Chuyên đề bất phương trình một ẩn - THCS.TOANMATH.com

Nhận xét rằng, số 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình đầu.. Vậy, hai bất phương trình đã cho không tương đương.[r]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A BÀI GIẢNG

1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Ví dụ Ta gọi hệ thức:

 2x  3 x bất phương trình với ẩn số x  3y 2 y bất phương trình với ẩn số y …

Từ ta có định nghĩa bất phương trình ẩn: Một bất phương trình với ẩn x có dạng:

( ) ( )

A x B x A x( )B x A x( ), ( )B x A x( ), ( )B x( )

Trong vế trái A(x) vế phải B(x) hai biểu thức biến x TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Tập hợp tất nghiệm bất phương trình gọi tập nghiệm bất phương trình

Khi tốn u cầu giải bất phương trình, ta phải tìm tập nghiệm bất phương trình Ví dụ 2: Ta có:

a Tập nghiệm bất phương trình x2 tập hợp số lớn 2, tức tập x x2, biểu diễn trục số sau:

b Tập nghiệm bất phương trình x3 tập hợp số lớn 3, tức tập x x3, biểu diễn trục số sau:

c Tập nghiệm bất phương trình x 2 tập hợp số nhỏ - 2, tức tập x x 2, biểu diễn trục số sau:

d Tập nghiệm bất phương trình x1 tập hợp số nhỏ 1, tức tập x x1, biểu diễn trục số sau:

Kiểm tra xem giá trị x 2;x1;x3 có phải nghiệm bất phương trình hay khơng? Giải

a.Thay x 2 vào bất phương trình, ta được:

2

( 2)         4( 2) 3( 2) 12 6, mâu thuẫn Vậy x 2 khơng phải nghiệm bất phương trình

b Thay x1 vào bất phương trình, ta được:

2

1 4.1 3.1      1 3 3, Vậy x1 nghiệm bất phương trình

c Thay x3 vào bất phương trình, ta được:

2

3 4.3 3.3  9 12 9   3 9, ln Vậy x3 nghiệm bất phương trình

3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Hai bất phương trình có tập nghiệm hai bất phương trình tương đương B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Dạng tốn 1: TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1: Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? (Chỉ nêu bất phương trình)

a b

c d

Giải

a.Ta có: b Ta có:

6

x x2

c Ta có: d Ta có:

5

x x 1

Ví dụ Cho bất phương trình x24x2x8

Kiểm tra xem giá trị sau x có phải nghiệm bất phương trình hay không?

a x b x 3 c x 4

Giải a.Thay x0 vào bất phương trình, ta được:

0 8, mâu thuẫn

b Thay x3 vào bất phương trình, ta được:

2

3 4.3 2.3 8   9 12 8     3 2, Vậy, x3 nghiệm bất phương trình

c Thay x4 vào bất phương trình, ta được:

2

4 4.4 2.4 8  16 16 8    0 0, Vậy, x4 nghiệm bất phương trình

Chú ý: Ta có 0 bất đẳng thức đúng, bởi: a b a b a b Ví dụ Kiểm tra xem giá trị x3 nghiệm bất phương trình bất phương trình sau:

a x  b 4 x2x5 c 5 x 3x12

Giải a Thay x3 vào bất phương trình, ta có:

2.3 9   9 9, (mâu thuẫn)

Vậy, x3 nghiệm bất phương trình b Thay x3 vào bất phương trình, ta được:

( 4).3 2.3 5    12 11 (mâu thuẫn) Vậy, x3 nghiệm bất phương trình c Thay x3 vào bất phương trình, ta được:

5 3.3 12     2 3, (luôn đúng) Vậy, x3 nghiệm bất phương trình

Ví dụ 4: Viết thành bất phương trình nghiệm từ mệnh đề sau: a Tổng số lớn

b Hiệu lần số nhỏ 11

Giải a Gọi số cần tìm x

Từ giả thiết “Tổng x lớn 9”, ta x 4 Ta chọn x6 nghiệm bất phương trình b Gọi số cần tìm x

Từ giả thiết “Hiệu lần số x nhỏ 11”, ta 3 x11 Ta chọn x0 nghiệm bất phương trình

Ví dụ Hãy lập bất phương trình cho tốn sau:

Quãng đường từ A đến B dài 50km Một ôtô từ A đến B, khởi hành lúc Hỏi ôtô phải với vận tốc km/h để đến B trước ngày?

Giải

Gọi x vận tốc trung bình ơtơ (x0, đơn vị: km/h)

Ơtơ từ đến trước tức ôtô từ A đến B chưa tới

Suy ra, ta có bất phương trình:

2x50 x 25

Vậy, ơtơ phải với vận tốc lớn 25km/h đến B trước Ví dụ Hãy hai nghiệm trái dấu cho bất phương trình sau:

a x  b x  1

Giải a Ta chọn hai nghiệm x 1 x6, thật vậy:

 Với x 1, ta có:

1 6

        , ln  Với x6, ta có:

6 3     6 6, b Ta chọn hai nghiệm x 9 x8, thật vậy:

 Với x 9, ta có:

9 8 8

        , ln  Với x8, ta có:

8 8   8  9 8, ln

Dạng tốn 2: HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Ví dụ Cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao?

2

a x  x x2 x 2 b x 1

x x

   x1 Giải

a Với bất phương trình:

2 2

x  x cộng vào hai vế bất phương trình, ta được: x2    2 2 x 2 x2  x 2

Vậy, hai bất phương trình cho tuong đương

b Nhận xét rằng, số nghiệm bất phương trình thứ hai khơng nghiệm bất phương trình đầu

Vậy, hai bất phương trình cho khơng tương đương

Ví dụ Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao?

a x  x 3x4x1

b x x24x 3 0

Giải a Với bất phương trình:

1

x  x cộng 2x1 vào hai vế bất phương trình, ta được:

1 2 x  x  x x  x x

b Nhận xét rằng, x0 nghiệm bất phương trình thứ hai khơng nghiệm bất phương trình đầu

Vậy, hai bất phương trình cho không tương đương PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Phiếu 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Dạng 1: Nhận dạng bất phương trình bậc ẩn

Bài 1: Hãy xét xem bất phương trình sau có bất phương trình bậc ẩn không? a) 0x 3 0

c) 2 0

3x

b) x 1 0

d)

2 2

1 0 5x  

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn x: a) 2m24x m 0

c) 2 2 0

3 4

x

m

m  m  

b) 3m1x3  x 6 0

d) 2 9 5 0

5 10

m x

m

 





Bài 3: Chứng minh bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m

a) m2 3x 1 0

b) m2 m 4x 2m3 Dạng 2: Giải bất phương trình Bài 4: Giải bất phương trình sau: a) 2x 8 0

c) 5 1 1

3x

 

b) 9 3 x0

d) 3 5 1 2

2 3

x x

x

    

Bài 5: Giải bất phương trình sau viết tập nghiệm kí hiệu tập hợp a) 2x3 2 x 1 2x52

b) x1x2  x123

Bài 6: Tìm giá trị nguyên x thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình sau:

17 3 7

2

5 4

x  x  

1 2 5 8 7

3 5 6

x x x

x      

Bài 7: Giải bất phương trình sau: a) x1x 1 0

b) 1 0

2 x x

 

Dạng 3: Các dạng toán khác

Bài 8: Giải bất phương trình ax 1 a2x (với a tham số) Bài 9: Giải bất phương trình sau:

a) 2 5 3 6

6 3 5 2

x  x  x  x

b) 2 1 2 1 2 3

1007 1008 2017 2015

x  x  x  x

Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn 13 nhỏ 29

LỜI GIẢI PHIẾU LUYỆN

Bài 1: Hãy xét xem bất phương trình sau có bất phương trình bậc ẩn khơng? Giải:

a) 0x 3 0

Khơng bất phương trình bậc ẩn hệ số a0 b) x 1 0

Có bất phương trình bậc ẩn

c) 2 0 3x

Có bất phương trình bậc ẩn

d)

2 2

1 0 5x  

Không bất phương trình bậc ẩn x2 ẩn bậc hai bậc Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn x:

Giải: Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc ẩn ta có: a) 2m2    4 0 m 2

b) 3 1 0 1

3

m   m

c) 3 4 0 1

4 m

m m

m  

    

 



d)

9

2 9 0

2

5 10 0 2

m m

m m

 

  

 

   

   

Giải:

a) m2 3x 1 0

Vì m2   3 0 m 

b) m2 m 4x 2m3

Vì  

2

2 4 1 15 0

2 4

m m m   m

          

 

 

  

Bài 4: Giải bất phương trình sau: Giải:

a) 2x  8 0 2x  8 x 4

b) 9 3 x  0 9 3x x 3

c) 5 1 1 5 1 1 4 1 12

3x 3x 3x x

        

d) 3 5 1 2 9 15 6 6 2 4 3 15 10 2 5

2 3 6 6

x x x x x

x x x x

                 

Bài 5: Giải bất phương trình sau viết tập nghiệm kí hiệu tập hợp Giải:

a) 2 3 2 1 2 52 4 3 20 25 7

6

x x  x  x   x  x

Vậy tập nghiệm bất phương trình 7

6 Sx x 

 

b) x1x2  x12       3 x 2 2x 4 x 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình Sx x2

Bài 6: Tìm giá trị nguyên x thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình sau:

Giải: 17 3 7 2

5 4

x  x  

(1)

1 2 5 8 7

3 5 6

x x x

x       (2)

Giải bất phương trình (1):

   

17 3 7

2 4 7 5 3 7 2.20 11 143 13

5 4

x x

x x x x

                

(3)

Giải bất phương trình (2):

     

1 2 5 8

7

3 5 6

30 10 1 6 2 5 5 8 7.30

13 80 210

x x x

x

x x x x

x

  

   

       

10 x

  (4)

Vì x nghiệm chung hai bất phương trình (1) (2), từ (3) (4) ta suy ra:

10 x 13

Mặt khác x nguyên nên x11,x12 Bài 7: Giải bất phương trình sau: Giải:

a) x1x 1 0 Trường hợp 1:

1 0 1

1 1

1 0 1

x x

x

x x

   

 

    

    

 

Trường hợp 2:

1 0 1

1 0 1

x x

x x

   

 



    

  (loại)

Vậy nghiệm bất phương trình   1 x 1

b) 1 0

2 x x

 



Trường hợp 1:

1 0 1

1

2 0 2

x x

x

x x

   

 

   

     

 

Trường hợp 2:

1 0 1

2

2 0 2

x x

x

x x

   

 

   

     

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình x 1hoặc x 2 Bài 8: Giải bất phương trình ax 1 a2x (với a tham số)

Giải: Bất phương trình tương đướng với a1x a 1hay a1 x a1a1 +) Nếu a 1 0 hay a1 , bất phương trình có nghiệm x a 1

+) Nếu a 1 0 hay a1 , bất phương trình có nghiệm x a 1

+) Nếu a 1 0 hay a1 , bất phương trình có dạng 0x0, bất phương trình nghiệm với giá trị x

Bài 9: Giải bất phương trình sau: Giải:

 

8 8 8 8 1 1 1

8 0

6 3 5 2 6 2

x x x x

x

             

 

 

Vì 1 1 1 0

6 2    nên x 8 0 hay x 8

b) 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 2 1 2 3

1007 1008 2017 2015 2014 2016 2017 2015

x  x  x  x  x  x  x  x

Cộng thêm -1 vào phân thức ta được:

 

2 2018 2 2018 2 2018 2 2018

2014 2016 2017 2015

1 1 1 1

2 2018 0

2014 2016 2017 2015

x x x x

x

      

 

      

 

Vì 1 1 1 1 0

2014 2016 2017 2015    nên 2x2018 0 hay x1009

Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn 13 nhỏ 29

Giải: Gọi số cần tìm là: ab10a b a b  , ,a0

Từ giả thiết ta có: ab10a b 10a a  2 11a2

Mặt khác: 13 29 13 11 2 29 15 31

11 11

ab a a

        

Suy a2,b0 Vậy số cần tìm 20

========== TỐN HỌC SƠ ĐỒ ==========