Những sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợp

Những sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợpNhững sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợpNhững sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợpNhững sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợpNhững sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợpNhững sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợp

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển của Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán trong thực tế Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất lớn

Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh Học sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại

số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp: Dạy cái gì? Dạy như thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không

bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập? là những vấn đề được nhiều người quan tâm và nghiên cứu

Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là:

“Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và

cách khắc phục”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai làm phổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông Từ

đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm:

3.1 Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình học Đại số tổ hợp

3.2 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm

3.3 Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai lầm

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi và hiệu quả của những đề xuất

3.5 Đưa ra những kết luận cần thiết

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đế đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo…

4.2 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông Đặng thai Mai

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai

PHẦN 2 : NỘI DUNG

NỘI DUNG: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ

HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC

1.1 Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ hợp của 100 học sinh lớp 11 – Ban nâng cao trường THPT Đặng Thai Mai với hình thức ra bài kiểm tra tự luận (thời gian: 20 phút)

Đề kiểm tra

1 Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá?

(Đáp án: 3780 cách)

2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ

số là một số chẵn?

(Đáp án: 64800 số)

*Chúng tôi trình bày một số lời giải sai của học sinh :

Câu 1:

- Lời giải 1:

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

A13.A25.A58 = 403200 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

A13.A35.A48 = 302400 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

403200 + 302400 = 705600 cách

Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã

sử dụng sai công thức

- Lời giải 2:

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có

2 học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là

số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

A13+A25+A58= 6743 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

A13 + A35 + A48 = 1743 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

6743 + 1743 = 8486 cách

Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc

- Lời giải 3:

Mỗi cách chọn thành viên tổ 1 chính là cách chọn thành viên tổ 2 Như vậy ta chỉ cần xét cho tổ 1 Có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng:

* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Có:

C13.C25.C58 = 1680 cách

* Khả năng 2: 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Khả năng này có:

C13.C35.C48 = 2100 cách Trường hợp 2: 2 học sinh giỏi Có 2 khả năng:

* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Khả năng này có:

C23.C25.C48 = 2100 cách

* Khả năng 2: 3 học sinh khá và 3 học sinh trung bình Khả năng này có:

C23.C35.C38 = 1680 cách Theo quy tắc cộng ta có kết quả là:

1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách

Nhận xét: Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến

lặp Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính là các cách xếp tổ 2 ở trường hợp 1

- Lời giải đúng là:

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có

2 học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là

số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

C13.C25.C58 = 1680 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

C13.C35.C48 = 2100 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

1680 + 2100 = 3780 cách Câu 2:

- Lời giải 1:

Số có 6 chữ số thoả mãn: Tổng các chữ số là một số chẵn có thể xảy ra ở hai trường hợp:

Trường hợp 1: Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn có C2

5.C45.6! số

Trường hợp 2: Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn có C4

5.C25.6! số

Trong đó số các số có 6 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu là:

A59 = 15120 số

Vậy kết quả của bài toán là:

C25.C45.6! – 15120 = 56880 số

Nhận xét: Thực tế học sinh phân chia số có 6 chữ số mà tổng các chữ số là

một số chẵn gồm hai tập hợp Giả sử:

A: Gồm các số có 6 chữ số có tổng các chữ số là số chắn

B: Gồm các số có 6 chữ số và có chữ số 0 đứng đầu

C: Gồm các chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán

Nhận thấy rằng: Bø

(Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhưng tổng các chữ số còn lại không phải là số chẵn suy ra nó không thuộc tập A) Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết

quả

- Lời giải 2:

Gải sử số cần tìm là a 1a2a3a4a5a6

a 1 + a 2 +a 3 +a 4 +a 5 + a 6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp :

Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :

C25.C45.6 ! = 36000 số Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :

C45.C25.6 ! = 36000 số Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là :

36000 + 36000 = 72000 số

Nhận xét : Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên

đã không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu

- Lời giải đúng là :

Giả sử số cần tìm là a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp :

Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn ta được :

C25.C45.6 ! - C25.C34.5 ! = 31200 số Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :

C45.C25.6 ! – C45.C14.5 ! = 33600 số

Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là :

31200 + 33600 = 64800 số

*Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên :

Sai lầm 1 : Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp

Sai lầm 2 : Sử dụng sai quy tắc

Sai lầm 3 : Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp

Sai lầm 4 : Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc

Sai lầm 5 : Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học

* Kết quả :

Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng

Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu Câu hỏi đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung

2.2 Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ Hợp

2.2.1 Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác

tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó” Trong quá trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa Theo A.A.Stôliar thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững

cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa lý hiệu với khái niệm được định nghĩa…

Ví dụ 1 :

Học sinh thường phát biểu : „Tổ hợp chập k của n là C k

n ‟‟ mà phát biểu

đúng là: „Số tổ hợp chập k của n là C k

n ‟‟ hoặc „Chỉnh hợp chập k của n là A k

n ’’

mà phát biểu đúng là: „Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là A k

n ”

Cũng có những học sinh áp dụng công thác rất thành thạo nhưng lại không hiểu ý nghĩa của công thức

Ví dụ 2 :

Khi gặp bài tập chứng minh Cn

n-k = Ckn

Học sinh dế dàng làm được bằng cách áp dụng trực tiếp công thức :

Ckn = !

( )! !

n

nk k Tuy nhiên ít học sinh chứng minh được dựa vào định nghĩa của Ck

n, học sinh không hiểu được bản chất tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k (k ≤ n) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm (n-k) phần từ

Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Quy tắc cộng: „‟Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương

án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”

Quy tắc nhân: „Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B

Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách”

Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm

lẫn cụm từ „một trong hai phương án” và „‟ hai công đoạn liên liếp”… gây ra

sai lầm trong giải toán

Ví dụ 3 :

Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?

♠ Học sinh giải như sau:

Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (học sinh)

Vận dụng quy tắc cộng ta có :

20 + 20 = 40 cách

♠ Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ

là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn

nữ (hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn

1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ)

♠ Lời giải đúng là:

Số học sinh nữ trong lớp là:

40 – 20 = 20 (học sinh) Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách

Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn

nữ

Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam và 1 bạn nữ là:

20.20 = 400 (cách chọn) Khi giải các bài toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫn chưa hiểu rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp

Dịnh nghĩa chỉnh hợp: „„Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số

nguyên k với 1≤ k ≤ n Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)”

Định nghĩa tổ hợp: „„Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với

1≤ k ≤ n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phẩn tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)”

Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính

số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn

Ví dụ 4 :

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ?

♠ Học sinh giải như sau:

Giả sử a 1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0 Tổng số cách chọn 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C3 10, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0

là C29 Do đó kết quả của bài toán là:

C310 – C29 = 84

♠ Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh chưa nắm được chỉnh hợp là một tập con gồm k phần tử sắp thứ

tự trong khi bài toán này với 3 chữ số a 1a2a3 phân biệt có 6 cách xếp thành

những số khác nhau (chẳng hạn a 1 a 2 a 3 ≠ a 1 a 2 a 3 )

♠ Lời giải đúng là:

Giả sử a 1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0, ứng với mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất Tổng số cách sắp xếp 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là A3 10, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0 là A29 Do đó kết quả của bài toán là :

A310 – A29 = 648 (số)

Ví dụ 5:

Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam Người ta tổ chức cuộc chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra cặp để tham gia trò chơi?

♠ Học sinh giải như sau:

Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A3

7 = 210 cách Tương tự số cách chọn 3 nữ có thứ tự là: A3

9 = 504 cách Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia trò chơi là:

A13.A35 = 210.504 = 105840 (cách)

♠ Sai lầm học sinh mắc phải:

Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại Giả sử 3 bạn nam xếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c Ta có 3 cặp (A,a), (B,b), (C,c) Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3

cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống trước Như vậy trong bài toán này ta phải dùng công thức tính số tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp

♠ Lời giải đúng là:

Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam Số cách chọn là:

C13 = 35 cách Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh nữ Số cách chọn là:

C39 = 84 cách Công đoạn 3: Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ Có 3! Cách xếp Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

3! 84.35 = 17640 cách 2.2.2 Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học

Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới

Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việc tất yếu là học sinh giải toán sai

Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay

sử dụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”

Chẳng hạn như các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ cái có mặt trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} (Có 8 phần tử khác nhau)

Theo quan điểm của lý thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái (10 phần tử)

Chính vì thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải toán tổ hợp

Ví dụ 6: