phuong phap tim cuc tri.doc

Đặt vấn đề Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái niệm cực trị không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa. Nhng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại. Xuất phát từ những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng dạy, từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình đại học toán và sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các Thầy, Cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài : Những bài toán cực trị trong ch- ơng trình Trung học cơ sở làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình. Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị, nêu lên một số phơng pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh. Nội dung đề tài gồm 3 phần: Phần I : Khái quát chung. Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số. Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học. 20 Phần I : Khái quát chung A/Mục đích yêu cầu: 1/ Đối với giáo viên: - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị. - Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán về cực trị. 2/ Đối với học sinh: - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị. - Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó. - Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị vào đời sống. B. Lý thuyết chung: Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xa trong lịch sử toán học. Nó bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn của con ngời, ngày nay các bài toán cực trị đợc nghiên cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật. Chúng góp phần hình thành nên các ngành của toán học nh quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển tối u. Trong bài viết này, tôi chỉ đề cập đến những bài toán cực trị giải không dùng phơng pháp đạo hàm. Xét hàm số n biến: F (x,y,z ) liên tục trên miền đóng D R n Nếu F(x,y,z ) A với mọi (x,y,z) D = const Đồng thời (x 0 ,y 0 ,z 0 ) sao cho F(x 0 ,y 0 ,z 0 ) = A, thì A gọi là giá trị lớn nhất của F (x 0 ,y 0 ,z 0 ) trên D. Ký hiệu max F (x 0 ,y 0 ,z 0 ) = A Tơng tự, nếu F (x 0 ,y 0 ,z 0 ) A (a = const) (x,y,z ) D Và (x 0 ,y 0 ,z 0 ) D sao cho F (x 0 ,y 0 ,z 0 ) = a Thì a là giá trị nhỏ nhất của F (x,y,z ) trên D Ký hiệu: min F (x,y,z ) = a Trong chơng trình Trung học cơ sở, thông thờng n = 3;1 . Nh vậy để giải một bài toán cực trị, thông thờng ta tiến hành theo 2 bớc: Bớc 1: Chỉ rõ F (x,y,z ) a (hoặc A) (Với A; a là hằng số) (x,y,z ) D Bớc 2: Chỉ ra đợc (x 0 ,y 0 ,z 0 ) D sao cho F (x 0 ,y 0 ,z 0 ) = a (hoặc = A) Phần II 20 một số bài toán cực trị trong đại số I/ Cực trị của hàm đa thức một biến: 1.1- Phơng pháp: Đa về dạng: f (x) = k g 2 (x) (k = const) Nếu f (x) = k + g 2 (x) thì min f (x) = k g (x) = 0 Nếu f (x) = k - g 2 (x) thì max f (x) = k g (x) = 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = (x+2) 2 + (x-1) 2 Giải: Ta có: (x+2) 2 0 dấu = x = - 2 (x-1) 2 0 dấu = x = 1 Nên A > 0 Nhng không thể kết luận đợc min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức. Do vậy ta phải giải nh sau: A = (x+2) 2 + (x-1) 2 = x 2 + 4x + 4 + x 2 - 2x + 1 = 2x 2 + 2x + 5 = 2 ( x 2 +x + 2 5 ) = 2 (x 2 + 2x 2 1 + 4 1 ) + 4 9 = 2 (x + 2 1 ) 2 + 2 9 Do đó min A = 2 9 khi x = - 2 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = - ( x-1) (x + 2 ) (x + 3) (x + 6) Giải: Ta có: B = - ( x 2 + 5x - 6) (x 2 + 5x + 6) Đặt: x 2 + 5x = t Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t 2 -36) B = 36 - t 2 36 x = 0 Vậy B = 36 khi x 2 + 5x = 0 x = -5 x= 0 Do đó: max B = 36 Khi x = -5 1.2- Một số nhận xét: - Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất ). - Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt y = x + 2 kho đó A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2 1.3- Một số bài tập tơng tự: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9 B = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1 C = (x+1) 2 + ( x+3) 2 20 D = x( x+1) ( x+2) ( x+3) E = x 6 - 2x 3 + x 2 - 2x + 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A= 4x - x 2 +1 B = 5- 8x- x 2 C = -5x 2 - 4x + 1 D = 1- x- x 2 II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P = 19x 2 + 54y 2 + 16z 2 - 16xz- 24yz + 36x + 5 Giải: P = (9x 2 +36xy+36y 2 )+(18y 2 - 24yz+8z 2 )+ (8x 2 -16xz+8z 2 )+2x 2 + 5 = 9 (x + 2y) 2 + 2 (3y- 2z) 2 + 8 (x- y) 2 + 2x 2 + 5 Ta thấy P 5 Với x = y = z = 0 thì P = 5 Do đó P = 5 khi x = y = z = 0 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = 15- 10x- 10x 2 + 24 xy- 16y 2 Giải: Q = - (x 2 + 10x + 25) - (9x 2 - 24xy + 16y 2 ) + 40 = 40- (x + 5) 2 - (3x- 4y) 2 40 x = -5 Vậy max Q = 40 y = - 4 15 Nhận xét: + Ta vận dụng kiến thức cho F = F 1 + F 2 thì maxF = maxF 1 + maxF 2 hay (min F = min F 1 + min F 2 ) Trong đó F 1 ,F 2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa cùng một biến thì cùng đạt max (min) tại một bộ giá trị xác định của biến (Với đa thức nhiều biến) + Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M M = a 2 - 4ab + 5b 2 + 10a- 22b + 28 Giải: Cách 1: M = a 2 - 4ab + 5b 2 + 10a- 22b + 28 = (a 2 - 4ab + 4b 2 ) + (b 2 - 2b + 1) + 27 + 10a-20b = (a- 2b) 2 + (b- 1) 2 + 27 + 10 (a- 2b) Đặt a- 2b = t ta đợc D = t 2 + (b- 1) 2 + 27 + 10t = (t + 5) 2 + (b- 1) 2 + 2 2 t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3 Dấu = xảy ra khi b- 1 = 0 b = 1 b = 1 Vậy min M = 2 b = 1; a = -3 Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính rồi thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phơng một tổng hoặc bình phơng một hiệu 20 (a 1 + a 2 + + a n ) 2 = a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 + 2a 1 a 2 + + 2a n-1 a n + 2a n a 1 M = a 2 - 4ab + 5b 2 + 10a- 22b + 28 = ( a 2 + 4b 2 + 25- 4ab + 10a- 20b) + (b 2 - 2b + 1) + 2 = (a- 2b + 5) 2 + (b-1) 2 + 2 Vì (a- 2b +5 ) 2 0 ; (b-1) 2 0 a,b R (b-1) 2 = 0 b = 1 M 2 min M = 2 (a- 2b + 5) 2 = 0 a = - 3 áp dụng phơng pháp này ta có thể làm cho ví dụ 3 và ví dụ 4. Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ax 2 + by 2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0) = a(x 2 + a c 2 2 x + 2 2 4a c ) + b(y 2 + b d 2 2 y + 2 2 4b d )- a c 4 2 - b d 4 2 + e = a(x + a c 2 ) 2 + b (y + b d 2 ) 2 + ab abeadbc 4 4 22 + Vì a,b > 0 ; (x + a c 2 ) 2 0; (y + b d 2 ) 2 0 x,y R A ab abeadbc 4 4 22 + Amin = ab abeadbc 4 4 22 + x + a c 2 = 0 x = a c 2 y + b d 2 = 0 y = b d 2 Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = (x- 2y + 1) 2 + (2x + ay + 5) 2 (a là hằng số) Giải: Ta có N 0 (x- 2y + 1) 2 = 0 Dấu đẳng thức xảy ra (Có nghiệm) (2x + ay + 5) 2 = 0 x- 2y + 1 Có nghiệm 2 a 1 2 a -4 2x + ay + 5 = 0 Nếu a = - 4 ta có M = (x- 2y + 1) 2 + (2x- 4y + 5) 2 2 = (x- 2y + 1) 2 + 2(x- 2y + 1) + 3 = (x- 2y + 1) 2 + 4 (x- 2y + 1) 2 + 12 (x- 2y + 1) + 9 20 = 5 (x- 2y + 1) 2 + 5 12 (x- 2y + 1) + 25 36 + 5 9 2 = 5 (x- 2y + 1) + 5 6 + 5 9 2 = 5 x- 2y + 5 11 + 5 9 5 9 Dấu đẳng thức xảy ra x- 2y + 5 11 = 0 M min = 0 x- 2y + 5 11 0 Bài tập t ơng tự: Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 1- 4x- 5x 2 B = xy- x 2 - y 2 + 4x+ 5 C = x 2 + y 2 - 6x- 2y + 17 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 5x 2 - 12xy + 9y 2 - 4x + 4 B = x 2 + xy + y 2 - 3x- 3y + 2003 C = 10x 2 + 12xy + 4y 2 + 6x + 7 D = 2x 2 + 9y 2 - 6xy- 6x- 12y + 2004 E = x 2 - 2xy + 6y 2 - 12x + 12y + 45 F = (x+2y) 2 + (x- 4) 2 + (y- 1) 2 - 27 G = x 4 - 8xy- x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 + 2001 H = (x-y) 2 + (x+1) 2 + (y- 5) 2 + 2006 I = x 2 + 2y 2 + 3z 2 - 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000 III/ Cực trị của phân thức đại số: 3.1- Một số kiến thức cần lu ý: Cho P = A m với A > 0 : - Nếu m = 0 P = 0 - Nếu m > 0 max P = Amin 1 ; min P = Amax 1 - Nếu m < 0 ta có max P = Amax 1 ; min P = Pmin 1 Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán cực trị của đa thức. 3.2- Các ví dụ: Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 544 3 2 + xx Giải: M = 544 3 2 + xx = 4)12( 3 2 +x 20 Ta thấy: (2x- 1) 2 0 nên (2x- 1) 2 + 4 4 Do đó 4)12( 3 2 +x 4 3 (Theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử mẫu đều dơng) Vậy maxM = 4 3 với x = 2 1 Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức 3 1 2 x Mẫu thức x 2 - 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0 Nhng với x= 0 thì: 3 1 2 x = 3 1 không phải là giá trị lớn nhất của phân thức (Chẳng hạn với x = 2 thì 3 1 2 x = 1 > 3 1 ) Từ a < b chỉ suy ra a 1 > b 1 khi a,b cùng dấu Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: N = 54 662 2 2 ++ ++ xx xx Giải: N = 54 662 2 2 ++ ++ xx xx = 54 1254 2 22 ++ +++++ xx xxxx (x + 1) 2 0 x = 1 + 1)2( )1( 2 2 ++ + x x 0 x vì (x+2) 2 + 1 > 0 x Dấu = xảy ra x = -1 vậy min N = 1 x = -1 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = 12 1 2 2 + + xx xx Giải: P = 12 1 2 2 + + xx xx = 2 2 )1( 1112 +++ x xxx = 1 + 1 1 x + 2 )1( 1 x Đặt 1 1 x = A ta có P = 1 +A + A 2 P = A 2 + A + 1 = A 2 + 2A 2 1 + 4 1 + 4 3 = (A + 2 1 ) 2 + 4 3 4 3 P = 4 3 khi A = - 2 1 hay x = -1 Vậy min P = 4 3 x = -1 3.3- Nhận xét: ở ví dụ 6: Phân thức có tử là hằng số, nên bài toán đa về tìm cực trị của đa 20 thức ở mẫu. Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng nhau. Trong ví dụ 8 là trờng hợp mẫu là bình phơng của nhị thức ta có thể đổi biến. 3.4- Một số bài tập tơng tự: Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2 956 2 xx B = 2 2 )1( 1 + ++ x xx C = 1 1 2 2 + + xx x Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: D = 544 3 2 + x E = 2 )1( +x x G = 2 12 2 + + x x IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: 4.1- Kiến thức cần thiết: a, f (x) = f (x) nếu f (x) 0 f (x) = - f (x) nếu f (x) 0 b, f (x) + g (x) f (x) + g (x) dấu = xảy ra f (x). g (x) 0 c, f (x) - g (x) f (x) - g (x) dấu = xảy ra f (x). g (x) 0 f (x) g (x) max f (x) = A d, Giả sử ta có min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Nếu f (x) 0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên đoạn (a 1 ,b 1 ) min f (x) = min f (x) = a trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Nếu max f (x) 0 còn min f (x) 0 trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Ta có: max f (x) = max (A; a ) min f (x) = 0 Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên đoạn (a 1 ,b 1 ) min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a 1 ,b 1 ) Chứng minh: a, Luôn đúng theo định nghĩa b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có - f (x) f (x) f (x) - g (x) g (x) g (x) Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có - (f (x) + g (x)) f (x) + g (x) f (x) + g (x) 20 f (x) + g (x) f (x) + g (x) Dấu đẳng thức xảy ra f (x) và g (x) cùng dấu f (x).g (x) 0 f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x) f (x) -g (x) + g (x) f (x) -g (x) f (x) - g (x) Dấu đẳng thức xảy ra f (x) . g (x) 0 d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế ( Xét các trờng hợp có thể xảy ra) Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8 Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x) f (x) + g (x) Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + + h(x) f (x) + g (x) + + h(x) Dấu đẳng thức xảy ra f (x), g (x), , h(x) cùng dấu. (Việc chứng minh đơn giản) Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x áp dụng bất đẳng thức trên ta có: A x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24 Dấu đẳng thức xảy ra x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu - 1 x 6 4.2- Các ví dụ: Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau: A = x-1996 + x- 2000 Giải: Cách 1: Chia khoảng để xét. Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x Do x < 1996 2x < 3993; -2x > -3992 A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4 A> 4 (1) Nếu 1996 x 2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2) Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996 x > 2000 2x > 4000 2x- 3996 > 4000- 3996 A > 4 (3) Từ (1), (2), (3) min A = 4 1996 x 2000 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức x + y x +y dấu = xảy ra khi xy 0 Ta có: A = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + 2000- x x- 1996- x +2000 = 4 Vậy A 4 (x- 19996) (2000- x) 0 Lập bảng xét dấu: x 1996 2000 20 x- 1996 - 0 + + 2000- x + + 0 - (x-1996) (2000- x) - 0 + 0 - (x- 1996) (2000- x) 0 1996 x 2000 Vậy min A = 4 1996 x 2000 Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = x- x 2 - 4 3 -2 Giải: Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất x- x 2 - 4 3 đạt giá trị nhỏ nhất Đặt f(x) = x- x 2 - 4 3 ta có f(x) < 0 x R/ f(x) = - (x 2 - x + 4 1 + 2 1 = - (x- 2 1 ) 2 - 2 1 - 2 1 Dấu = xảy ra x = 2 1 vậy max f(x) = 2 1 x = 2 1 Theo ý (d) vì max f(x) = - 2 1 x = 2 1 min f(x) = 2 1 khi x = 2 1 min B = 2 1 - 2 = - 2 3 khi x = 2 1 4.3- Bài tập ứng dụng: Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau: A = 2x- 3 B = 5- 3x + 2 C = 5 1- 4x - 1 D = x -1 + x- 4 E = 5- 2x -1 H = 32 1 + x I = x- 1 + x- 3 + x- 6 K = x- 1 + x + 2 + x + 3 + x + 15 + x- 16 L = x- a 1 + x- a 2 + + x- a 2m - 1 Trong đó a 1 , a 2 , , a 2m 1 cho trớc V/ Cực trị của hàm căn thức: 20 . dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát tri n t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ