Số phức từ A đến Z

Paul Dawkins Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) Complex Numbers Primer SỐ PHỨC Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 2 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 3 Contents 1 LỜI NGƯỜI DỊCH 5 1.Tập số phức và các phép toán 6 1.1Định nghĩa tập số phức 6 1.2.Các phép toán 6 2.Bất đẳng thức tam giác 9 2.1 Số phức liên hợp 9 2.2 Môđun của số phức 10 2.3 Bất đẳng thức tam giác 12 3.Dạng lượng giác và dạng mũ 13 3.1 Biểu diễn hình học của số phức 13 3.2 Dạng lượng giác 14 3.3 Dạng mũ của số phức 15 4.Lũy thừa và khai căn 16 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương 16 4.2 Căn bậc n của số phức 17 1 Có thể click chuột vào tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 4 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 5 LỜI NGƯỜI DỊCH Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường sử dụng : ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy 2 1x (trên ℝ) . 2 10x có nghiệm trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , 2 1i . Xem ℂ = 2 R ={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh (ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là định nghĩa và cuối cùng kiểm chứng kết quả. Việc xây dựng ℂ của tác giả vừa đảm bảo chính xác vừa dễ hiểu, dễ áp dụng. Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức và các phép toán . Phần hai nói về bất đẳng thức tam giác. Dạng lượng giác và mũ của số phức được nêu ở phần ba. Phần cuối dùng trình bày về lũy thừa và căn bậc n của một số phức. Đọc tài liệu này: Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành các phép toán trên số phức, tìm thấy hướng dẫn rõ ràng, chi tiết; Nếu muốn tìm lời giải đáp vì sao tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ không có, sẽ được thỏa mãn; Nếu đã biết một ít về số phức vẫn thấy thú vị. Còn tôi thì ít thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ rằng thiếu sót không tránh khỏi. Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe chỉ giáo. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 6 1.Tập số phức và các phép toán 1.1Định nghĩa tập số phức Cho a,b∈ ℝ . Mỗi biểu thức dạng a+bi được gọi là một số phức 2 a: phần thực của z. b: phần ảo của z. Tập các số phức ký hiệu là ℂ . a∈ ℝ , a= a+0i=z . Vậy ℝ⊂ ℂ 3 Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức Cho hai số phức 12 ,bi c iz a z d . Tổng 12 ( ) ( )z a c b dz i Tích 12 . ( ) ( )z ac bd ad bc iz Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực 12 0 , 0a i cz zi . 4 Thật vậy 12 12 ( 0 ) ( 0 ) . ( 0 )( 0 ) z a i c i a c z a i c i ac z z Điều cuối cùng trong phần này, ta phải chứng minh 2 1i như một hệ quả của phép nhân. Thật vậy: 2 . (0 1 )(0 1 ) (0.0 1.1) (0.1 1.0) 1ii i ii i 1.2.Các phép toán Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng và nhân đa thức với chú ý 2 1i . 2 Dạng đại số của số phức(ND) 3 Tồn tại đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND). 4 Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh trên ℝ thành hai phép toán cộng và nhân thông thường (ND) . Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 7 Ví dụ: Tính a. (58-i)+(2-17i) b. (6+3i)(10+8i) c. (4+2i)(4-2i) Bài giải a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i 2 =60+78i+24(-1)=36+78i c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i) 2 =16+4=20 . Phép nhân hai số phức , cho ta hệ thức : 22 ( )( )a bi a bi ba . Hê thức này được sử dụng khi chia hai số phức ớ phần sau. Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức. Thử làm một cách hình thức ví dụ sau Ví dụ : a. (58 ) (2 17 ) 58 2 17 56 16i i i i i b. 63 10 8 i i = (6 3 ) (10 8 ) . (10 8 ) (10 8 ) ii ii = 2 60 48 30 24 84 18 84 18 100 64 164 164 164 i i i i i = 21 9 41 82 i c. 5 17 i i = 5 (1 7 ) 35 5 7 1 (1 7 )(1 7 ) 50 10 10 i i i i ii Trước khi định nghĩa phép trừ và phép chia hai số phức, ta cần một số chuẩn bị: Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0 Trong các trường đại số tổng quát nói chung không có hệ thức ( 1).zz Rất may mắn, trong trường ℂ ta có ( 1).z z a bi Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 8 Hiệu hai số phức 12 ,z z : 1 2 1 2 ()z z z z Nên 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z a bi c di a c b d iz Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức là số nghịch đảo của một số phức. Số nghịch đảo của số phức z (≠ 0) là một số phức ký hiệu z -1 sao cho z.z -1 =1. Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau: Giả sử z -1 =u+vi là số nghịch đảo của z=a+bi , z.z -1 =(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1 Nên 1 0 au bv av bu ⇒ 22 22 a u ab b v ab ⇒ 1 2 2 2 2 z ab i a b a b . Mọi số phức z khác 0 tồn tại số nghịch đảo z -1 . Định nghĩa thương hai số phức. Cho hai số phức z 1 , z 2 (z 2 ≠ 0) 1 1 12 2 . z zz z Theo định nghĩa trên , ta có Ví dụ : 1 1 2 2 2 2 63 (6 3 )(10 8 , (10 8 ) 10 ) 8 10 8 10 8 10 8 10 8 164 i i ii i i i Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 9 1 6 3 10 8 (6 3 )(10 8 (6) 10 8 164 3) ii ii i i 2 60 48 30 24 21 9 164 41 82 i i i i Ta có lại kết quả trước đây khi tiến hành chia hai số phức một cách hình thức. Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận tâm đến công thức tìm số nghịch đảo của số phức. Chẳng hạn 3 (3 )(1 ) 2 4 12 1 (1 )(1 ) 2 i i i i i i i i hay 1 22 1 10 8 10 8 5 2 . 10 8 (10 8 ) 10 8 8 ( 2 41 10 8 )i ii i ii 2.Bất đẳng thức tam giác 2.1 Số phức liên hợp Số phức liên hợp của z=a+bi , ký hiệu z , z a bi . (nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z ) Một số tính chất của số phức liên hợp zz 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 2 z z z z z z z z zz z z Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 10 Ví dụ : Tính (a) , 3 15z z i (b) 1 2 1 2 , 5 , 8 3z z z i z i (c) 1 2 1 2 , 5 , 8 3z z z i z i Bài giải (a) 3 15 3 15 3 15z i z i i z (b) 1 2 1 2 13 2 13 2 13 2z i z z iz i (c) 12 5 ( 8 3 ) 5 ( 8 3 ) 13 2z z i i i i i Với số phức z=a+bi, ta có ( ) 2 , ( ) 2 z a bi a bi a z z a bi a bi b z i 2.2 Môđun của số phức Cho z=a+bi, Môđun của z ký hiệu |z|, 22 || abz Môđun của một số phức là số thực không âm. z là số thực (z=a+0i), 2 || ||aaz . Vậy Môđun của một số thực chính là giá trị tuyệt đối của số ấy. 2 2 2 2 | | | || |a b az za ≥ a. Tương tự ||| |z bb Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z: 22 ). ( ( )z a bi a bi az b ⇒ 2 |. |z zz | | | |z z [...]... ) ( z1 .z1 )( z2 z2 ) | z1 |2| z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 | (6) | z1 z2 |2 ( z1 Bởi vì z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) | z1 |2 z1 z2 z1 z2 | z2 |2 z1 z2 , kéo theo z1 z2 2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | Do đó | z1 z2 |2 (| z1 | | z2 |)2 Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | Bất đẳng thức bên trái có được do: | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 |... |2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 11 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2.3 Bất đẳng thức tam giác Mối quan hệ gi a Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức: | z1 z2 | | z1 | | z2 | Chứng minh z2 |2 ( z1 | z1 z2 |2 z1 z1 ⇒ | z1 Lưu ý rằng z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z1 z2 z2 z1 z2 )( z1 z2 ) z2 z2 z2 z1 Nên z1 z2 2 e( z1 z2 )... là A, z2 1 z1 1 z2 1 1 1 z1 z2 z1 z2 1 z1 z2 A z1 z2 1 z1 z2 A Vậy A là số thực Bài tập 3 Cho a là số thực dương và đặt 1 | a z Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất c a |z| khi z M0 Lời giải 1 2 1 1 z2 z 2 1 2 2 a |z | (z )( z ) |z| 2 z z z |z| | z |2 | z |4 ( z z ) 2 2 | z |2 1 | z |2 Do đó | z |4 | z |2 (a2 2) 1 ( z z )2 0 M0 2 |z| [ a2 z C * ,| z a4 2 2 a 4a 2 a 2 ; a4 2 4a 2 2 ] a2 4 a a2... z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | z1 z1 | z1 |2 ; z2 z2 | z2 |2 | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 | z1 |2 z1 z2 z2 z2 z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 2 | z1 || z2 | | z2 |2 (| z1 | | z2 |) 2 Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 (giả sử | z1 | | z2 | , | z1 | | z2 | luôn z2 | | z1 | | z2 | 0 đúng) Tương tự Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 12 Complex... z1 | | z2 | | z1 z2 | 1 1 1 1 1 | z | 1 (7) z z z z |z| Nên | z 1 | | z | 1 , z C* z1 1 | z1 | | z1 | | z1 z2 1 | | z1 || z2 1 | | z1 || z2 | 1 z2 z2 | z2 | (9) | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | Mặt khác | z1 z2 | | z1 ( z2 ) | | z1 | | z2 | | z1 | | z2 | (8) Bất đẳng thức | z1 z2 | | z1 | | z2 | là đẳng thức Re( z1 z2 ) | z1 || z2 | , tức là z1 tz2 , t là số thực... Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- | z| |z| z1 z2 Ví dụ:Tính z1 z2 | z2 |2 z1 z2 z2 z2 6 3i 10 8i Bài giải z1 6 3i, z2 6 3i 10 8i 10 8i, z2 10 8i,| z |2 164 60 48i 30i 24i 2 164 (6 3i)(10 8i) 164 21 9 i 41 82 Tính chất c a Môđun số phức |z| 0 z 0 | z1 z2 | | z1 || z2 | z1 z2 | z1 | | z2 | Thật vậy: |z| 0 a2 b2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) 0 a b 0 z 0 ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 |2... z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) Lời giải Sử dụng tính chất (4), | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) z z Bài tập 2 Chứng minh nếu | z1 | | z2 | 1, z1 z2 1 thì 1 2 là số thực 1 z1 z2 Lời giải Sử dụng tính chất (4), Lê Lễ Page 11 Bài tập số phức 1 z1 z1 z1 | z1 |2 1, z1 Tương tự, z2 1 , đặt số. .. | z3 | 22 2 Định lý (1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | z 0 (2) | z | 0,| z | 0 (3) | z | | z | | z | (4) z. z z 2 (5) | z1 z2 | | z1 || z2 | (6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | (7) | z 1 | z (8) | 1 | z2 (9) | z1 | Lê Lễ | z | 1 , z C* | z1 | , z2 C * | z2 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | Page 10 Bài tập số phức Chứng minh Dễ kiểm tra (1)-(4) đúng (5) | z1 .z2 |2 ( z1 .z2 )( z1 z2... tỷ c a phương trình là t=1/3 Do đó x=3, y=1⇒ z= 3+i 1.6 Số phức liên hợp Cho z= x+yi Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp c a z Định lý (1) z z z R, (2) z z , (3) z. z là số thực không âm, Lê Lễ Page 8 Bài tập số phức (4) z1 z2 (5) z1 .z2 (7) (8) (1) (2) (3) z2 , z1 .z2 , (z ) 1 , z C* , 1 (6) z z1 z1 z2 z1 , z2 C* , z2 z z z z Re( z ) , Im (z) = 2 2i Chứng minh z z x yi x yi Do đó 2yi=0⇒ y=0⇒ z= x∈ ℝ z x... (1) Giao hoán: z1 z2 z2 z1 , z1 , z 2 C (2) Kết hợp: ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C (3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0) C , z 0 0 z z , z C z C : z ( z) ( z) z 0 (4) Mọi số có số đối: z C , Số z1 z2 z1 ( z2 ) : hiệu c a hai số z1 , z2 Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ, z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℂ 1.3 Tính chất phép nhân (1) Giao hoán: z1 .z2 z2 z1 , z1 , z2 . c a số phức được làm rõ qua đoạn sau: Giả sử z -1 =u+vi là số nghịch đảo c a z =a+ bi , z.z -1 = (a+ bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1 Nên 1 0 au bv av bu ⇒ 22 22 a u ab b v ab ⇒ 1 2 2 2 2 z ab i a. i i i Với số phức z =a+ bi, ta có ( ) 2 , ( ) 2 z a bi a bi a z z a bi a bi b z i 2.2 Môđun c a số phức Cho z =a+ bi, Môđun c a z ký hiệu |z|, 22 || abz Môđun c a một số phức là số thực. thực (z =a+ 0i), 2 || ||aaz . Vậy Môđun c a một số thực chính là giá trị tuyệt đối c a số ấy. 2 2 2 2 | | | || |a b az za ≥ a. Tương tự ||| |z bb Các hệ thức diễn tả mối quan hệ gi a Môđun