Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” PHẦN THỨ NHẤT : NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI 1. TÊN ĐỀ TÀI Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.1 Lí do về mặt lí luận: Nghò quyết hội nghò lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra: Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội cơng bằng văn minh. Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII, 1997) khẳng định rõ hơn. Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong q trình học tập ở nhà trường phổ thơng . . . Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mơn học. RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI. Những trển vọng của Châu Á – Thái Bình Dương” đã khảng đònh . Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo . . . Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyết vấn đề. Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ. Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghó, suy luận,… bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán chia hết” cho học sinh là rất cần thiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên. Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 1 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” 2.2 Lí do về mặt thực tiễn: Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Tân Thanh – Lâm Hà có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều, theo cuộc điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới hơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình. Còn các lớp trên cũng được liệt kê rất nhiều học sinh yếu toán. Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song với nhau. Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,… Một trong dạng toán đó là “Dạng toán chia hết”. 3. ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU: Hướng dẫn giải dạng toán “chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chương trình toán bậc trung học cơ sở. 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Thời gian nghiên cứu từ 10 tháng 9 năm 2005 đến 25 tháng 11 năm 2006. Đòa điểm tại trường THCS Tân Thanh gồm các khối lớp 6 đến lớp 9. 5. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán. Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 2 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” PHẦN THỨ II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Phương pháp giải toán: Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất đònh và vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán. Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết một khâu hay cả bài toán. Giải bài toán: Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán. Muốn tìm ra ấn số phải là một quá trình suy luận. Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá trình hoạt động trí tuệ của học sinh. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất thuật toán. Đặc biết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm tìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toán của “Polya”. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Trong chương trình toán (THCS), có rất nhiều dạng toán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó có dạng “Toán chia hết” là một trong số các dạng toán quan trọng trong chương trình toán THCS. Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra đònh kỳ, thi học kỳ, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao, và một số đề thi cấp Huyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ở chỗ lượng bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú. Dạng toán chia hết được đề cập ngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cả chương trình toán THCS và ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khác nhau, mức độ yêu cầu cũng khác nhau. Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cái này là cơ sở của cái kia, chúng bổ trợ cho nhau. Chính điều này yêu cầu người học phải nắm chắc được kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắt trong từng chương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để giải quyết tốt được bài tập dạng này. Có thể nói rằng dạng “toán chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này. Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 3 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” Là một giáo viên dạy toán tôi muốn các em chinh phục được nó, và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp cho các em phát triển tư duy suy luận, óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. HƯ thèng c¸c bµi tËp t«i ®a ra ®Ịu tõ dƠ ®Õn khã, bªn c¹nh ®ã cßn cã c¸c bµi tËp n©ng cao cho häc sinh giái. Lỵng bµi tËp ¸p dơng t¬ng tù còng t¬ng ®èi nhiỊu, nên các em có thể tự học, tự chiếm lónh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này ®iỊu ®ã gióp c¸c em høng thó häc tËp h¬n rÊt nhiỊu. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Dạng toán “Chia hết” được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9, và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là các em học sinh khối 8 và khối 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian cho tiết dạy. Kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi chứng minh rất dài dòng và phức tạp, thực chất nếu các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì chứng minh rất đơn giản. Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên không hay để ý tới dạng toán này, vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong sách giáo khoa nên không nghó đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hay ra ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có trong thư viện nhà trường, các chủ đề tự chọn cũng chưa được giáo viên nào đề cập tới mà yêu cầu về bồi dưỡng học sinh giỏi lại có dạng toán “ Chia hết” trong chương trình. Từ những suy nghó đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này. Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 4 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. Cơ sở lý thuyết §Ĩ häc sinh häc tèt, lµm tèt ®ỵc d¹ng “To¸n chia hÕt ” nµy t«i trang bÞ cho c¸c em néi dung kiÕn thøc sau, ®ã lµ nỊn t¶ng, lµ c¬ së ®Ĩ ¸p dơng gi¶i c¸c bµi tËp d¹ng nµy. 1.TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch. - NÕu mb ma mba +→ - NÕu mb ma mba −→ - NÕu mb ma a → .b m - NÕu → ma a n m (n lµ sè tù nhiªn). 2.DÊu hiƯu chia hÕt cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. * DÊu hiƯu chia hÕt cho 2 lµ: Mét sè chia hÕt cho 2 khi vµ chØ chi sè Êy cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè ch½n (0, 2, 4, 6, 8) *DÊu hiƯu chia hÕt cho 5 lµ:Mét sè chia hÕt cho 5 khi vµ chØ khi sè Êy cã ch÷ ch÷ sè tËn cïng lµ 0 hc 5. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 3: Mét sè chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi tỉng c¸c ch÷ sè ®ã chia hÕt cho 3. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 9: Mét sè chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi tỉng c¸c ch÷ sè ®ã chia hÕt cho 9. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 6: Mét sè chia hÕt cho 6 khi vµ chØ khi nã ®ång thêi chia hÕt cho 2 vµ cho 3. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 4: Mét sè chia hÕt cho 4 khi vµ chØ khi hai ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh mét sè chia hÕt cho 4. Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 5 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” *DÊu hiƯu chia hÕt cho 8: Mét sè chia hÕt cho 8 khi vµ chØ khi sè ®ã cã ba ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh mét sè (cã 3 ch÷ sè) chia hÕt cho 8. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 10: Mét sè chia hÕt cho10 th× cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0 vµ ®¶o l¹i. * DÊu hiƯu chia hÕt cho 11: Mét sè chia hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiƯu gi÷a tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã “®øng ë vÞ trÝ lỴ ” vµ tỉng c¸c ch÷ sè “®øng ë vÞ trÝ ch½n ” (kĨ tõ tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11. 3. §ång d: *Hai sè a vµ b ®ång d víi nhau theo m« ®un m khi vµ chØ khi a – b chia hÕt cho m. *Cã thĨ “céng ” c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a ≡ b (mod m), c ≡ d ( mod m ) th× a ± c ≡ b ± d (mod m) *Cã thĨ nh©n tõng vÕ c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a ≡ b (mod m) , c ≡ d ( mod m) th× ac ≡ bd (mod m) 4. Nguyªn t¾c ®irichlª: Néi dung nguyªn t¾c nµy ®ỵc ph¸t biĨu díi d¹ng bµi to¸n sau: NÕu nhèt n thá vµo m lång (víi n > m) nghÜa lµ sè thá nhiỊu h¬n sè lång th× Ýt nhÊt còng cã mét lång nhèt kh«ng Ýt h¬n 2 con thá. 5.Ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p: Muốn chứng minh một khẳng đònh A n đúng với mọi n = 1,2,3,… ta chứng minh như sau: • Khẳng đònh A 1 đúng. • Giả sử khẳng đònh A k đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khảng đònh A k + 1 đúng. Kết luận : Khẳng đònh A n đúng với mọi n = 1,2,3 … 6. Chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 6 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” Muốn chứng minh khẳng đònh P đúng bằng phương pháp phản chứng, ta làm như sau: • Bước 1: Giả sử ngược lại P sai. • Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lý. • Bước 3: điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng đònh P đúng. B. Các dạng toán Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người học tham khảo, lựa chọn một số bài để cho học sinh làm từ dễ đến khó. Một bài có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho học sinh tính linh hoạt trong quá trình giải toán. 1. D¹ng1: T×m c¸c ch÷ sè cha biÕt cđa mét sè Bµi to¸n 1: T×m c¸c ch÷ sè a vµ b sao cho ab19 chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 8. §Ĩ t×m ®ỵc a vµ b häc ph¶i thÊy ®ỵc 2 dÊu hiƯu c¬ b¶n ®ã lµ sè ®ã chia hÕt cho 5 vµ cho 8. V× ab19 chia hÕt cho 5 nªn ch÷ sè tËn cïng b = 0 hc b = 5. V× ab19 chia hÕt cho 8 nªn suy ra b = 0. MỈt kh¸c 019a chia hÕt cho 8 suy ra 019a chia hÕt cho 4. 019a chia hÕt cho 4 ↔ 0a chia hÕt cho 4 suy ra a ∈{ 0, 2, 4, 6, 8}. Ta cã 019a chia hÕt cho 8 ↔ 09a chia hÕt cho 8 nªn a = 2 hc a = 6. NÕu a = 2 th× b = 0 NÕu a = 6 th× b = 0 KL: VËy sè ph¶i lµ 1920, 1960. Bµi to¸n 2: Ch÷ sè a lµ bao nhiªu ®Ĩ 96aaaaa võa chia hÕt cho 3 võa chia hÕt cho 8. V× 96aaaaa 8 ↔ 96a 8 ↔ 100a + 96 8 suy ra 100a 8 vËy a lµ sè ch½n → a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1). Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 7 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” V× 96aaaaa 3 ↔ (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 ↔ 5a + 15 3 Mµ 15 3 → 5a 3 Mµ (5, 3) = 1 Suy ra a 3 vËy a ∈{ 3, 6 ,9} (2). Tõ (1) vµ (2 ) suy ra a = 6 KL: VËy sè ph¶i t×m lµ 6666696. Bµi to¸n 3 : T×m ch÷ sè a ®Ĩ 11aaa 11. HD: Tỉng c¸c ch÷ sè hµng lỴ lµ 2 + a . Tỉng c¸c ch÷ sè hµng ch½n lµ 2a. *NÕu 2a ≥ a + 2 → a ≥ 2 th× 2a – (a + 2) = a -2 ≤ 9 – 2 = 7 Mµ (a - 2) 11 nªn a - 2 = 0 ↔ a = 2 *NÕu 2a ≤ a + 2 ↔ a <2 th× (a + 2) - 2a = 2 - a lµ 2 hc 1 kh«ng chia hÕt cho11. Kết luận : VËy a = 2 Bµi to¸n 4 T×m c¸c ch÷ sè a, b ®Ĩ sè ab1234 chia hÕt cho 8 vµ cho 9. *C¸ch 1: NÕu ab1234 chia hÕt cho 8 th× dÊu hiƯu chia hÕt cho 8 ta cã ab4 8 hay ab4 = 400 + 10a + b = 8p (p ∈ Z) (*) MỈt kh¸c nÕu ab1234 9 th× (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9 Hay (1 + a + b) 9 → 1 + a + b = 9q (q∈ Z) ( **) V× a vµ b lµ c¸c ch÷ sè nªn a + b ≤ 18 Tõ (**) suy ra 9q ≤ 28 (q>1) VËy q = 2 hc q = 3 Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p – 9q , hay p = 49 + a + q + 8 2 −+ qa V× p nguyªn nªn 8 2 −+ qa nguyªn hay a + q – 2 8 +NÕu q = 2 th× a = 0 hc a = 8 Tõ (**) ta cã b = 9q – a – 10 do ®ã b = 8 hc b = 0 + NÕu q = 3 th× a = 7 suy ra b = 10 ( v« lÝ v× b ≤ 9) KL: VËy cã sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408. Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 8 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” *C¸ch 2 ab1234 = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab V× ab1234 chia hÕt cho 8 vµ cho 9 nªn ab1234 chia hÕt cho 72 VËy 64 + ab chia hÕt cho 72 . V× 64 < 64 + ab ≤ 163 nªn 64 + ab b»ng 72 hc 144. + NÕu 64 + ab = 72 th× ab = 08 + NÕu 64 + ab = 144 th× ab = 80 KL: VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408. Bµi to¸n 5: T×m c¸c sè a,b sao cho: 1) a – b = 4 vµ 157 ba chia hÕt cho 3 2) a – b = 6 vµ 74a + 51b chia hÕt cho 9 Giải: 1) a – b = 4 vµ 157 ba chia hÕt cho 3 Ta cã: 157 ba chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hÕt cho 3 hay ( a +b + 13) chia hÕt cho 3 suy ra ( a +b ) chia 3 d 2 (1) Ta cã a – b = 4 nªn 4 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 5 Suy ra 4≤ a+b ≤ 14 (2) MỈt kh¸c a – b lµ sè ch½n nªn a + b lµ sè ch½n (3) Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra a + b ∈ {8;14} Víi a + b = 8; a – b = 4 ta ®ỵc a = 6; b = 2. Víi a + b = 14; a - b = 4 ta ®ỵc a = 9; b = 5. KL: VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5 2) 74a + 51b chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi ( 4 + a + 7 + 1 + b + 5 ) chia hÕt cho 9 hay ( a + b + 8 ) chia hÕt cho 9 (a + b) chia cho 9 d 1 Do a + b ≥ a – b = 6 nªn a + b = 10 tõ ®ã t×m ®ỵc a = 8; b = 2. Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 9 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS” Bµi tËp t ¬ng tù : Bµi 1: T×m c¸c sè x, y sao cho xy1994 72 HD: xy1994 72 = 72. 2769 + 32 + xy 72 ↔ 32 + xy 72 V× 32 ≤ 32 + xy ≤ 32 + 99 = 131 nªn 32 + xy = 72 ↔ xy = 40 VËy x = 4 , y = 0. Bµi 2 : T×m ch÷ sè x ®Ĩ 1994x chia hÕt cho 3 nhng kh«ng chia hÕt cho 9. HD: V× 1994x chia hÕt cho 3 ↔ (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hÕt cho 3 Hay (x + 25) chia hÕt cho 3 V× 1≤ x ≤ 9 nªn 24 ≤ 23 + x ≤ 32 Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 23 ®Õn 32 cã 24, 30, chia hÕt cho 3mµ kh«ng chia hÕt cho 9. Bµi 3 : Ph¶i viÕt Ýt nhÊt mÊy sè 1994 liªn tiÕp nhau ®Ĩ ®ỵc mét sè chia hÕt cho 3. HD: Tỉng c¸c ch÷ sè cđa 1994 lµ 23 khi chia cho 3 th× d 2 NÕu viÕt k lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau th× tỉng c¸c ch÷ sè cđa sè nhËn ®ỵc cã cïng sè d víi 2k khi chia cho3.§Ĩ sè nhËn ®ỵc chia hÕt cho 3 th× 2k ph¶i chia hÕt cho 3, nªn sè nhá nhÊt lµ 3, tøc lµ Ýt nhÊt ph¶i viÕt 3 lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau. Bµi 4 : T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cđa tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh¸c kh«ng, bÕt r»ng tÝch nµy chia hÕt cho 125. TÝch nµy nhá nhÊt b»ng bao nhiªu? HD: TÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8 th× tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp còng chia hÕt cho 125 nªn 3 ch÷ sè tËn cïng lµ 000. Trong tÝch cđa 4 sè tù nhiªn tiÕp kh«ng thĨ cã 2 sè chia hÕt cho 5 nªn ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 125 TÝch nhá nhÊt lµ: 125.126.127.128 Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 10 [...]...Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết trong chương trình Toán THCS” D¹ng 2: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biĨu thøc sè Bµi to¸n 1:Chøng minh r»ng: 2139 + 3921 chia hÕt cho 45 *C¸ch 1: Ta cã 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1) V× 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ …+ 1) chia hÕt cho 5 Vµ 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ …+1) chia hÕt cho 5 Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hÕt cho 5 MỈt kh¸c 2139- 3921... 2 + 25 + … + 257) chia hÕt cho 15 KL: VËy A chia hÕt cho 3,7 vµ 15 Bµi tËp t¬ng tù: Bµi1 Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991 Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 12 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết trong chương trình Toán THCS” Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 13 vµ 41 Bµi 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + …+ 11 + 1 Chøng minh r»ng C chia hÕt cho 5 Bµi 3 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi... (mod 3) nghÜa lµ n3 – n chia hÕt cho 3 KL: VËy n3 – n chia hÕt cho 6 víi n nguyªn Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng 2n + 11 1 chia hÕt cho 3 nchuso *chó ý: Sè n vµ sè cã tỉng c¸c ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d trong phÐp chia cho 9, do ®ã 11 1 - n chia hÕt cho 9 nchuso Ta cã: 2n + 11 1 = 3n + ( 11 1 - n) chia hÕt cho 3 nchuso nchuso Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng A = 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27 *C¸ch 1:... 10 chia hÕt cho 5 MỈt kh¸c 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321 = 321 739 318+ 1321 321 = 321 (739 318+ 1321) = (33)7 (739 318+ 1321) chia hÕt cho 9 *C¸ch 3 Ta cã: 21 ≡ 1 (mod 20) 39 ≡ -1 (mod 20) VËy 2139 + 3921 ≡ 139+ (-1)21 ≡ 0 (mod 20) Nh vËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 20; do ®ã 2139 + 3921 chia hÕt cho 5 (*) T¬ng tù ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 9 KL: VËy 2139 + 3921 chia. .. = 9( 11 1 - n) + 27n nchuso Mµ 27n chia hÕt cho 27 nªn ( 11 1 - n) chia hÕt cho 9 suy ra 9( 11 1 - n) nchuso nchuso VËy 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27 C¸ch 2: (Ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc) + NÕu n = 1 th× A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hÕt cho 27 VËy mƯnh ®Ị ®óng víi n = 1 Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 14 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết trong chương trình Toán THCS” + gi¶... HD: Thùc hiƯn phÐp chia a) x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a Mn chia hÕt th× ®a thøc d ph¶i ®ång nhÊt b»ng 0, do ®ã a=1, b=a b) §Ỉt phÐp chia : TÝnh ®ỵc a=1, b=8 Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 23 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết trong chương trình Toán THCS” PHẦN THỨ III : KẾT LUẬN, KẾT QUẢ, KIẾN NGHỊ §Ĩ lµm tèt ®ỵc bµi tËp d¹ng “To¸n chia hÕt”nµy häc... h¹ng ®Ịu chia hÕt cho 133 nªn 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133 C¸ch 2: (Dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p) Víi n =1 th× tỉng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 11 + 112) =22.133 chia hÕt cho 133 VËy mƯnh ®Ị ®óng víi n=1 Gi¶ sư mƯnh ®Ị ®óng víi n=k Tøc lµ 122k+1+11k+2 chia hÕt 133 Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 16 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết trong chương trình Toán THCS” Ta cÇn chøng... (x+1) +C¸ch 2: Dïng ph¬ng ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh §a thøc bÞ chia cã bËc ba, ®a thøc chia cã bËc nhÊt nªn th¬ng lµ mét ®a thøc bËc 2 cã h¹ng cao nhÊt : a2x3 : x =a2x2, sè h¹ng thÊp nhÊt lµ -2a : 1 = -2a Gäi th¬ng cđa phÐp chia lµ: a2x2 + bx - 2a, ta cã Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 22 Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết trong chương trình Toán THCS” f(x) = (x+1) (a2x2 +bx -2a)... 3921 = (2139- 339) + (3921 - 321) + (339 + 321) Mµ 2139- 339= 18 (2138+ …+338) chia hÕt cho 9 2139- 339 = 36 (3920+…+320) chia hÕt cho 9 Vµ 339+ 321= 321 (318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hÕt cho 9 Mµ ( 5,9) = 1 nªn 2139 + 3921 45 *C¸ch 2: v× 45 = 5.32 nªn ®Ĩ chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 45 th× ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 5.32 Ta cã: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39 2038 + …+ 39.20 + 1=... 19941993 ) chia hÕt cho 2 Bµi 4: Chøng mØnh»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133 + §©ylµ d¹ng to¸n chia hÕt mµ sè mò chøa ch÷ nªn khi lµm cÇn ®Þnh híng cho häc sinh c¸ch lµm sau: C¸ch 1: V× n ë nªn ta cã thĨ ph©n tÝch vµ ®a vỊ d¹ng béi cđa 133 Ta cã: 122n+1+11n+2 = (122)n 12 + 11n 112 =144n 12 + 11n 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121 nn = 12 133 M + 133 11n Mçi sè h¹ng ®Ịu chia . ®ã chia hÕt cho 3. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 9: Mét sè chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi tỉng c¸c ch÷ sè ®ã chia hÕt cho 9. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 6: Mét sè chia. sè) chia hÕt cho 8. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 10: Mét sè chia hÕt cho10 th× cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0 vµ ®¶o l¹i. * DÊu hiƯu chia hÕt cho 11: Mét sè chia