Thể song song và định lí chọn balaschke

Mục lục Trang Mở đầu 2 Chơng I. Đại số tuyến tính và tôpô 3 Chơng II. Thể song song 13 2.1. Thể song song 2.2. Định lý của thể song song 2.3. Khoảng cách của 2 tập con lồi compact Chơng III. Định lý chọn Blaschke 21 3.1. Họ con của C bị chặn đều 3.2. Định lý chọn Blaschke Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 1 Phần mở đầu Giải tích lồi là một trong những hớng quan trọng để đào tạo Tiến sĩ và Cao học Thạc sĩ thuộc chuyên ngành giải tích. Vì vậy mỗi sinh viên thuộc chuyên ngành giải tích Toán cần phải biết tiếp cận với những vấn đề cơ bản của giải tích lồi đó là phần Thể song song và định lý chọn Blaschke. Luận văn gồm có những nội dung sau: Chơng I: Trình bày các khái niệm, định lý, tính chất của đại số tuyến tính và tôpô, có chứng minh và ví dụ minh hoạ. Chơng II. Trình bày các khái niệm về: + Thể song song + Khoảng cách giữa hai tập con lồi Compact + Sự hội tụ của dãy các tập lồi. Chơng III. Trình bày các khái niệm về: + Họ con của C là compact + Tính compact trong C và tính hữu ích của compact trong C. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Tiến sĩ Tạ Khắc C và những ngời thân đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi hy vọng rằng đề tài này sẽ đem lại một số kiến thức bổ ích đối với những bạn quan tâm nghiên cứu đến mảng kiến thức này. Do thời gian cũng nh năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự đánh giá và góp ý của thầy cô giáo và bạn bè. Tôi xin chân thành cảm ơn! 2 Chơng I. Đại Số tuyến tính và tôpô Giả sử x = (x 1 , , x n ), y = (y 1, , y n ) R n và , R. Thì các phép cộng vectơ và nhân với vô hớng x + y = (x 1 + y 1 , , x n + y n ) R n x = ( x 1 , , x n ) R n . sẽ biến R n thành một không gian tuyến tính. Trong R n ta trang bị tích vô hớng = = n 1i ii yxy,x R. Khi đó R n là một không gian Euclide. Không gian tuyến tính R n với tích vô h- ớng đợc cho nh trên, đợc gọi là không gian Euclide n chiều và ký hiệu là E n . Tích vô hớng có tính chất sau: 1.1. Định lý. Với mọi x, y, z E n và R, ta có a) y,x = 0 nếu và chỉ nếu x = ( ký hiệu vectơ không của E n ) b) y,x = x,y c) z,yx + = z,yz,x + d) y,x = y,x . 1.2. Định nghĩa. Nếu y,x = 0 thì x và y đợc gọi là trực giao với nhau. 1.3. Định nghĩa. Chuẩn của một vectơ x, ký hiệu x đợc cho bởi 2 1 y,xx = . Nếu giá trị x = 1, thì x đợc gọi là vectơ đơn vị. 1.4. Định lý. Với mọi x, y R n , và với mọi R, ta có a) x > 0 nếu x và = 0 b) x = x c) yxyx ++ . Chứng minh. (a) và (b) Suy trực tiếp từ định nghĩa 3 (c) Suy từ bất đẳng thức Schwarz === n 1i 2 i n 1i 2 i 2 n 1i ii yxyx 1.5. Định nghĩa. Nếu x, y thuộc E n , thì khoảng cách từ x tới y ký hiệu d(x, y), đợc cho bởi d(x, y) = yx d(x, y) = 2 1 yx,yx . Đại lợng này còn có thể viết dới dạng toạ độ ( ) ( ) 2 1 n 1i 2 ii yxy,xd = = . ở đây: x = (x 1 , , x n ) y = (y 1 , , y n ) E n . 1.6. Định lý. Với mọi x, y, z E n và mọi R, ta có a) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y b) d(x, y) = d(y, x) c) d(x, y) d(x, z) + d(y, z) d) d( x, y) = || d(x, y) e) d(x + z, y + z) = d(x, y). Chứng minh. Suy trực tiếp từ định nghĩa. 1.7. Định nghĩa. Với mọi x E n và > 0, ta gọi hình cầu mở với tâm x và bán kính là tập hợp B(x, ) = y E n : d(x, y) < } 1.8. Định nghĩa. Một điểm x đợc gọi là điểm trong của tập S nếu tồn tại một > 0 sao cho B(x, ) S. 1.9. Định nghĩa. Một điểm S đợc gọi là mở nếu mỗi điểm của nó là điểm trong của S 1.10. Định nghĩa. Họ tất cả các tập con mở của E n đợc định nghĩa nh trên đợc gọi là một tôpô thông thờng của E n . Nếu S là một tập con không rỗng của E n , 4 thì tôpô tơng đối trên S là họ tất cả các tập U sao cho U = S V, ở đây V là mở trong E n . Dễ dàng thấy rằng toàn bộ không gian E n và tập rỗng là mở. Hợp của một họ bất kỳ các tập mở là mở, giao của một họ hữu hạn bất kỳ các tập mở là mở. 1.11. Định nghĩa. Một tập S đợc gọi là đóng nếu phần bù của nó CS = E n \ S = {x E n : x S} là mở. Dễ dàng thấy rằng tất cả các tập hữu hạn điểm của E n , toàn bộ không gian E n và tập rỗng là đóng. Giao của một họ bất kỳ các tập đóng là đóng, hợp của một họ hữu hạn bất kỳ các tập đóng là tập đóng. 1.12. Định nghĩa. Một tập S đợc gọi là bị chặn nếu tồn tại > 0 sao cho S B(, ). 1.13. Định nghĩa. Phần trong của một tập S là hợp tất cả các tập mở đợc chứa trong S. Bao đóng của S là giao của tất cả các tập đóng chứa S. Phần trong của S đợc ký hiệu là intS, còn bao đóng của S đợc ký hiệu là cl S. Dễ dàng thấy rằng phần trong của S là tập tất cả các điểm trong của S. Cũng vậy, một điểm x cl S nếu và chỉ nếu với mọi > 0, tồn tại hình cầu mở B(x, ) chứa ít nhất một điểm của S. 1.14. Định nghĩa. Một hàm f: E n E m đợc gọi là liên tục trên E n nếu f -1 (U) là tập con mở trong E n nếu U là tập mở trong E m . Ta có thể phát biểu định nghĩa trên nh sau: Hàm f liên tục tại điểm x E n nếu với mỗi > 0, tồn tại một > 0, sao cho f(B(x, )) B(f(x), ). Nếu f liên tục tại mọi điểm trên một tập A, thì nó liên tục trên A Hoặc theo ngôn ngữ dãy: Hàm f liên tục trên E n nếu và chỉ nếu với mọi dãy {x k } E n hội tụ tới điểm x E m thì dãy {f(x k )} hội tụ tới f(x) E m . Định lý sau đây nói lên mối liên hệ giữa cấu trúc tuyến tính và tôpô 5 1.15. Định lý. Mỗi một trong các hàm sau đây là liên tục a) f : E n x E n E n đợc xác định bởi f(x, y) = x + y. b) Với mọi điểm a cho trớc trong E n , hàm f : E n E n đợc xác định bởi f (x) = + x. c) Với mọi số cho trớc R , hàm f : E n E n đợc xác định bởi f (x) = x. d) Với mọi cặp điểm cho trớc x, y E n , hàm f: R E n đợc xác định bởi f( ) = x + (1 - )y. Chứng minh. a) Cho trớc > 0, giả sử = 2 . Nếu (x 0 , y 0 ) E n x E n , thì mọi (x, y) E n x E n với d((x, y),(x 0 , y 0 )) < , ta có ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) [ ] { } 2 1 2 0 2 000 y,ydx,xdy,x,y,xd += . Do đó d(x,x 0 ) < và d(y, y 0 ) < . Từ đó suy ra rằng d(x + y, x 0 + y 0 ) d(x + y, x + y 0 ) + d(x + y 0 , x 0 + y 0 ) = d(y, y 0 ) + d(x, x 0 ) < + delta = . Nh vậy, nếu (x, y) B ((x 0 , y 0 ), ), thì f(x, y) B(f(x 0 , y 0 ), ) và do đó f liên tục tại (x 0 , y 0 ). Do (x 0 , y 0 ) là một điểm tuỳ ý trong E n , nên f liên tục. b) Suy ra từ (a). c) Giả sử > 0 và x E n . Nếu 0, ta thấy = 1/ ||. Khi đó với mỗi y E n sao cho d(x, y) < , ta có: f(f (x), f (y)) = d(x, y) = || (x, y) < = . Nếu = 0 thì d(f (x, f (y)) = d(,) = 0 < với mọi > 0. Trong cả hai trờng hợp ta đều có f (B(x, )) B(f (x), ) tức là f liên tục. d) Suy từ (c) và (a) 1.16. Định nghĩa. Nếu A, B E n và R, ta định nghĩa A + B = {x + y : x A, y B} 6 A = {x : x a}. Nếu A chỉ gồm một điểm, A = {x} thì ta viết x + B thay cho A + B. Tập x + B đợc gọi là một dịch chuyển của B. Tập A đợc gọi là nhân vô hớng của A. Nếu o thì tập x + A đợc gọi là tập đồng dạng với A. 1.17. Định lý. Một tập đồng dạng với một tập mở là một tập mở. Chứng minh. Với x E n , 0, hàm f(y) = x + y là liên tục theo định lý 1.15. Với 0, ta cũng có hàm ngợc f -1 (z) = - (1/)x + (1/)z liên tục. Do đó nếu A là tập mở thì ( ) ( ) Af 1 1 = f() = x + A là tập mở. 1.18. Hệ quả. Mỗi tập đồng dạng với tập đóng là tập đóng. Chứng minh. Với 0, hàm f(y) = x + y là ánh xạ 1 1. Do đó f(CA) = Cf(A) với mọi A E n . Vậy từ định lý 1.17 nói trên ta suy ra điều khẳng định. Thấy A + B của hai tập A, B E n có thể biểu diễn A + B = ( ) ( ) Ax By yABx +=+ 1.19. Định nghĩa. Biên của một tập A, ký hiệu bd A hoặc FrA đợc xác định bởi db A = clA cl (CA) Theo thuật ngữ hình cầu mở, một điểm x bd A nếu và chỉ nếu với mỗi > 0, hình cầu mở B(x, ) sẽ cắt A và CA. 1.20. Định nghĩa. Một tập con A của E n đợc gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Nếu nói theo thuật ngữ phủ mở thì khái niệm compact đợc diễn đạt nh sau: Một họ các tập hợp F = {F : A} là một phủ mở của A nếu mỗi thành phần của F là mở và A A F . Khi đó tập A đợc gọi là compact nếu với mọi phủ mở của A có thể rút ra phủ con hữu hạn đợc thể hiện bởi định lý sau 7 1.21. Định lý (Heine Borel) : Một tập con S của E n là compact nếu và chỉ nếu với mỗi phủ mở F của S, tồn tại một họ hữu hạn các tập thuộc F mà nó cũng phủ S. Chứng minh. a) Giả sử S là tập compact của E n , {U f } f F là một phủ mở của S: S F f f U trong đó U f là mở trong E n . Đặt V f = S U f (f F), ta có V f mở trong không gian con S của E n và F f f V = S f 1 , , f n f : 1i f i V = = S { } n 1i f i U = là một phủ của S và là phủ con của {U f } f F . b) Ngợc lại, giả sử mỗi phủ mở của S đều có một phủ con hữu hạn và {V f } f f là một phủ mở của không gian con S của E n . Ta có V f mở trong S (f F) U f mở trong E n : V f = S U f , {U f } f F là phủ mở của S f 1 , , f n F n 1i f n 1i f 11 VSUS == = . Vậy S compact. 1.22. Hệ quả. Nếu A E n là tập compact và f : E n E m là hàm liên tục, thì f(A) là tập compact. Chứng minh. Giả sử A là tập compact và f là hàm liên tục. Gọi F = {F : A} là một phủ mở của f(A). Khi đó do f liên tục nên f 1 (F ) mở với mọi A. Do họ {f 1 (F ): A} phủ A và A compact, nên tồn tại họ con hữu hạn {f 1 (F ): i = 1, k} phủ A. Khi đó { } k, .,1i:F i = phủ f(A). 1.23. Định lý (Nguyên lý Bolzano Weierstrass). Mọi dãy bị chặn trong R n đều chứa một dãy con hội tụ. 8 Chứng minh. Giả sử (x k ) k N là một dãy bị chặn trong R n , trong đó x k = ( ) k n k 1 x, .,x , k = 1, 2, Khi đó với mỗi i = 1, 2, , n dãy ( ) k i x là dãy bị chặn trong R n . Do đó tồn tại dãy con ( ) 1 k 1 x của ( ) k 1 x sao cho 1 1 k 1 k xlim = a 1 R. Lấy dãy con ( ) 1 k 2 x của ( ) k 2 x . Vì ( ) k 2 x bị chặn nên ( ) 1 k 2 x bị chặn. Do đó tồn tại dãy con ( ) 2 k 2 x của ( ) k 2 x sao cho 2 2 k 2 k xlim = a 2 R. Khi đó ( ) 22 2 k 2 k 1 k x,xlim = (a 1 , a 2 ) R 2 . Tiếp tục lập luận tơng tự nh trên ta tìm đợc dãy con ( ) n k n x của ( ) k n x sao cho n n k n k xlim = a n R và do đó tìm đợc dãy con ( ) n k x = ( ) nn k n k 1 x, .,x của (x k ) sao cho: n n k k xlim = (a 1 , , a n ). 1.24. Mệnh đề. a) Nếu A mở thì với mỗi tập B, A + B mở. b) Nếu cả A và B đều đóng thì A + B có thể không đóng cũng có thể đóng. Thật vậy: a) A mở, B tuỳ ý thì A + B mở. Vì phép cộng là đồng phôi nên: A + B = {A + b : b B} Do A mở A = b mở. Vậy hợp tuỳ ý của tập mở là tập mở. b) Với A, B đóng thì A + B có thể không đóng. Trong R n với tôpô thông thờng ta đặt: A = {- 2, - 3, } và B = {2 + 2 1 , 3 + 3 1 , } Rõ ràng A, B là một tập đóng nhng A + B không là tập đóng trên R n vì 9 A + B = , 3 1 , 2 1 , mà dãy { n 1 : n = 2, 3, } 0 A + B. Với A, B đóng thì A + B có thể đóng. Ta đặt A = [1, 2] và B = [3, 4]. Rõ ràng A, B đóng và A + B = [4, 6] cũng đóng. 1.25. Mệnh đề. Giả sử A và B là các tập không rỗng. Ta định nghĩa khoảng cách từ A tới B là d(A, B) = inf {d(a, b): a A, b B} a) Có thể có 2 tập đóng rời nhau A và B thoả mãn d(A, B) = 0. b) Nếu A đóng, B compact và A B = , thì d(A, B) > 0. Chứng minh. a) Giả sử ta lấy tập A = {2 + 2 1 , 3 + 3 1 , } B = {1, 2, 3,}. Ta thấy A và B đều là 2 tập đóng và d(A, B) = 0. Vì d(A, B) = n 1 infn n 1 ninfbainf nn Aa Bb =+= = 0. b) A đóng, B compact và A B = thì d(A, B) > 0. Ta có hàm d(x, y) liên tục khi x A, y B, nếu cố định x = a ta đợc hàm d(a, y) liên tục trên B. B compact nên hàm liên tục (thực) đạt giá trị lớn nhất, bé nhất trên B. Nghĩa là y 0 = b để inf d(a, y) = d(a, b) = d(a, y 0 ). Khi đó: d(A, B) = ( ) 0 Aa y,adinf Nếu ( ) 0 Aa y,adinf = 0 thì trong A dãy a n A, a n y 0 . Vậy y 0 là điểm giới hạn của tập đóng A nên y 0 A. 10