khái niệm về bậc của 1- dạng ωtại p như sau: Bậc của ω tại p; ký hiệu ordp(ω); là bậc của hàm f tại 0

1.6Khái niệm về ước

Cho X là một diện Riemann, một hàm D : X → Z được gọi là một ước trên

X nếu giá của D là một tập rời rạc trên X, tức là tập {x ∈ X|D(x) 6= 0} làmột tập đếm được trên X Ta ký hiệu một ước D trên X là D = P

p∈X

D(p).pNếu X compact thì D là một ước trên X khi và chỉ khi giá của D là hữu hạn,khi đó ta có thể lấy tổng deg(D) = P

p∈X

D(p) và được gọi là bậc của ước D.Tập hợp tất cả các ước trên diện Riemann X được ký hiệu là Div(X)

Ngoài ra ta còn ký hiệu:

div0(f ) = X

ord (f )>0

ordp(f ).p,

Về quan hệ giữa ước chính và ước chính tắc ta có kết quả sau:

Mệnh đề1.6 Cho ω1, ω2 là các 1-dạng trên diện Riemann X, ω1 không đồngnhất bằng không Khi đó tồn tại duy nhất hàm phân hình f sao cho ω2 = f ω1

Chứng minh Chọn bản đồ φ : U → V trên X tương ứng tọa độ địa phương

z Ta viết ωi = gi(z)dz, i = 1, 2 và gi là các hàm phân hình trên V Đặt h = g2

g1

thì h cũng là một hàm phân hình trên V Khi đó f = h ◦ g là một hàm phânhình trên U thỏa yêu cầu và ordp(f ) = ordp(g2) − ordp(g1), ∀p ∈ U

1.6.3 Tương đương tuyến tính của các ước

Hai ước D1, D2 được gọi là tương đương tuyến tính; ký hiệu D1 ∼ D2; nếuchúng sai khác nhau một ước chính Tức là D1 ∼ D2 ⇔ D1 = D2+div(f ), f ∈

M (X)

Ta thấy ngay từ định nghĩa rằng, quan hệ tương đương tuyến tính của các ước

là một quan hệ tương đương và nếu X compact thì các ước tương đương tuyếntính với nhau sẽ có cùng bậc (vì khi đó deg(div(f)) = 0)

Cho D là một ước trên X, ta ký hiệu |D| là tập hợp tất cả các ước không âm

tương đương tuyến tính với D: |D| = {E ∈ Div(X)|E ∼ D, E ≥ 0} và gọi là

hệ tuyến tính đầy đủ của D

1.7Không gian các hàm và các 1- dạng kết hợp với một ước

Cho X là một diện Riemann và D là một ước trên X, không gian các hàmphân hình có các cực điểm bị chặn bởi D; ký hiệu là L(D); được xác định nhưsau:

L(0) = O(X) = {các hàm chỉnh hình trênX} ' C,tức là dimL(0) = 1 nếu X compact Ta có bổ đề quan trọng sau đây

Bổ đề 1.1 Cho X là một diện Riemann compact Nếu D là một ước trên X

mà deg(D) < 0 thì L(D) = 0

Chứng minh Giả sử tồn tại f ∈ L(D), f 6= 0 khi đó ta đặt ước E = div(f)+

D thì E ≥ 0 (do f ∈ L(D) nên div(f) ≥ −D ) vì thế deg(E) ≥ 0, tuy nhiên,

do deg(div(f)) = 0 nên deg(E) = deg(D) < 0 Mâu thuẫn này chứng minhgiả thiết trên

Ta ký hiệu P (L(D)) là không gian xạ ảnh trên không gian vector L(D) và

đặt S : P (L(D)) → |D| biến mỗi không gian sinh bởi f ∈ L(D) thành ướcdiv(f ) + D thì khi đó S hoàn toàn được xác định vì div(λf) = div(f), ∀λ =const và ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.7 Nếu X là một diện Riemann compact thì ánh xạ S được xác

S(f ) = S(g) ⇔ div(f ) + D = div(g) + D ⇔ div(f ) = div(g)

⇔ div(f ) − div(g) = 0 ⇔ div(f /g) = 0,tức là ordp(f /g) = 0, ∀p ∈ X nên f/g chỉnh hình trên diện Riemann compact

X vì thế f/g = λ = const Khi đó f và g sinh ra cùng một phần tử của

P (L(D)), điều này chứng minh S đơn ánh Vậy S là tương ứng 1-1

Bổ đề cho thấy, nếu X là diện Riemann compact thì |D| có cấu trúc tự nhiêncủa một không gian xạ ảnh Đối với một hệ tuyến tính nói chung là hệ con của

hệ tuyến tính đầy đủ |D| nó tương ứng với một không gian con của không gianxạ ảnh P (L(D)) Nếu ta gọi chiều của hệ tuyến tính |D| là chiều của khônggian xạ ảnh tương ứng thì từ kết quả này ta chú ý rằng nếu không gian L(D)

có chiều là n + 1 thì |D| có chiều là n

Mệnh đề 1.8 Giả sử D1 = D2 + div(h) với h ∈ M(X) Khi đó phép nhânvới h sẽ cho ta đẳng cấu sau đây giữa các không gian vector phức:

àh : L(D1) −→ L(D2)

f 7→ hf(ánh xạ ngược của àh là à1

h)

Chứng minh Ta thấy rằng àh là một ánh xạ tuyến tính vì vậy ở đây chúng tachỉ chứng minh tính đơn ánh và tính toàn ánh

Giả sử f ∈ L(D1), tức là div(f) ≥ −D1 Khi đó

div(hf ) = div(h) + div(f ) ≥ div(h) − D1 = −D2

Chứng minh Tương tự mệnh đề trước, ở đây ta chỉ chứng minh tính đơn ánh

và toàn ánh của àω Rõ ràng àω là đơn ánh, ta chứng minh nó là toàn ánh

Chọn 1-dạng ω0 ∈ L(1)(D), theo bổ đề trên, tồn tại hàm phân hình f sao cho

Mệnh đề1.10 Cho X là một diện Riemann và D là một ước trên X p là một

điểm bất kỳ trên X Khi đó hoặc L(D − p) = L(D) hoặc L(D − p) có đốichiều bằng 1 trong L(D)

Chứng minh Chọn một tọa độ địa phương z tâm tại p và đặt n = −D(p).Khi đó ∀f ∈ L(D) thì f có chuỗi Laurent tại p dạng P∞

k=nckzk Ta xác định

ánh xạ

α : L(D) → C

f 7→ cnkhi đó ta có các trương hợp sau đây:

Nếu α = 0(tức là ∀f ∈ L(D), ordp(f ) > −D(p)) thì ta có kerα = L(D) Mặtkhác ker(α) = L(D − p), nên mệnh đề thứ nhất được chứng minh

Nếu α 6= 0 thì khi đó α là ánh xạ lên(chú ý rằng ∀f ∈ L(D) thì λf ∈ L(D)∀λ ∈

C nên ta có dim(L(D)) − dim(L(D − p)) = dim(Im(α)) = dimC = 1

Nếu X compact, ta sử dụng bổ đề này để chứng minh mệnh đề sau:

Mệnh đề1.11 Cho X là diện Riemann compact và D là một ước trên X Khi

đó L(D) là một không gian vector phức hữu hạn chiều Hơn nữa, nếu ta viết

D = P − N, trong đó P , N là các ước không âm với giá không giao nhau thìdimL(D) ≤ 1+deg(P ).Đặc biệt, nếu D không âm thì dimL(D) ≤ 1+deg(D)

Chứng minh Mệnh đề đúng với D = 0( vì X compact nên L(0) gồm cáchàm chỉnh hình trên X chỉ bao gồm các hàm hằng nên dim(L(0)) = 1).Trong trường hợp tổng quát ta viết D = P − N như trên và chứng minh quynạp theo deg(P ) Nếu deg(P ) = 0 thì do P không âm nên P = 0, khi đódim(L(P )) = 1 và D ≤ P nên

L(D) ⊆ L(P ) ⇒ dimL(D) ≤ dim(P ) = 1 = 1 + deg(P )

Giả sử rằng mệnh đề đúng với ước D có deg(P ) = k − 1 ta cần chứng minh

đúng cho deg(P ) = k ≥ 1

Lấy p là một điểm thuộc giá của P , khi đó P (p) ≥ 1 Xét ước D − p, ước này

có phần dương là P − p và deg(P − p) = k − 1 Theo giả thiết quy nạp ta

có dimL(D − p) ≤ 1 + deg(P − p) = deg(P ) Lại áp dụng bổ đề trên ta códimL(D) ≤ 1 + dimL(D − P ) được đpcm

Sử dụng quan hệ giữa L(K − D) và L(1)(D) ta có hệ quả

Hệ quả1.1 Cho X là một diện Riemann compact Khi đó đối với mọi ước Dtrên X ta có không gian L(1)(D) là hữu hạn chiều (do L(K − D) hữu hạnchiều)

1.8Các ước và các ánh xạ đối với không gian xạ ảnh

Cho X là một diện Riemann, một ánh xạ φ : X → Pn là chỉnh hình tại

điểm p ∈ X Nếu tồn tại các hàm chỉnh hình g0, g1, , gn được xác định tronglân cận của điểm p, không đồng thời bằng 0 tại p, sao cho φ(x) = [g0(x) :

g1(x) : : gn(x)] với x trong lân cận của p Ta nói φ là ánh xạ chỉnh hình nếu

nó chỉnh hình tại mọi điểm của X

Chú ý rằng, trên một diện Riemann compact thì mọi hàm chỉnh hình đều làhằng số, vì vậy ta không thể nhờ vào các hàm chỉnh hình gi như trên để xác

định ánh xạ chỉnh hình trên toàn không gian X Tuy nhiên, dựa vào các hàmphân hình sẽ xác định được φ như sau Cho X là một diện Riemann, chọn n+1hàm phân hình f = (f0, f1, , fn) trên X, không không đồng thới bằng 0 vàxác định ánh xạ φf : X → Pn bằng cách φf(p) = [f0(p) : f1(p) : : fn(p)]khi đó

Mệnh đề 1.12 Với các điều kiện xác định ánh xạ φf như trên thì φf có thể

mở rộng thành một ánh xạ chỉnh hình trên toàn bộ X

Và ngược lại:

Mệnh đề1.13 Cho φ : X → Pn là một ánh xạ chỉnh hình Khi đó tồn tại bộ(n + 1) hàm phân hình f = (f0, f1, , fn) trên X sao cho φ = φf Hơn nữa,nếu hai bộ f = (f0, f1, , fn) và g = (g0, g1, , gn) gồm các hàm phân hìnhcảm sinh cùng một ánh xạ, sao cho φf = φg là một ánh xạ chỉnh hình đến Pn

thì khi đó tồn tại một hàm phân hình λ trên X sao cho fi = λgi

1.8.1 Khái niệm hệ tuyến tính của một ánh xạ chỉnh hình

Cho φ : X → Pn là một ánh xạ chỉnh hình Ta viết φ = [f0 : f1 : : fn],trong đó các fi là các hàm phân hình trên X Đặt D = −m

i in{div(fi)} thế thìdiv(fi) ≥ −D, ∀i nên ta có fi ∈ L(D), ∀i Vì vậy nếu gọi Vf là không giansinh bởi các fi thì Vf ⊆ L(D)

Đặt |φ| = {div(g) + D|g ∈ Vf} thì đây là một hệ con của hệ tuyến tính đầy

đủ |D| gồm các ước không âm tương đương tuyến tính của D Ta thấy rằng Dphụ thuộc vào các fi , nhưng thực tế D chỉ phụ thuộc vào φ

Bổ đề 1.2 Hệ tuyến tính |φ| được xây dựng như trên là hoàn toàn được xác

định và nó độc lập với việc chọn các hàm fi dùng để xác định φ

|φ| được gọi là hệ tuyến tính của ánh xạ φ.

Chứng minh Giả sử rằng một cách xác định khác của φ là φ = [g0 : g1 : :

gn] Khi đó, theo bổ đề trên, tồn tại hàm phân hình λ sao cho gi = λfi, ∀i =

0, , n, do đó div(gi) = div(λ) + div(fi)

Nếu đặt D = −m

i in{div(fi)}, D0 = −m

i in{div(gi)}thì ta có D0 = D −div(λ)nên

D ∼ D0 ⇒ |D| = |D0| vì vậy ta có:

|φg| = {div(h) + D|h ∈ Vg} = {div(l) + div(λ) + D0|l ∈ Hf}

= {div(l) + D|l ∈ Hf} = |φf|,trong đó h = P

i

aigi, l = P

i

aifi.Nếu φ là ánh xạ từ X đến không gian xạ ảnh Pn với ảnh không suy biến (tương đương với điều kiện rằng các hàm fi là độc lập tuyến tính) khi đó hệtuyến tính |φ| là n - chiều(do không gian các hàm kết hợp với nó là (n + 1) -chiều với cơ sở fi, i = 0, , n)

Ta ký hiệu gn

d là hệ tuyến tính n - chiều mà tất cả các ước của nó đều có bậc

d

Mệnh đề 1.14 Cho φ : X → Pn là một ánh xạ chỉnh hình Khi đó với mọi

điểm p ∈ X tồn tại một ước E ∈ |φ| sao cho E(p) = 0

Chứng minh Cố định điểm p trong X Do D = −m

i in{div(fi)} nên tồntại fj sao cho D(p) = −ordp(fj) Khi đó ta đặt E = D + div(fj) thì ta cóE(p) = D(p) + ordp(fj) = 0

1.8.2 Điểm đáy của một hệ tuyến tính.

Cho Q là một hệ tuyến tính trên diện Riemann X Điểm p được gọi là điểm

đáy của hệ tuyến tính Q nếu mọi ước E của Q đều thỏa mãn:

E ≥ p(⇔ E(p) ≥ 1) Một hệ tuyến tính Q được gọi là tự do nếu nó không có

1.8.3 Xác định ánh xạ chỉnh hình qua một hệ tuyến tính.

Mệnh đề 1.16 Cho Q ⊆ |D| là một hệ tuyến tính tự do n-chiều trên diệnRiemann compact X Khi đó tồn tại một ánh xạ chỉnh hình φ : X → Pn saocho Q = |φ| Hơn nữa φ là duy nhất sai khác một cách chọn tọa độ thuần nhấttrong Pn

Chứng minh Giả sử rằng hệ tuyến tính Q tương ứng với không gian vectorcon V ⊆ L(D), khi đó các ước của Q có dạng div(f) + D, ∀f ∈ V Do Q

n-chiều nên ta có thể chọn một cơ sở của V có dạng f0, f1, , fn Khi đó ánhxạ chỉnh hình φ = [f0 : f1 : : fn] có Q = |φ|

Để chứng minh tính duy nhất, ta giả thiết rằng một chách xác định khác của Q

là Q = |φ0|, φ0 = [g0 : g1 : : gn].Khi đó các ước của |φ0| có dạng div(g) + D0

trong đó g là một tổ hợp tuyến tính của các gi.Do |φ| = |φ0|nên chúng ta có thể

đổi các tọa độ của |φ0|để giả thiết rằng, với mỗi i thì div(fi)+D = div(gi)+D0.Nếu đặt hi = fi

gi ta thấy div(hi) = D0 − D là hằng số, độc lập với i, do tất cảcác tỷ số này có cùng ước, chúng bằng nhau Vì thế h = fi

gi(bằng cách giản

ước các hằng tử) Và ta có |φ| = |φ0|

Như vậy, chúng ta có một tương ứng 1 − 1 giữa tập hợp các hệ tuyến tính tự

do n-chiều trên X với tập các ánh xạ chỉnh hình φ : X → Pn với ảnh khôngsuy biến sai khác một phép chọn tọa độ tuyến tính

Cho một hệ tuyến tính |D| có điểm đáy Đặt F = min{E ∈ |D|} khi đó ta

có hệ tuyến tính đầy đủ |D − F | là tự do(không có điểm đáy): ∀E ∈ |D − F |thì E(p) ≥ 0 Hơn nữa, |D| = F + |D − F | và F được gọi là ước cố định của

|D|, |D − F | được gọi là ước chuyển động của |D| Ta có bổ đề sau đây

Mệnh đề 1.17 Nếu F là ước cố định của hệ tuyến tính đầy đủ |D|, khi đóL(D − F ) = L(D)