Tìm số phức và tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên mặt phẳng tọa độ

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 02: TÌM SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CHO SÔ PHỨC Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Giải phương trình nghiệm phức: Phương pháp: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) các số phức để tìm nghiệm phức z a bi   của phương trình đã cho. Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm phức a. 25 8 6 z i z    b. 2 0 z z   Bài giải: a. Ta có: 25 25 8 6 8 6 z i x yi i z x yi             2 2 25 8 6 x yi x yi i x y           2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 25 25 8 6 x y x y x y i x yi x y x y i               2 2 2 2 2 2 2 2 ( 25) ( 25) 8 6 x y x y x y i x y x y i                   2 2 2 2 2 2 2 2 25 8 25 6 x x y x y y x y x y               4 4 3 3 x x y y     2 2 2 2 4 16 16 25 8 3 9 9 y y y y y                  2 2 2 2 2 2 16 16 25 25 25 6 25 6. 9 9 9 9 y y y y y y y y                           2 2 3 2 1 6 1 6 9 0 9 9 y y y y y y              0 3 y y       0 4 x x        0( ) 4 3 z L z i       Vậy số phức z là: z = 4 + 3i b. Ta có: 2 0 z z      2 2 2 2 2 0 2 0 x yi x yi x y xyi x y           2 2 2 2 2 0 x y x y xyi       2 2 2 2 0 0 x y x y xy            2 2 2 2 0 0 0 x y x y x y                Nếu 2 0 0 0 1 y x y y y             0 z z i        http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Nếu 2 0 0 0 0 1 1( ) x z y x x x z L                   Vậy 0 z z i       Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn:   2 10 . 25 z i z z          Bài giải: Gọi số phức z = x + yi Ta có:   2 10 2 10 z i x yi i          2 1 10 x y i             2 2 2 2 2 1 10 2 1 10 x y x y           (1) Mặt khác: . 25 z z      25 x yi x yi     2 2 25 x y    (2) Từ (1) và (2)     2 2 2 2 3 4 2 1 10 5 25 0 x y x y x x y y                               Vậy 3 4 5 z i z       Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn :        4)( 22 22 zz izziz Bài giải: Ta có: 2 2 z i z z i           2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( 1) x y i y i x y y          2 2 2 2 2 1 2 1 4 0 x y y y y x y           (1) Có : 2 2 ( ) 4 z z   2 2 2 2 2 2 4 4 4 x y xyi x y xyi xyi          2 2 1 1 1 x y xy xy        http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Với 3 2 3 3 4 0 1 4 1 1 0 4 0 4 x xy y x x y x x x                  Với 1 1xy y x      3 2 3 3 4 0 4 1 0 4 0 4 x x x y x x                Vậy 3 3 3 3 1 4 4 1 4 4 z z            Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Biểu diễn hình học của số phức: Số phức   z a bi được biểu diễn bởi điểm M( a;b ) trong mặt phẳng Oxy. Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun) Phương pháp: Sử dụng công thức 2 2 z a b   Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: a. 1 z i   b. 1 z i z i    c. 3 4 z z i    Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y) a. Ta có:     2 2 1 1 1 z i x yi i x y i x y             2 2 1 1 x y     Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm   0;1 I , bán kính R = 1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b. Ta có: 1 z i z i        1 1 z i z i x y i x y i               2 2 2 2 1 1 0 x y x y y         Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox ( trục thực ) c. Ta có: 3 4 z z i      3 4 3 4 x yi x yi i x y i                2 2 2 2 3 4 6 8 25 0 x y x y x y          Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng (d): 6x + 8y – 25 = 0 Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện 3 4 z z    Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y ) Ta có: 4 3 3 2 3 z z x yi x yi x           2 3 4 x     1 2 3 4 2 2 3 4 7 2 x x x x                    Vậy tập hợp điểm M thuộc hai đường thẳng: 1 7 , 2 2 x x    Ví dụ 3:Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện: a. 2 2 z i z z i     b. 4 z i z i     Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y) a. Ta có: 2 2 2 2 z i z z i x yi i x yi x yi i             http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà         2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 1 x y i y i x y y              2 2 2 2 1 1 4 x x y y y       Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (P): 2 4 x y  b. Ta có: 4 z i z i     4 x yi i x yi i            1 1 4 x y i x y i            2 2 2 2 1 1 4 x y x y        Gọi 1 2 (0;1), (0; 1) F F      2 2 1 1 MF x y      2 2 2 1 MF x y   Nếu   2 2 2 2 : 1 x y M E a b    1 2 2 MF MF b    Mặt khác     2 2 2 2 1 2 1 1 4 MF MF x y x y         Do đó: 2 4 2 b b    Ta có c = 1, b = 2 2 2 2 4 1 3 a b c       Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (E) : 2 2 1 3 4 x y   Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo. Phương pháp: a. Để z là số thực điều kiện là b = 0 b. Để z là số thực âm điều kiện là 0 0 a b      c. Để z là số thực dương điều kiện là 0 0 a b      d. Để z là số ảo điều kiện là 0 b  e. Để z là số thuần ảo 0 0 a b      http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Ví dụ 1: a. Cho số phức z = x + yi   , x y R  . Khi z i  , hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i   b. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i   là số thực dương Bài giải: a. Ta có: w= z i z i             2 2 1 . 1 1 1 1 x y i x y i x y i x yi i x yi i x y i x y                              2 2 2 2 1 2 1 x y xi x y       Do đó, số phức w có phần thực là   2 2 2 2 1 1 x y x y     , phần ảo là   2 2 2 1 x x y  b. Để w là số thực dương điều kiện là 2 2 2 1 1 0 1 2 0 0 0 y x y y x x x                      Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy ( trục ảo) trừ các điểm có tung độ 1 y  Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện     2 z i z   là số ảo tùy ý Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y) Ta có: w =          2 2 2 2 2 2 2 z i z x yi i x yi x y x y x y i                http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Để w là số ảo điều kiện là 2 2 2 2 2 0 2 0 x y x y x y x y             2 2 1 5 1 2 4 x y            Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm 1 1; 2 I       và bán kính 5 2 R  Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn z k z i   , k là số thực dương cho trước Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) Ta có:   2 2 2 2 2 1 z x yi x y k k z i x yi i x y            (1) Xét hai trường hợp: TH1: Nếu k = 1 thì (1)   2 2 2 2 1 1 2 x y x y y        Vậy điểm M thuộc đường thẳng 1 2 y  TH2: Nếu 1 k  thì (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 k y k x y k k          2 2 2 2 2 2 2 1 1 k k x y k k             Vậy điểm M thuộc đường tròn tâm 2 2 0; 1 k I k        và bán kính 2 1 k R k   BÀI TẬP TỰ LUYỆN: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 3 4 z z i    ĐS: 6x + 8y – 25 = 0 2. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho z i z i   là một số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy 3. Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho 1 3 z i z i    ĐS: y = 1 4. a) Giải phương trình sau trên tập số phức C: 1 2 z iz i    ĐS: z = 3 2 2 i  b) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn 1 2 z   ĐS: bên trong đường tròn tâm   1;0 , 2 I R  c) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 1 < | z – 1 | < 2 ĐS: bên trong       1;0 , 2 \ 1;0 , 1 I R I r   5. Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã điều kiện   1 z i i z    ĐS: Đường tròn tâm   0; 1 , 2 I R  6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức   w 1 3 2 i z    biết rằng số phức z thỏa mãn 1 2 z   ĐS: Đường tròn tâm   3; 3 , 4 I R  7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:   1 z i i z    ĐS: Đường tròn tâm   0; 1 , 2 I R  8. . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:   3 4 2 z i    ĐS: Đường tròn tâm   3; 4 , 2 I R   9. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 5 z z     ĐS: 2 2 1 25 9 4 4 x y   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà . 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Biểu diễn hình học của số phức: Số phức   z a bi được biểu diễn bởi điểm M( a;b ) trong mặt phẳng Oxy. Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ. Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã điều kiện   1 z i i z    ĐS: Đường tròn tâm   0; 1 , 2 I R  6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức. 2. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho z i z i   là một số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy 3. Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số