Đang tải... (xem toàn văn)
Ngoaøi ra chaén raèng ta seõ coøn gaëp nhieàu daïng khaùc …… Sau ñaây laø moät ví duï vaø moät soá baøi coù höôùng daãn giaûi…… B.. Caùch 2: Döïa vaøo tính chaát cuûa giaù trò tuyeä[r]
(1)VẤN ĐỀ
(2)Vấn đề
Bất phương trình có chứa A Tóm tắt lý thuyết
Thường ta gặp dạng sau : 1-\
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥ < > ⇔ <
0 A B A
0 B B
A 2-\
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎩ ⎨ ⎧
> ≥ ⎩⎨ ⎧
≥ < ⇔ >
2
B A
0 B
0 A B B
A 3-\ A2 ≥ B2 ⇔ (A + B ) ( A – B ) ≥ 4-\
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧
≥ − < ⎩⎨ ⎧
≥ ≥ ⇔ ≥
B A0 A
B A A B
A
5-\ Trong trường hợp gặp nhiều dấu ta đặt điều kiện biểu thức có x phiá dấu , tìm điều kiện chung , từ biến đồi tương đương để đưa dạng
6-\ Bất phương trình hữu tỉ :
Bất phương trình hưũ tỉ bất phương trình đưa dạng : ( )
( ) P x
Q x ≥ ( ≤ , > , < 0) P(x), Q(x) biểu thức đưa
được dạng tích tam thức nhị thức Nguyên tắc giải :
Caùch :
- Đưa bất phương trình dạng nêu - Phân tích P(x), Q(x) thành tích tam thức hay nhị thức - Lập bảng xét dấu biểu thức VT
- Dựa vào bảng xét dấu rút tập nghiệm Cách :
(3)Ngồi chắn ta cịn gặp nhiều dạng khác …… Sau ví dụ số có hướng dẫn giải…… B VÀI VÍ DỤ CƠ BẢN VÀ CÁC BÀI TẬP CĨ HƯỚNG DẪN GIẢI
Đầu tiên ta xem vài ví dụ đơn giản sau : Ví dụ1 :
Giải bất phương trình sau : a)
3 x
x x 15
17
+ −
− > (1) Điều kieän : 17 – 15x – 2x2 ≥ ⇔
2 17
− ≤ x ≤ Sau ý đến mẫu có ( x + 3) nhị thức bậc • Trường hợp 1:
2 17
− < x <−3 : bất phương trình vơ nghiệm (vì tử số > mẫu số < ⇒ VT < )
• Trường hợp : -3 ≤ x ≤ 1: (1) ⇔ 17 – 15x – 2x2 >
⇔
2 17
− < x < (2)
Sau giao với điều kiện −3 ≤ x ≤ ta −3 < x < Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = (−3 ; ) b)
x x 1− −
< ⇔
x
x x
1− − −
< Trường hợp :
⎩ ⎨ ⎧
> − − < −
0
x 4x 3x
1
) dk
( ⇔ – 3x < 1−4x2
⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎩ ⎨ ⎧
− >
− ≥
− ⎩ ⎨ ⎧
≥ − < −
2
2
) x ( x
0 x
0 x
0 x
⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡
⎪ ⎨ ⎧ ≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≤ ≤ −
>
3 x
2 x 13
(4)⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − ≤ ≤ < x x 13 x x ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < ≤ ≤ < 13 x x x ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ < ≤ < x x
So với điều kiện ⇔ < x ≤ 1 (1) Trường hợp :
⎩ ⎨ ⎧
< − − > −
) dk (
x 4x 3x
1
⇒ – 3x > 1−4x2
⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < − ≥ − > − 2 ) x ( x x x ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < ≤ ≤ − < 13 vx x x 13 x
⇔ x
1
< ≤
− v
2 x 13 ≤ <
So với điều kiện ⇔ x 1≤ <
− v
2 x 13
6 < ≤ (2) Hợp (1) (2) ta nghiệm bpt :
2 x ≤ ≤ − c) x2 + x2 +2x+2 > – 2x
⇔ x2 +2x+2+x2 +2x+2−6>0 (*) Đặt t = x2 +2x+2 ≥ (1)
(*) ⇔ t2 + t – > ⇔ t < −3 v t > (2) (1) ∧ (2) ⇔ t >
Vậy bất phương trình ⇔ x2 +2x+2 >
(5)d) 1− x4 −x2 ≥ x – ⇔
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎩ ⎨ ⎧
+ − ≥ − −
≥ − ⎩ ⎨ ⎧
≥ − −
< −
1 x x x x
0 x
0 x x
0 x
2
2
Trường hợp :
Với x < 1− x4 −x2 ≥0 ⇔ x4 −x2 ≤1
x2(x2 – 1) để ln có nghĩa x2 – ≥ ⇔ x ≤ −1 v x ≥ (*) Với x ≤ −1 ⇔ x4 – x2 –1 ≤ (1)
Đặt t = x ( t ≥ 0) (1) ⇔ t2 – t – ≤ ⇔
2 t
5
1 +
≤ ≤ −
So với điều kiện ta : ≤ t ≤
5
1+ ⇒ x2
5 1+
− ≤
⇔
2 x
5
1 +
≤ ≤ + −
So với điều kiện có nghĩa ta : x ∈φ (a) Trường hợp :
Với x ≥ 1thì 1− x4 −x2 ≥ x2 – 2x + ⇔ x4 −x2 ≤−x2 +2x
⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ − ≤
− ≥
− ≥
−
2 4
2
2
x x x x x
0 x x
0 x x
⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
≤ − ≤ ≤ ≤
4 x
1 x x
v x≥1 ⇔ 1≤ x ≤ (b)
Hợp (a) (b) , nghiệm bất phương trình : ≤ x ≤ e) x2 +4x+4 < x +
Caùch : x2 +4x+4 < x +
(6)Cách 2: Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối
Ta có : A ≥A ln với A A <A sai với A Bất phương trình ⇔ x+2 <x+2 (1) vận dụng tính chất Vậy (1) ln sai ∀x∈Rdo (1) có S = φ
Ví dụ
a) Tìm miền xác định hàm số sau : y x x
= − −
Giaûi 1/ y x
x
= − − xác định :
6 x 5x 6
5 x 0
x x
x x
⎧
⎧ − − ≥ − +
⎪ ⇔⎪ ≤
⎨ ⎨
⎪ ≠ ⎪ ≠
⎩ ⎩
( ] [ )
x
,0 2,
2 x
≠ ⎧
⇔⎨ ≤ ≤ ⇔ −∞ ∪ +
⎩
Vậy, miền xác định y D=[ ]2,3 ∪ −∞( , 0)
b) Giải bất phương trình : x − + − 2x ≥ + x Giaûi
x 2x
x − + − ≥ +
(1)
Điều kiện nghiệm: x 7≤ ≤ (2)
(1) ⇔ + ≥x 2x x 2x x− + − + ( − )( − )
( )( )
4 2x x (2x 8)(7 x) 2x 22x 60
⇔ ≥ − − ⇔ ≥ − − ⇔ − + ≥
2
x 11x 30
⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥x x (3)
(2) vaø (3) cho x∈[ ] [ ]4,5 ∪ 6,7
Ví dụ
Giải bất phương trình : 1 x− − x2+ >1 0
Từ suy bảng xét dấu : f x( )= 1 x− − x2+1 Giải
Ta coù : 1 x− − 1 x+ >0
2
1 x x
1 x x
1 x x
− ≥
⎧ ⎧ ≤
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
− > + ⎪
− > +
⎪ ⎩
⎩
[ ] x
x 1,0
1 x
≤ ⎧
⇔⎨− ≤ ≤ ⇔ ∈ −
(7)Vaäy : 1 x− − 1 x+ > ⇔ − ≤ ≤0 1 x 0
Từ suy Bảng xét dấu f x( )= 1 x− − 1 x+ Theo : f x( )= 1 x− − 1 x+ > ⇔ − ≤ ≤0 1 x 0 nên
( )
f x < ⇔0 x < -1 x > 0∨
Ví dụ
Giải phương trình : x x 1− − −(x 1− ) x+ x2− =x 0 Giaûi
1) x x (x 1) x− − − − + x2− =x 0
⇔ x x (x 1) x− − − − + x x 1( − =) Đặt : A x
B x
(A 0) (B 0)
⎧ = ≥
⎪ ⎨
= − ≥
⎪⎩
Ta coù : 2
2
A B
A 2B AB AB
(1) (2)
⎧ − =
⎪ ⎨
− − + =
⎪⎩
Thay : A2 =B2+1vaøo (2), ta coù : B2+ −1 2B AB(B 1) 0− − = B
(B 1)(B AB)
B AB
= ⎡
⇔ − − − = ⇔ ⎢
− − =
⎣
• B = ta : x 1− = ⇔ x =
• B AB B 02 2 2(
(B 1) A B
− ≥ ⎧⎪ − = ⇔ ⎨
− =
⎪⎩ A 0, B 0)≥ ≥
2 2
B
B 2B (B 1)B : A2 B
≥ ⎧⎪ ⇔ ⎨
− + = + = +
⎪⎩
4
B
B 2B 0(*)
≥ ⎧⎪ ⇔ ⎨
+ − = ⎪⎩
Vì B 1≥ nên (*) vô nghiệm
(8)Ví dụ
Giải bất phương trình : (x 3) x− 2− ≤4 x2−9
Giải
Tập xác định phương trình : (−∞ − ∪; 2] [2; ∞)
Ta coù : (x 3) x− 2− ≤4 x2−9 (1)
(x 3)⎡ x (x 3)⎤ (2)
⇔ − ⎢ − − + ⎥≤
⎣ ⎦
Đặt f (x) (x 3)= − ⎡ x2− −4 (x 3) + ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Rõ ràng f xác định liên tục (−∞ − ∪; 2] [2; + ∞)
2
x f (x)
x x (3)
= ⎡ = ⇔ ⎢
⎢ − = + ⎣
(3) x2 x2 6x x 13
x
⎧ − = + + ⎪
⇔⎨ ⇔ = −
≥ − ⎪⎩
Tóm lại, hai nghiệm f(x) = x = x = 13
−
f (4)= 16 7− − = 12 0− <
f ( 3)− = −6 0<
f ( 2) 0− = >
f (2) 0= >
x -∞ -6 13
-2 +∞
f(x) - + | | + - Vậy :Tập nghiệm BPT laø x 13hay x
6
≤ − ≥
Ví dụ
Giải bất phương trình : 2x2−6x x 0+ − + >
Giải Đặt f(x) = 2x2−6x x 2+ − +
'
(9)3 7 ; ; 2 ⎛ − ⎤ ⎡ + ⎞ −∞ ∪ +∞ ⎜ ⎥ ⎢ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎦ ⎣ ⎠ Trong tập xác định, ta có :
2
f (x) 0= ⇔ 2x −6x x 0+ − + =
2
2x 6x x
⇔ − + = − 2x2 6x x2 4x x
x ⎧ − + = − + ⎪ ⇔⎨ ⇔ = ≥ ⎪⎩ x
-∞ 3− 3+
+∞
f(x) + || || - + f (0) 0;f (4) 0.> > Đáp số : x ;3 (3; )
2
⎛ − ⎞
∈ −∞⎜⎜ ⎟⎟∪ ∞
⎝ ⎠
Sau mơt số tập có hướng dẫn giải : Bài (khởi động )
Giải bất phương trình: a) x−2 < – x ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥
− < − + − >
−
0
x 16 8x x x x 2⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥− + > <
2
x 9x 18 x x ⇔ ⎩⎨ ⎧ < < ≤ x x
v x>6 ⇔ ≤ x < b) x2 −4x > x –
⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ − > −≥ − ⎩ ⎨ ⎧ ≥ −< − 2 ) x ( x x x x x x ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ > − ≥ ⎩⎨ ⎧ ≤ < x x x x
v x≥4 ⇔
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≥ ≤ x x x ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ > ≤ x x
(10)c) x2 +x−12 ≤ – x ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − + − ≤ − + +≥ − 12 x x x x 16 64 12 x x x 2 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ ≤ x 17 76 x x v x≥ ⇔ x ≤ −4 v ≤ x ≤
17
76⇔ x ≤
− v ≤ x ≤ 17 76 d) x2 −7x−8+ ≤ x
⇔ x2 −7x−8 ≤ x – ⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − ≤ − − − ≥ − ≥ − 36 x 12 x x x x x x 2 ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ − ≤ ≥ 44 x x x
v x ≥ ⇔ ≤ x ≤
5 44
e) 2+ x2 −3x−10 > x ⇔ x2 −3x−10 > x – ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ + − > − − ≥ − ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − − < − x x 10 x x x 10 x x x 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ > ≥ ⎩⎨ ⎧ − ≤ < 14 x x x x
v x≥5 ⇔
⎢⎣ ⎡ >− ≤ 14 x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞;−2] [U14;+∞) f) (x – 3) x2 −4 ≥ x2 – ⇔ (x – 3) ( x2 −4−x−3) ≥
Trường hợp : ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ − ≤ − x x x x
2 ⇔
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ + + ≥ − ≥ + ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < + ≤ x x x x x x ) dk ( x 2 ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ − ≥ ⎩⎨ ⎧ − ≤− < ≤ 13 x x x x x
v x≥2 ⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ 13 x x
⇔ x ≤ 13
(11)Trường hợp : ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ − ≥ − x x x ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − ≤ + + −≥ + ≥ x x x x x x 2 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − ≤ − ≥ ≥ vx x 13 x x
⇔ x ≥ (2)
Hợp (1) (2) : x ≤ 13
− v x ≥ g) 6x2 −12x+7 + 2x ≥ x2
⇔ 6x2 −12x+7 ≥ x2 – 2x ⇔ 6(x2 −2x)+7 ≥ x2 – 2x (1) Đặt y = x2 – 2x ⇔ y + = (x + 1)2 ≥ ⇔ y ≥ −1
(1) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + − ≥ (*) y y y (*) ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + ≥ ⎩⎨ ⎧ ≥ +≤ < − y y y y 61 y
⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − − ≥ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ < ≤ − y y y y y ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ ≤ ≤ −≥ < ≤ − y y1 y
⇔ ⎢⎣⎡0−1≤≤yy≤<70 ⇔ ⎢⎣⎡
≤ − ≤≤ − ≤ − x x 0 x x 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − − ≥ − ⎩ ⎨ ⎧ < − + ≥ − x x x x x x x x 2 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ ≤ −≤ ≥ ⎩⎨ ⎧ < <∈ ∀ x vx x x 0x R
⇔ ⎢⎣ ⎡
≤ ≤ −< 8< x
2 x
0
v 2≤x≤1+
(12)Bài
Giải bất phương trình :
4 x 2 x 1 x 1
2
− ≤ − +
+ (1)
Giải
Điều kiện :
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
≥ −
≥ −
≥ +
0 x
0 x
0 x
2
⇔ -1 ≤ x ≤
Khi (1) ⇔ + x + – x + 1−x2 ≤
2
4 x
2 ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
−
⇔ + 1−x2 ≤ +
16 x4
- x2 ⇔ – x2 - 1−x2 +1+
16 x4
≥ ⇔ ≤ ( 1−x2 −1)2 +
16 x4
(2) (2) với x ∈ [-1 ; 1]
Nghiệm bất phươnt trình x ∈ [-1 ; 1] Bài
Giải bất phương trình : x
x
1
< −
− (1)
Giải Điều kiện :
⎩ ⎨ ⎧
≠ ≥ −
0 x
0 x
1
⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≠ ≤ ≤ −
0 x
2 1 x 2 1
(3) ⇔
) x 1 ( x
) x (
2
< −
+ − −
⇔
2 x 1
x
−
+ <
(13)Ta có : x ≤
2 1 <
4 3
⇒ 4x – < ≤ 1−4x2
⇒ (2) với x thuộc ⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤
2 1 ; 2
1 \ { }
0
Vậy nghiệm (1) ⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤
2 1 ; 2
1 \ { }
0
Baøi
x ) 1 x ( ) 1 x x ( x 1 x
x4 + + + − + ≤ +
(Đề thi chuyên Toán –Tin ĐHQG Hà nội1988) Giải
Điều kiện tốn có nghĩa : x >
Chia hai vế cho x(x2 +1) sau biến đổi bất phương trình trở
thành :
x x x x
1 x x
1 x
x ≤ +
+ − + + − +
Ta đặt : x +
x 1
= t ≥ , Bất phương trình tương đương với :
t t t t
1− ≤ − − , hai vế dương với t ≥ nên bình phương hai vế ta -
t 1
≤ t2 + t
-t 1-2t.
t 1−
⇔
t 1
≤t+1-2
t
1− ⇔ ≤ (
t
(14)Baøi
Giải biện luận bất phương trình : x−m+2m≤ x+2m (1) Giải
Điều kiện :
⎩ ⎨ ⎧
≥ +
≥ −
0 m 2 x
0 m x
⇔
⎩ ⎨ ⎧
− ≥ ≥
m 2 x
m x
(2) Ta xét ba trường hợp :
a) m = : (1) ⇔ x≤ x với x ≥ b) m > : (2) ⇔ x ≥ m
Khi (1) ⇔ x – m + 4m2 + 4m 1−m ≤ x + 2m
⇔ 4m x−m ≤ 3m - 4m2 ⇔ 4 x−m ≤ 3- 4m (do m > 0)
⇔ ( )
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− ≤ −
≥ −
16 m 4 3 m x
0 m 4 x
2 ⇔
( )
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
− + ≤
≤ <
16 m m x
4 m
2
Giao với điều kiện x ≥ m ⇒ với < m ≤
4
3 (1) có nghieäm :
m ≤ x ≤ m +
2
4 m 4 3
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
Baøi
Giải bất phương trình : (12 – x)
2 x
x 12
−
− + (x – 2)
x 12
2 x
− − <
3 82 Giaûi
Điều kiện : x
x 12
− − >
⇔ < x < 12 Bất phương trình :
⇔
( ) ( ) 3(12 x)(x 2) (12 x)(x 2) 82
x 12
1
x
2
2 + − < − − − −
−
⇔ (x – 2)2 + (12 – x)2 <
82 ( )( )
(15)⇔ (x – 2)2 + (12 – x)2 + 2(x – 2)(12 – x) <
(12 x)(x 2) 2(x 2)(12 x)
82 − − + − −
⇔ (x – + 12 – x)2 < 82
) x 12 )( x ( ) x )( x 12
( − − + − −
⇔ 102 < 82
) x )( x 12 ( ) x )( x 12
( − − + − −
Đặt t = (12−x)(x−2) , t > Bất phương trình ⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ < >
2
2 t 2t
3 82 10
0 t
⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
> ∨ − < >
3 t 50 t
0 t
⇔ t > ⇔ (12−x)(x−2)>3 ⇔ (12 – x)(x – 2) > ⇔ < x < 11
Kết luận : < x < 11 Bài
Giải bất phương trình :
3 x
x2 − ++ - 2x2 −3x+1 ≥ x –
(Đại học Kiến trúc Hà nội ) Giải
3 x
x2 − ++ - 2x2 −3x+1 ≥ x – (*)
Điều kiện :
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥ + −
≥ + −
0 1 x 3 x 2
0 3 x 4 x
2
⇔
1 3 1 2
x x
x ⎡ ⎢ = ⎢
≥ ⎢ ⎢
≤ ⎢ ⎣
(16)(*) ⇔ (x−1)(x−3) - (x−1)(2x−1) ≥ x – ⇔ x−3 - 2x−1 ≥ x−1
Ta thấy : x−3 - 2x−1 < x−1 ( với x ≥ 3) Vậy bất phương trình khơng thoả ∀ x ≥
• Với x ≤
2 1
(*) ⇔ 3−x - 1−2x ≥ - 1−x
⇔ 3−x + 1−x ≥ 1−2x
⇔ – x + – x + (3−x)(1−x) ≥ – 2x ⇔ + (3−x)(1−x) ≥ (luôn thoả ∀ x ≤
2 1 )
Keát luaän : x = hay x ≤
2 1
Bài
Giải bất phương trình : (x+5)(3x+4) > 4(x – 1)
(Đại học kinh tế Quốc Dân) Giải
Ta coù : (x+5)(3x+4) > 4(x – 1)
⇔
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎩ ⎨ ⎧
− > + +
≥ − ⎩ ⎨ ⎧
< −
≥ + +
) 2 ( ) 1 x ( 16 ) 4 x 3 )( 5 x (
0 1 x
) 1 ( 0
1 x
0 ) 4 x 3 )( 5 x (
(17)Giaûi (1) : (1) ⇔
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
< ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− ≥
− ≤
1 x
3 4 x
5 x
⇔
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
< ≤ −
− ≤
1 x 3 4
5 x
Giaûi (2) : (2) ⇔
⎩ ⎨ ⎧
≥
< − −
1 x
0 x 51 x 13
⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥ < < −
1 x
4 x 13
1
⇔ ≤ x <
Hợp lại ta có : x ≤ -5 hay x 4 3
4 ≤ <
−
Bài
Giải bất phương trình : 1+x − 1−x ≥x (1)
(Đại học Ngoại thương 2001) Giải
Điều kiện : -1 ≤ x ≤
(1) ⇔ x
x 1 x 1
) x 1 ( ) x 1
( ≥
− + +
− − +
⇔ x 1 0
x 1 x 1
2 ⎟≥
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −
− +
+ (2)
Nếu x = (2) nghiệm
Xét x ≠ , ta có ( 1+x + 1−x)2 = + 2 1−x2 < + =
⇒ 1+x + 1−x < ⇒
x 1 x 1
2
− +
+ - >
Do (2) ⇔ x >
(18)Bài
Giải bất phương trình : 7x−13− 3x−9 ≤ 5x−27
(Đại học Dân lập phương Đông 2001) Giải
27 x 5 9 x 3 13 x
7 − − − ≤ −
⇔ 7x−13≤ 3x−9+ 5x−27
⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− −
+ − + − ≤ − ≥
) 27 x 5 )( 9 x 3 ( 2 27 x 5 9 x 3 13 x 7
5 27 x
⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− ≥ − −
≥
x 23 ) 27 x 5 )( 9 x 3 ( 2
5 27 x
⇔
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥ + −
≤ ≤
0 443 x 458 x
59
23 x 5 27
2
⇔
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− ≤
+ ≥
≤ ≤
59 26304 229
x
59 26304 229
x
23 x 27
⇔ x 23
59 26304
(19)Baøi 10
Chứng minh với t ∈[ ]−1;1 ta có :
2
2 2 t
t 1 t t
1+ + − ≥ + − ≥ −
(Đại học quốc Gia TP HCM -2001) Giải
Với {t} ≤ , ta có : 1+t + 1−t ≥1+ 1−t2
⇔ +t + 1−t2 +1 – t ≥ + – t2 + 1−t2
⇔ t2≥ ( với t ) Xét : + 1−t2 ≥ – t2
⇔ – t2 - 1−t2 ≤ ⇔ 1−t2( 1−t2 −1)≤0
⇔ 1−t2 ≤ (luôn )
Vậy với t ∈[ ]−1;1 , ta có : 1+t + 1−t ≥1+ 1−t2 ≥2−t2
Baøi 11
Giải bất phương trình : 2x2 + x2 −5x−6 > 10x + 15
(Đại học Y- Hà Nội- 2001 ) Giải
2x2 + x2 −5x−6 > 10x + 15
⇔ 2(x2 – 5x – 6) + x2 −5x−6 +3 >
Đặt y = x2 −5x−6 ; với x ≤ -1 x ≥ y ≥
Ta có bất phương trình : 2y2 + y – > ⇔
⎢ ⎢ ⎡
− < >
) loai ( 3 y
(20)⇔
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− <
+ >
2 53 5 x
2 53 5 x
Bài 12
Giải bất phương trình :
4 x x x x x
x2 − + + − + ≥ − +
(Đại học Y Dược TP HCM - 2001) Giải
4 x x x x x
x2 − + + − + ≥ − + (*)
Điều kiện : ⎢
⎣ ⎡
≤ ≥
1 x
4 x
(*) ⇔ (x−2)(x−1)+ (x−3)(x−1) ≥ (x−4)(x−1) (**) •Trường hợp : x ≥
(**) ⇔ x−2+ x−3≥2 x−4= x−4+ x−4
(Bất phương trình ln với x ≥ ;vì x – > x – 4; x – > x – )
•Trường hợp : x <
(**) ⇔ (2−x)(1−x)+ (3−x)(1−x) ≥2 (4−x)(1−x)
⇔ 2−x + 3−x ≥2 4−x (vô nghiệm) Vì ∀x < : – x < – x ; – x < – x
(21)Bài 13
Giải bất phương trình :
(1 1 x) x 4
x
2
− > +
+
(Đại học Sư phạm Vinh - 2001) Giải
(1 1 x) x 4
x
2
− > +
+ (*)
•Khi x = : (*) ⇔ > -4 (đúng) Vậy x = nghiệm bpt (*)
•Khi x ≠ :
(*) ⇔ ( 2 )
2
x x 1 1
x − + > x –
⇔1 - 1+x + + x > x –
⇔
⎩ ⎨ ⎧
≠ < +
0 x
3 x
1 ⇔
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≠ < +
− ≥
0 x
9 x
1 x
⇔
⎩ ⎨ ⎧
≠ < ≤ −
0 x
8 x 1
Vậy : (*) có nghiệm : -1 ≤ x < Bài 14
1) Giải biện luận theo a bất phương trình: 2x a− ≥x 2) Cho bất phương trình : mx− x m 1− ≤ +
a) Giải bất phương trình với m
=
b) Với giá trị m bất phương trình có nghiệm ? Giải
1) Điều kiện : x a / 2.≥
2x a− ≥x.⇔ 2 2x a− ≥2x a a− + ⇔ − ≥1 a ( 2x a 1)− − (1) • a 0− < ⇔ >a 1: (1) vô nghiệm
• a 0− = ⇔ =a 1: (1) có nghiệm x =
(22)) a 1 a a /
α < < ⇒ − − ≥ neân (2)⇔ −1 a− ≤ ≤ +x 1 a−
) a : (2) a/2 x + 1-a
β ≤ ⇔ ≤ ≤
2) Điều kiện nghiệm : x 3≥
Đặt t= x 0− ≥ ⇒ =x t2+ ≥3 3và bất phương trình cho trở thành
f (t) mt= − +t 2m 0, t 0− ≤ ≥ (1) b) α) m :≤ Vì t 0≥ nên (1) thỏa mãn
β) m : f (t)> có biệt số ∆ = −1 4m(2m 1)− = −8m2+4m 1.+
Để (1) có nghiệm t 0,≥ trước hết cần có :
0 m (1 3) /
∆ ≥ ⇒ < ≤ +
Khi f(t) có nghiệm t1 2m
− ∆
= vaø t2 2m
+ ∆
= > Từ suy bất
phương trình cho có nghiệmt1≤t2(nếut1≥0) :
0 t t≤ ≤ (nếut1<0)hoặc t=t2(nếut1=t ).2
Đáp số : m
+ ≤
b) Với m 1/ : t= 1=0, t2 = ⇒ ≤ =2 t x 2− ≤
0 x x
⇔ ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ (do áp dụng phần 2) Bài 15
Với giá trị a > , giải bất phương trình a+x + a−x >a (1)
(Đề thi trường Đại học miền Bắc năm 1970) Giải
Điều kiện :
⎩ ⎨ ⎧
≥ −
≥ +
0 0
x a
x a
⇔
⎩ ⎨ ⎧
≤ − ≥
a x
a x
⇔ -a ≤ x ≤ a (*)
(1) ⇔ ( )2
a x a x
a+ + − >
⇔ 2a + 2 x
a − > a2 ⇔ a2 −x2 > a(a – 2)
⇔ ( ) (( ) )
( )
⎩ ⎨ ⎧
− >
− − ∨
⎩ ⎨ ⎧
≥ −
< −
2
2 2
2 4 2
2 0
0 2
a a x a a a x
a a a
⇔
( )
⎩ ⎨ ⎧
− <
≥ ∨ ⎩
⎨ ⎧
≤ ≤ −
< <
a a x a a x a
a
4
2
0
3
(23)Xét hệ (2) ta có :
• Nếu a ≥ ⇒ 4x2 < a3(4 – a) < : hệ vô nghiệm
• Neáu ≤ a < ⇒ x2 < ( )
a a
−
4 4
3
⇔ x < a a(4−a)
2
Kết hợp điều kiện (*) ta chọn ⏐x⏐ < a a(4−a)
2
Vậy nghiệm bất phương trình (1) : • ⏐x⏐≤ a với < a <
• ⏐x⏐ < a a(4−a)
2 với ≤ a <
Voâ nghieäm a ≥
Chú ý : Dễ dàng kiểm chứng a a(4−a)
2 ≤ a với ≤ a <
Baøi 16
Với giá trị y tồn giá trị x nghiệm bất phương trình
2log 2log 2
1
2
1 y − + y −x > (1)
Giải Đặt y2 =m
2
log , điều kiện y ≠ Bất phương trình cho thành
2m – + 2mx – x2 > ⇔ x2 – 2mx + – 2m < (2)
Bài tốn trở thành tìm m để bất phương trình (2) có nghiệm
Trước hết ta định m để bất phương trình (2) vơ nghiệm , tức định m để x2 – 2mx + – 2m ≥∀x
Điều xảy :
∆’ ≤ ⇔ m2 + 2m – ≤ ⇔ -3 ≤ m ≤
do trị m để bất phương trình (2) có nghiệm : m < -3 ∨ m >
• Với m < -3 , ta có : log
(24)• Với m > ta có : log 2
1 y > ⇔ < y
2 <
2 1
⇔ < ⏐y⏐ <
2 2
Bài 16 Định y để :
0 1 log 1 2 1 log 1 2 1 log
2 2 2 2
2 >
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
y y y
y x
y y x
nghiệm với x
Giải
Đặt : m
y y = + +
1 log
1 2
Điều kiện
1
+ y
y
> ⇔ y < -1 ∨ y >
Bất phương trình cho thành (3 – m)x2 + 2mx – 2m > (2) Bất phương trình (2) nghiệm với x :
0
6
3
0
3
'
< ⇔ ⎩
⎨ ⎧
<
> ∨ < ⇔ ⎩
⎨ ⎧
<
< + − ⇔ ⎩
⎨ ⎧
> −
< ∆
m m
m m
m
m m m
Từ m < ⇔
1 log
1 2
+ +
y y
< ⇔
1 log2
+ y
y < -1
⇔
1
+ y
y <
2 1
⇔ -1 < y < Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có < y <
Vậy với < y < bất phương trình cho nghiệm với x Bài 17
Giải phương trình : 2(5x +24)− 5x −1≥ 5x +7 (*)
(Đề thi Đại học Tổng hợp Quốc gia Matxcơva – 1977) Giải
Điều kieän 5x – ≥ ⇔ 5x≥ ⇔ x ≥ log 57 (*) ⇔ 2(5x +24)− 5x −1≥ 5x +7
(25)⇔ 2(5x +24)≥5x −7+5x +7+2 (5x −7)(5x +7)
⇔ 52x −49 ≤48 ⇔ 5x −49 ≤24 ⇔ 52x −49≤576 ⇔ 52x≤ 625 ⇔ 5x≤ 25 = 52 ⇔ x ≤
Giao với điều kiện ban đầu ta nghiệm bất phương trình log57 ≤ x ≤
Bài 18
Giải bất phương trình
( )
1
2 log
3 log
2 2
2 +
+ + + − >
+ −
x x x x
x
Giải Điều kiện để tốn có nghĩa :
⎩ ⎨ ⎧
≥ +
≥ −
0
0 x
x x
⇔ -1 ≤ x ≤ ∨ x ≥
Ta coù VP =
1
2 log
2
1 +
+ + +
− x x
x
=
2 log 1
2 log
2
2
1 +
+ + +
− x x
x
=
1
1 log
2
+ + +
− x x
x
= log ( 4 1 1)
2 x − x+ x+ +
Từ bất phương trình trỡ thành :
( 4 3) log ( 4 1 1)
log
2
2 x − x+ > x − x+ x+ +
⇔ −4 +3> −4 + +1+1 x x x x
x
⇔ x+1<2 ⇔ x + < ⇔ x <
(26)Baøi 19
Giải phương trình :
( ) 1( 8 2 6 1) 0
5 log 1 3
4
5
2 − + + + − − + ≤
x x x x x
x
(Đề thi Khoa Hoá Đại học Tổng hợp Quốc gia Matxcơva – 1983) Giải
Điều kiện để hệ có nghiệm :
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥ − − >
≥ + −
0 6 2 8
0
0 3 4
2
x x x
x x
⇔
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≤ + − >
≥ + −
0 3 4 0
0 3 4
2
x x x
x x
⇔
⎩ ⎨ ⎧
= + − >
0
x x x
⇔ x = ∨ x = • Với x = ta có vế trái bất phương trình :
( ) ( ) 1 0
5 1 log 1 6 2 8 1 5 log 1 3
4 5
5
2 − + + + − − + = + =
x x x x x
x
Vậy x = nghiệmcủa bất phương trình cho • Với x = , ta có vế trái bất phương trình
( ) ( )
5
4 log
5 x
x x x x
x
− + + + − − +
5
3 1
log log
5 3
= + = − +
=
3
3 log 3
log5 − = 5 > (Để ý
3 > )
Vậy x = nghiệm bất phương trình Kết luận : bất phương trình cho có nghiệm x =
(27)Baøi 20
Giải bất phương trình : cosx – y2 - − −1≥0
x y
Giaûi
Đây dạng dẫn đến đối lập :
Phương trình cho tương đương với : cosx – y2≥ − −1
x
y (1)
Điều kiện y – x2 – ≥ ⇔ y ≥ x2 + (2) Nếu y < ⇔ (2) không nghiệm Vậy x ≥ , lúc (2) ⇔ y2≥ (x2 + 1)2 (3) Bất phương trình (1) có nghiệm : cosx – y2≥ ⇔ y2≤ cosx (4)
Từ (3) (4) ta có : cosx ≥ y2≥ (x2 + 1)2 (5) ⇒ cosx ≥ (x2 + 1)2 (6) Mà cosx ≤ (x2 + 1)2≥
Suy (6) có nghiệm
( ) ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
= +
=
1 1
1 cos
2
x x
⇔
⎩ ⎨ ⎧
= =
0 1 cos
x x
⇔ x = Khi (5) trở thành :
1 ≥ y2≥ ⇔ y2 = ⇔ y = ∨ y = -1 (loại y ≥ 0) Vậy nghiệm bất phương trình cho x = ; y = Bài 21
Giải bất phương trình 2x−1+ 3x−2 > 4x−3+ 5x−4 (1)
Giải Điều kiện :
5 4 0
4 5
0 3 4
0 2 3
0 1 2
≥ ⇔ ⎪
⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
≥ −
≥ −
≥ −
≥ −
x
x x x x
Bất phương trình (1) tương đương với :
2 3 4 5 3 4 1
2x− − x− > x− − x− (2)
(28)vaø 5x−4− 3x−2 ≥0⇔ 5x−4 ≥ 3x−2
⇔ 5x – ≥ 3x – ⇔ x ≥ Vaäy :
• Nếu x = : (2) ⇔ > : vô lý • Nếu x < ⇒
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
< − − −
> − − −
0 2 3 4 5
0 3 4 1 2
x x
x x
⇒ (2) nghiệm với x <
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có nghiệm số :
5 4
≤ x < • Nếu x > ⇒
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
> − − −
< − − −
0 2 3 4 5
0 3 4 1 2
x x
x x
⇒ (2) không nghiệm với x >
Vậy nghiệm bất phương trình cho :
5 4
≤ x < Chú ý :
Nếu giải cách thông thường thời gian nhiều Bài 22
Giải bất phương trình : x−1− x+2>x−2
(Đề Đại Học Mỏ Địa Chất ) Giải
Điều kiện : ⎩⎨ ⎧
≥ + ≥ −
0 x
x ⇔ x ≥ Lúc : x−1− x+2 >x−2 (1)
(1) ⇔
2 x x
) x ( ) x (
− − −
+ −
− > x –2 ⇔ ( x – 2)[3−2( x−1− x+2] >
(29)Bài 22:
Tìm m để bất phương trình : (1+2x)(3−x)>m+(2x2 −5x+3) thoả mãn ∀ ∈⎢⎣⎡− ;3⎥⎦⎤
2
x
(Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải ) Giải
Điều kiện cần :
) x x ( m ) x )( x
( + − > + − + (*)
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− ∈
∀ ;3
2 x Cho x = : > m + ⇒ m < −6
Điều kiện đủ : Với m < −6 ta chứng minh (*) ∀ ∈⎢⎣⎡− ;3⎥⎦⎤ x Đặt t = (1+2x)(3−x) ≥ (*) trở thành :
t > m + – t2 ⇔ t2 + t > m + Điều hiển nhiên :
t2 + t ≥
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈
∀ ;3
2
x ; m + < Vậy m cần tìm : m < −6
Bài 23
Giải bất phương trình : −x2 +6x−5>8−2x
(Đề Đại Học Quốc Gia HàNội ) Giải
x x
x2 + − > −
− ⇔ −(x−1)(x−5)>2(4−x) (1) Điều kiện : ≤ x ≤
Nếu < ≤ (1) nghiệm
Neáu ≤ x≤ : (1) ⇔ −x2 +6x−5>64−32x+4x2 ⇔
0 64 x 32 x
4 − + < ⇔ < x <
(30)Baøi 24
Giải bất phương trình : x
1 x x
5 x
5 + < + +
(Đề Đại Học Luật TPHCM) Giải
Điều kiện : x >
Đặt t = ,t x
2
x + ≥
Ta coù : t2 = 2(t 1) x
2 x x
1
x+ + ⇒ + = −
Bất phương trình cho :
⇔ 5t<2(t2 −1)+4⇔2t2 −5t+2>0
⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
> <
2 t
) loai (
t ⇔ 1 4
x
1 x x
1
x + > ⇔ + + >
⇔ 4x2 –12x +1 > ( x > 0) ⇔
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
+ >
− < <
2 2 x
2 2 x
Baøi 25
Cho Bất phương trình : (x2 +1)2 +m≤x x2 +2+4 1-\Giải Bất phương trình m =
2-\ Xác định tham số m để Bất phương trình cho thoả với x đoạn [ 0;1 ]
( Đại Học Luật TPHCM) Giải
1-\ (x2 +1)2 +3≤x x2 +2 +4
⇔
⎩ ⎨ ⎧
≥ + ≤ +
⇔ + ≤
+
0
x(x 2) x x
2 x x x
x4 2 2
⇔
⎩ ⎨ ⎧
≥ < − ≤
⇔ ⎩
⎨ ⎧
≥+0 − ≤ x0 x0 x 2x
x4 2
(31)m ≤ −x4 −2x2 +x x2 +2+3 m ≤ −x2(x2 +2)+x x2 +2 +3
Đặt t = x x2 +2 ≤ x ≤ , ta coù : ≤ t ≤ 3 Bất phương trình theo t : m ≤ −t2+ t + ; t∈ [0; 3]
Đặt f(t) = −t2+ t + ; t∈ [0; 3]
f’(t) = −2t+ f’(t) = ⇔ t = Bảng biến thiên cho ta :
Điều kiện m : m ≤ Bài 27
Giải bất phng trình :
4 x x x x x
x2 − + + − + ≥ − +
( Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải
4 x x x x x
x2 − + + − + ≥ − + (1)
⇔ (x−1)(x−2) + (x−1)(x−3)≥ (x−1)(x−4) (2) bất phuơng trình có nghĩa x ≤ x ≥
Xét trường hợp :
* x ≥ : (2) ⇔ x−1 x−2+ x−1 x−3≥2 x−1 x−4 ⇔ x−2+ x−3≥2 x−4
bất phương trình hiển nhiên x –2 > x –3 > x – ≥ * x ≤ : (2) ⇔ x−1 x−2+ x−1 x−3≥2 x−1 x−4 Rõ ràng x = nghiệm
Xét x < Lúc :
(2) ⇔ 2−x + 3−x≥2 4−x
⇔ 5−2x+2 2−x 3−x ≥ (4 – x) ⇔ 2−x 3−x ≥ 11 – 2x
(32)Baøi 28
Giải biện luận theo tham số m bât phươngtrình sau:
x2 − ≥ m (x – 2) (1)
(Đề Đại Học Quốc Gia Hà Nội ) Giải
Điều kiện : x2 – ≥ ⇔
⎢⎣ ⎡ ≥− ≤ x x
* Neáu m = : bât phươngtrình có nghiệm : ⎢⎣⎡xx≥≤−22 * Nếu m > , ta coù :
(1) ⇔
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≥+ ≥ − − ≤ ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≥− ≥ − − ≤
x m (x 2) x
2 x
x m (x 2) x x 2 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − ≥ + − ≤
xm 1)x 2(m 1) (
2 x
2
* Neáu < m ≤ (1) ⇔ ⎢⎣ ⎡ ≥− ≤ x x
* Neáu > m ≤ (1) ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ≤ ≤ − ≤ m ) m ( x 2 x 2
* Nếu m < (1) ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ −− ≤ ≥ 2
2 4 m (x 2)
x x x ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ +− ≤ ≥ ) x ( m x x x
2 ⇔ ⎢⎢
⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ + ≥ − − ≤ ≥ ) m ( x ) m ( x x 2
* Neáu −1< m < (1) ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ≤ ≥ m ) m ( x x 2
(33)Baøi 29
Tìm nghiệm bất phương trình :
2
2 x 1 x
x
x+ − < − [ , ]
(Đề Đại Học Kiến Trúc Hà Nội ) Giải
2
2 1 x x 1 x
x
x+ − ≥ − ≥ − ∀x∈ [ , ] , bất phương trình cho vơ nghiệm [ , ]
Bài 30
Giải biện luận bất phương trình : m x m x m
x− − − > − ( m : tham số ) Giải
Xét x−m− x−2m> x−3m
⇔ x−m> x−2m+ x−3m (*) * Nếu m ≤ ⇒ bất phương trình vơ nghiệm * Nếu m > Điều kiện x ≥ 3m :
(*) ⇔ x−m>x−2m+x−3m+2 (x−2m)(x−3m) ⇔ 4m−x>2 (x−2m)(x−3m)
Khi 3m ≤ x < 4m , bình phương vế bất phương trình , ta : )
m mx x ( mx x m
16 + − > − +
⇔
2 m ) ( x
m ) ( m mx 12 x
3 − + < ⇔ − < < +
Giao với điều kiện : 3m ≤ x < , ta : 3m ≤ x <
m ) ( + Kết luận :
+ Nếu m ≤ : bất phương trình vô nghiệm + Nếu m > : bất phương trình có nghiệm 3m ≤ x <
2 m )
(34)Baøi 31
Giải bất phương trình ( −3) −4 ≤ −9
x x
x
(Đại học dân lập Ngoại ngữ – Tin học , năm 1997) Giải
( −3) −4≤ −9
x x
x ⇔ (x−3) x2 −4 ≤(x−3)(x+3)
Với x = ta có đẳng thức
Với x ≠ ta phân làm trường hợp • x > :
Lúc ta có : −4
x ≤ x +
⇒ x2 – ≤ x2 + 6x + ⇒ x ≥
6 13
−
Vì x > nên tất nhiên x ≥
6 13
− Do nghiệm bất phương trình x >
• x <
Ta có :x < ⇔ x – < nên bất phương trình tương đương với
4 −
x ≥ x +
Suy : x ≤
6 13
−
Với x ≤
6 13
− x > nghiệm bất phương trình x ≤
6 13
−
Đáp số :Vậy nghiệm bất phương trình cho :
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− ≤ ≥
6 13 3
x x
Baøi 32
Cho bất phương trình x - x−1 ≤ m +
a) Giải bất phương trình với m =
b) Với giá trị m bất phương trình vơ nghiệm Giải
a) Ta phải có điều kiện x ≥
(35)⇔ x2 – 6x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ b) Xeùt x - x−1 ≤ m +
Đặt t = x−1 ≥ ⇒ x – = t2
⇒ t2 – 2t ≤ m ⇒ (t – 1)2≤ m +
⇒ - m+1 ≤ t ≤ + m+1
Kết hợp với điều kiện t ≥ ta thấy ∀m ≥ -1 bất phương trình ln có nghiệm
max{1−1 m+1,0}≤ t ≤ + m+1
⇒ + max2{1− m+1,0}≤ x ≤ + (1 + m+1)2 Baøi 33
Giải bất phương trình : x+3− x−1> 2x−1
(Đại học dân lập Hồng Bàng , năm 1998 – 1999) Giải
x+3− x−1> 2x−1
⇔
( )( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ < − −
+ − + −
≥ −
≥ −
3 1
2 1 2
1 2 1
0 1 2
0 1
x x
x x
x x x
⇔
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
+ − ≤ + − ≥ ≥
5 2 1 3 2 2
2 1 1
2
x x
x x x
⇔
( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ − < + −
≥ + −
≥
25 20 4
1 3 2 4
0 5 2
1
2
x x
x x x x
⇔ ⎪⎪⎨
⎧ ≤ ≥
5 1
x
⇔ ⎪⎪⎨
⎧ ≤ ≤
2 5
1 x
(36)Vậy nghiệm bất phương trình cho ≤ x ≤
2 3
Baøi 34
Giải bất phương trình 3 6 4 2 2 x x x
x + + < − −
(Đại học Giao thông vận tải , năm 1998) Giải
Đặt t = +6 +4 x
x , ta coù :
3 6 4 2 2 x x x
x + + < − − (1)
⇔
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥
+ + =
− − <
0
4
(2)
2 2
2
t
x x t
x x t
⇔ x2 + 2x =
3 4
2 −
t
(3)
Thế (3) vào (1) ta coù : t < - ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ −
3 t
⇔ t2 + 3t – 10 = ⇔ -5 < t < (4) Do t ≥ neân :0 ≤ t <
⇔ t2 < ⇔ 3x2 + 6x + < ⇔ -2 < x < Đáp số (1) ⇔ -2 < x <
Baøi 35
Giải bất phương trình : 3 2 1
5 4 9
2
+ ≤ − −
x x
x
(Đại học sư phạm Quy Nhơn , năm 1998) Giải
Bpt ⇔ 3 2
1 5
4 9
2
+ ≤ − −
x x
x
⇔ ( )( )
1
2 3
2 − ≤ +
− +
x x
x x
• x <
3 2
− : (3x + 2)(3x – 2) > Do ( )( )
1
2 3
2 − ≤ +
− +
x x
x
(37)•
3 2 5
1 < ≤
x : (3x + 2)(3x – 2) ≤
Do ( )( )
5
2 3
2 − ≤ +
− +
x x
x
x hiển nhiên thoả mãn
• x >
3
2 : (3x + 2)(3x – 2) >
Do : ( )( )
5
2 3
2 − ≤ +
− +
x x
x x
⇔ 3x – ≤ −1 x
⇔ (3x – 2)2≤ 5x2 – ⇔ 4x2 – 12x + ≤ ⇔
3 2
≤ x ≤
2 5
Vậy tập nghiệm bất phương trình : ⎥
⎦ ⎤ ⎜⎜
⎝ ⎛ ∪ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎢
⎣ ⎡
− −
2 5 ; 5 1 5
1 ; 3 2
C.BAØI TẬP TỰ GIẢI Giải bất phương trình sau : Bài
a 2x+1<5 b 3x−2>1 c x
3 x
−
+ ≥ d
2 x
1 x
−
− ≤ Baøi
(38)Baøi
a (x+2)(x−5) < – x b x2 −x−12 < x c
3 x
x x 15
17
+ −
− > d
20 x
9 − < x e x2 −4x > x – f. 3x2 −22x > 2x –
Baøi
a) x2 −5x+6 ≤ x + b) 2x2−3x x 1− < −
c) x2+ −x 12 < – x d) 3 x− < – x
e ) x2−7x 8− < x –
Baøi
a) s ≥ x – b) x 1+ < x – c) x2−2x > – x
d) x2−3x 10− > x – e) 2x2+7x 5+ > x +
e) x+1− x−2 ≤ f) x+3− x−4 ≥
g) x−1+ x+2 ≤ h) 3x+1+ x−4− 4x+5 < k) x+1− x−1≥2 x−3
Baøi
Giải bất phương trình sau : a) 4(x + 1)2 < (2x + 1)(1 - 3+2x)2 b) (x – 3) x2 +4 ≤ x2 –
c) x+2 − x+1 ≤ x d) 2x2 −6x+1−x+2>0
e)
1 x
x x
x
> + − +
f) 5x2 +10x+1≥7−x2 −2x g)
4 x x x
2 − ≤ − + +
Đáp số :
a) - x
3
− <
(39)b) x ≤ -6
5 x ≥ c) x >
3 − d) x ≤
2
3− x
≥ e) -3
4 < x < -1 f) x ≤ -3 x ≥ g) –1 ≤ x ≤ h) 17−4x + x−5≤ 13x+1
Baøi
Giải bất phương trình : a)
x x x x
x− − − > − b) 2x
9 x
x
2 < + −
+
c) x2 +2x−15+ x2 −8x+15 > 4x2 −18x+18 d) x – <
( )2
2 x 1
x
+
+ e) 2x
1 x x
5 x
5 + < + +
Hướng dẫn :
a) x > 1, x ≠
2
5+ b) < x <
8 45 c) x < x > d) –1 ≤ x ≤ e) Đặt t =
x
1
x + ⇒ t2 = x + 1 a
1
+ ⇒ 2x + 2t x
2
1 = −
Bất phương trình : 2t2 –5t + > ⇔
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
> >
2 t
2 t
Đáp số : x > 2
3+ < x < 2 3− Bài
a) x+6> x−1+ 2x−5 b) x−2− x+3−2 x ≥ c) 2 7+x − 2 7−x >4 28 d) x2 + x2 +11 < 31
e)
4 x
4 x
2 −
>
− f)
2 x
4 x
+
(40)Baøi
a) x2 −3x+5+x2 ≤ 3x +
b) 2x2 − (x−3)(2x−7) < 13x +
c) 2x+ 6x2 +1 < x + d) (1+x2) x2 +1>x2 −1
e) x+5+2>3 x−3 e) 31+ x <2−31− x
f) x−2+46−x ≥ 2 g) 4−4x3+x6 >x−3 2
h) x4 −2x2 +1 > – x Baøi 10
a) 3x2 +5x+7− 3x2 +5x+2 >
b) x
x
4
− −
− < c) (x−3) x2 −4≤x2 −9
d)
2 x
x 12 2 x
x 12
x x
− − − −
− >
e)
x x
1 x
4
2
2
2 + − − >
− + f)
3 x
5 x x
16 x2
− > − + − −
g) x2 +3x+4+ x+1>−3 h) x2 +3x+2− x −x+1 < Bài 11
Tìm m để phương trình : (1+2x).(3−x) > m+ (2x2-5x +3) thỏa mãn ∀ , x ∈
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡− , 3
2 1
(41)Bài 12
Giải biện luận phương trình : x
x − − > a (1) với a : tham số dương
Hướng dẫn :
(1) ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− <
+ − ≥
1 x x ) a ( x
1 x
2 ⇔
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
+ − < −
+ > ≥
2 2
)] a ( x [ x ) x (
2 a x
1 x
Đáp số :
a = : bất phương trình vô nghiệm
0 < a < : bất phương trình có nghiệm : ≤ x ≤
2
a
1 a
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛ + a > : bất phương trình vô nghiệm