http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 02: TÌM SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CHO SÔ PHỨC Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Giải phương trình nghiệm phức: Phương pháp: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) các số phức để tìm nghiệm phức z a bi của phương trình đã cho. Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm phức a. 25 8 6 z i z b. 2 0 z z Bài giải: a. Ta có: 25 25 8 6 8 6 z i x yi i z x yi 2 2 25 8 6 x yi x yi i x y 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 25 25 8 6 x y x y x y i x yi x y x y i 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 25) ( 25) 8 6 x y x y x y i x y x y i 2 2 2 2 2 2 2 2 25 8 25 6 x x y x y y x y x y 4 4 3 3 x x y y 2 2 2 2 4 16 16 25 8 3 9 9 y y y y y 2 2 2 2 2 2 16 16 25 25 25 6 25 6. 9 9 9 9 y y y y y y y y 2 2 3 2 1 6 1 6 9 0 9 9 y y y y y y 0 3 y y 0 4 x x 0( ) 4 3 z L z i Vậy số phức z là: z = 4 + 3i b. Ta có: 2 0 z z 2 2 2 2 2 0 2 0 x yi x yi x y xyi x y 2 2 2 2 2 0 x y x y xyi 2 2 2 2 0 0 x y x y xy 2 2 2 2 0 0 0 x y x y x y Nếu 2 0 0 0 1 y x y y y 0 z z i http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Nếu 2 0 0 0 0 1 1( ) x z y x x x z L Vậy 0 z z i Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 10 . 25 z i z z Bài giải: Gọi số phức z = x + yi Ta có: 2 10 2 10 z i x yi i 2 1 10 x y i 2 2 2 2 2 1 10 2 1 10 x y x y (1) Mặt khác: . 25 z z 25 x yi x yi 2 2 25 x y (2) Từ (1) và (2) 2 2 2 2 3 4 2 1 10 5 25 0 x y x y x x y y Vậy 3 4 5 z i z Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn : 4)( 22 22 zz izziz Bài giải: Ta có: 2 2 z i z z i 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( 1) x y i y i x y y 2 2 2 2 2 1 2 1 4 0 x y y y y x y (1) Có : 2 2 ( ) 4 z z 2 2 2 2 2 2 4 4 4 x y xyi x y xyi xyi 2 2 1 1 1 x y xy xy http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Với 3 2 3 3 4 0 1 4 1 1 0 4 0 4 x xy y x x y x x x Với 1 1xy y x 3 2 3 3 4 0 4 1 0 4 0 4 x x x y x x Vậy 3 3 3 3 1 4 4 1 4 4 z z Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Biểu diễn hình học của số phức: Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M( a;b ) trong mặt phẳng Oxy. Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun) Phương pháp: Sử dụng công thức 2 2 z a b Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: a. 1 z i b. 1 z i z i c. 3 4 z z i Bài giải: Với số phức z = x + yi , x y R được biểu diễn bởi điểm M (x; y) a. Ta có: 2 2 1 1 1 z i x yi i x y i x y 2 2 1 1 x y Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm 0;1 I , bán kính R = 1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b. Ta có: 1 z i z i 1 1 z i z i x y i x y i 2 2 2 2 1 1 0 x y x y y Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox ( trục thực ) c. Ta có: 3 4 z z i 3 4 3 4 x yi x yi i x y i 2 2 2 2 3 4 6 8 25 0 x y x y x y Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng (d): 6x + 8y – 25 = 0 Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện 3 4 z z Bài giải: Với số phức z = x + yi , x y R được biểu diễn bởi điểm M (x; y ) Ta có: 4 3 3 2 3 z z x yi x yi x 2 3 4 x 1 2 3 4 2 2 3 4 7 2 x x x x Vậy tập hợp điểm M thuộc hai đường thẳng: 1 7 , 2 2 x x Ví dụ 3:Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện: a. 2 2 z i z z i b. 4 z i z i Bài giải: Với số phức z = x + yi , x y R được biểu diễn bởi điểm M (x; y) a. Ta có: 2 2 2 2 z i z z i x yi i x yi x yi i http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 1 x y i y i x y y 2 2 2 2 1 1 4 x x y y y Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (P): 2 4 x y b. Ta có: 4 z i z i 4 x yi i x yi i 1 1 4 x y i x y i 2 2 2 2 1 1 4 x y x y Gọi 1 2 (0;1), (0; 1) F F 2 2 1 1 MF x y 2 2 2 1 MF x y Nếu 2 2 2 2 : 1 x y M E a b 1 2 2 MF MF b Mặt khác 2 2 2 2 1 2 1 1 4 MF MF x y x y Do đó: 2 4 2 b b Ta có c = 1, b = 2 2 2 2 4 1 3 a b c Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (E) : 2 2 1 3 4 x y Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo. Phương pháp: a. Để z là số thực điều kiện là b = 0 b. Để z là số thực âm điều kiện là 0 0 a b c. Để z là số thực dương điều kiện là 0 0 a b d. Để z là số ảo điều kiện là 0 b e. Để z là số thuần ảo 0 0 a b http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Ví dụ 1: a. Cho số phức z = x + yi , x y R . Khi z i , hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i b. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i là số thực dương Bài giải: a. Ta có: w= z i z i 2 2 1 . 1 1 1 1 x y i x y i x y i x yi i x yi i x y i x y 2 2 2 2 1 2 1 x y xi x y Do đó, số phức w có phần thực là 2 2 2 2 1 1 x y x y , phần ảo là 2 2 2 1 x x y b. Để w là số thực dương điều kiện là 2 2 2 1 1 0 1 2 0 0 0 y x y y x x x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy ( trục ảo) trừ các điểm có tung độ 1 y Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện 2 z i z là số ảo tùy ý Bài giải: Với số phức z = x + yi , x y R được biểu diễn bởi điểm M (x; y) Ta có: w = 2 2 2 2 2 2 2 z i z x yi i x yi x y x y x y i http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Để w là số ảo điều kiện là 2 2 2 2 2 0 2 0 x y x y x y x y 2 2 1 5 1 2 4 x y Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm 1 1; 2 I và bán kính 5 2 R Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn z k z i , k là số thực dương cho trước Bài giải: Với số phức z = x + yi , x y R được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) Ta có: 2 2 2 2 2 1 z x yi x y k k z i x yi i x y (1) Xét hai trường hợp: TH1: Nếu k = 1 thì (1) 2 2 2 2 1 1 2 x y x y y Vậy điểm M thuộc đường thẳng 1 2 y TH2: Nếu 1 k thì (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 k y k x y k k 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k k x y k k Vậy điểm M thuộc đường tròn tâm 2 2 0; 1 k I k và bán kính 2 1 k R k BÀI TẬP TỰ LUYỆN: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 3 4 z z i ĐS: 6x + 8y – 25 = 0 2. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho z i z i là một số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy 3. Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho 1 3 z i z i ĐS: y = 1 4. a) Giải phương trình sau trên tập số phức C: 1 2 z iz i ĐS: z = 3 2 2 i b) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn 1 2 z ĐS: bên trong đường tròn tâm 1;0 , 2 I R c) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 1 < | z – 1 | < 2 ĐS: bên trong 1;0 , 2 \ 1;0 , 1 I R I r 5. Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã điều kiện 1 z i i z ĐS: Đường tròn tâm 0; 1 , 2 I R 6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w 1 3 2 i z biết rằng số phức z thỏa mãn 1 2 z ĐS: Đường tròn tâm 3; 3 , 4 I R 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 1 z i i z ĐS: Đường tròn tâm 0; 1 , 2 I R 8. . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 3 4 2 z i ĐS: Đường tròn tâm 3; 4 , 2 I R 9. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 5 z z ĐS: 2 2 1 25 9 4 4 x y http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà . 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Biểu diễn hình học của số phức: Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M( a;b ) trong mặt phẳng Oxy. Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ. Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã điều kiện 1 z i i z ĐS: Đường tròn tâm 0; 1 , 2 I R 6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức. 2. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho z i z i là một số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy 3. Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số