(SKKN 2022) ứng dụng tính chất hình học, giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa số phức có điểm biểu diễn là đường tròn

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong nội dung chuyên đề ôn thi THPT quốc gia năm trước thi tốt nghiệp THPT năm gần đây, chuyên đề số phức chuyên đề quan trọng, đại đa số học sinh thích phần dễ điểm học sinh Với hình thức thi trắc nghiệm, mức độ khó câu hỏi liên quan đến số phức ngày khó lên, kiến thức sách giáo khoa giới hạn mức độ giới thiệu, tập chủ yếu tính tốn, chủ yếu mức độ 2, kiến thức chưa sâu Vì khó khăn cho học sinh gặp tập số phức mức độ cao hơn, đặc biệt học sinh trường THPT Hậu Lộc I ,với vùng tuyển sinh nhà trường vùng nông, điều kiện kinh tế, văn hóa xã hội cịn hạn chế so với nhiều địa phương khác, điểm đầu vào tuyển sinh 10 dao động 22 điểm đến 23 điểm (văn – toán nhân hệ số 2) Chính vậy, q trình giảng dạy, thường lồng ghép tập mức độ nâng cao dần độ khó để giới thiệu, bổ sung thêm kiến thức nâng cao cho học sinh Tuy nhiên, thời gian có hạn, kiến thức học sinh hạn chế nên việc lựa chọn nâng cao thêm nội dung kiến thức cho phù hợp quan trọng Từ toán số phức, sử dụng điểm biểu diễn số phức để chuyển yêu cầu giải toán số phức giải tốn hình học sử dụng nhiều Các tập có điểm biểu diễn số phức đường tròn chiếm nhiều đề thi tốt nghiệp THPT, phù hợp với lực đại đa số học sinh, đặc biệt với học sinh trường THPT Hậu Lộc I Trong đó, sử dụng tính chất hình học để giải tốn tìm Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức số phức lựa chọn phù hợp nhất, dễ hiểu nhất, thay tốt cho phương pháp sử dụng đạo hàm hay bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, đặc biệt học sinh làm đề thi trắc nghiệm Giúp học sinh tích lũy điểm 7,5 điểm đến 8,5 điểm kỳ thi Với lý cấp thiết trên, giới hạn đề tài, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Ứng dụng tính chất hình học, giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa số phức có điểm biểu diễn đường trịn” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề nhằm hồn thiện kinh nghiệm giảng dạy thân, làm tư liệu để đồng nghiệp tham khảo hết để học sinh có tài liệu nhằm mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt đề thi tốt nghiệm THPT xét đại học Từ đây, hình thành cho học sinh tư liên môn, thấy mối quan hệ liên môn môn học mà lâu học sinh không để ý tới, từ giúp học sinh có kỹ tốt để giải tốt toán môn khác, thực tiễn đời sống sau 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với tính cấp thiết đề tài, giới hạn đề tài, đối tượng nghiên cứu đề tài kỹ năng, kỹ thuật sử dụng tích chất hình học để giải số dạng tốn tìm Giá trị nhỏ nhất, Giá trị lớn biểu thức chứa số phức Vì giới hạn đề tài, đề tài chủ yếu tập trung vào số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức số phức có điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để xây dựng đề tài, sử dụng phương pháp sau: + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: GV cung cấp cho học sinh kiến thức hình học cần thiết cho dạng tập, điểm lưu ý, nhấn mạnh ưu điểm, sai lầm hay mắc phải học sinh + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Các kỹ năng, kỹ thuật sử dụng tính chất hình học giải số toán số phức triển khai thực với nhiều đối tượng học sinh (Giỏi, khá, trung bình, yếu - kém), nhiều hình thức giảng dạy (Trực tiếp, trực tuyến, từ xa) Tiếp nhận phản hồi từ học sinh, từ điều chỉnh, hồn thiện phương pháp giảng dạy phù hợp + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Để đánh giá hiệu đề tài, phương pháp thống kê, xử lý số liệu thân sử dụng hiệu nhằm so sánh kết triển khai đề tài lớp, năm lớp có triển khai đề tài lớp không triển khai đề tài Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cở sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận đề tài kiến thức số phức trình bày sách giáo khoa Giải tích 12 (Chương trình nâng cao - Bộ Giáo dục Đào tạo); kiến thức hình học đường thẳng, đường trịn mà học sinh học quen thuộc chương trình phổ thơng Trong giới hạn đề tài, đề tài đề cập đến kiến thức nhất, cốt lõi để triển khai đề tài Cụ thể: a Điểm biểu diễn số phức: + Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy ) , số phức z = a + bi với a,b ∈ ¡ có điểm biểu diễn M ( a;b ) ngược lại + Các số thực có điểm biểu diễn thuộc trục hoành Ox nên trục Ox gọi trục thực + Các số ảo có điểm biểu diễn thuộc trục tung Oy nên trục Oy gọi trục ảo b Ý nghĩa hình học số phức + Cho số phức z = a + bi ( a,b∈ ¡ ) có điểm biểu diễn M ( a;b ) Khi đó: uuuu r OM = ( a;b ) - Véc tơ gọi véc tơ biểu diễn số phức z u u u u r z = a + b = OM = OM Nhận xét: Vì z = OM nên thay tìm GTNN, GTLN z , ta tìm GTNN,GTLN đoạn thẳng OM + Cho số phức z1 = a1 + b1i ( a1 ,b1 ∈ ¡ ) có điểm biểu diễn M ( a1 ;b1 ) Số phức z2 = a2 + b2i ( a2 ,b2 ∈ ¡ ) có điểm biểu diễn N( a2 ;b2 ) Khi đó: uuuu r uuur uuuu r uuur z + z = OM + ON - Số phức z1 + z2 có véc tơ biểu diễn OM + ON uuuu r uuur uuuur z − z OM − ON = NM - Số phức có véc tơ biểu diễn uuuur z1 − z2 = NM = MN Nhận xét: z1 − z2 = MN nên thay tìm GTNN, GTLN z1 − z2 ta tìm GTNN, GTLN đoạn thẳng MN c Một số tính chất hình học C + Cho đường trịn ( ) có tâm I , có bán kính R Với điểm A cố định, điểm M thay đổi ( C ) Khi đó: AM = AB = AI − R - max AM = AC = AI + R C C + Cho đường trịn ( ) có tâm I1 , có bán kính R1 ; đường trịn ( ) có tâm I , C ,C có bán kính R2 hai điểm M ,N thay đổi ( ) ( ) Khi đó: - MN = BC = I1 I − R1 − R2 - max MN = AD = I1I + R1 + R2 + Cho đường thẳng ∆ điểm A cố định, điểm M thay đổi ∆ Khi AM = AH = d ( A, ∆ ) , H hình chiếu A lên ∆ C + Cho đường tròn ( ) có tâm I , có bán kính R đường thẳng ∆ Hai điểm M ,N thay đổi ( C ) ,∆ Khi đó: d ∆ ,( C ) ) ≤ R C - ∆ ( ) có điểm chung ⇔ ( - MN = HK = IK − R = d(I, ∆ ) − R 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng đề tài Với lượng kiến thức ỏi số phức trình bày sách giáo khoa, khó để học sinh giải toán số phức mức độ Đặc biệt tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức số phức Trước sử dụng hình học, để giải toán này, học sinh thường gọi số phức liên quan z = x + yi với x, y ∈ ¡ Từ điều kiện đề bài, học sinh chuyển biểu thức chứa số phức z thành biểu thức chứa biến x, y biến x Sau sử dụng Bất đẳng thức, phép biến đổi hợp lý, lượng giác sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn Điều khó khăn nhiều cho học sinh kiến thức bất đẳng thức vơ khó, có biểu thức phức tạp dẫn đến hàm số có cơng thức phức tạp, dùng đạo hàm,và lập bảng biến thiên vừa khó, vừa dài không đủ thời gian cho câu trắc nghiệm Ví dụ minh họa sau: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z ? Thực trạng: Với nội dung ví dụ trên, chưa giới thiệu, tiếp cận với sử dụng tính chất hình hình học sinh giải tập sau: Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) 3  ⇔ z − − 2i = ⇔  x − ÷ + ( y − ) = 25 z − − 4i = 10 2  Theo giả thiết: (1) 2 Khi z = x + y (2) Đến đây, học sinh loay hoay vào việc sử dụng điều kiện (1) để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn z biểu thức (2) Quả thật khó khăn bế tắc Tuy nhiên, học sinh giới thiệu, tiếp cận sử dụng tính chất hình học việc giải tốn lại vơ đơn giản Ví dụ khơng cịn ví dụ khó mà ví dụ bình thường, mức độ Ví dụ ví dụ đơn giản nói lên tiện lợi, hiệu việc áp dụng tính chất hình học vào giải số tập số phức 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Ta nhận thấy tốn Ứng dụng hình học để giải toán số phức đa dạng; khuôn khổ hạn chế đề tài, tơi giới hạn ví dụ có điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn z − − 4i = 10 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn Gọi M m giá z trị lớn giá trị nhỏ Khi M − m A B 15 C.10 D 20 Nhận xét Như trình bày phần thực trạng, ta giải ví dụ sử dụng lượng giác, cách giải hay Tuy nhiên, với áp lực thời gian đề thi trắc nghiệm mức độ khó lượng giác sử dụng hình học giải pháp tốt Sau lời giải Lời giải z = x + yi ⇒ z có điểm biểu diễn A ( x; y ) Đặt Theo giả thiết ta có: ⇔ z − − 2i = z − − 4i = 10 2 3  ⇔  x − ÷ + ( y − ) = 25 2  3  I  ;2÷ (C) tâm   , bán Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề đường trịn kính R = 2 Ta có: z = x + y = OA Từ hình biểu diễn trên, theo bất đẳng thức ta IA − OI ≤ OA ≤ OI + IA + A∈( C ) + A∈( C ) m giác, ta nhận thấy rằng: , OA đạt GTLN A ≡ A1 ⇒ M = max z = IA1 = IO + R , OA đạt GTNN M ≡ A2 ⇒ m = max z = IA2 = OI − R Khi đó: M − m = R = 10 Vậy chọn đáp án C Nhận xét: Một lần ta khẳng định rằng: Nếu học sinh không tiếp cận việc sử dụng tính chất hình học để làm ví dụ mà thực trình bày phần thực trạng khó khăn Nhưng tiếp cận, áp dụng tính chất hình học học sinh dễ dàng nhận thấy trường hợp z = OM đạt GTLN, GTNN hình vẽ Nếu cần thiết ta tính GTLN, GTNN z = OM theo OI ,R biết tọa độ gốc O điểm I Sau số ví dụ ví dụ mà tơi áp dụng để triển khai đến học sinh Ví dụ 2: Cho số phức z1 = −2 + i , z2 = + i số phức z thay đổi thỏa mãn 2 z − z1 + z − z2 = 16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M − m A.15 B C.11 D Nhận xét: Với ví dụ này,ngồi sử dụng hình học, học sinh giải dược tốn Sau đây, tơi xin trình bày cách để bạn so sánh Lời giải Cách Sử dụng tính chất hình học z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Giả sử có điểm biểu diễn A ( x; y ) 2 2 2 z − z1 + z − z2 = 16 ⇔ x + yi + − i + x + yi − − i = 16 Ta có: ⇔ x + ( y − 1) = I 0;1 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm ( ) bán kính R=2 2 Ta có: z = x + y = OA m = z = OA = OM = Do M = max z = max OA = OM = Vậy M − m = Chọn đáp án D Cách Sử dụng phương pháp đại số Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , Ta có: 2 z − z1 + z − z2 = 16 ⇔ x + yi + − i + x + yi − − i = 16 ⇔ x + ( y − 1) = ⇔ x = − ( y − 1) 2 2 (1) Từ (1) ⇒ ( y − 1) ≤ ⇔ −1 ≤ y ≤ (2) z = x + y = − ( y − 1) + y = + y Ta có 1≤ + 2y ≤ Từ (2), với −1 ≤ y ≤ ta có1 ≤ + y ≤ ⇒ m = z =  1≤ z ≤ 3⇒  M = max z = ⇒ M − m = Hay Cách sử dụng phương pháp lượng giác Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Ta có: ) 2 z − z1 + z − z2 = 16 ⇔ x + yi + − i + x + yi − − i = 16 2  x   y −1  ⇔  ÷ + ÷ =1 ⇔ x + ( y − 1) = 2   (3) x  = sin α  x = sin α ⇔   y = + cos α  y − = cos α Từ (3), đặt  z = x + y = sin α + ( + cos α ) = + cos α Ta có: m = z =  ≤ z ≤  M = max z = ⇔ ≤ + cos α ≤ ⇒ Vì −1 ≤ cos α ≤ hay ⇒ M − m2 = Nhận xét: Khi tơi triển khai lớp dạy, có số học sinh làm sử dụng bất đẳng thức lượng giác, số học sinh tìm z = + y không giới hạn điều kiện biến y −1 ≤ y ≤   − ; +∞ ÷   nên khơng giải tốn dẫn đến tìm GTLN, GTNN  1≤ + 2y ≤ Khi giải thích trình bày giới hạn biến y ∈ [ −1;3] phải khoảng thời gian định để tất học sinh hiểu Tuy nhiên, sử dụng tính chất hình học, cần nhìn trực quan hình vẽ có nhiều học sinh nhận thấy đoạn OA đạt GTLN, GTNN vị trí điểm A , giải thích nhanh tất học sinh xác định GTNN, GTLN cần tìm Qua ví dụ đơn giản trên, học sinh giải toán cách cách dễ dàng thực Tuy nhiên, cách cách nhiều học sinh lựa chọn trực quan, dễ hiểu Từ ta thấy hiệu phương pháp sử dụng tính chất hình học Trong khuôn khổ giới hạn đề tài, ví dụ sau tơi trình bày lời giải cách ứng dụng tính chất hình học mà khơng trình bày lời giải phương pháp đại số, chắn rằng, lựa chọn phương pháp đại số khó khăn để giải tốn, khó trình bày, khó dạy để học sinh hiểu từ lĩnh hội kiến thức cho z − 2i ≤ z − 4i z − − 3i = Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức P = z −2 là: A 13 + B 10 + C 13 D 10 (THPT Hậu Lộc I - lần - năm 2019 - 2020) Nhận xét Ta nhận thấy rằng, với việc đặt z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) Từ z − 2i ≤ z − 4i ⇔ y ≤ ⇒ M thuộc nửa mặt phẳng y ≤ (1) Từ z − 3− 3i = 1⇔ ( x − 3) + ( y − 3) = (C) ⇒ M thuộc đường trịn (C) 2 (2) Ta có với ( ) Khi tìm vị trí điểm M thuộc giao (1) (2) cho MN đạt giá trị lớn Công việc đơn giản nhiều so với việc tìm giá trị lớn phương pháp đại số, cụ thể dùng lượng giác Lời giải z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) có điểm biểu diễn M ( x; y ) Đặt P = z − = MN N 2; z − 2i ≤ z − 4i ⇔ x + ( y − ) ≤ x + ( y − ) ⇔ y ≤ Ta có: z − − 3i = ⇔ ( x − 3) + ( y − 3) i = x − 3) ⇔( (1) + ( y − 3) = (2) I 3;3 Từ (1) (2) ⇒ điểm M nằm nửa đường tròn tâm ( ) , bán kính nằm đường thẳng y ≤ (như hình vẽ) Biểu thức A ( 2;0 ) P = z − = AM A điểm biểu diễn số phức z1 = Theo hình vẽ giá trị lớn max P = AM = ( − 2) + ( − ) = 13 P = z −2 đạt M ( 4;3) nên Chọn đáp án C z −1 − i = Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn , số phức w thỏa mãn w − − 3i = z−w Tìm giá trị nhỏ A 13 − B 17 − C 17 + D 13 + Nhận xét: Học sinh quen thuộc với quỹ tích điểm biểu diễn đường tròn, đọc đề bài, học sinh nhận thấy quỹ tích điểm M ,N z,w z − w = MN nằm đường tròn = I1I − R1 − R2 , I1,I ,R1,R2 tâm bán kính đường trịn quỹ tích Khi đó, học sinh 30 giây, sử dụng máy tính cầm tay tìm kết Lời giải * Đặt z = x + iy ( x; y ∈ ¡ ) ⇒ z có điểm biểu diễn M ( x; y ) Từ z − − i = ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = 2 ⇒ M thuộc đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( 1;1) , bán kính R1 = * Đặt w = x' + y' i ( x', y' ∈ ¡ ) ⇒ w có điểm biểu diễn N ( x'; y' ) w − − 3i = ⇔ ( x' − ) + ( y' + 3) = Từ ⇒ N thuộc đường trịn ( C2 ) có tâm I ( 2; −3) , bán kính R2 = * Khi z − w = MN Ta có uuur I1 I = ( 1; −4 ) ⇒ I1 I = 17 > R1 + R2 ⇒ ( C1 ) C ( ) ⇒ MN = M 1M = I1I − R1 − R2 = 17 − 10 z +1- 2i = iz2 +1- i = Ví dụ 5: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn Gọi M , m P = z1 + z2 - i giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A 24 B 21 C 19 Tính M m D 22 Đề trường THPT Triệu Sơn 5, năm học 2021 – 2022 Lời giải Ta có: + Từ z1 +1- 2i = Û z1 + - 6i = I - 3; 6) Gọi M điểm biểu diễn số phức 3z1 Þ M thuộc đường trịn có tâm ( bán R = kính + Từ iz2 +1- i = Û z2 + 1- i =1 Û z2 - 1- i = Û - ( z2 - i ) +1 = i I - 1;0) Gọi N điểm biểu diễn số phức - z2 + i Þ N thuộc đường trịn có tâm ( bán kính R2 = Ta có: P = 3z1 + z2 - i = MN Có I1 I = 10 > R1 + R2 nên Pmin = I1 I - R1 - R2 = 10 - Pmax = I1I + R1 + R2 = 10 + Vậy M m = 24 Ví dụ Xét hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1 = 1, z2 = 2, z1 − z2 = Tính giá trị nhỏ biểu thức ( A + 10 B − 10 2z + z − 5+ 5i ) ? C 10 + D 10 − Đề trường THPT Triệu Sơn 3, năm học 2020 – 2021 Lời giải Gọi M,N,P,Q, H điểm biểu diễn số phức z1; z2; 2z1; 2z1 + z2; 5+ 5i z = OM = 1, z2 = ON = ⇒ z1 − z2 = MN = 2 ˆ = OM + ON − MN = ⇒ MON ˆ = 450 cosMON OMN có: 2OM ON Xét tam giác 11 0 ˆ Vì tứ giác OPQN hình bình hành nên OPQ = 180 − 45 = 135 PQ = nên: OQ = QP + OP − 2OP.PQ.cos 1350 = 10 ⇒ OQ = 10 nên Q thuộc đường trịn (C) tâm O bán kính R = 10 Mà 2z1 + z2 − ( 5+ 5i ) nhỏ ⇔ HQ nhỏ ⇔ HQ = OH − OQ = − 10 Ví dụ 7: Gọi M m giá trị lớn nhỏ với z số phức khác thỏa mãn M =5 A m z ≥2 P= z+i z , M Tính tỷ số m M = C m M M =3 = B m D m (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu, Đồng Tháp, Lần năm 2017 – 2018) Nhận xét: Ở ví dụ này, học sinh khó có nhận biết sử dụng hình học để giải vấn đề, hầu hết học sinh không làm bỏ qua Tuy u − v ≤ u+v ≤ u + v nhiên, sử dụng bất đẳng thức ta làm nhanh chóng giải tốn Tơi xin giới thiệu thêm tiếp cận khác để sử dụng tính chất hình học để giải toán Lời giải z+i ⇒ ( T − 1) z = i z Gọi + Nếu T = ⇒ Khơng có số phức thoả mãn yêu cầu toán T= + Nếu T ≠1⇒ z = i i ⇔ z = ≥ ⇒ T −1 ≤ T −1 T −1 I 1;0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T hình trịn tâm ( ) có bán kính R= Khi M = max P = max T = OI + R = m = P = T = OA = OI − R = ⇒ M =3 m Chọn đáp án B 12 Ví dụ 8: Cho số phức z = x + yi với x, y ∈ ¡ z − − 3i ≤ thỏa mãn z −1− i ≥ Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu M thức P = x + y Tính tỉ số m B A C 14 D Nhận xét: Mở rộng thêm ví dụ quỹ tích điểm biểu diễn số phức miền hình phẳng có bờ đường trịn Tuy nhiên, xác định quỹ tích điểm biểu diễn khơng khó khăn với học sinh, khó ví dụ tìm max, min, hay ví dụ, việc áp dụng linh hoạt tính chất hình học Sau lời giải Lời giải Gọi A ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z C ta có A điểm nằm bên ngồi hình trịn ( ) có tâm I ( 1;1) bán kính R1 = , tính đường trịn ( C1 ) Từ giả thiết z −1− i ≥ C ta có A điểm nằm bên hình trịn ( ) có J 3;3 tâm ( ) bán kính R2 = , tính đường trịn ( C2 ) Khi điểm A thuộc phần tơ đậm hình vẽ Mặt khác z − − 3i ≤ Ta lại có: P = x + y ⇔ x + y − P = ( ∆ ) Do để tồn x, y ( ∆ ) phần tơ đậm phải có điểm chung, tức Suy m = 4; M = 14 ⇒ d ( J ; ∆) ≤ ⇔ 9− P ≤ ⇔ − P ≤ ⇔ ≤ P ≤ 14 M = m z − − 2i = Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức P = z − − i + z − − 2i A.1 + 10 bằng: B C 17 D (TT Diệu Hiền, Cần Thơ, tháng 11, năm 2019 - 2020) 13 Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z có điểm biểu diễn M ( x; y ) z − − 2i = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = Do ( C) nên tập hợp điểm M đường trịn có tâm I ( 2; ) , có bán kính R = Các điểm Khi đó, A ( 1;1) , B ( 5; ) điểm biểu diễn số phức + i + 2i P = z − − i + z − − 2i = MA + MB C Nhận thấy, điểm A nằm đường tròn ( ) cịn điểm B nằm ngồi đường C trịn ( ) , mà MA + MB ≥ AB = 17 Đẳng thức xảy M giao điểm đoạn AB với ( C ) Vậy P = 17 ( z − 6) ( z − zi ) Ví dụ 10: Giả sử z1, z2 hai số phức thỏa mãn số thực Biết z1 − z2 = Giá trị z1 + 3z2 A 5− 21 B 20− 21 C 20− 22 D 5− 22 Đề giới thiệu trường THPT Cẩm Thủy 2,năm học 2021 – 2022 Lời giải Giải sử z = x + yi, x,y∈ ¡ Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1, z2 ⇒ AB = z1 − z2 = Ta có ( z − 6) ( 8+ zi ) = ( x − 6) + yi  ( 8− y) − xi  = ( 8x + 6y− 48) − ( x2 + y2 − 6x − 8y) i Theo giả thiết ( z − 6) ( 8+ zi ) số thực nên ta suy (x + y2 − 6x − 8y) = Tức điểm A, B thuộc đường tròn (C ) tâm I(3; 4) , bán kính R = 14 uuur uuur r uuu r uuu r uuuu r MA + MB = ⇔ OA + OB = OM M AB Xét điểm thuộc đoạn thỏa mãn Gọi H trung điểm AB Ta tính HI = R2 − HB2 = 21; IM = IH + HM = 22 Suy điểm M thuộc đường trịn (C') tâm I(3; 4) , bán kính r = 22 Ta có uuu r uuu r uuuu r z1 + 3z2 = OA + 3OB = 4OM = 4OM z1 + 3z2 Do nhỏ OM nhỏ OM ) = OM0 = OI − r = 5− 22 Ta có ( z1 + 3z2 = 4OM0 = 20− 22 Vậy Ví dụ 11: Biết số phức z T = z + − z −i thỏa mãn đạt giá trị lớn Tính A z = 33 B z = 50 z z − − 4i = biểu thức C z = 10 Lời giải D z = Đặt z = x + yi ( x; y ∈ ¡ ) ⇒ z có điểm biểu diễn M ( x; y ) z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = ( C ) Theo giả thiết: ⇒ M thuộc đường trịn ( C ) có tâm I ( 3; ) , bán kính R = ∆ Ta có: T = z + − z − i ⇔ x + y + − T = ( ) C ∆ Để tồn x, y ( ) ( ) phải có điểm chung d ( I / ∆ ) ≤ R 23 + T ⇔ ≤ ⇔ 13 ≤ T ≤ 33 Vì T đạt giá trị lớn nên T = 33 suy x + y − 30 = ⇔ y = 15 − x thay vào ( C ) ta x − 50 x + 125 = ⇔ x = ⇒ y = Vậy z = 15  z − − 2i ≤  w + + 2i ≤ w − − i Ví dụ 12: Cho hai số phức z , w thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ P = z−w Pmin biểu thức A Pmin = Pmin = −2 B Pmin = + C Pmin = −2 D −2 Lời giải Đặt z = a + bi ( a;b ∈ ¡ ) ⇒ z có điểm biểu diễn M ( a;b ) w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ w có điểm biểu diễn N ( x; y ) I 3; Từ ⇒ tập hợp điểm M hình trịn tâm ( ) , bán kính R = (tính đường tròn) z − − 2i ≤ ⇔ ( a − 3) + ( b − ) ≤ 2 w + + 2i ≤ w − − i ⇔ ( x + 1) + ( y + ) ≤ ( x − ) + ( y − 1) ⇔ x + y ≤ Từ 2 ⇒ tập hợp điểm N nửa mặt phẳng giới hạn đường thẳng ∆ : x + y = (phần tơ đậm tính bờ đường thẳng) (hình vẽ) Ta có d ( I, ∆) = Khi Gọi H hình chiếu I ∆ z − w = MN ≥ AH = d ( I , ∆ ) − R = 5 −1 Pmin = −1 2 Suy z2 − − 4i = z − − 4i = z z Ví dụ 13: Biết hai số phức , thỏa mãn Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a − 2b = 12 Giá trị nhỏ P = z − z1 + z − z2 + bằng: A C Pmin = 9945 11 Pmin = 9945 13 B Pmin = − D Pmin = + Hướng dẫn giải 16 Chọn C Gọi M điểm biểu diễn z1 , từ z1 − − 4i = ⇒ Quỹ tích điểm M C I 3; đường tròn ( ) tâm ( ) , bán kính R = 1 z2 − − 4i = ⇔ z2 − ( + 8i ) = M z Gọi điểm biểu diễn , từ ⇒ quỹ tích C I 6;8 điểm M đường ( ) tròn tâm ( ) , bán kính R = Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z , từ 3a − 2b = 12 ⇒ Quỹ tích điểm M đường thẳng d : 3x − y − 12 = P = z − z + z − z + = MM + MM + 2 Khi Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ MM + MM +  138 64  I3  ; ÷ C3 ) ( 13 13  , R = đường tròn đối xứng với ( C2 ) qua d Khi  Gọi có tâm M ∈ C MM + MM + = MM + MM + với ( ) ( C1 ) ( C3 ) I1I A B Gọi điểm , giao điểm đoạn thẳng M ∈ ( C1 ) , M ∈ ( C3 ) với , Khi với , M ∈ d ta có MM + MM + ≥ AB + , dấu "=" xảy 9945 = I1 I = M ≡ A , M ≡ B P = AB + = I I − + 3 13 Do Trải qua 13 ví dụ trên, ta nhận thấy rằng, việc ứng dụng hình học giải tốn chứa số phức đa dạng, giải tập từ đơn giản đến phức tạp Đặc biệt tập có điểm biểu diễn số phức z1,z2 , tập thấy rõ ưu việt, tiện lợi, hiệu sử dụng tính chất hình học Do giới hạn đề tài thực tiễn kiến thức học sinh trường THPT Hậu Lộc I, tơi xin phép trình bày 13 ví dụ mà tơi triển khai đến đối tượng học sinh trường Sau xin giới thiệu thêm số ví dụ để bạn đọc khảo giải nhằm khắc sâu ý tưởng, tư tưởng việc Ứng dụng hình học vào giải tốn max, chứa số phức Các ví dụ giới thiệu 17 z = 1; z2 = Ví dụ 14 Xét hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 − z2 = Giá trị lớn 3z1 + z2 − 5i A − 19 B + 19 A z = − 2i D + 19 Đề tham khảo năm 2021 - Bộ Giáo dục Đào tạo z −1− i = z biểu thức đạt giá trị nhỏ B z = + 6i C z = + 6i z = − 2i D z = + 5i Ví dụ 15 Tìm số phức T = z − − 9i + z − 8i C −5 + 19 z = a + bi ( a, b ∈ ¡ Ví dụ 16 Xét số phức P = a + b z + − 3i + z − + i A P = thỏa mãn ) thỏa mãn z − − 3i = đạt giá trị lớn B P = 10 C P = D Tính P=6 Đề tham khảo năm 2018 - Bộ giáo dục Đào tạo z2 − − 4i = z − − 4i = z z Ví dụ 17 Biết hai số phức , thỏa mãn Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a − 2b = 12 Giá trị nhỏ A P = z − z1 + z − z2 + Pmin = 9945 11 bằng: B Pmin = − C Pmin = 9945 13 D Pmin = + z+z ≤2 z−z ≤2 Ví dụ 18: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ A + 10 T = z − 2i B + 10 Tổng M + n C D Ví dụ 19 Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn z − = 34 z + + mi = z + m + 2i z1 − z2 , (trong m ∈ ¡ ) Gọi z1 , z2 hai số phức thuộc S cho lớn nhất, giá trị A B 10 Ví dụ 20 Cho hai số phức lớn biểu thức A z1 + z2 z+w z C D 130 z − w = w thỏa mãn z + 2w = − 6i Giá trị B 26 C 66 D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua ví dụ trên, ta nhận thấy việc xác định quỹ tích điểm biểu diễn số phức khơng khó với học sinh, phù hợp với đại đa số học sinh khối 12 trường THPT Hậu Lộc I 18 Việc xác định GTLN, GTNN biểu thức số phức sử dụng tính chất hình học dễ dàng, dễ dạy, đôi lúc học sinh nhận thấy ngay, thích hợp q trình làm đề thi trắc nghiệm Khi trình bày triển khai phương pháp sử dụng tính chất hình học, học sinh hào hứng Trong q trình giải tốn số phức, Phương pháp sử dụng tính chất hình học ln học sinh ưu tiên suy nghĩ trước tiên, không áp dụng phương pháp suy nghĩ đến phương pháp, kỹ khác Kỹ sử dụng tính chất hình học giải tốn số phức triển khai từ lâu, từ năm đề thi đại học, đề thi tốt nghiệp dạng tự luận Đặc biệt năm gần đây, câu hỏi số phức đề thi trắc nghiệm ngày có nhiều câu, nhiều dạng tập mức độ ngày cao việc trang bị cho em phương pháp, kỹ áp dụng tính chất hình học vào giải toán số phức trở thành chuyên đề bắt buộc triển khai tất lớp dạy Do vậy, việc so sánh kết học tập lớp với lớp khác có khơng có triển khai kỹ ứng dụng tính chất hình học Mong muốn thân tất học sinh tất lớp, khóa học dạy, em lĩnh hội kiến thức tốt nhất, đạt kết cao kỳ thi Vì vậy, kết tiến học sinh áp dụng kỹ ứng dụng tính chất hình học vào giải số tốn số phức, bên cạnh chuyên đề kiến thức khác, thể chân thực kết kỳ thi THPT quốc gia lớp dạy, đặc biệt năm gần đây, cụ thể: ĐTB ĐTB ĐTB ĐTB Lớp Năm học Ghi lớp trường tỉnh QG 12A2 2018 - 2019 7,77 5,8 5,64 12A6 2018 – 2019 7,56 5,8 5,64 12A2 2019 - 2020 7,96 6,61 6,68 12A10 2020 - 2021 7,14 7,42 6,26 6,61 Lớp điểm Toán thi vào 10 thấp trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài trình bày kiến thức kỹ “Ứng dụng tính chất hình học, giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa số phức có điểm biểu diễn đường trịn” thơng qua 13 ví dụ minh họa, vận dụng Một số ví dụ có lời nhận xét lời bình, qua ta nhận thấy đơn giản, tính hiệu triển khai đề tài đến học sinh 19 Nội dung đề tài tài liệu tốt cho đồng nghiệp tham khảo, học sinh học tập, phù hợp với đại đa số học sinh có kiến thức từ mức độ trung bình trở lên Đặc biệt với lớp trực tiếp giảng dạy trường THPT Hậu Lộc I Theo Chương trình đổi giáo dục năm 2018 bắt đầu thực từ lớp 10 năm học 2022 – 2023, chuyên đề Số phức giảm tải chuyên đề tự chọn, số phức kiến thức quan trọng Đặc biệt năm học tới (năm học 2022 – 2023, 2023 - 2024), chưa thi tốt nghiệp THPT theo chương trình sách giáo khoa việc Áp dụng hình học vào giải tốn tìm max, biểu thức chứa số phức lựa chọn tốt cho học sinh, giúp học sinh hoàn thành tốt thi tốt nghiệp, tạo bước khởi đầu thuận lợi cho tạo lập sống sau Thời gian áp dụng dài thời gian trình bày đề tài ngắn nên khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong vui mừng xin góp ý Ban giáo khảo, đồng nghiệp bạn đọc Trân trọng cảm ơn! 3.2 Kiến nghị: Mỗi đề tài sáng kiến kinh nghiệm tâm huyết, trí tuệ thực nghiệm qua nhiều hệ học sinh giáo viên Vì mong triển khai rộng rãi để đồng nghiệp tham khảo, nghiên cứu, học sinh học tập Qua năm học, mong Sở giáo dục Đào tạo tập hợp Đề tài sáng kiến kinh nghiệm đạt giải, gửi file word cho nhà trường tự in Sở xuất thành sách, nhà trường mua về, để thư viện làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Thanh Hóa, Ngày 25 tháng 05 năm 2022 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPY Phạm Thế Quyết 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Huy Đoan (Năm 2008), Giải tích 12 – Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục - Bộ GD&ĐT Nguyễn Bảo Vương (Năm 2017), 235 BTTN số phức Nâng cao, Tài liệu ôn tập giảng dạy học sinh - giỏi Các Đề thi khảo sát lớp 12 số trường THPT, THPT chuyên toàn quốc, đề tham khảo Bộ GD&ĐT từ năm 2017 đến 2022 Các tài liệu, đề thi thử Nhóm tốn, Diễn đàn tốn học như: CLB-CM Tốn THPT – Thanh Hóa, Tailieutoan.vn, Diễn đàn tốn học maths, Nhóm facebook Strong team toan VD-VDC,… 21 ... chất hình học để giải số dạng tốn tìm Giá trị nhỏ nhất, Giá trị lớn biểu thức chứa số phức Vì giới hạn đề tài, đề tài chủ yếu tập trung vào số tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức số phức có điểm biểu diễn. .. điểm Toán thi vào 10 thấp trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài trình bày kiến thức kỹ ? ?Ứng dụng tính chất hình học, giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa số phức. .. Đặc biệt toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức số phức Trước sử dụng hình học, để giải toán này, học sinh thường gọi số phức liên quan z = x + yi với x, y ∈ ¡ Từ điều kiện đề bài, học