Tìm số phức và tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên mặt phẳng tọa độ

BÀI GIẢNG SỐ 02: TÌM SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CHO SÔ PHỨC Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Giải phương trình nghiệm phức: phức z a bi của phương trình

BÀI GIẢNG SỐ 02: TÌM SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CHO SÔ PHỨC

Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Giải phương trình nghiệm phức:

phức z a bi của phương trình đã cho

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm phức

a z 25 8 6i

z

  

b 2

0

z  z 

Bài giải:

2 2

25

8 6

x yi

x y





(x y x) y x( y i) 25x 25yi 8 x y 6 x y i

(x y 25)x y x( y 25)i 8 x y 6 x y i

25 8

25 6



 



x

y

25 8

          

0 3

y y





  



0 4

x x





  



4 3





  



Vậy số phức z là: z = 4 + 3i

b Ta có: 2

0

x yi  xyi   x y  xyi x y 

0 0

xy



 





0 0

0

x y



  

 





1

y

y







0

z

z i





   



Nếu 2 0 0

z i





  



Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn: 2  10

25

z z









Bài giải:

Gọi số phức z = x + yi

Ta có: z2 i  10  xyi   2 i 10  x  2 y 1i  10

x 22 y 12 10 x 22 y 12 10

Mặt khác: z z  25x yixyi25 2 2

25

x y

   (2)

2 2

3 4

5 25

0

x y

x

x y

y

  





 

 











5

z

 



 



Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn :





















4 ) (

2 2

2

2 z z

i z z i z

Bài giải:

z  z   x2y2 2xyix2y2  2xyi  4  4xyi  4

2 2

Với

3

3

4 0

x





x

    

3

3

4 0

x





Vậy

3

3

3

3

1 4

4 1 4

4

z

z











Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

Biểu diễn hình học của số phức: Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M ( a;b )

trong mặt phẳng Oxy

Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun)

z  a b

Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

a z i 1

z i







c z  z 3 4i

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y)

1 z i  xyi i  x y1 i  x  y1

 2

2

1 1

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâmI0;1, bán kính R = 1

b Ta có: z i 1

z i





  z i z i xy 1i  xy 1i

Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox ( trục thực )

c Ta có: z  z 3 4i  xyi  xyi  3 4i  x  3 4 y i

x  y  x  y  x y 

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng (d): 6x + 8y – 25 = 0

Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện z z 3 4

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y )

Ta có: 4 z z 3  xyi x yi3  2x3

2x 3 4

1

2

x x

x

x







 



  



x x 

Ví dụ 3:Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện:

a 2 z i  z z 2i

b z i  z i 4

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y)

    2  2  2

2

2

4

x

Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (P):

2

4

x

y 

b Ta có: z i  z i 4  xyi i  xyi i 4

Gọi F1(0;1),F2 (0; 1) 2  2

 2

2

MF  x  y

2 2

   MF1MF2 2b

MF MF  x  y  x  y 

Do đó: 2b4b2

4 1 3

a b c

     

Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (E) :

2 2

1

Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo

Phương pháp:

a Để z là số thực điều kiện là b = 0

b Để z là số thực âm điều kiện là 0

0

a b











c Để z là số thực dương điều kiện là 0

0

a b











d Để z là số ảo điều kiện là b 0

e Để z là số thuần ảo 0

0

a b











Ví dụ 1:

a Cho số phức z = x + yi x y, R Khi zi, hãy tìm phần thực và phần ảo của số

phức z i

z i





b Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i

z i



 là số thực dương

Bài giải:

a Ta có: w=z i

z i





 2

2

1

x yi i

2 2

2 2

1



Do đó, số phức w có phần thực là

2 2

2 2

1 1

x y

 2

2

2 1

x

x  y

b Để w là số thực dương điều kiện là

1

y

 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy ( trục ảo) trừ các điểm có tung độ y 1

Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện

2z iz là số ảo tùy ý

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y)

2z iz  2 x yi i x yi  x y 2xy 2 x 2y i

Để w là số ảo điều kiện là 2 2 2 2

2

1

     

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm 1;1

2

I 

2

R 

Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

z i  , k là số thực dương cho trước

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M ( x; y )

Ta có:

2 2 2

2 2

1

Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu k = 1 thì (1) 2  2 2 2 1

1

2

2

y 

TH2: Nếu k 1 thì (1)

2 2

0

x y

2

2

2



Vậy điểm M thuộc đường tròn tâm

2

2 0;

1

k I k



và bán kính

2 1

k R k





BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  z 3 4i ĐS: 6x + 8y – 25 = 0

2 Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho z i

z i



 là một

số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy

3 Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho

1 3

z i

z i





 ĐS: y = 1

4 a) Giải phương trình sau trên tập số phức C: z iz 1 2i ĐS: z = 2 3

2i



b) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  1 2 ĐS: bên trong đường tròn tâm I1; 0 , R 2

c) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 1 < | z – 1 | < 2 ĐS: bên trong I1; 0 , R2 \I1; 0 , r1

5 Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã điều kiện z i 1 i z ĐS: Đường tròn tâm I0; 1 ,  R 2

6 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w1i 3z2biết rằng số phức z thỏa mãn z  1 2 ĐS: Đường tròn tâm I3; 3 , R 4

7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

1 

z i i z ĐS: Đường tròn tâm I0; 1 ,  R 2

8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: z3 4  i  2 ĐS: Đường tròn tâm I3; 4 ,  R2

9 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn

điều kiện z2  z2 5ĐS:

1