Chuyên đề. Phương pháp cân bằng hệ số trong giải các bài toán đại số

Đặt vấn đề: Quá trình học tập ở phổ thông đã có nhiều phương pháp tổng quát cho một lớp các bài toán sơ cấp như phương pháp qui nạp, phương pháp toạ độ, phương pháp véc tơ, phương pháp

Rèn luyện kĩ năng giải toán sơ cấp cho học sinh THPT bằng

pháp cân bằng hệ số

ThS Đỗ Viết Tuân

Bộ môn: Toán - tin

I Đặt vấn đề:

Quá trình học tập ở phổ thông đã có nhiều phương pháp tổng quát cho một lớp các bài toán sơ cấp như phương pháp qui nạp, phương pháp toạ độ, phương pháp véc tơ, phương pháp lượng giác hoá…

Trong bài viết này tôi xin trình bày một lớp các bài toán có thể giải bằng phương pháp cân bằng hệ số

II Mục đích:

-Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một lớp các bài toán sơ cấp

-Rèn luyện kĩ năng giải toán sơ cấp thông qua phương pháp này

III Nội dung

Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp cân bằng hệ số trong một số bài toán tích phân, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương trình vô tỷ, hệ thức lượng trong tam giác, nhị thức Newton…

1 Trong các bài toán tích phân, nhị thức Newton

Trước hết chúng ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1: Cho hai đa thức

  , ta nói rằng P x( )Q x( )

khi và chỉ khi a i b i (i1, 2, )n

( )

b

a

P x dx

Q x



Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I =

1

3 0

3

1 x dx



Giải : Phân tích:

2

3



Từ đó suy ra:

Vậy tích phân viết lại dưới dạng

1 0

ln( 1) |

x M  x x N, ta viết được tích phân

1

2

x







Vậy ln 2 2

3 3

b Trong bài toán nhị thức Newton

Trong một số bài toán nhị thức Newton chúng ta cũng sử dụng phương pháp cân bằng hệ số Chẳng hạn:

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau đây:

2 (C n) (C n) (C n n) C n n

Giải

Trước hết ta khai triển hệ thức (1x)2n theo hai cách sau

(1x) n C n C x n C x n n n C x n n n (1)

Và

2



Từ (1) và (2), suy ra: (C n0 2) (C n1 2) (C n n)2 C2n n

2 Trong các bài toán bất đằng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Trong bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, nhiều khi việc áp dụng bất đẳng thức Côsi chúng ta thường quan tâm đến việc dấu bằng

xảy ra khi nào? Việc cần bằng hệ số giúp chúng ta áp dụng bất đẳng thức Côsi dễ dàng hơn nhiều

Ví dụ 3: Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn đẳng thức sau: xy + yz + zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a(x 2 + y 2 ) + z 2 ( a > 0)

Giải :

Xét số thực k > 0, ta có các bất đằng thức sau:

2 2

cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên lại ta có:

2

k k



2

k k



2

a

k     và suy ra

Giá trị nhỏ nhất của F là 1 1 8

2

a

Dấu bằng xảy ra khi

1

1 8 1

1 8 1

2 1 8

x

a

z k x

a

xy yz zx

a z

a











 















Ví dụ 4: Cho x  0;1 Chứng minh rằng 3(1 2) 6 15

125

Giải :

Trước hết ta viết x3(1 x2) 1 x x x (  x)(  x)



    Và chúng ta tìm  ,  0

sao cho

3

1

x









(Việc cân bằng hệ số như trên giúp chúng ta khi áp dụng bất đẳng thức Côsi sẽ triệt

tiêu ẩn x)

Từ đó ta suy ra: 2

2

2











 

 Vậy áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 5 số không âm số ta có :

5



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 15 3 15

5



3 Trong các bài toán hệ thức lượng trong tam giác

Bổ đề 2: Nếu cho biểu thức manb pc thì ta có thể phân tích thành

x ab y bc z ca , trong đó:

2 2 2

x

y

z

 

























Từ bổ đề trên chúng ta có thể áp dụng trong chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, nhận dạng trong tam giác khá hiệu quả

Ví dụ 5: Trong tam giác ABC cho đẳng thức

  (1)

Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tam giác ABC

Giải:

Chúng ta viết (1) về dạng

Theo bổ đề trên đẳng thức (2) tương với

0 300

Ví dụ 6: Tam giác ABC có các góc thoả mãn điều kiện

Chứng minh rằng tam giác ABC đều

Giải:

Theo bổ đề, vế trái của đẳng thức được viết dưới dạng:

Vì

Tương tự ta có: sin sin 2cos

2

A

B C  và

VT    VP Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Chúng ta cũng có thể dựa vào định nghĩa hai số phức bằng nhau để giải quyết một

số bài toán lượng giác khác

Bổ đề 3: Cho hai số phức z1 a1b i z1, 2 a2 b i2 , khi đó 1 2 1 2

1 2

a a

z z

b b









Ví dụ 7:

Chứng minh rằng: cos cos3 cos5 cos7 cos9 1

Giải:

Vì e i  cos isin , nên chúng ta có thể coi tổng ở vế trái là phần thực của

số phức sau:

4 (2 1)

11 0

i k k







 Ta viết số phức T dưới dạng:

10 2

2

1 1

i

i k

e

e











Vì: e2ia  1 e ia(e ia eia)2ieiasina Áp dụng vào số phức T ta có

5

2 11

5

11

11

i i

i i

ie

ie







Từ đó suy ra:

Re

T

Nhận xét. Chúng ta có thể tính được tổng

25 sin

11

S





4 Trong các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Trong một số bài toán giải phương trình chúng ta có thể đưa về hệ phương trình đối xứng kiểu một hoặc hai, nhưng không phải lúc nào chúng ta cũng đặt để đưa ngay

về các hệ đối xứng Việc đưa về hệ đối xứng sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta dùng phương pháp cân bằng hệ số

Ví dụ 8: Giải phương trình sau:

2

2x 6x 1 4x5

Giải :

Trước hết chúng ta sẽ đặt 4x5 at Khi đó ta có hệ phương trình sau: b

2







Chúng ta sẽ tìm điều kiện của a và b để hệ trên là hệ đối xứng kiểu II bằng cách

viêt lại hệ dưới dạng:

2







Khi đó a, b phải thoả mãn điều kiện sau: 22 6 1 2

Từ việc cân bằng hệ số trên ta suy ra: a 2,b  Vậy hệ phương trình có dạng: 3

2

2





 Trừ theo vế hai phương trình ta có :

x t x t



IV Kết Luận

Mục đích của người viết đơn giản chỉ là giới thiệu một phương pháp giải toán sơ cấp trong hệ thống các phương pháp đã biết Một lớp các bài toán sơ cấp đã được giải bằng phương pháp này Nhưng do trong khuôn khổ bài viết, chúng tôi chỉ điểm qua một vài ví dụ minh hoạ Nếu được viết kỹ lưỡng thì phương pháp này có thể là một công cụ hữu ích cho học sinh THPT trong việc giải các bài toán đại số sơ cấp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Tuyển tập các bài toán sơ cấp tập 1, 2, 3 NXB ĐHQG Hà nội

2 Tạp chí toán học tuổi trẻ