cuc tri cua bieu thuc bac hai

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh *********** ********** Đề tài vài phơng pháp tìm cực trị của biểu thức bậc hai ở trờng Thcs Hà tĩnh, ngày 15 tháng 12 năm 2008 1 Mục lục Nội dung trang A Phần mở đầu 1 I - Đặt vấn đề 1 II Mục đích nghiên cứu 2 III - Đối tợng nghiên cứu 2 IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2 V - Phơng pháp nghiên cứu 3 B Phần nội dung 3 I Cơ sở thực tiển 3 II Nội dung 3 12 III Kết quả thu đợc 12 C Kết luận kiến nghị 13 A. phần mở đầu. I.đặt vấn đề: -trong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi tuyển vào lớp 10 thờng có những bài tập tìm cực trị của biểu thức bậc hai. đây là dạng toán t- ơng đối khó đối với học sinh, các em thờng e ngại khi tiếp xúc với dạng toán này, thậm chí kể cả giáo viên nhiều khi cũng dè dặt không muốn đi sâu thêm khi gặp dạng toán tìm cực trị. Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta biết phân loại từng dạng bài tập và định hớng cho các em cách giải thì các em sẽ chủ động hơn trong việc giải dạng toán này qua đó giúp học sinh rèn luyện kỹ thuật giải bài toán tìm cực trị của biểu thức và những ứng dụng của nó trong một vài trờng hợp. Bởi vậy, ngời thầy giáo cần phân loại và trang bị cho học sinh phơng pháp giải dạng toán này. Trong những năm thực tế giảng dạy HS tôi nhận thấy rằng cần thiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng toán cực trị và phơng pháp giải để truyền thụ kiến thức cho HS. Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi thử nghiệm với học sinh đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Vì vậy tôi đã mạnh dạn nghiên cứu nêu lên Vài phơng pháp tìm cực trị của biểu thức bậc hai ở trờng THCS. II.mục đích nghiên cứu Giúp HS nắm đợc một số phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức bậc hai một ẩn hoặc hai ẩn thờng gặp trong trờng THCS nhằm nâng cao kỹ thuật giải dạng toán trên, từ đó làm công cụ phục vụ tốt cho việc giảng dạy và bồi dỡng HS, gạt bỏ dần t tởng e ngại của HS khi gặp bài toán cực trị. 2 III. Đối tợng nghiên cứu 1. Đối tợng: Vài phơng pháp tìm cực trị của biểu thức biểu thức bậc hai ở trờng THCS 2. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu thực trạng giải bài toán cực trị của biểu thức bậc hai của học sinh THCS. IV. nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng cơ sở lý luận, phơng pháp giải một số dạng toán cực trị của biểu thức bậc hai ở trờng THCS. - áp dụng cho học sinh khá, giỏi, ôn thi vào THPT. V. phơng pháp nghiên cứu. - Quan sát s phạm - Điều tra giáo dục - Nghiên cứu tài liệu - Thực nghiệm s phạm - Trắc nghiệm, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp - Thống kê, tổng hợp. B. phần nội dung I. Cơ sở thực tiển. Tôi đã tiến hành điều tra s phạm về phản ứng của học sinh khi đợc hỏi về bài toán cức trị của biểu thức bậc hai ở lớp 9A và thu đợc kết quả nh sau: Lớp Kết quả nghiên cứu Không biết cách làm E ngại và không định hớng đ- ợc phơng pháp giải Định hớng và có phơng pháp giải 9A 30 % 50% 20% Nhìn vào bảng số liệu ta thấy hầu hết các em đều e ngại hoặc không biết cách giải bài toán cực trị của biểu thức bậc hai nói riêng và các dạng cực trị khác nói chung. II. nội dung Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức dạng: F(x) = ax 2 + bx + c. (a 0) Cách giải: - Ta đa về dạng: F(x) = a[(x 2 + a b x + a b 4 2 ) - 2 2 4a b + c a ] = a(x + a b 2 ) 2 + a acb 4 )4( 2 3 + Nếu a > 0 thì GTNN[F(x)] = a acb 4 )4( 2 x = - a b 2 + Nếu a < 0 thì GTLN[F(x)] = a acb 4 )4( 2 x = - a b 2 Dạng2: Tím cực trị của biểu thức dạng: F(x,y) = ax 2 +by 2 +cxy + dx + ey + h (a.b.c 0) (1) Cách giải: Cách1: Đa dần các biến vào trong hằng đẳng thức a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 nh sau: F(x,y) = mK[x,y] 2 + nG[y] 2 + r (2) hoặc F(x,y) = mK[x,y] 2 + nH[x] 2 + r (3) Trong đó: G[y] , H[x] là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K[x,y] = px + qy + k cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y. Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) nh sau với a 0 và 4ac b 2 0: 4a.F(x,y) = 4a 2 x 2 + 4abxy + 4acy 2 + 4adx + 4aey + 4ah = 4a 2 x 2 + b 2 y 2 + d 2 + 4abxy + 4adx + 2bdy + (4ac b 2 )y 2 + 2y(2ae bd) + 4ah d 2 = = (2ax + by + d) 2 + (4ac b 2 )(y + 2 4 2 bac bdae ) 2 + 4ah d 2 - ( 2 4 2 bac bdae ) 2 Vậy có (2) với m = a4 1 , F(x,y) = 2ax + by + d, n = - a acb 4 4 2 ; G(y) = y + 2 4 2 bac bdae ; r = h - a d 4 2 - )4(4 )2( 2 2 baca bdae + Nếu a > 0 và 4ac b 2 > 0 thì m > 0 và n > 0, từ (2) có F(x,y) r (*) + Nếu a < 0 và 4ac b 2 > 0 thì m < 0 và n < 0, từ (2) có F(x,y) r (**) + Nếu m > 0 , n > 0 thì ta tìm đợc GTNN + Nếu m < 0 , n < 0 thì ta tìm đợc GTLN Dể thấy rằng luôn tồn tại (x, y) để có dấu đẳng thức. Nh thế ta sẽ tìm đợc cực trị của đa thức đã cho. Trong cả hai trờng hợp trên: - Nếu r = 0 thì phơng trình F(x, y) = 0 có nghiệm. - Nếu F(x, y) r > 0( hoặc F(x, y) r < 0) thì không có (x, y) nào thỏa mản F(x, y) = 0. + Nếu a > 0, 4ac b 2 < 0 và r = 0 thì theo (2) F(x, y) phân tích đợc tích của hai nhân tử, giúp ta giải đợc các bài toán khác. Cách biến đổi này có đờng lối cụ thể, mục tiêu xác định, nên biến đổi nhanh, kết quả biến đổi là duy nhất, do đó phạm vi áp dụng rộng rải. Cách2: Đa các biến vào bình phơng của tổng dựa vào công thức: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Dạng3: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện: a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức: 4 Q= ax 2 +by 2 +cxy + dx + ey + f = 0 (1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: U= Ax + By + C (2) *c ách giải: - cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= - B A x- B C - B U Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0. - Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m 2 U 2 + nU + k + [f(x)] 2 = 0.(*) Do Q= 0 và [f(x)] 2 0 => m 2 U 2 + nU + k 0 U 1 U U 2 =>{MinU=U 1 ;maxU=U 2 } * Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p 2 (x-a) 2 + q 2 (y-b) 2 - r 2 =0 - Cách 1 : Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki - Cách 2 : Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx | 22 ba + (lợng giác) Dạng 4: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 0) Tìm cực trị của biểu thức: T = p 2 (x - m) 2 + q 2 (y - n) 2 - r 2 Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau: Cách 1: Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1. Cách2: Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski Bài tập áp dụng: Dạng1: Bài tập 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, A = x 2 x + 1 b, B = 2 3 x 2 + 3x + 4 5 c, C = (x + 1) 2 + (x - 3) 2 Lời giải: a, Ta có A = x 2 2x 2 1 + 4 1 + 4 3 = (x - 2 1 ) 2 + 4 3 4 3 ( Do (x - 2 1 ) 2 0) Do đó : GTNN(A) = 4 3 khi và chỉ khi x = 2 1 b,Ta có: B = 2 3 (x 2 + 2x + 1 - 6 1 ) = 2 3 (x + 1) 2 - 4 1 - 4 1 (Do 2 3 (x + 1) 2 0 ) 5 Vậy: GTNN(B) = - 4 1 khi và chỉ khi x = -1 c,Ta có: C = x 2 + 2x + 1 + x 2 6x + 9 = 2x 2 4x + 10 = 2(x - 1) 2 + 8 8 Đẳng thức xẩy ra x = 1. Vậy GTNN(D) = 8 x = 1 Bài tập2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a, A = -3x 2 + 6x +1 b, B = - x 2 x + 1 Lời giải: a, Ta có: A = -3(x - 1) 2 + 4 4 suy ra GTLN(A) = 4 x = 1 b, Ta có: B = - (x + 2 1 ) 2 + 4 5 4 5 suy ra GTLN(B) = 4 5 x = 2 1 Dạng2: Bài tập3: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, A = x 2 + 2y 2 2xy + 2x 2y +1 b, B = x 2 +2y 2 - 2xy + 2x - 10y c, C = x 2 + y 2 + xy 3x 3y + 2008 Lời giải: a, Ta có: A = (x 2 + y 2 2xy ) +2(x - y) + 1 + y 2 = (x y) 2 +2(x - y) + 1 + y 2 = (x y + 1) 2 + y 2 0 Do đó: GTNN(A) = 0 = = 0 1 y x b, Ta có B = (x 2 + y 2 + 1 - 2xy + 2x 2y) + (y 2 8y + 16 ) 17 (x y + 1) 2 + (y - 4) 2 17 - 17. Khi x = 3, y = 4 thì B = -17 Vậy GTNN(B) = - 17. Hoặc ta có thể phân tích theo cách khác nh sau: Ta có: B = (x 2 + y 2 2xy) + 2(x - y) + 1 + (y 2 8y + 16) 17 = (x y + 1) 2 + (y - 4) 2 17 - 17 Vậy GTNN(B) = - 17 khi và chỉ khi x = 3, y = 4 c, Ta có: 4C = 4x 2 + 4y 2 + 4xy 12x 12y + 8032 = (4x 2 + y 2 + 9 + 4xy 12x 6y) + (3y 2 6y + 3) + 8020 6 C = 4 1 (2x + y - 3) 2 + 4 3 (y - 1) 2 + 2005 2005 . Dấu đẳng thức xẩy ra x = y = 1.Vậy GTNN(C) = 2005 x = y = 1 (Hoặc C = 4 1 (2y + x - 3) 2 + 4 3 (x - 1) 2 + 2005 ) Nhận xét: Trong quá trình tìm cực trị của dạng toán trên HS thờng hay mắc sai lầm khi tìm điều kiện để dấu đẳng thức xẩy ra . Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức sau: S = 2x 2 + 3y 2 2xy 2x + 4y + 8. Một em HS làm nh sau: Ta có: S = (x 2 2xy +y 2 ) + (x 2 2x +1) + 2(y 2 + 2y +1) + 5 = (x - y) 2 + (x - 1) 2 + 2(y + 1) 2 + 5 5 Vậy GTNN(S) = 5. Ta thấy không thể xẩy ra dấu bằng trong trờng hợp này. Vì hệ: =+ = = 01 01 0 y x yx vô nghiệm. Lời giải đúng nh sau : Ta có: S = 2[x 2 2x 2 1 + y + 4 )1( 2 + y ] - 2 )1( 2 + y + 3y 2 + 4y + 8. = 2(x - 2 1 + y ) 2 + 2 1565 2 ++ yy = 2(x - 2 1 + y ) 2 + 2 5 (y 2 + 2y 5 3 + 3) = 2(x - 2 1 + y ) 2 + 2 5 (y 2 + 2y 5 3 + 25 9 + 3 - 25 9 ) = 2(x - 2 1 + y ) 2 + 2 5 (y 2 + 2y 5 3 + 25 9 ) + 5 33 = 2(x - 2 1 + y ) 2 + 2 5 (y + 5 3 ) 2 + 5 33 5 33 . Vậy GTNN(S) = 5 33 khi và chỉ khi: = = 5 4 5 3 x y Bài tập 4: Tìm GTLN của biểu thức sau: A = - 5x 2 2 xy 2y 2 + 14x + 10y 1 Lời giải: 7 Ta có: -5A = 25x 2 + 10xy + 10y 2 70x 50y + 5 = (25x 2 + y 2 + 49 + 10xy 70x 14y) + (9y 2 36y + 36) 80 A = - 5 1 (5x + y 7) 2 - 5 9 (y - 2) 2 + 16 16 .Vậy GTLN(A) = 16 khi và chỉ khi y = 2, x = 1. (Ta cũng có thể đa A về dạng A = - 2 1 (5y +x 7) 2 - 2 9 (x - 2) 2 + 16 16 ) Dạng3: Bài tập5: Cho x, y liên hệ với nhau bởi biểu thức: P: = x 2 + 2y 2 + 2xy + 2x + 2y 3 = 0 (1) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = x + y (2) Lời giải: Cách1: Từ (2) ta có : y = Q x thế vào (1) đợc: P = x 2 + 2(Q - x) 2 + 2x(Q - x) + 2 Q 3 = 0 x 2 2Qx + 2Q 2 + 2Q 3 = 0 (3) Cực trị của Q nếu có chính là điều kiện có nghiệm cccủa phơng trình (3) , 0 Q 2 - 2Q 2 - 2Q + 3 0 - Q 2 - 2Q + 3 0 -3 Q 1 Vậy GTNN(Q) = -3 y = 0 và x = -3 GTLN(Q) = 1 y = 0 và x = 1 Cách2: Ta có: P = (x 2 + y 2 + 2xy) + 2(x + y) +1 - 4 + y 2 = 0 P = (x + y) 2 + 2(x + y) +1 3 + y 2 = 0 P = (x + y + 1) 2 4 + y 2 = 0 (4) Do y 2 0 Do đó từ (4) suy ra: (x + y + 1) 2 4 0 1 ++ yx 2 -2 x + y + 1 2 -3 x + y 1. Vậy: Vậy GTNN(Q) = -3 y = 0 và x = -3 GTLN(Q) = 1 y = 0 và x = 1. Bài tập 6: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0 Tìm GTNN, GTLN của M = x - 2 y + 2 1 Lời giải: Ta có: 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0 4x 2 + y 2 + 1 4xy 2y + 4x + 2y 2 2009 = 0 8 (2x y +1) 2 + 2y 2 2009 = 0. Do 2y 2 0 suy ra: (2x y +1) 2 2009 0 12 + yx 2009 - 2009 2x y + 1 2009 2 2009 x 2 y + 2 1 2 2009 Vậy GTNN(M) = 2 2009 y = 0 và x = 2 2009 GTLN(M) = 2 2009 y = 0 và x = 2 2009 (Hoặc có thể giải theo cách1, rút x hoặc y từ M = x - 2 y + 2 1 rồi thế vào 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0) Nhận xét: Từ cách giải 2 của dạng 3 ở trên ta có thể giải đợc phơng trình nghiệm nguyên dạng: Q= ax 2 +by 2 +cxy + dx + ey + f = 0. Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: x 2 + 2y 2 + 2xy + 2x + 2y 3 = 0 Lời giải: Ta có: x 2 + 2y 2 + 2xy + 2x + 2y 3 = 0 (x 2 + y 2 + 2xy ) 2 + 2(x + y) + 1 + y 2 4 = 0 (x + y + 1) 2 + y 2 - 4 = 0 Do (x + y + 1) 2 0 y 2 - 4 0 -2 y 2 y { } 0;1;2 + Nếu y = 2 suy ra (x + y + 1) 2 = 0. Tìm đợc x = -3 và x = 1 + Nếu y = 1 suy ra (x + y + 1) 2 = 3 (không có nghiệm nguyên) + Nếu y = 0 suy ra (x + y + 1) 2 = 4. Tìm đợc x = -3 và x = 1. Vậy phơng trình đã cho có các nghiệm nguyên là: (-3; 2); (1; -2); (-3; 0); (1; 0) Bài tập 7:(dạng đặc biệt) Cho xvà y liên hệ với nhau bởi công thức Q=36x 2 + 16y 2 - 9 = 0 (3) Tìm GTLN,GTNN của U= y- 2x +5 b ài giải: Cách1: Ta có: (2) y=U+2x -5 thế vào (1) Ta có: 100x 2 +64(U-5) +16(U-5) 2 -9 =0 Xem (4) là phơng trình đối với ẩn x = 32 2 (U-5) 2 -100 [16(U-5) 2 -9] =900-576(U-5) 2 Phơng trình (4) có nghiệm 900-576(U-5) 2 0 | U-5 | 4 5 4 15 U 4 25 Dấu đẳng thức: U= 4 15 x= 5 2 và y= 20 9 U= 4 25 x=- 5 2 và y= 20 9 9 Do vậy GTLN(U)= 4 25 ,GTNN(U)= 4 15 . C ách2 :(Dùng bđt Bunhiacopski). Ta có: (U-5) 2 = (2x-y) 2 = ( 3 1 6x+ 4 1 4y) 2 ( 36x 2 + 16y 2 )( 9 1 + 16 1 ) = 16 25 | U-5 | 4 5 4 15 U 4 25 Dấu đẳng thức: U = 4 15 x= 5 2 và y = 20 9 U = 4 25 x=- 5 2 và y = 20 9 Do vậy GTLN(U)= 4 25 ,GTNN(U) = 4 15 . C ách3 : (Phơng pháp lợng giác): Ta có: Viết lại (1) (6x) 2 + (4y) 2 = 3 2 .Đặt 6x=3cost ;4y=3. Khi đó (3) trở thành : 9(cos 2 t+sin 2 t)=9 đúng , Rt . Và | U-5 | =|- cost + 4 3 sint | | U-5 | )sin)(cos 16 9 1( 22 tt ++ = 4 5 | U-5 | 4 5 4 15 U 4 25 . Dấu của đẳng thức xẩy ra khi : 1 cos t = 4 3 sin t - cost = 3 4 sint -2x = 9 16 y 9x + 8y = 0 Bởi Vậy:U = 4 25 =+ =+ 089 4 25 52 yx xy =+ = 098 584 xy xy = = 5 2 20 9 x y 10 [...]...U= 15 4 15 y 2x + 5 = 4 9 x + 8 y = 0 4 y 8x = 5 8 y + 9x = 0 Từ các kết quả trên suy ra:GTNN(U) = 15 4 2 x= 5 y= 9 20 ;GTLN(U) = 25 4 Bài tập 8:(dạng 4) Cho x, y là hai số thỏa mản: x + 2y = 3 Tìm GTNN của: E = x2 + 2y2 Lời giải: Cách1: Từ x + 2y = 3 suy ra x = 3 2y thế vào E = x2 + 2y2 ta có: E = (3 2y)2 + 2y2 = 6y2 - 12y + 9 = 6(y - 1)2 + 3 3 Vậy GTNN(E) = 3... với bảng thống kê trớc khi áp dụng đề tài ta nhận thấy các em đã chủ động và tự tin hơn khi tiếp cận và giải các bài toán cực trị 11 C kết luận kiến nghị Đề tài Phơng pháp tìm cực trị của biểu thức bậc hai ở trờng THCS theo tôi là một đề tài khó vì vậy thật dể hiểu khi HS e ngại khi tiếp xúc với dạng toán này, thâm chí đôi khi kể cả giáo viên cũng dè dặt không muốn đi sâu trong quá trình giảng dạy Nghiên... chân thành của các thầy cô giáo, của bạn đọc để tôi có thể hoàn chỉnh đề tài hơn trong những lần sau Xin chân thành cám ơn! t liệu tham khảo - Tạp chí toán học tuổi thơ, tuổi trẻ - Một số vấn đề phát tri n toán 8, 9 của Vũ Hữu Bình - 1001 bài toán sơ cấp của nhiều tác giả - Tổ chuyên môn của trờng và một số đồng nghiệp khác - Một số tài liệu tham khảo khác 12 . biểu thức bậc hai ở trờng THCS. II.mục đích nghiên cứu Giúp HS nắm đợc một số phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức bậc hai một ẩn hoặc hai ẩn thờng. 2 4 2 bac bdae ) 2 + 4ah d 2 - ( 2 4 2 bac bdae ) 2 Vậy có (2) với m = a4 1 , F(x,y) = 2ax + by + d, n = - a acb 4 4 2 ; G(y) = y + 2 4 2 bac bdae