Số phức và ứng dụng

Cao Minh Quang THPT chuyờn Nguyn Bnh Khiờm, Vnh Long CHUYEN ẹE: CHUYEN ẹE:CHUYEN ẹE: CHUYEN ẹE: SO PHệC & ệNG DUẽ SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ SO PHệC & ệNG DUẽNG NGNG NG 02/2009 2 Cao Minh Quang THPT chuyờn Nguyn Bnh Khiờm, Vnh Long CHUYEN CHUYEN CHUYEN CHUYEN ẹE: ẹE:ẹE: ẹE: SO PHệC & ệNG DUẽ SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ SO PHệC & ệNG DUẽN NN NG GG G 02/2009 3 LỜI NÓI ðẦU ***** Giải bài toán tìm nghiệm phương trình ñại số là một trong những bài toán cổ ñiển ñược rất nhiều nhà toán học quan tâm. Trong khi các phương trình tuyến tính bậc nhất luôn có lời giải trên tập số thực thì phương trình bậc hai, chẳng hạn phương trình 2 1 0 x + = , không có nghiệm trên tập hợp các số thực. ðến tận thế kỉ XVIII, Leonhard Euler (1707 – 1783), thiên tài toán học Thụy Sĩ, ñã có bước ñột phá khi ñịnh nghĩa số 1 − , ñược kí hiệu là i , còn gọi là ñơn vị ảo. ðiều này ñã giúp vi ệc giải phương trình ñại số trở nên dễ dàng hơn. Ví dụ phương trình ñã xét 2 1 0 x + = có nghi ệm là i và i − . V ới sự xuất hiện của số i , một trong những kí hiệu thông dụng nhất trong toán học, ñã dẫn ñến việc ñịnh nghĩa số phức dạng z a bi = + , trong ñó , a b là các số thực. Số phức có rất nhiều ứng dụng trong toán học, gần như trong tất cả các lĩnh vực: ðại Số, S ố Học, Giải Tích, Hình Học… Bắt ñầu từ năm học 2008 – 2009, số phức ñược ñưa vào dạy chính th ức ở các lớp 12 phổ thông trung học. Chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài: “Số phức và Ứng dụng” cho hoạt ñộng nghiên cứu của cá nhân trong n ăm học 2008 – 2009. ðề tài gồm ba chương. Chương 1 là phần giới thiệu tổng quan v ề số phức: cách xây dựng số phức, các phép toán, dạng ñại số, dạng lượng giác và dạng lũy th ừa của số phức một cách chi tiết, kèm theo ñó là các bài toán ví dụ ñiển hình. Chương 2 và ch ương 3 nêu lên mối quan hệ giữa số phức và hình học, cuối mỗi chương là các bài toán hình h ọc ñược giải bằng công cụ số phức, ñó là những bài toán hình học hay và khó từ các ñề thi học sinh gi ỏi quốc gia và quốc tế trong thời gian gần ñây. M ục tiêu chính của ñề tài này là cung cấp cho quý thầy cô giáo và các em học sinh, ñặc bi ệt học sinh chuyên toán, có một tài liệu tham khảo tốt về số phức cũng như ứng dụng của số ph ức. Tuy nhiên, trong quá trình biên soạn, chắc hẳn tài liệu vẫn còn những thiếu sót cần ñược ñiều chỉnh và bổ sung. Chúng tôi luôn mong nhận ñược những ý kiến ñóng góp quý báu và chân tình c ủa quý thầy cô giáo và các em học sinh. M ọi góp ý xin liên hệ tác giả theo ñịa chỉ e-mail: kt13quang@yahoo.com Xin chân thành cám ơn! Vĩnh Long, Xuân 2009 Cao Minh Quang 4 Mục lục ***** Trang Lời nói ñầu 3 M ục lục 4 Chương 1. ðịnh nghĩa và các phép toán 5 Chương 2. Số phức và hình học 17 Ch ương 3. Tích thực và tích phức của các số phức 31 Tài liệu tham khảo 36 5 Chương 1. ðịnh Nghĩa Và Các Phép Toán 1.1 ðịnh nghĩa. Xét tập hợp ( ) { } 2 , ,x y x y= × = ∈ ℝ ℝ ℝ ℝ . Hai phần tử ( ) ( ) 1 1 2 2 , , , x y x y thuộ c 2 ℝ b ằ ng nhau khi và ch ỉ khi 1 2 x x = và 1 2 y y = . Các phép toán c ộ ng và nhân ñượ c ñị nh ngh ĩ a trên 2 ℝ nh ư sau: V ớ i m ọ i ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 , , ,z x y z x y = = ∈ ℝ , ta có • ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , ,z z x y x y x x y y + = + = + + ∈ ℝ • ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 , , ,z z x y x y x x y y x y x y ⋅ = ⋅ = − + ∈ ℝ Ph ầ n t ử 2 1 2 z z + ∈ ℝ ñượ c g ọ i là t ổ ng c ủ a 1 2 , z z , ph ầ n t ử 2 1 2 z z ∈ ℝ ñượ c g ọ i là tích c ủ a 1 2 , z z . Chú ý. N ế u ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 ,0 , ,0 z x z x = ∈ = ∈ ℝ ℝ thì ( ) 1 2 1 2 ,0 z z x x = . N ế u ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 0, , 0, z y z y = ∈ = ∈ ℝ ℝ thì ( ) 1 2 1 2 ,0 z z y y = − . Ví d ụ . N ế u ( ) ( ) 1 2 5,6 , 1, 2 z z = − = − thì ( ) ( ) ( ) 1 2 5,6 1, 2 4,4 z z + = − + − = − và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 5,6 1, 2 5 12,10 6 7,16 z z = − − = − + + = . ðịnh nghĩa. Tập hợp 2 ℝ với các phép toán cộng và nhân như trên ñược gọi là tập hợp các số phức, ñược kí hiệu là ℂ . Bất kì một phần tử ( ) ,z x y = ∈ ℂ ñược xem là một số phức. Ngoài ra, ta còn kí hiệu ( ) { } * \ 0,0 = ℂ ℂ . 1.2 Một số tính chất cơ bản 1.2.1. Tính chất ñối với phép toán cộng (a) Tính giao hoán. 1 2 2 1 z z z z + = + , với mọi 1 2 ,z z ∈ ℂ . (b) Tính kết hợp. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 z z z z z z + + = + + , với mọi 1 2 3 , ,z z z ∈ ℂ . (c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức ( ) 0 0,0 = sao cho 0 0 z z z + = + = , v ớ i m ọ i z ∈ ℂ . 0 là phần tử ñơn vị ñối với phép cộng. (d) Phần tử ñối. Với mọi z ∈ ℂ , tồn tại duy nhất z − ∈ ℂ sao cho ( ) ( ) 0 z z z z + − = − + = . Khi ñ ó ta nói z − là s ố ñố i (ph ầ n t ử ñố i) c ủ a z . T ừ ñ ây, ta có th ể ñị nh ngh ĩ a phép tr ừ c ủ a hai s ố ph ứ c ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , , z x y z x y = = nh ư sau: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , ,z z x y x y x x y y − = − = − − ∈ ℂ 1.2.2. Tính chất ñối với phép toán nhân (a) Tính giao hoán. 1 2 2 1 z z z z = , với mọi 1 2 ,z z ∈ ℂ (b) Tính kết hợp. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 z z z z z z = , với mọi 1 2 3 , ,z z z ∈ ℂ . (c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức ( ) 1 1,0 = sao cho .1 1. z z z = = , v ớ i m ọ i z ∈ ℂ . 1 là phần tử ñơn vị ñối với phép nhân. (d) Phần tử ñối. Với mọi ( ) * ,z x y = ∈ ℂ , tồn tại duy nhất ( ) 1 * ', ' z x y − = ∈ ℂ sao cho 1 1 . 1 z z z z − − = = . Khi ñó ta nói 1 z − là số ñối (phần tử ñối) của z . Dựa vào mối quan hệ của 1 , z z − như trên, ta có thể xác ñịnh ñược 6 1 * 2 2 2 2 1 , x y z z x y x y −     = = ∈      + +   ℂ . T ừ ñây, ta có thể ñịnh nghĩa phép chia của hai số phức. Xét hai số phức ( ) ( ) * 1 1 1 , , ,z x y z x y = ∈ = ∈ ℂ ℂ . Khi ñó ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . , , , z x y x x y y x y y x z z x y z x y x y x y x y −     + − +     = = = ∈           + + + +     ℂ . Ví dụ. Nếu ( ) 1, 2 z = thì 1 2 2 2 2 1 2 1 2 , , 1 2 1 2 5 5 z −     − −     = =             + + . N ế u ( ) ( ) 1 2 1,2 , 3,4 z z = = thì 1 2 3 8 4 6 11 2 , , 9 16 9 16 25 25 z z     + − +     = =             + + . * Lũy thừa nguyên của số phức. L ũ y th ừ a nguyên c ủ a m ộ t s ố ph ứ c * z ∈ ℂ ñược ñịnh nghĩa như sau:  ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 1, , . , . , n n n n z z z z z z z z z z n z z n − + − − = = = = ∈ = ∈ ℤ ℤ . Tr ườ ng h ợ p 0 z = , ta ñị nh ngh ĩ a 0 0, n n + = ∈ ℤ . Các tính ch ấ t c ủ a l ũ y th ừ a nguyên c ủ a s ố ph ứ c c ũ ng t ươ ng t ự nh ư s ố th ự c. (e) Tính phân phối của phép nhân ñối với phép cộng. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 z z z z z z z + = + , với mọi 1 2 3 , ,z z z ∈ ℂ . 1.3 Biểu diễn số phức dưới dạng ñại số Theo ñịnh nghĩa trên, mỗi số phức tương ứng với một cặp số ( ) 2 ,x y ∈ ℝ , ñiều này sẽ gây ít nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về số phức. Vì lẽ ñó, ta sẽ biểu diễn các số phức dưới dạng ñại số. Xét tập hợp { } 0 × ℝ , cùng với phép toán cộng và nhân trên 2 ℝ như trên. Khi ñó hàm số { } ( ) ( ) : 0 , ,0 f f x x → × = ℝ ℝ là song ánh. Hơn nữa, ( ) ( ) ( ) ,0 ,0 ,0 x y x y + = + và ( ) ( ) ( ) ,0 ,0 ,0 x y xy ⋅ = . Ta nhậ n th ấ y r ằ ng các phép toán trên { } 0 × ℝ c ũ ng t ươ ng t ự nh ư trên ℝ . T ừ ñ ây, ta s ẽ ñồ ng nh ấ t c ặ p s ố ( ) ,0 x v ớ i s ố x , ta vi ế t ( ) ,0 x x = . Bây gi ờ ta ñặ t ( ) 0,1 i = . Khi ñ ó ta có 2 1 i = − . Thật vậy, ( ) ( ) ( ) 2 0,1 0,1 1,0 1 i = ⋅ = − = − . Ta có mệnh ñề sau. Mệnh ñề. Mọi số phức ( ) , z x y = ñề u ñượ c bi ể u di ễ n duy nh ấ t d ướ i d ạ ng z x iy = + . Chứng minh. Th ậ t v ậ y, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,0 0, ,0 0,1 ,0 z x y x y x y x iy = = + = + ⋅ = + . Khi s ố ph ứ c z ñượ c bi ể u di ễ n d ướ i d ạ ng z x iy = + , ta g ọ i x là ph ầ n th ự c c ủ a z và kí hi ệ u là ( ) Re x z = , còn y là ph ầ n ả o và ñượ c kí hi ệ u là ( ) Im y z = ; i ñượ c g ọ i là ñơ n v ị ả o. T ừ cách bi ể n di ễ n trên, ta c ũ ng có m ộ t s ố nh ậ n xét ñơ n gi ả n sau: a) ( ) ( ) 1 2 1 2 Re Re z z z z = ⇔ = và ( ) ( ) 1 2 Im Im z z = . b) ( ) ( ) Im 0, \ Im 0 z z z z ∈ ⇔ = ∈ ⇔ ≠ ℝ ℂ ℝ . Ngoài ra ta có một số tính chất về các phép toán các số phức ñược biểu diễn dưới dạng ñại số. 1. Phép cộng 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z x iy x iy x x y y i + = + + + = + + + . Nhận xét. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 Re Re Re ;Im Im Im z z z z z z z z + = + + = + . 2. Phép nhân ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . z z x iy x iy x x y y x y x y i = + + = − + + . Nh ậ n xét. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 Re Re Re Im Im ;Im Re Im Re Im z z z z z z z z z z z z = − = + . Ngoài ra n ế u λ là m ộ t s ố th ự c và z x yi = + thì ta có ( ) z x yi x yi λ λ λ λ = + = + . 3. Phép trừ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z x iy x iy x x y y i − = + − + = − + − . Nhận xét. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 Re Re Re ;Im Im Im z z z z z z z z − = − − = − . 1.4 Lũy thừa của i T ừ tính ch ấ t 2 1 i = − , ta dễ dàng nhận thấy rằng { } 1, 1, , n i i i ∈ − − , trong ñ ó n là m ộ t s ố nguyên d ươ ng; tr ườ ng h ợ p n là m ộ t s ố nguyên âm, ta vi ế t ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n n i i i i − − − − = = = − . Ví dụ. Tìm s ố ph ứ c ; ,z x yi x y = + ∈ ℤ thỏa mãn ñiều kiện 3 18 26 z i = + . Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 z x yi x yi x yi x y xyi x yi = + = + + = − + + = ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 x xy x y y = − + − . T ừ ñiều kiện 3 18 26 z i = + , ta nhận ñược hệ phương trình 3 2 2 3 3 18 3 26 x xy x y y   − =    − =   . T ừ phương trình ñầu của hệ, ta nhận thấy 0, 0 x y ≠ ≠ . Bằng cách ñặt y tx = , từ phương trình ( ) ( ) 2 3 3 2 18 3 26 3 x y y x xy − = − , ta có ( ) ( ) 3 2 18 3 26 1 3 t t t − = − hay ( ) ( ) 2 3 1 3 12 13 0 t t t − − − = . Ph ương trình này có nghiệm hữu tỉ 1 3 t = . Th ế vào ph ươ ng trình ñầ u c ủ a h ệ , ta nh ậ n ñượ c 1 y = , suy ra 3 x = . Do ñ ó 3 z i = + . 1.5 Số phức liên hợp Cho s ố ph ứ c z x yi = + , khi ñ ó s ố ph ứ c có d ạ ng z x yi = − ñượ c g ọ i là s ố ph ứ c liên h ợ p c ủ a s ố ph ứ c z . Ta có m ệ nh ñề sau. Mệnh ñề. V ớ i m ọ i s ố ph ứ c 1 2 , , z z z ta có các tính ch ấ t sau: (1) z z z = ⇔ ∈ ℝ . (2) z z = . (3) .z z ∈ ℝ . (4) 1 2 1 2 z z z z + = + . (5) 1 2 1 2 . . z z z z = . (6) ( ) 1 1 z z − − = . (7) 1 1 2 2 2 , 0 z z z z z      = ≠        . (8) ( ) ( ) Re ,Im 2 2 z z z z z z i + − = = . 8 Việc chứng minh các tính chất trên tương ñối dễ dàng, dựa trên cơ sở của ñịnh nghĩa. Nhận xét. Với mọi số phức * z ∈ ℂ , ta có 2 2 2 2 2 2 1 . z x yi x y i z x y x y x y z z − = = = − + + + . V ớ i m ọ i s ố ph ứ c * 2 z ∈ ℂ , ta có ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . x y i x y i z z z x x y y x y x y i z x y x y x y z z + − + − + = = = + + + + . 1.6 ðộ lớn (modul) của số phức Số 2 2 z x y = + là ñộ lớn (hay modul) của số phức z x yi = + . Chẳng hạn, nếu cho các số phức 1 2 3 4 3 , 3 , 2 z i z i z = + = − =− thì 1 3 3 5, 3, 2 z z z = = = M ộ t s ố tính ch ấ t v ề modul c ủ a s ố ph ứ c s ẽ ñượ c th ể hi ệ n ở m ệ nh ñề d ướ i ñ ây. Mệnh ñề. V ớ i m ọ i s ố ph ứ c 1 2 , , z z z ta có các tính ch ấ t sau: (1) ( ) ( ) Re , Im z z z z z z − ≤ ≤ − ≤ ≤ . (2) 0, 0 0 z z z ≥ = ⇔ = . (3) z z z = − = . (4) 2 . z z z = . (5) 1 2 1 2 . . z z z z = . (6) 1 2 1 2 1 2 z z z z z z − ≤ + ≤ + . (7) 1 1 , 0 z z z − − = ≠ . (8) 1 1 2 2 2 , 0 z z z z z = ≠ . 1.7 Biểu diễn hình học của các phép toán ñại số 1.7.1 Biểu diễn hình học của số phức Ta v ừ a ñị nh ngh ĩ a s ố ph ứ c ( ) , z x y x yi = = + t ươ ng ứ ng v ớ i c ặ p s ố th ự c ( ) ,x y ∈ × ℝ ℝ , vì vậy, một cách tự nhiện, ta có thể ñặt số phức z x yi = + ứng với một ñiểm ( ) , M x y trong mặ t ph ẳ ng × ℝ ℝ . G ọ i P là t ậ p h ợ p t ấ t c ả các ñ i ể m trong m ặ t ph ẳ ng t ươ ng ñươ ng v ớ i h ệ tr ụ c t ọ a ñộ Oxy . Khi ñ ó ánh x ạ ( ) ( ) : , , P z M x y ϕ ϕ → = ℂ là song ánh. ðịnh nghĩa. ðiểm ( ) , M x y ñượ c g ọ i là ả nh hình h ọ c c ủ a s ố ph ứ c z x yi = + . Ng ượ c l ạ i, s ố ph ứ c z x yi = + ñượ c g ọ i là t ọ a ñộ ph ứ c c ủ a ñ i ể m ( ) , M x y . H ơ n n ữ a, ta s ẽ dùng kí hi ệ u ( ) M z ñể ch ỉ t ọ a ñộ ph ứ c c ủ a M là s ố ph ứ c z . 9 T ừ ñị nh ngh ĩ a này, ta suy ra ñ i ể m ( ) ' , M x y − ( ñố i x ứ ng v ớ i ( ) , M x y qua tr ụ c Ox) là ả nh hình h ọ c c ủ a z x yi = − . Ta bi ế t r ằ ng, t ọ a ñộ c ủ a ñ i ể m ( ) , M x y c ũ ng là t ọ a ñộ c ủ a vector v OM =   , do ñó, ta cũng có thể ñồng nhất số phức z x yi = + với vector v OM =   . Gọi 0 V là tập hợp tất cả các vector có cùng ñiểm gốc O . Khi ñó, ta chứng minh ñược ánh xạ ( ) 0 ' : , ' V z OM v xi y j ϕ ϕ→ = = = +     ℂ , Là song ánh, trong ñ ó , i j   là các vector ñơ n v ị c ủ a tr ụ c hoành và tr ụ c tung. 1.7.2 Biểu diễn hình học của modul Xét số phức z x yi = + có tọa ñộ ảnh hình học ( ) , M x y trong mặ t ph ẳ ng ph ứ c. Ta có ( ) ( ) 2 2 M O M O OM x x y y = − + − , suy ra 2 2 OM x y z v = + = =  . Nói cách khác, modul của số phức z x yi = + là ñộ dài của ñoạn thẳng OM hay ñộ dài của vetor v  . 1.7.3 Biểu diễn hình học của các phép toán ñại số a) Phép cộng và phép trừ. Xét các số phức 1 1 1 z x y i = + và 1 2 2 z x y i = + lần lượt tương ứng với các vector 1 1 2 2 , v x i y j v x i y j = + = +       . Ta dễ dàng thấy rằng 1 2 z z ± tương ứng với 1 2 v v +   . Ví dụ. Ta có ( ) ( ) 3 5 6 9 6 i i i + + + = + , vì vậ y ả nh hình h ọ c c ủ a t ổ ng này ñượ c th ể hi ệ n là Ta có ( ) ( ) 3 2 3 5 2 i i i − + − + =− − , vì v ậ y ả nh hình h ọ c c ủ a hi ệ u này ñượ c th ể hi ệ n là 10 Chú ý. Ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 M M M M z z v v x x y y = = − = − = − + −   . b) Tích của một số thực và một số phức. Xét số phức z x yi = + ứng với vector v xi y j = +    . Nếu λ là một số thực thì z x yi λ λ λ = + ứng với vector v xi y j λ λ λ = +    . Hơn nữa, nếu 0 λ > thì các vector , v v λ   cùng hướ ng và v v λ λ =   . 2. Số phức dưới dạng lượng giác 2.1 Tọa ñộ cực trong mặt phẳng Trong mặt phẳng tọa ñộ, ta xét ñiểm ( ) , M x y không trùng gố c t ọ a ñộ . S ố th ự c 2 2 r x y = + ñượ c g ọ i là bán kính c ự c c ủ a ñ i ể m M . Góc [ ) * 0,2 t π ∈ hợp bởi vector OM  với trục Ox (theo chiều dương) ñược gọi là argument cực của ñiểm M . Cặp ( ) * , r t ñược gọi là tọa ñộ cực của ñiểm M . Khi ñó ta viết ( ) * , M r t . Ta chú ý rằ ng hàm s ố { } ( ) [ ) : \ 0,0 0, 0,2 h π × → +∞ × ℝ ℝ , trong ñ ó ( ) ( ) ( ) * , , h x y r t = là m ộ t song ánh. G ố c t ọ a ñộ O là ñ i ể m duy nh ấ t mà 0 r = , nh ư ng argument * t không xác ñị nh. V ớ i b ấ t k ỳ ñ i ể m ( ) , M x y trong m ặ t ph ẳ ng, t ồ n t ạ i duy nh ấ t m ộ t ñ i ể m P là giao ñ i ể m c ủ a tia OM v ớ i ñườ ng tròn ñơ n v ị tâm O . Khi ñ ó ñ i ể m P có cùng argument c ự c v ớ i M là * t . Ta d ễ dàng tìm ñượ c t ọ a ñộ c ủ a ( ) * * cos ,sin P t t và ( ) * * cos , sin M r t r t , trong ñ ó 2 2 r x y = + . [...]... d ng v i nhau khi và ch khi a2 − a1 b2 − b1 = a3 − a1 b3 − b1 Ch ng minh Ta có A1 A2 A3 và B1B2 B3 ñ ng d ng v i nhau khi và ch khi A1 A2 B1B2 = và A3 A1 A2 = B3 B1B2 A1 A3 B1B3 hay a2 − a1 b − b1 a − a1 b − b1 a − a1 b2 − b1 = 2 và arg 2 = arg 2 hay 2 = a3 − a1 b3 − b1 a3 − a1 b3 − b1 a3 − a1 b3 − b1 M nh ñ 2 Các tam giác ngư c hư ng A1 A2 A3 và B1B2 B3 ñ ng d ng v i nhau khi và ch khi a2 − a1 b2... và ACFG M là trung ñi m c a các ño n th ng BC Ch ng minh r ng AM ⊥ EG và EG = 2 AM 7 Các c nh AB, BC và CA c a tam giác ABC ñư c chia thành ba ño n b ng nhau b i các ñi m M , N ; P, Q và R, S V phía ngoài c a tam giác ABC , d ng các tam giác ñ u MND, PQE , RSF Ch ng minh r ng DEF là tam giác ñ u 8 V phía ngoài c a tam giác ABC ta d ng các tam giác hình vuông ABEF và ADGH l n lư t có tâm là O và. .. 2b ⋅ d ⇔ a ⋅ d + b ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ d ⇔ (a − b) ⋅ (d − c) = 0 ⇔ AB ⊥ CD 34 Bài toán 4 Các ñi m D và E n m trên các c nh AB và AC c a tam giác ABC sao cho AD AE 3 = = AB AC 4 Các ñi m E ' và D ' n m trên các tia BE và CD sao cho EE ' = 3BE và DD ' = 3CD Ch ng minh r ng các ñi m D ', A, E ' th ng hàng và AD ' = AE ' L i gi i S d ng các tính ch t c a tích ph c c a các s ph c, ta có (a − d ')×(e '−... M 4 th ng hàng khi và ch khi z3 − z 2 z − z4 ∈ ℝ * và 3 ∈ ℝ* z1 − z2 z1 − z4 (3) Các ñi m M 1 , M 2 , M 3 , M 4 cùng thu c m t ñư ng tròn khi và ch khi k= z3 − z 2 z3 − z 4 z − z2 z − z4 : ∈ ℝ * , nhưng 3 ∉ ℝ và 3 ∉ℝ z1 − z2 z1 − z4 z1 − z2 z1 − z4 Ví d (1) B n s ph c có nh hình h c l n lư t là 1, i, −1, −i cùng thu c m t ñư ng tròn Th t −1 − i −1 + i −1 − i −1 + i = −1 ∈ ℝ * và ∉ ℝ, ∉ℝ : v y, vì... gi a t a ñ Descartes và t a ñ c c c a ñi m M , cho phép ta bi u di n b t kỳ s ph c z = x + yi dư i d ng lư ng giác là z = r (cos t * + i sin t * ) , trong ñó r ∈ [ 0, +∞) và t * ∈ [0, 2π ) Khi ñó, ta g i t * là argument (chính) c a z , ký hi u là arg z và r là modul c a z V i m i z ≠ 0 , modul và argument c a z ñư c xác ñ nh duy nh t Nh n xét Cho z = r (cos t * + i sin t * ) và t = t * + 2k π, k... + 4i = 1 ∈ ℝ * và = 4 ∈ ℝ* : −1 + i 4 − 4i −1 + i 2.2.3 ði u ki n các tam giác ñ ng d ng và tam giác ñ u 2.2.3.1 ði u ki n các tam giác ñ ng d ng ð nh nghĩa Cho sáu ñi m A1 (a1 ), A2 (a2 ), A3 (a3 ), B1 (b1 ), B2 (b2 ), B3 (b3 ) trong m t ph ng ph c Ta nói r ng các tam giác A1 A2 A3 và B1B2 B3 ñ ng d ng v i nhau n u góc Ak = Bk ( k = 1,2,3) M nh ñ 1 Các tam giác cùng hư ng A1 A2 A3 và B1B2 B3 ñ ng... ta có ñư c n ' p − m ' q = rm ' n ' d Suy ra m ' n ' p , hay m ' p T c là p = p ' m ' , p ' là m t s nguyên dương, và arg ε p = 2 pπ 2 p ' m ' π 2 p ' π và ε d = 1 = = p m m'd d Do ñó, t tính ch t (a), và d m, d n , b t kỳ nghi m nào c a Z d − 1 = 0 cũng ñ u là nghi m c a Z m − 1 = 0 và Z n − 1 = 0 M nh ñ 2 N u ε ∈ U n là căn nguyên t c a 1, thì nghi m c a phương trình Z n −1 = 0 có d ng ε r , ε... tam giác ñ u có tâm là S và A ' B ' O là m t tam giác ñ u khác có cùng hư ng nhưng S ≠ A ', S ≠ B ' G i M , N l n lư t là trung ñi m c a các ño n th ng A ' B và AB ' Ch ng minh r ng các tam giác SB ' M và SA ' N ñ ng d ng L i gi i G i R là bán kính c a ñư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABO , ñ t 2π 2π + i sin 3 3 Ta xét bài toán trong m t ph ng ph c Ch n S là g c t a ñ và SO là tr c th c (tr c... vuông góc và cùng thu c m t ñư ng tròn Cho b n ñi m phân bi t M i ( zi ) , i = 1, 2,3,4 M nh ñ 1 Các ñi m phân bi t M 1 , M 2 , M 3 th ng hàng khi và ch khi z3 − z1 ∈ ℝ* z2 − z1 Ch ng minh Ta có các ñi m M 1 , M 2 , M 3 th ng hàng khi và ch khi M 2 M 1M 3 ∈ {0, π} hay arg z3 − z1 z − z1 ∈ {0, π} hay 3 ∈ ℝ* z2 − z1 z2 − z1 M nh ñ 2 Các ñư ng th ng M 1M 2 , M 3 M 4 vuông góc v i nhau khi và ch khi... các ñư ng cao AA ', BB ' và CC ' là AA ' : ( z − a )⋅ (b − c) = 0, BB ' : ( z − b)(c − a) = 0, CC ' = ( z − c)(a − b) = 0 Ta s ch ng minh H có t a ñ h = a + b + c n m trên các ñư ng cao Th t v y, ta có 2 2 (h − a) ⋅ (b − c) = 0 khi và ch khi (b + c) ⋅ (b − c) = 0 hay b ⋅ b − c ⋅ c = 0 hay b = c Do ñó, H ∈ AA ' Tương t , H ∈ BB ' và H ∈ CC ' 3.2 Tích ph c c a hai s ph c Cho a và b là hai s ph c ð nh . quan v ề số phức: cách xây dựng số phức, các phép toán, dạng ñại số, dạng lượng giác và dạng lũy th ừa của số phức một cách chi tiết, kèm theo ñó là các bài toán ví dụ ñiển hình. Chương 2 và ch ương. Biểu diễn số phức dưới dạng ñại số Theo ñịnh nghĩa trên, mỗi số phức tương ứng với một cặp số ( ) 2 ,x y ∈ ℝ , ñiều này sẽ gây ít nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về số phức. Vì. + −   . b) Tích của một số thực và một số phức. Xét số phức z x yi = + ứng với vector v xi y j = +    . Nếu λ là một số thực thì z x yi λ λ λ = + ứng với vector v xi y j λ λ