Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Ví dụ 1: CMR: Với n N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho Giải: Ta thấy thừa số n 7n + số chẵn Với n N A(n) Ta chứng minh A(n) Lấy n chia cho ta n = 3k + (k N) Với r {0; 1; 2} Với r = n = 3k n A(n) Với r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Với r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) với n mà (2, 3) = Vậy A(n) với n N Ví dụ 2: CMR: Nếu n A(n) = 32n + 3n + 13 Với n N Giải: Vì n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + ta thấy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 33k - = (33 - 1)N = 26N 13 với r = 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 13 32n + 3n + 13 với r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + Vậy với n A(n) = 32n + 3n + 13 Với n N Ví dụ 3: Tìm tất số tự nhiên n để 2n - Giải: Lấy n chia cho ta có n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Với r = n = 3k ta có 2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M với r =1 n = 3k + ta có: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho dư với r = n = 3k + ta có : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho dư Vậy 23k - n = 3k (k N) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) Với n Z Bài 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a51 + a52 + … + a5n Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 n2 - 24 Với n Z Bài 4: Tìm số tự nhiên n để 22n + 2n + Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn 55 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: + A(n) + Lấy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) A(n) 30 Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - 30 đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + (k N) Với r {1} r = 1 n2 - 24 Bài 4: Xét n = 3k + r (k N) Với r {0; 1; 2} Ta có: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + Làm tương tự VD3 Bài 5: Có 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn Khi m (m, 5) = m4 - (Vì m5 - m (m4 - 1) m4 - 5) n2 ni5 Vậy mn