Không gian với tôpô thứ tự và định lí dini

Sheet1 Page 1 \documentclass[12pt]{article} \usepackage[tcvnnocaptions]{vietnam} \renewcommand\contentsname{\hfill \up{Mục lục} \hfill~} \def\refname{\hfill \up{Tài liệu tham khảo}\hfill~} \usepackage{amsthm amsmath \usepackage{titlesec} \usepackage{fancybox} \usepackage{xspace} \newpagestyle{xuancuong}{\sethead{}{\usepage}{}} \pagestyle{xuancuong} \titleformat{\section} {\normalfont\large\filcenter\bfseries\MakeUppercase}{\S\thesection.}{0.5em}{} \usepackage{titletoc} \titlecontents{section} [0pt] {}% {\contentsmargin{0pt}% \S\thecontentslabel.\enspace} {\contentsmargin{0pt}} {\enspace\titlerule*[1pc]{.}\contentspage} [] \let\up\MakeUppercase \usepackage[top=3.0cm bottom=3.5cm \swapnumbers \newtheorem{theorem}{Định lý}[section] \newtheorem{proposition}[theorem]{Mệnh đề} \newtheorem{lemma}[theorem]{Bổ đề} \newtheorem{corollary}[theorem]{Hệ quả} \newtheorem{definition}[theorem]{Định nghĩa} %\newtheorem{definition}{??nh ngh?a}[section] \newtheorem{example}[theorem]{Ví dụ} \newtheorem{re}[theorem]{Chú ý} \newtheorem{remark}[theorem]{Nhận xét} \setcounter{tocdepth}{1}%% M?c l?c kh?ng cỳ \subsection (thay s 3 0-4) \def\cp{{f_n \xrightarrow[]{\text{ \tiny CP}}{f}}} \def\n{{\mathbb N}} \def\c{{\mathbb C}} \def\r{{\mathbb R}} \def\ch{{chùnh hỡnh}} \def\tp{{khụng gian tụpụ}} \def\p{{\mathcal P}} \def\f{{\mathcal F}} \def\dx{{i xẹng}} \numberwithin{subsection}{section} \begin{document} \thisfancypage{% \setlength{\fboxsep}{0pt}% \setlength{\shadowsize}{0pt}% \shadowbox}{} \begin{titlepage} \begin{center} \par \def\dgl{được gọi là\xspace} {\large{\up{trường đại học vinh}}} Sheet1 Page 2 \vspace{0.2cm} {\large{\up{khoa toán}}} \par \vspace{0.2cm} - - - - - - $\bigstar$ - - - - - - \par \vspace{0.8cm} %\includegraphics[scale=0.2]{logodhv1.eps} \par \vspace*{0.6in} {\Large {\up{trần hải yến}}} \par \vspace*{1.2in} {\LARGE \textbf{\up{không gian với tôpô thứ tự}\\\up{và định lý dini} }} \par \vspace{0.1in} {\textbf{Chuyên ngành:} {\up{\textbf{Giải tích}}}} \par \vspace*{0.5in} {\bf {\up{khóa luận tốt nghiệp đại học}}} \par \par \vspace{0.6in} \end{center} \hspace*{240pt}{\sc PGS.TS \up{đinh huy hoàng}} %\hspace*{150pt}\textbf{Sinh viờn thủc hiđn:} {\sc Lấ TH HOAN} %\hspace*{220pt}\textbf{Lắp:} {42E$_2$ - Toỏn} \begin{center} \par \vspace{0.5in} \vfill \textit{VINH 2006} \\ \end{center} \end{titlepage} \fontsize{15pt}{15pt}\selectfont \baselineskip 0.8cm \tableofcontents \newpage \section*{Lời mở đầu} \addcontentsline{toc}{section}{Lời mở đầu} \vspace{0.2in} {\textbf{\up{ngành cử nhân sư phạm toán}}} \hspace*{220pt}\textbf{Cán bộ hướng dẫn khóa luận:} \hspace*{20pt}Tôpô đại cương có một nội dung hết sức phong phú. Các phương pháp và kết quả của nó đã được ứng dụng vào nhiều ngành Sheet1 Page 3 toán học liên quan. Ta biết rằng một cơ sở là họ tất cả các tập dạng $$ \{x \in \r: a < x < b\} $$ với $a nếu Trong giải tích cổ điển và giải tích hàm khi học về giới hạn của một dãy hàm từ $\r$ vào $\r$ ta đã biết rằng một dãy hàm hội tụ Định lý Dini đã cho ta một điều kiện đủ để một dãy hàm hội tụ theo điểm là hội tụ đều: \textit{Cho $X$ là không gian tôpô compact. Khi đó nếu dãy $\{f_n\}$ các hàm nhận giá trị thực liên tục trên $X$ đơn điệu tăng và hội tụ theo điểm đến hàm $f$ liên tục trên một cách tự nhiên là có thể mở rộng Định lý Dini cho dãy hàm nhận giá trị trong không gian với tôpô thứ tự hay không? Mục đích chính của khóa luận là giải quyết vấn đề này. Với mục đích đó khóa luận Phần 1 trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng cho khóa luận. Phần 2 dành cho việc xây dựng tôpô thứ tự \cite{KL}. \up{ở} cuối mục này không gian với tôpô thứ tự đó là các Mệnh đề \ref{md213} \ref{md214} \ref{md215}. Trong phần 3 chúng tôi trình bày sự mở rộng Định lý Dini cho dãy các hàm nhận giá trị trong không gian với tôpô thứ tự. Trong niệm \textit{hội tụ đều} của dãy hàm nhận giá trị thực. Do đó (Định nghĩa \ref{dn34}). Chúng tôi chỉ ra khi áp dụng Định nghĩa này cho dãy hàm nhận giá trị thực thì sự hội tụ compact là độc lập với sự hội tụ theo điểm và hội tụ đều. Hơn nữa sự hội tụ đều kéo theo sự hội tụ compact và sự hội tụ compact kéo theo sự hội tụ theo điểm. (Mệnh đề \ref{md35} Mệnh đề \ref{md36} và Chú ý \ref{cy37}). Sau đó hàm hội tụ theo điểm là hội tụ compact đó là Định lý \ref{dl38} Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo cô giáo trong Khoa toán đặc biệt là các thầy giáo cô giáo trong tổ giải tích đã quan tâm tập các số thực $\r$ là đối tượng được nghiên cứu nhiều trong lý thuyết và thực hành. Tôpô thông thường trên $\r$ có b$ là hai số thực. Các tập dạng trên được xác định nhờ vào thứ tự "<" thông thường trên $\r$. Do đó vấn đề đặt ra là trên tập $X$ có trang bị một thứ tự thì có thể xây dựng được một tôpô tương tự như tôpô trên tập các số thực hay không? Vấn đề này đã được giới thiệu ở phần bài tập trong \cite{KL}. đều thì hội tụ (hội tụ theo điểm) nhưng điều ngược lại không đúng. $X$ thì dãy $\{f_n\}$ hội tụ đều đến hàm $f$}. Vấn đề được đặt ra được viết thành ba phần: tính chất với tôpô thứ tự đã được đưa ra trong phần bài tập của chúng tôi đưa ra và chứng minh một số tính chất liên quan đến $k$-lưới và tính đếm được thứ nhất của trường hợp tổng quát này không có khái niệm tương tự như khái chúng tôi đưa ra khái niệm \textit{hội tụ compact} của một dãy hàm chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ để một dãy nó có nội dung tương tự Định lý Dini. người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này. Sheet1 Page 4 và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận không tránh giáo cô giáo và các bạn. \vskip 0.8cm \hspace*{220pt}\textbf{\textit{Vinh tháng 5 năm 2006}} \hspace*{280pt}\textbf{Tác giả} \newpage %\addtocounter{section}{1} % éua vo cỏi ny %\setcounter{subsection}{0} % v cung cỏi ny n?a \section{Các khái niệm và tính chất cơ bản} \vskip 0.4cm \hspace*{20pt}Trong mục này ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả đã biết cần dùng cho các mục sau. \begin{definition}\label{dn11}{\em\cite{KL} Cho $X$ là một tập hợp khác rỗng và trên $X$ cho một quan hệ hai ngôi ký hiệu là $<$. Quan hệ $<$ \dgl \textit{một thứ tự trên} $X$ nếu nó có tính bắc cầu nghĩa là từ $x < y$ và $y < z$ suy ra $x < z$. \textit{Thứ tự tuyến tính} là thứ tự mà đối với nó ta có: a) Từ $x < y$ và $y < x$ suy ra $x = y$. b) Với bất kì $x hiện.} \end{definition} \begin{definition}\label{dn12}{\em Giả sử {\LARGE $\tau$} là họ các tập con của tập $X$. Khi đó {\LARGE $\tau$} \dgl một \textit{tôpô} trên $X$ nếu thoả mãn ba điều kiện i) $\emptyset$ và $X$ thuộc {\LARGE $\tau$} ii) Giao của hai phần tử tuỳ ý của {\LARGE $\tau$} là một phần tử của {\LARGE $\tau$}. iii) Hợp của các phần tử của một họ con tuỳ ý của họ {\LARGE $\tau$} cũng thuộc {\LARGE $\tau$}. Tập $X$ cùng với một tôpô trên nó \dgl một \textit{không gian tôpô} ký hiệu là $(X Ta gọi mỗi phần tử của {\LARGE $\tau$} là một \textit{tập mở} trong $X$. Tập con $F$ của $X$ \dgl \textit{tập đóng} nếu $X\setminus{F}$ là tập mở.} \end{definition} khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy y$ khác nhau thuộc $X$ hoặc $x < y$ hoặc $y < x$ được thực \begin{definition}\label{dn13}{\em i) Tôpô {\LARGE $\tau$} được gọi là \textit{tôpô thô nhất} trong Sheet1 Page 5 tất cả các tôpô có thể có trên $X$ nếu {\LARGE$\tau$}$ \subset ${\LARGE $\tau'$} với mọi {\LARGE $\tau'$} là tôpô trên $X$. ii) Giả sử $(X${\LARGE $\tau$}) là không gian tôpô và $Y$ là tập con của nó. Khi đó có thể xác định một tôpô $\mathcal{U}$ nào đó họ tất cả các giao của các phần tử của {\LARGE $\tau$} với tập $Y$. là \textit{tôpô rời rạc} nếu phần tử của nó bao gồm tất cả các tập con của $X$.} \end{definition} \begin{definition}\label{dn14}{\em i) Giả sử $(X${\LARGE $\tau$}) là không gian tôpô và $x \in X$. Tập con $U$ của $x$ \dgl \textit{lân cận} của $x$ nếu tồn tại $V \in$ {\LARGE$\tau$} sao cho $x \in V \subset U$. ii) Họ $\mathcal{U}$ các tập con của không gian tôpô $(X$ {\LARGE nếu với mọi lân cận $V$ của $x$ đều tồn tại $U \in \mathcal{U}$ sao cho $x \in U \subset V$. iii) Họ $\mathcal{B}$ các tập con của không gian tôpô $(X${\LARGE mọi điểm $x$ của không gian với mọi lân cận $U$ tuỳ ý của nó tại phần tử $V \in \mathcal{B}$ sao cho $x \in V \subset U$. của tôpô {\LARGE $\tau$} lập nên cơ sở khi và chỉ khi mỗi phần tử thuộc {\LARGE $\tau$} là hợp của các phần tử nào đó thuộc $\mathcal{B}$. iv) Họ $\sigma$ các tập con của $(X \textit{tiền cơ sở} của tôpô {\LARGE $\tau$} khi và chỉ khi họ mọi giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc họ $\sigma$ lập thành cơ sở của tôpô {\LARGE $\tau$}.} \end{definition} \begin{definition}\label{dn15}{\em \cite{DTC} i) Cho $X$ là một không gian tôpô. Một họ các tập mở $\{G_\alpha\}_{\alpha \in I}$ của $X$ gọi là một \textit{phủ mở} của $X$ nếu $$ \bigcup\limits_{\alpha \in I}G_\alpha = X. $$ (ii) Không gian tôpô $X$ gọi là \textit{compact} nếu mọi phủ mở $\{G_\alpha\}_{\alpha \in I}$ của $X$ tồn tại tập con hữu hạn $J \subset I$ sao cho $$ \bigcup\limits_{\alpha \in J}G_\alpha = X. $$ trên tập $Y$ thường gọi là \textit{tôpô cảm sinh} bởi tôpô {\LARGE $\tau$} trên $Y$. Tôpô cảm sinh $\mathcal{U}$ được định nghĩa là iii) Tôpô {\LARGE $\tau$} được gọi là \textit{tôpô thô} nếu nó chỉ có hai phần tử rỗng và $X$. Tôpô {\LARGE $\tau$} trên $X$ được gọi $\tau$}) được gọi là \textit{cơ sở lân cận tại} $x$ (hay của $x$) $\tau$}) được gọi là \textit{cơ sở của tôpô} {\LARGE $\tau$} khi và chỉ khi $\mathcal{B}$ được chứa trong {\LARGE $\tau$} và với Có một đặc trưng rất đơn giản của cơ sở là: Họ con $\mathcal{B}$ ${\LARGE $\tau$}) được gọi là Sheet1 Page 6 Tập hợp $A$ của không gian tôpô $X$ gọi là \textit{compact} nếu không gian con $A$ của $X$ là một không gian compact tức A là không gian compact với tôpô cảm sinh.} \end{definition} \begin{remark}\label{nx16}{\em i) Tập hợp con đóng của một không gian compact là một tập hợp compact. ii) Tập hợp $A$ của không gian tôpô $X$ là compact khi và chỉ khi mỗi phủ mở của $A$ đều có một phủ con hữu hạn.} \end{remark} \begin{definition}\label{dn17}{\em\cite{DTC} Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tôpô và ánh xạ $f:~X~\to~Y$. \up{á}nh xạ $f$ gọi là \textit{liên tục tại} $a \in X$ nếu mọi lân cận $V$ của $f(a)$ trong $Y$ tồn tại lân cận $U$ của $a$ trong $X$ sao cho $f(U) \subset V$. \up{á}nh xạ $f$ gọi là \textit{liên tục} nếu nó liên tục tại mọi $a \in X$.} \end{definition} \begin{proposition}\label{md18} \textit{Cho $X Y$ là các không gian tôpô và ánh xạ liên tục $f: X \to Y$. Khi đó nếu $A$ là tập compact trong $X$ thì $f(A)$ là tập compact trong Y.} \end{proposition} \begin{definition}{\em Không gian tôpô $(X của hai tập mở rời nhau và khác rỗng.} \end{definition} nếu với mỗi tập con $A$ của $X$ và mọi phần tử $x \in \overline{A}$ luôn tồn tại dãy $\{x_n\}$ trong $A$ hội tụ về $x$.} \end{definition} \in X$.} \end{definition} một \textit{phủ của tập con} $A$ trong $X$ nếu $A \subset \cup\{P: P \in \p\}$. Ta viết $\cup\p$ thay cho $\cup\{P: P \in \p\}$. \textit{phủ của không gian} $X$ nếu $X \subset \cup\p$.} \end{definition} \textit{$G_\delta$-tập} tập mở chứa $A$ $$ ${\LARGE {\LARGE $\tau$}}) được gọi là \textit{liên thông} khi và chỉ khi tập $X$ không biểu diễn được dưới dạng hợp \begin{definition}{\em Không gian tôpô $X$ được gọi là \textit{không gian Frechet} \begin{definition}{\em Không gian tôpô $X$ được gọi là \textit{thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất} nếu $X$ có cơ sở lân cận đếm được tại mỗi điểm $x \begin{definition}{\em (i) Họ $\p$ các tập con của không gian tôpô $X$ được gọi là (ii) Họ $\p$ các tập con của không gian tôpô $X$ được gọi là một \begin{definition}{\em Tập con $A$ của không gian tôpô $X$ được gọi là một nếu $A$ là giao của một họ đếm được các nghĩa là $A$ có thể biểu diễn được dưới dạng Sheet1 Page 7 A = \bigcap\limits_{n \in \n}U_n $$ trong đó $U_n$ là tập mở trong $X$ với mọi $n \in \n$.} \end{definition} \begin{definition}{\em Cho không gian tôpô $X$ $\p$ là một phủ của $X$. Ký hiệu $\p^{<\omega}$ là họ tất cả các tập con hữu hạn của $\p$. $\p$ mỗi tập compact $K$ và mọi tập mở $U$ chứa $K$ $(K \subset U)$ của không gian tôpô $X$ luôn tồn tại $\f \in \p^{<\omega}$ sao cho $$ K \subset \cup\f \subset U. $$} \end{definition} \newpage \section{Không gian với tôpô thứ tự} \vskip 0.4cm tuyến tính bởi quan hệ phản xứng "<". \begin{definition}\label{dn21}{\em \cite{KL} \textit{Tôpô thứ tự} (tôpô < -thứ tự) trên tập $X$ là tôpô trên $X$ có tiền cơ sở là họ tất cả các tập có dạng: $$ \{ x \in X: x < a \} $$ hoặc $$ \{x \in X: a < x\} $$ với $a$ nào đó thuộc $X$.} \end{definition} \begin{proposition}\label{md22}{\em\cite{KL}} \textit{Tôpô thứ tự trên $X$ là tôpô thô nhất mà thứ tự liên tục theo nghĩa: đối với $a b \in X$ tuỳ ý sao cho $a < b$ đều tồn tại các lân cận $U$ của $a$ $V$ của $b$ sao cho từ $x \in U y \in V$ suy ra $x < y$.} \end{proposition} \textit{Chứng minh.} Giả sử $\mathcal{B}$ là cơ sở của tôpô thứ tự {\LARGE $\tau$} trên $X$. Do mọi phần tử của cơ sở là giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc tiền cơ sở nên với mỗi $U \in \mathcal{B}$ thì $U = \emptyset$ hoặc $U$ có một trong các dạng $$ \{x \in X: x < a \}; \\ < x < b\}. $$ Giả sử {\LARGE $\tau'$} là tôpô trên $X$ sao cho thứ tự trên $X$ liên tục. Việc chứng minh {\LARGE $\tau$} là tôpô thô nhất trong minh thứ tự trên $X$ liên tục đối với tôpô {\LARGE $\tau$} và {\LARGE $\tau$} $\subset$ {\LARGE $\tau'$}. được gọi là một \textit{k-lưới} của không gian tôpô $X$ nếu với \hspace*{20pt}Trong mục này ta luôn giả sử $X$ là tập được sắp tất cả các tôpô làm cho thứ tự liên tục tương đương với việc chứng Sheet1 Page 8 Giả sử $a b \in X$ tuỳ ý và $a < b$ sao cho $a < c < b$ thì đặt $$ U = \{x \in X: x < b\};\\ $$ Khi đó $U $x \in U y \in V$ đều có $x < y$. Nếu tồn tại $c \in X$ sao cho $a < c < b$ thì đặt $$ U = \{x \in X: x < c\};\\ $$ b$ cần tìm. Do đó thứ tự đã cho là liên tục theo nghĩa chỉ ra. Việc còn lại là chứng minh {\LARGE $\tau$} $\subset$ {\LARGE $\tau'$}. Muốn vậy ta chỉ cần chứng tỏ với mọi $U \in\mathcal{B}$ mọi $x_0 \in U$ sao cho $x_0 \in V \subset U$. U$. Khi đó $a < x_0$. Theo giả thiết thứ tự trên $X$ liên tục đối với {\LARGE $\tau'$} nên tồn tại các lân cận $U'$ của $a$ $V$ của $x_0$ sao cho từ $x \in U'$ $a < x$ với mọi $x \in V$ hay $V\subset U$. ta chỉ \in U$ thì $a < x_0 < b$. Vì thứ tự trên $X$ liên tục đối với {\LARGE $\tau'$} nên tồn tại các lân cận của $a$ $x_0$ $V_{x_0}$ V_{x_0}$ $z \in V_b$ suy ra $y < x < z$. Do đó với mọi $x \in V_{x_0}$ thì $a < x < b$ hay là $V_{x_0} \subset U$. \begin{corollary}\label{hq23} \textit{Nếu {\LARGE $\tau$} là tôpô thứ tự trên $X$ thì $(X${\LARGE {\LARGE $\tau$}}) là $T_2$-không gian.} \end{corollary} \begin{re}\label{cy24} {\em 1) Từ đây về sau ta luôn giả thiết tôpô trên $X$ là là tôpô thứ tự nếu không có giải thích gì thêm. 2) Nếu trong $X$ không có phần tử lớn nhất và phần tử bé nhất thì họ $\mathcal{B}$ gồm các tập $U$ có dạng $$ U = \{x \in X: a < x < b\} \ $$ lập thành cơ sở của {\LARGE $\tau$}. Thật vậy giả sử $V = \{x \in X: x < a\}$. Do trong $X$ không có phần tử bé nhất nên tồn tại $c \in X$ sao cho $c < x < a$. Đặt $$ U = \{x \in X: c < x < a\} $$ x\}$ V$ lần lượt là lân cận của $a$ và $b$ sao cho với mọi Khi đó $U$ và $V$ lần lượt là lân cận của $a \textit{Trường hợp 1.} $U = \{ x \in X : a < x\}$. Lấy $x_{0} \in \textit{Trường hợp 2.} $U = \{x\in X: x < a\}$. Tương tự ra được tồn tại $V \in$ {\LARGE $\tau'$} sao cho $V \subset U$. \textit{Trường hợp 3.} $U = \{x \in X: a < x < b \}$. Với $x_0 lượt là $V_a$ thì $U \subseteq V$. Tương tự với trường hợp $V = \{x \in X: a < ta cũng tìm được $U = \{x \in X: a < x < c\}$ sao cho $U Sheet1 Page 9 \subseteq V$. 3) Từ chú ý trên suy ra rằng nếu trên $\r$ xét thứ tự "<" thông nếu $Y$ là tập con của tập sắp tuyến tính bởi quan hệ < \end{re} \begin{proposition}\label{md25}{\em\cite{KL}} \textit{Tôpô thứ tự trên $Y$ có thể không trùng với tôpô cảm sinh trên $Y$ bởi tôpô thứ tự "<" trên $X$.} \end{proposition} \textit{Chứng minh.} Thật vậy giả sử $X$ là tập số thực $\r$. b)\cup\{c\}$ trong đó $a < b < c$. Khi đó $Y$ bởi tôpô thứ tự trên $X$ thì tập $\{c\}$ mở còn với tôpô thứ tự trên $Y$ thì tập $\{c\}$ không mở. Do đó tôpô cảm sinh trên $Y$ bởi tôpô "<" thứ tự trên $X$ không trùng với tôpô thứ tự trên $Y$. trên} của tập $A$ nếu mọi $y$ tuỳ ý thuộc $A$ thì hoặc $y < x$ tập $A$ nếu mọi $y \in A$ thì $x < y$ hoặc $x = y$. là \textit{cận trên nhỏ nhất} nếu nó là cận trên của tập $A$ và gọi là \textit{tập sắp thứ tự toàn phần} (đối với "<") nếu mọi tập con khác rỗng mà có cận trên thì có cận trên bé nhất. Hay $\sup A$ và $\inf A$.} \end{definition} \begin{definition}{\em \cite{KL} Quan hệ thứ tự trên $X$ gọi là \textit{có lỗ hỗng} nếu tồn tại các điểm $a b$ sao cho $a < b$ mà không có điểm $c \in X$ thỏa mãn $a < c < b$.} \end{definition} \begin{proposition}\label{md28}{\em \cite{KL}} \textit{Nếu không gian $X$ liên thông với tôpô thứ tự thì thứ tự trên $X$ là toàn phần.} \end{proposition} \textit{Chứng minh.} Giả sử $X$ không toàn phần. Tức là $A \subset X$ $A \not= \emptyset$ và $A$ có cận trên mà không có cận trên bé nhất. Gọi $B$ là tập tất cả các cận trên của $A$. Khi đó $B \not= \emptyset$ và $B \cap (X\setminus{B}) = \emptyset$. thường thì tôpô thứ tự trên $\r$ trùng với tôpô thông thường. Như đã biết thì $Y$ được sắp bởi quan hệ "<" Trên $\r$ xét tôpô ứng với thứ tự thông thường. Giả sử $Y = (a \begin{definition}\label{dn26}{\em Giả sử $A$ là tập con của tập $X$ được sắp thứ tự bởi quan hệ "<". Phần tử $x \in X$ được gọi là \textit{cận hoặc $y = x$. Phần tử $x \in X$ được gọi là \textit{cận dưới} của Một tập có thể có nhiều cận trên khác nhau. Phần tử $x$ được gọi nếu $x'$ là một cận trên nào đó của A thì $x < x'$. Tương tự ta có định nghĩa \textit{cận dưới lớn nhất} của tập $A$. Tập $X$ được tương đương với mọi tập con khác rỗng mà có cận dưới đều có cận dưới lớn nhất. Tập $A$ \dgl \ \textit{bị chặn} nếu nó có cận trên và cận dưới. Ta ký hiệu cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất của $A$ lần lượt là Sheet1 Page 10 Với $x \in B$ thì $x$ là cận trên của $A$. Vì $B$ không có phần tử nhỏ nhất nên tồn tại $a \in B$ sao cho $a < x$. Chọn $U = \{y \in X: a < y\}$ thì $U$ là lân cận của $x$ và $U \subset B$. Do đó B mở. Với $x \in X\setminus{B}$ thì $x$ không phải là cận trên của $A$ nên tồn tại $a \in A$ sao cho $x < a$. Khi đó $U = \{y \in X: y < a\}$ là lân cận của $x$ và $U \subset X\setminus{B}$. Hiển nhiên $X\setminus{B} \not= \emptyset$. Do đó $X\setminus{B}$ mở. Vậy ta có $X = B \cup(X\setminus{B})$ trong đó $B$ và $X\setminus{B}$ là các tập mở khác rỗng. Do đó $X$ không liên thông. Điều mâu thuẫn này dẫn đến thứ tự trên $X$ là toàn phần. \begin{proposition}\label{md29}{\em\cite{KL}} \textit{Không gian $X$ liên thông đối với tôpô thứ tự khi và chỉ khi thứ tự trên $X$ là toàn phần và không có lỗ hỗng.} \end{proposition} \textit{Chứng minh.} \textit{Điều kiện cần.} Giả sử $X$ liên thông theo Mệnh đề \ref{md28} thì $X$ toàn phần. Bây giờ ta chứng minh $X$ không có lỗ hổng. Thật vậy giả sử $X$ có lỗ hổng. Khi đó tồn tại $a X$ thỏa mãn $a < c < b$. Lúc đó đặt : $$ A = \{x: x < b\}; \\ $$ thì ta có $X = A \cup B$ và $A \cap B = \emptyset$. Từ đó suy ra $X$ không liên thông. Đây là một mâu thuẫn. Vậy $X$ không có lỗ hổng. giả sử thứ tự trên $X$ là toàn phần và không có lỗ hổng tại các tập $A B$ vừa mở $A \cap B = \emptyset$ và $X = A\cup B$. Ta luôn có thể giả sử rằng tồn tại $a \in A$ $b \in B$ sao cho $a < b$. Đặt $$ A_1 = \{x \in A: x < b\}; \\ $$ Khi đó $A_1$ bị chặn trên và do thứ tự trên $X$ là toàn phần nên $A_1$ có cận trên bé nhất giả sử đó là $a_1$. Ta cần chứng minh $a_1 \in A_1$. Thật vậy với mỗi lân cận của $a_1$ ắt chứa một lân cận $U$ của $a_1$ dạng $$ U = \{x \in A: c < x < d\} $$ trong đó $c < a_1 < d$ $U \cap A_1 \not= \emptyset$ hỗng nên tồn tại $c \in X$ sao cho $a_1 < c < b_1$. Nếu $c \in A$ thì do $c < b$ nên $c \in A_1$ và do đó $c < a_1$ hoặc $c = a_1$. Điều này mâu thuẫn với $a_1 < c$. Nếu $c \in B$ b \in X$ sao cho $a < b$ nhưng không tồn tại $c \in \textit{Điều kiện đủ.} Ngược lại nhưng $X$ không liên thông. Khi đó tồn ngược lại thì $a_1$ không phải là cận trên bé nhất của $A_1$. Như vậy $a_1$ là điểm giới hạn của $A$. Tương tự ta chứng minh được $B_1$ có cận dưới lớn nhất là $b_1 \in B_1$. Vì $X$ không có lỗ lập luận tương . quát Tuy nhiên trong không gian với tôpô thứ tự sau. Trong các Mệnh đề sau ta giả thiết $(X $ au$}}) là không gian tôpô với tôpô thứ tự {LARGE $ au$}. egin{definition}label{dn34}{em Giả sử $X$ là không gian tôpô bất kì $Y$ là không gian tôpô thứ tự với thứ tự "<" ${f_n}$ là dãy các hàm từ $X$ vào $Y$ và $X' subseteq