K lý thuyết của đại số banch và một vài ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH # " Nguyễn Anh Tuấn K–LÝ THUYẾT CỦA ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chun ngành : Hình học Tơpơ Mã số 60 46 10 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thầy tạo hội cho tơi làm quen với K –lý thuyết, lĩnh vực đại Tốn học Trong q trình nghiên cứu, thầy trang bị cho nhiều kiến thức, tài liệu, tận tình hướng dẫn chun mơn lẫn phương pháp nghiên cứu, giúp cho tơi hồn thành đề tài; Tơi chân thành cảm ơn q thầy tổ Hình học, khoa Toán–Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp học tập suốt trình học Cao học; Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, phịng Kế hoạch–Tài Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập làm luận văn; Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn động viên quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình anh chị buổi xêmina có góp ý xác đáng, giúp cho tơi hồn chỉnh luận văn Xin chân thành cảm ơn! 15 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày cách sơ lược khái niệm chuẩn bị cần thiết có liên quan Vì khối lượng kiến thức chuẩn bị tương đối lớn khn khổ luận văn có hạn nên chúng tơi trình bày khái niệm cần thiết Độc giả quan tâm đến khái niệm, tính chất khác phần chứng minh tham khảo thêm tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [7], [14], [15], [16], [17], [20], [24], [25] 1.1 Sơ lược phạm trù hàm tử 1.1.1 Phạm trù Một phạm trù P bao gồm lớp P đối tượng đó, gọi vật, cho với cặp vật X , Y ∈ P có tập hợp Hom ( X , Y ) cấu xạ f : X → Y từ X tới Y ; đồng thời, với cấu xạ f ∈ Hom ( X , Y ) g ∈ Hom (Y , Z ) , ta xác định hợp thành g f ∈ Hom ( X , Z ) f g , cho tiên đề sau thỏa mãn : Nếu X ≠ X ′ Y ≠ Y ′ Hom ( X , Y ) Hom ( X ′, Y ′ ) rời nhau; Phép hợp thành thỏa mãn luật kết hợp; tức là, với ba cấu xạ ( f , g , h ) ∈ Hom ( X , Y ) × Hom (Y , Z ) × Hom ( Z ,U ) h (g f ) = (h g ) f Với X ∈ P , tồn cấu xạ đồng 1X ∈ Hom ( X , X ) cho với f ∈ Hom ( X , Y ) g ∈ Hom ( Z , X ) f 1X = f 1X g = g Ví dụ : + Phạm trù tập hợp Set : vật tập hợp, cấu xạ ánh xạ phép hợp thành phép hợp thành thơng thường ánh xạ + Phạm trù nhóm Abel Ab : vật nhóm Abel, cấu xạ đồng cấu nhóm phép hợp thành phép hợp ánh xạ 16 1.1.2 Đơn xạ, toàn xạ, đẳng xạ Cho phạm trù P cấu xạ f ∈ Hom ( X , Y ) P Ta gọi : • f đơn xạ với cặp cấu xạ g , h ∈ Hom ( Z , X ) mà f g = f h g = h (tính giản ước trái) • f toàn xạ với cặp cấu xạ g , h ∈ Hom (Y , Z ) mà g f = h f g = h (tính giản ước phải) • f đẳng xạ tồn cấu xạ g : Y → X cho f g = 1Y g f = 1X Khi đó, hai vật X , Y gọi đẳng cấu với Ví dụ : phạm trù Set , đơn xạ, toàn xạ, đẳng xạ tương ứng đơn ánh, tồn ánh song ánh; cịn phạm trù Ab , đơn xạ, toàn xạ, đẳng xạ tương ứng đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu Chú ý : cấu xạ vừa đơn xạ vừa toàn xạ gọi song xạ Rõ ràng rằng, đẳng xạ song xạ chiều ngược lại khơng Một phạm trù mà đó, song xạ đẳng xạ gọi phạm trù cân 1.1.3 Vật phổ dụng phạm trù Cho phạm trù P • Vật X ∈ P gọi vật đầu P với vật Y ∈ P tập hợp Hom ( X , Y ) có phần tử • Vật Y ∈ P gọi vật cuối P với vật X ∈ P tập hợp Hom ( X , Y ) có phần tử • Một vật vừa vật đầu vừa vật cuối gọi vật khơng, ký hiệu Ví dụ : phạm trù Set , vật đầu ∅ , vật cuối tập hợp đơn điểm {∗} ; đó, phạm trù Set khơng có vật khơng Ngược lại, phạm trù Ab , vật đầu vật cuối (từ vật khơng) nhóm tầm thường gồm phần tử đơn vị Nhận xét : phạm trù có nhiều vật đầu vật đầu đẳng cấu với Ta có khẳng định tương tự vật cuối Các vật đầu vật cuối phạm trù gọi chung vật phổ dụng 17 1.1.4 Hàm tử Cho phạm trù P , Q Một hàm tử F :P → Q từ P đến Q quy tắc cho tương ứng vật X ∈ P với vật F ( X ) ∈ Q cấu xạ f : X → Y P với cấu xạ F ( f ) : F ( X ) → F (Y ) Q thỏa mãn hai tiên đề sau : Với vật X ∈ P F (1X ) = 1F ( X ) Với cặp cấu xạ ( f , g ) ∈ Hom ( X , Y ) × Hom (Y , Z ) P F (g f ) = F (g) F ( f ) Ví dụ : + Hàm tử đồng 1P : P → P giữ bất động vật cấu xạ + Hàm tử quên (hay hàm tử xóa) For : Ab → Set biến nhóm Abel thành tập hợp nhóm Abel (“quên” cấu trúc nhóm) biến đồng cấu nhóm thành đồng cấu xem ánh xạ tập hợp 1.1.5 Đối hàm tử Cho phạm trù P , Q Một đối hàm tử F : P → Q từ P đến Q quy tắc cho tương ứng vật X ∈ P với vật F ( X ) ∈ Q cấu xạ f : X → Y P với cấu xạ F ( f ) : F (Y ) → F ( X ) Q thỏa mãn hai tiên đề sau : Với vật X ∈ P F (1X ) = 1F ( X ) Với cặp cấu xạ ( f , g ) ∈ Hom ( X , Y ) × Hom (Y , Z ) P F (g f ) = F ( f ) F (g) Ví dụ : cố định vật A phạm trù P Ta kiểm tra quy tắc Hom ( ⋅, A ) : P → Set đối hàm tử xác định sau : + Mỗi vật X ∈ P tương ứng với tập hợp Hom ( X , A) ∈ Set + Mỗi cấu xạ α : X → Y P tương ứng với ánh xạ : Hom (α , A ) : Hom (Y , A ) → Hom ( X , A ) f f α 18 1.1.6 Giới hạn quy nạp phạm trù 1.1.6.1 Giới hạn quy nạp hàm tử Cho hàm tử F : P → Q Vật A ∈ Q với họ cấu xạ {α X : F ( X ) → A} X ∈P gọi giới hạn quy nạp hàm tử F thỏa mãn hai điều kiện sau : Với cấu xạ f : X → Y P α X = αY F ( f ) Nếu có vật B ∈ Q với họ cấu xạ {β X : F ( X ) → B} X ∈P thỏa mãn điều kiện (1) tồn cấu xạ γ : A → B cho β X = γ α X với X ∈ P γ A B αX F(X ) αY βX F( f ) βY F (Y ) 1.1.6.2 Hệ quy nạp Cho I tập hợp thứ tự Ta nói I có lọc phải với i, j ∈ I , tồn k ∈ I mà i, j ≤ k Bây giờ, giả sử P phạm trù I tập hợp có lọc phải Họ vật { X i }i∈I với họ cấu xạ { fij : X i → X j }i , j∈I ,i ≤ j gọi hệ quy nạp P thỏa mãn hai điều kiện sau : fii = 1X i , ∀i ∈ I ; Với i < j < k fik = f jk fij ; tức biểu đồ sau giao hoán : Xi f ik fij Xj f jk Xk 1.1.6.3 Giới hạn quy nạp Cho hệ quy nạp { X i ; fij }i , j∈I phạm trù P Ta xem I phạm trù xác định sau : 19 • Vật phần tử i ∈ I ; ⎪⎧{( i, j )} , i ≤ j • Hom ( i, j ) = ⎨ , j