Chuyên đề Bất đẳng thức, bất phương trình, cực trị đại số

Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó - Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn n[r]

Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Bất đẳng thức , bất phương trình ,cực trị đại số - Bất đẳng thức KiÕn thøc cÇn nhí a) §Þnh nghÜa : Cho hai sè a vµ b ta cã a > b  a – b > b) Một số bất đẳng thức : 01) Các bất đẳng thức luỹ thừa và thức : A2 n  0n  A víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y A = 2n A  ; A  0; n  A ; dÊu b»ng x¶y A = A  B  A  B Víi A  0; B  dÊu b»ng x¶y cã Ýt nhÊt hai sè b»ng kh«ng A  B  A  B víi A  B  o dÊu b»ng x¶y B = 02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối A  Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y A = A  B  A  B dÊu b»ng x¶y A vµ cïng dÊu A  B  A  B DÊu b»ng x¶y A vµ B cïng dÊu vµ A> B 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) : a  a   an - Cho c¸c sè a1 , a2 , , an   n a1a2 an  n ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng ©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña chóng ) DÊu b»ng x¶y a1  a2   an - Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu các dạng sau : ab  ab Víi a vµ b lµ c¸c sè kh«ng ©m 2 Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú a  b   4ab a  b   a b 2 Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú DÊu b»ng x¶y a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) : - Cho hai bé c¸c sè thùc: a1 , a2 , , an vµ b1 , b2 , , bn Khi đó : a1b1  a2b2   anbn     a12  a22   an2 b12  b22   bn2  DÊu b»ng x¶y : a a a - Hoặc    n với , bi khác và  thì bi tương ứng b1 b2 bn - HoÆc cã mét bé hai bé trªn gåm toµn sè kh«ng - Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số : ax  by   a  b2 x  y DÊu b»ng x¶y ay = bx    1  Víi x > ; x   2 Víi x < x x c) Các tính chất bất đẳng thức : 01) TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a > b vµ b > c th× a > c 02 ) TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng : Cộng hai vế bất đẳng thức với cùng số : Nếu a> b thì a +c > b+ c Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu a > b và c > d thì a+c > b +d 03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngược chiều : Nếu a > b và c < d thì a – c > b – d 04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân : 05) Bất đẳng thức x  Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n - Nhân vế bất đẳng thức với số NÕu a >b vµ c > th× ac > bc NÕu a > b vµ c < th× ac < bc - Nhân bất đẳng thức cùng chiều NÕu a > b >0 vµ c > d > th× ac > bd NÕu a < b < vµ c < d < th× ac > bd - Luỹ thừa hai vế bất đẳng thức : a  b  a n 1  b n 1 Víi mäi n  A 2n 2n ab0a b Víi mäi n  A 2n 2n ab0a b Víi mäi n  A n m 0<a<1 a a Víi n > m n m a>1 a a Víi n > m Mét sè ®iÓm cÇn l­u ý : - Khi thực các phép biến đổi chứng minh bất đẳng thức , không trừ hai bất đẳng thức cùng chiều nhân chúng chưa biết rõ dấu hai vế Chỉ phép nhân hai vế bất đẳng thức với cùng biểu thức ta biết rõ dấu biểu thức đó - Cho số hữu hạn các số thực thì đó ta chọn số lớn và số nhỏ Tính chất này dùng để thứ tự các ẩn việcchứng minh bất đẳng thức Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: 3.1 Sử dụng các tính chất bất đẳng thức x  x  11 2 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè thøc x th× : x2  x  Gi¶i : 1  Ta cã : x  x    x     Víi mäi x 2  x  x  11   x  x  11  x  x  1  x  x  11  x  x  Do vËy : x  x 1  x  x    x  3  §óng víi mäi x DÊu b»ng x¶y x = -3 a  b5  a 2b2 VÝ dô : Cho a, b  A vµ a+b  Chøng minh r»ng ab Gi¶i : a  b5  a b a  b  a  b5 a  b5  a 2b2   a 2b2   M  0 Ta cã : ab ab ab XÐt tö cña M : a  b5  a b  a b3  a  a b3  a b  b5   a a  b3  b a  b3   a  b3 a  b   a  b a  ab  b a  b a  b          a  b a  b   a  ab  b   b   a  b a  b   a  b   b           Vì a+b  nên M= a  b   a  b   b  > a, b không thể đồng thời    3.2 Phương pháp phản chứng: Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n a  b  c   VÝ dô 3: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ab  ac  bc  abc   Chứng minh ba số đó dương Gi¶i - Giả sử có số không dương: a  Tõ abc > ta cã: bc < (* ) Tõ a+b+c >0 ta cã: b + c > - a > Tõ ab +bc+ac >0 ta cã: bc + a(b + c) >  bc > - a (b + c) > Ta cã (*) vµ (**) m©u thuÉn  ®pcm 3.3 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức bản: (**) ( + x) (1 + y)  (1 + VÝ dô 4: Chøng minh r»ng: Víi x, y > Ta cã : xy )2 Gi¶i Cách : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : (1  x)(1  y )  12   C¸ch :  x   1   y    1  2 xy  Theo bất đẳng thức Cosi ta có: xy x y   1 x 1 y (1  x)(1  y ) 1  2 1 x 1 y (1  x)(1  y ) 2 xy  xy   (1  x)(1  y ) (1  x)(1  y ) DÊu b»ng x¶y x = y    (1  xy  (1  x)(1  y )  (1  x)(1  y )   xy VÝ dô : Cho a, b  A vµ 3a + = Chøng minh r»ng a  b  Gi¶i : Cách : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có : 52  3a  4b   32  42 a  b   a  b   a 3a  4b      DÊu b»ng x¶y :  a b   b   C¸ch : Tõ 3a +4b = ta cã a=  4b   4b  2 VËy a  b      b   25  40b  16b  9b    2  25b  40b  16   5b    §óng víi mäi x Lop10.com  Chuyên đề bất đẳng thức VÝ dô : Chøng minh r»ng víi mäi gãc nhän x ta cã : a ) sin x + cosx  b) tgx + cotgx  Gi¶i : a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có : sin x + cosx  sin x  cos x  2 DÊu b»ng x¶y sinx = cosx hay x = 450 b ) Vì tgx , cotgx >0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ; tgx + cotgx  tgx.cot gx  ( V× tgx cotgx = ) DÊu b»ng x¶y tgx = cotgx hay x= 450 VÝ dô : Cho a  Chøng minh r»ng : a  17  a Gi¶i : Ta cã : a  a 15a    a 16 a 16 áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dương a vµ ta cã : 16 a a a 1  2 2  16 a 16 a 16 Mµ : a   VËy a  15a 15 15   16 16 17  DÊu b»ng x¶y a = a VÝ dô : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x , y ta cã : x  y  xy  x  y  10 Gi¶i : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : x  y  xy  x  y  10  4 x  x  1 y  y   x  xy  y    2 x  1   y  3  x  y   2 Điều này đúng vì 2 x  1  0;  y  3  0; x  y   2 và không đồng thời xảy (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 3.4 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình : Ví dụ9 : Chứng minh phương trình: Lop10.com Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Chuyên đề bất đẳng thức 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2 Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Cã nghiÖm th× 4c2  3(a + b)2 – 8ab Gi¶i Ta cã : x  x  a   x  b   c  x  a  b  x  a  b  c  2 Để phương trình có nghiệm thì :    '   a  b   4(a  b  c )   4c  a  b  2ab  4c  a  b   8ab 3.5 Phương pháp làm trội: VÝ dô10 : Chøng minh víi n  N* th×: 1 1     n 1 n  2n Gi¶i Ta cã: 1   n  n  n 2n 1  n  2n + ………………… 1  2n  2n 1  2n 2n 1 1      n  n 1 n  2n 2 C¸c bµi tËp tù luyÖn : Bµi 1: Trong tam gi¸c vu«ng ABC cã c¹nh huyÒn b»ng , hai c¹nh gãc vu«ng lµ b vµ c Chøng minh r»ng : b3 + c3 < Bài : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a) x  15 x  12  Víi mäi x x2  x  b ) NÕu a + b < th× a  b3  ab a  b  c ) NÕu x3+y3 = -2 th× 2  x  y  d ) NÕu x3+y3 = 16 th× < x +y  Bài : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a ) NÕu a2 +b2 = 13 th× a2 +b2  2a +3b b) x  y  x  y   xy  1  Víi mäi x , y  A Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Bài 4: a) Cho hai số thực dương a và b Chứng minh : 1   a b ab b) Cho < x < vµ x  Chøng minh r»ng : x  1    x2 x 2  x  Bµi 5: a ) Cho a > b > Chøng minh r»ng 2007  2006 vµ b ) ¸p dông so s¸nh ab  ab a 2006  2005 Hướng dẫn giải : Bài : Theo định lý Pitago ta có = b2 + c2 và 1> b; > c VËy 1= b2 + c2 > b3 + c3 Bµi : a) Ta cã : V× x2 1  - x +1 =  x     víi mäi x 2  x  15 x  12   x  15 x  12  x  x  x  x 1 Nªn  x  12 x    2 x  3  ( §óng ) DÊu b»ng x¶y x = b ) Ta cã : a  b3  ab a  b   a  b a  ab  b   ab a  b   a  b a  2ab  b    a  b a  b   §óng v× a +b < vµ a+b2  c) Ta cã 2  x  y  x  y x  xy  y  y  Mµ x  xy  y   x    y  Nªn x + y < 2  2 x  y    x  xy  y  xy  x  y x  xy  y  xy x  y  MÆt kh¸c :  y x  y   2  xy x  y   6  x  y  xy x  y   8  x  y   8  x  y  2 DÊu b»ng x¶y x = y = -1 d) Tương tự câu c Bµi : a) ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã : 2a  3b   a  b 22  32   13 a  b   a  b   2a  3b  a  b  2a  3b  a  b DÊu b»ng x¶y a = ; b = b) Ta cã : Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n x  y  x  y   xy  1   4 x  x  1 4 y  y  1 x  xy  y    2 x  1  2 y  1  x  y   2 1 Điều này luôn luôn đúng Dấu xảy x  ; y   2 1 ab   Bµi 4: a ) Ta cã:   (*) a b ab ab ab Vì a,b > 0; a+b > nên: (*)  a  b   4ab ( Bất đẳng thức Cosi cho số ) 1   víi mäi a , b > a b ab b) §Æt (x-1)2 = t th× t > vµ x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t V× < x < nªn 1-t > áp dụng bất đẳng thức câu (a) cho hai số dương t và 1-t ta 1 1     4 x  1 x 2  x  t  t t   t VËy Mµ - x2 < < x < 1 VËy:    x2 x  1 x 2  x  ab  ab  a  ab  ab Bình phương hai vế bất đẳng thức ta được: Bµi 5: a) Ta cã a 4a  2a  a  b  a  a  b  a  a  b   b §óng b) ¸p dông c©u a víi a = 2006 vµ b = ta cã: 2006  2007  2005  2006  2005  2007  2006 V.2 Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt Cña biÓu thøc : KiÕn thøc cÇn nhí : Cho c¸c biÓu thøc A vµ B - Nếu A  a đó a là giá trị biểu thức A Th× a ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A (GTLN cña A ) , ®­îc ký hiÖu lµ MaxA hay AMax - Nếu B  b đó b là giá trị B Th× b ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B (GTNN cña B ),®­îc ký hiÖu lµ Min B hay BMin - Các cách biến đổi thường dùng để tìm GTLN và GTNN C¸ch 1: C¸ch 2: a) T×m GTLN: f(x)  g(x)  a b) T×m GTNN: f(x)  g(x)  a a) T×m GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x)  0; g(x)  a) b) T×m GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x)  0; g(x)  a) Với biểu thức nhều biến có cách làm tương tự Mét sè diÓm cÇn l­u ý : Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n - Khi tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức Nếu biến lấy giá trị trên toàn tập A thì vấn đề đã không đơn giản Khi biến biểu thức lấy giá trị A , A , A khoảng giá trị nào đó thì vấn đề càng phức tạp và dễ mắc sai lầm - Một sai lầm thường mắc phải đó là biến đổi các biểu thức theo cách cách Ta kết luận giá trị lớn nhỏ biểu thức là a dấu không xảy đồng thời VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 4x2+ y2+2xy+3x+5 Lêi gi¶i : P  x  xy  y  x  x   x  x   x  y   x  1  x  x   x  x  Víi mäi x 2  11 11  Mµ x  x    x     2 4  Nªn Min P = 11 1 x = vµ x +y = nªn y = 2 Ta thấy lời giải này sai lầm chỗ dấu không xảy đồng thời Khi x = th× (x-1)2  Lêi gi¶i : Ta cã  17  17 17   P  x  xy  y   x  x     x  y    x     4 2 4   2  x x  y   17    VËy Min P = Khi   x   y   VÝ dô : Cho a  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = a  a Lời giải : Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có P  a  1  a  a a Vậy P đạt giá trị nhỏ Lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç P   a  kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a  Lêi gi¶i : Ta cã P  a  VËy Min P = a a 3    a   a  2 a  a a 4 a 4 a = 2 Bµi tËp vÝ dô : -VÒ b¶n chÊt bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc vµ bµi to¸n chøng minh bÊt đẳng thức có thể coi là tương đương Bài toán tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức ta phán đoán kết thì bài toán trở thành chứng minh bất đẳng thức VÝ dô 3: Cho x, y, z  R tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n T×m GTLN cña P = x  y  z Gi¶i: Theo bất đẳng thức Cosi – Bunhiacopxki ta có: P2 = ( x + 2y + 3z)2  (12 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14 Nªn P  14 DÊu = x¶y khi:   x  14 2 x y z x y z            y2  1 14 x  y  z  x  y  z       z  14   14 14 14   (1) VËy (x, y, z) =  ; ; 14 14   14  14 2 14 3 14  HoÆc (x, y, z) =   ; ;  (2) 14 14   14 VËy Pmax = 14  14 14 14   hoÆc (x, y, z) = (x, y, z) =  ; ;  14 14 14   Ví dụ 4: Cho a, b, x, y là các số dương thoả mãn  14 2 14 3 14  ; ;    14 14 14   a b  1 x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : a) P = xy; b) Q = x + y Gi¶i: a) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ab a b     xy  4ab xy x y VËy Pmin = 4ab  x  2a a b    x y  y  2b  a a b b b) Ta cã:    ( x  y )      x y  x y    (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) VËy : Q = x+ y  Qmin =  a  b  a  b  x = a  2  a  b x  y  x y   x  y   ab ; y  b  ab Lop10.com  a  b Chuyên đề bất đẳng thức VÝ dô 5: T×m GTLN cña P = Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n x ( x  a) Gi¶i §iÒu kiÖn : x   a Ta cã: Víi x = => P = Víi x  ta cã: P = x  x = P(x + a)2 ( x  a)  px2 + apx + pa2 = x  px2 + (2ap – 1) x + a2 = Để phương trình có nghiệm thì:    (2ap – 1)2 – 4pa2  <=> 4a2p2 – 4ap + – 4a2p  <=> 4a2p2 – 4a (a + 1)p +  Giải bất phương trình bậc thu P1  P  P2 Bµi tËp tù luyÖn : Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 c) C = x 2x   2x  x d ) D = 3x2+5y2 víi 3x  y  Bµi : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) M = - x2 + 4x + b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) P = ( x+1 ) (2 - x ) Bµi 3: T×m gi¸ tri lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 3x  x2  Gi¶i: Bµi 1: a) A= (x-3)2 -8 nªn A = x = b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nªn Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 c) Điều kiện: x <  ; x > (*) áp dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: C x 2x   2 2x  x x 2x  2 2x  x Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức x  2x  VËy MinC = Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n  x  1 2x  2  x  2 x  1  x  x     x   x  đối chiếu với (*) ta x =-1 c) Tõ 3x  y   3x  y  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:  3x.1   y.1  3 x  y 1  1  x  y  2 VËy MinD = x= vµ y =  Bµi 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nªn MaxM = 11 x = b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nªn MaxN = 2005 x = 1; y = - 2  x 1  x  c ) P = ( x+1 ) (2 - x )       VËy MaxP = Bµi 3: Ta cã: P = ( Bất đẳng thức Cosi ) x = 3x   P x  1  x   Px  x  P   (* ) x 1 Ta thÊy P = x = Với P  thì giá trị P phải thoả mãn cho phương trình (*) có nghiệm với x Điều này tương đương với:   32  P P  1   P  P    2 P  1  10   10  P   10   VËy MaxP = MinP = - 10  x = 10  10  P 2 10  10  1  10 x = V.3 Bất phương trình KiÕn thøc cÇn nhí : - Bất phương trình bậc : ax +b = ( a  ) Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n + Nếu a > bất phương trình có nghiệm x   b a + Nếu a <0 bất phương trình có nghiệm x   b a Tương tự cho bất phương trình ax + b < * Ta có thể nhớ cách lấy nghiệm bất phương trình bậc theo qui tắc " Lớn cùng bé khác " ( a  ) cã nghiÖm x =  NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b Khi x >  b a b b th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , x <  th× f(x) vµ hÖ sè a kh¸c dÊu a a   A( x)    A( x)     B( x)   B( x)   - Bất phương trình tích : A(x)B(x) >  ; A(x)B(x) <     A( x)    A( x)      B ( x)    B ( x)  đó A(x) và B(x) là các biểu thức biến x - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : Ta làm dấu giá trị tuyệt đói để giải cách xét khoảng giá trị biến bình phương hai vế bất phương trình  B( x)   B ( x)   A( x)  B ( x)    B ( x)  ; A( x)  B ( x)   2  A( x)   B ( x)    A( x) 2  B ( x) 2   - Bất phương trình vô tỷ :  A( x)   A( x)  B ( x)   B ( x)   A( x)  B ( x)    A( x)     B( x)  A( x)  B ( x)    B( x)      A( x)  B ( x) 2  ;  A( x)   A( x)  B ( x)   B ( x)   A( x)  ( B ( x))  Bµi tËp vÝ dô : Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau : a) -3(x+2) +2(x-1)  4x -3 b) m  1 x  2m x  1 Gi¶i a) Ta cã : -3(x+2) +2(x-1) 4x -3  3 x   x   x    x  x  3   5 x   x   Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức b ) Ta cã : m  1 x  2m x  1  m  2m  1x  2mx  2m Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n  m  1x  2m Vì m   với m nên bất phương trình có nghiệm x  2m m2  Ví dụ : Giải các bất phương trình : a) x  x   b)  x  x   Gi¶i a)Tacã : x  x    x  x  x    x x    x     x  x  3   x    x      x      x    x    x    x     x  x  x   b) Tacã :  x  x     x  x  x     x x  1  x  1   x    3  x   x  13  x       x     3  x   x    x    x   x     x  Chó ý : - Ta cã thÓ kÕt hîp nghiÖm trªn trôc sè - Ta có thể so sánh A(x) và B(x) bất phương trình tích để giải nhanh : VÝ dô : x  13  x    x  1x  3  x-1 > x-3 x 1  x  nªn chØ x¶y   1 x  x   x  Ví dụ : Giải các bất phương trình : a) x  3x   x  b) x   x  Gi¶i: a) Ta cã :   x  3x    x  1x      x      x   x  3x   x     x 1      x   2   x  x   x  1   x  x   x  x   Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n  x    x    x2  x     x  Chú ý : Tránh biến đổi sai lầm sau : x  3x   x   x  1x    x  1  x   x   1   x   x 1 Kết luận phương trình vô nghiệm b) C¸ch :  3 x   x  Ta cã : x   x    2   4 x  x   x  12 x  2 x  1  3 x  1   x  1    x  x     x  x  5 x  16 x   x 5 x  16    16    x    Cách : Nghiệm bất phương trình đã cho có phải thoả mãn : 3x-1   x  XÐt 2x+1   x   (1) (2) Bất phương trình trở thành : x   x    x   x  2 KÕt hîp víi (1) vµ (2) ta cã x  là nghiệm bất phương trình đã cho (3) Bất phương trình đã cho trở thành : 2 x   x   5 x   x  Không thoả mãn (3) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x  3 Bµi tËp tù luyÖn : Giải các bất phương trình sau Bµi : a) 3 x  1  x    1  x   XÐt 2x +1 <  x   b) m   x  1  4m 3  x  c) x  x   d ) 9 x  18 x   Bµi : a) x   x  b)  x   x  c) x  x   3x  d) x  3x   x  x  e) 3x  x   x  Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Bµi 3: a) x  x   2x x  0 b) 2x  x  Gi¶i: 16m  m  b)x  ; m2  a) x  ; 13 Bµi 1: c)  x  ; x  d)  x   1   x  x   2 x   2    x   Bµi 2: a) x   x          x 1 x x      x  2  2 x  12 2       1  x   3 x    x   b) Ta cã:  x   x   x   x    2 2 x    3 x   x    x   x   x      x4 3 x   x  3 x   x    x  5 x     x     x  x  3    x2  5x    x       3 x    c) Ta cã: x  x   x    3x    x          x  x   3 x     2   x  x   x  12 x    x  2; x    x     ( Hệ (*) vô nghiệm bất phương trình 8x2-17x +10 vô  x   x   (*)   8 x  17 x  10   nghiÖm ) d) x  3x   x  x   x   x  x      x  Ta cã: x  x   x  x    2  x  x   x  x    x  8x    x    x   15  x     x   15   x   15   x   15   2 Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức e) Ta cã: Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n   x  1   x  x  13 x  1  3 x  x      3x  x   x    x     x  1   3 x  x   x  x   x   x  1     1  x  Bµi 3: a) §iÒu kiÖn x  Ta cã: x  x    x  x     x    x  16  b) Ta cã:   x  1 1   x 1 3  x( x  2)  x 2 x  1 2x x 3x  0 0   x x  2 x  1  2x  x  x  2 x  1 x  2 x  1 (*) Ta có thể lập bảng xét dấu xết khoảng giá trị để giải - Víi x > th× (*)  x  2 x  1   2  x   kh«ng tho¶ m·n x > x     x  2  -Víi x < th× (*)  x  2 x  1   kÐt hîp víi x < ta ®­îc  x     x    D Mét sè bµi tËp n©ng cao : Bµi 1: Cho x  ; y  Chøng minh r»ng: (x + y) (x2 + y2)  x5 + y5 Bµi 2: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: a b c a b c       2 2 bc ca ab 1 a 1 b 1 c Bµi 3: Chøng minh r»ng: 3(1  ) Bµi 4:  5(  )  7(  )   4003( 2001  2002)  2001 4006 Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chøng minh r»ng:    729  1  1   a    c  512  a  b  Bµi 5: Cho abc = 1; a3 > 36, Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca Bµi : Chøng minh r»ng NÕu x, y, z  th× x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y)  Bµi 7: Cho a, b, c  [0;2] cã a + b + c = CMR: a2 + b2 + c2 < Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Bài 8: Cho các số thực dương a , b , c thoả mãn abc = ab bc ca   Chøng minh r»ng : < 5 a b c b  c  bc c  a  ac Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Bài 9: CMR x, y  A  thì hai bất đẳng thức sau là sai: 1  1  1    ≥    vµ x( x  y ) y   x 5x x  y  Bµi 10: Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng: ≥ xy ba a  ca b  ab c      a  b  c 3 Bµi 11: Chøng minh r»ng: Mäi a, b, c, d, p, q > ta cã: 1 p  q' pq pq      a b c pa  qb pb  qc pc  qa Bài 12 : Cho x, y thay đổi cho  x  3;  y  T×m Max cña P = (3 – x) ( – y) (2x + 3y) Bài 13: Tìm GTLN và GTNN xy với x, y là nghiệm phương trình: x4 + y4 – = xy (1 – 2xy) Bài 14: Giải bất phương trình: x  1x  x  3x     Hướng dẫn giải Bµi 1: V× x  ; y  => x2 + y2  => => x  y x2  y2 x  y  2 => x  y x3  y3  2  x2  y2 2  => 2.x  y ( x  y )  x  y ( x  y )  x  y Bµi 2: Ta cã : a a b c     Tương tự cho b , c ta 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a DÊu b»ng x¶y a = b = c = * MÆt kh¸c : a b c 1       (a  b  c)     bc ac ab bc ac ab §Æt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta cã Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n x  y  z       ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  x Bµi 3: XÐt y z ( §óng ) ( n 1  n) n 1  n  1        (2n  1)( n  n  1) n 1  4n  4n  n(n  1)  n 1 1 1  VËy S n  1        2 3 n n 2S n   4n   1 n  4n   1 1  1   2 n 1  n  S n  n2 2(n  2) víi n = 2001 ta cã: S 2001   2001 2001   S 2001  2003 2003 4006   1  Bµi 4: §Æt A = 1  1  1    a  b  c  1  1   Ta cã A =        3  3  3   3 b c  a b b c a c  a b c a 3 1   A  1  2  3  1   ( Bất đẳng thức Cosicho số dương ) abc a b c a b c  abc  1  abc  Theo bất đẳng thức cosi: abc       abc   abc   729  1 VËy A  1    512  8 Bµi : Ta cã : (DÊu b»ng x¶y ra: a = b = c = 2) a3  b  c  ab  bc  ac <=> a2 + b2 + c2 – a(b+c) – bc > <=> a2 + (b + c)2 – a(b+c) – 3bc > Thay bc = (*) ta ®­îc: a a2 (*) <=> + (b + c)2 – a(b+c) – >0 a <=> a( b + c)2 – a2 a3 (b + c) + -3>0 §Æt b + c = x ta cã: ax2 – a2x + a3 - > Víi mäi x Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức Điều này tương đương:  = a4 – 4a ( <=> a4 Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n a3 - 3) < 4a  12a  <=> 12a (36 – a3) < đúng vì a3 > 36 Bài 6:- Do vai trò bình đẳng x, y, z nên có thể giả sử z  y  x Khi đó: x(x - y) (x - z)  (1) MÆt kh¸c: z (z - x)  y(y - z) Do vËy: z (z - x) (z - y)  y(y - x) (z - y)  z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x)  (2) Tõ (1) vµ (2)  ®pcm Bµi 7: - Do a, b, c  [0;2] nªn (2 - a) (2 - b) (2 - c)   - (a + b + c) + (ab + bc + ac) - abc   (ab + ac + bc) + (a + b + c) + abc -  (ab + ac + bc)  + abc   (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)   (a2 + b2 + c2) < DÊu "=" x¶y a, b, c cã mét sè b»ng 2; mét sè b»ng 0; mét sè b»ng Bµi :Ta cã: (a3 - b3) (a2 - b2)   (a5 + b5)  a2 b2 (a + b) ab ab c2 c  2   Do đó : 5 (1) a  b  ab a b (a  b)  ab c abc bc a Tương tự: < (2) abc a  b  ab ca b < (3) Tõ (1) ; (2) vµ (3) ta cã ®iÒu cÇn chøng minh 5 abc c  a  ac Bài :- Giả sử hai bất đẳng thức đúng đó: xy  x2 + y2 vµ  x(x + y)  x2 (x + y)2 (x2 + 2xy)  3x2 + 2xy + 2y2  2y2 - 2( - 1)xy + (3 - )x2   4y2 - ( - 1)xy + (6 - )x2   (2y)2 - 2y ( - 1)x + [( - 1)]2   [2y - ( - 1)x]2  §iÒu nµy kh«ng x¶y v× ( - 1)x lµ sè v« tû kh«ng thÓ b»ng 2y x ,y  A  Bài10:- Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:  bc bc ca ab ca ab         b c  a b c  a   bc a  ca b   ca ab   ab bc   bc ca              c   c a   a b  c  b ab bc ca ab    2( a  b  c )  a  b  c  abc  a  b  c  a b c Lop10.com Chuyên đề bất đẳng thức (Bất đẳng thức cosi cho số) Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n DÊu b»ng x¶y a = b= c =1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxi ta có: Bµi11: p  q  2  p  q  p q   pa  qb     pa  qb  b  a b  a   p q Tương tự p  q     ( pb  qc) b c p  q 2   p  q pc  qa  c a 1   1 1 2   p  q     Do đó p  q     a b c  pa  qb pb  qc pc  qa   1 pq pq pq      a b c pa  qb pb  qc pc  qa Bµi 12: Ta cã: P = (6 – 2x) (12 – 3y) (2x + 3y)   x  12  y  x  y  6P    6   P  36 6  x  12  y  x  y x   Pmax = <=> 0  x   y  0  y   Bµi 13: Ta cã: x4 + y4 – = xy ( 1- 2xy) <=> xy + = x4 + y4 + 2x2 y2 <=> xy + = (x2 + y2)2 Do (x2 + y2)2  4x2y2 đó: xy+  4x2y2 §Æt xy = t ta cã: 4x2y2 – xy –  hay 4t2 – t –  <=>   t 1 VËy (xy)max = x = y =  (xy)min =  3 x = y =  Bµi1 4: Ta cã: Lop10.com