Luận văn điểm bất động và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI Lời Lờicam cảmđoan ơn ĐINH THỊ NGOAN Tôi xin bày cam tỏ đoan Lê Đình văn: hướng Điểm lòngdưới biết ơn hướng sâu sắcdẫn tới TS TS Lê Đình Định,Định thầyluận định bất côngdẫn, trình nghiên củacóriêng thành luận văn chọnđộng đề tàivàvàứng tận dụng tình hướng giảng giảicứu để thể hoàn Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG Tôi xinkhoa bày tỏ ơn chân tớiơn, phòng Sau đại thầy cô nhà họclòng với biết trân trọngthành biết thông tinhọc, tríchcác dẫn giáo dạy học chuyên ngànhgốc Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội luận văn cao rõ nguồn trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Nội, SĨ tháng 12 HỌC năm 2015 Tácngành: giả Toán giải LUẬN VĂNHà THẠC TOÁN Chuyên Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè tích Mã số : 60 46 01 02 động viên, cổ vũ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Đinh Thị Ngoan Người hướng dẫn khoa học TS Lê Đình Định Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đinh Thị Ngoan HÀ NỘI, 2015 Mở đầu trình sai phân, tập hợp thứ tự, định lí điểm bất động dùng để Đối tượng phạm vi nghiên cứu nghiên cứu chương sau Điểm bất động ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, Chương luận văn trình bày tồn nghiệm, tính ổn định, tính không tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: Lí chọn tài tính đơn điệu phương trình sai phân ổn định, tính đề bị chặn, t \ tí \ X™ _ Pxl Xn +1 g{xtại, — Mở đầu, n )f{x n - 1) n +1 = điểm bất động Bài toán 3nghiên cứu sự=tồn tính Chương luận văn trình bày áp xdụng định lí điểmánh bấtxạđộng X Mục lục + n-1 số kiến thức chuẩn bị cứu vấn đề thời Một thu hút quan tâm tính nhà toán tính học thếổngiới ứng dụng điểm bất động vào nghiên ổn định, không định, Chương Phương pháp nghiên cứu đạt nhiều kếtphương trọng Với không gianphân X / : X —>• tính đơn điệu trình saicủa phân dạng: Khái niệm vềquả tínhquan ổn định phương trình sai 1.1 ánh xạ Điểm G XAmman thỏatích mãn x ữ = f(x o) gọi điểm bất động •X Các phương pháp giải hàm bất X động t \ tí \ X ™ Pxn 1.2 Định lí điểm x n + = g { X n ) f { X n - 1) x n+1 = " — X ánh xạ / vấn đề đặt với điều kiện nào+củan-1 không gian X ánh số kết tính định phương trình sai phân • 1.3 Các Một phương pháp củaổn phương trình sai phân xạ / / có điểm bất động điểm bất động Chương Mục đích cứu Sự tồn nghiệm phương trình sai phân phi nghiên tuyến Những tàixuất từ đầu kỷ XX Công trình Các địnhđóng lý góp điểmcủa bất đề động • Giúp hiểu định lý điểm bất động Amman không gian sắp17 thứ Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach Sự tồn tạibày nghiệm trình phân Luận trình đượccủa mộtphương áp dụng củasai định lý điểm bất động Amman 17và 2.1tự văn (1922), Nguyên lý ánh xạ co Banach định lý điểm bất động đơn giản ứng định lý nghiên cứusai tính ổn định, tính không ổn định, Nghiệm đơn điệu củavào phương trình phân 19 2.2.dụng • Áp dụng định lý để xét tồn nghiệm, định, ổn sử dụng rộng rãi sau, kết kinhtính điểnổnnày tính đượckhông mở rộng tính đơn điệubịcủa phương trình sai phân dạng: Tính chặn nghiệm 22 2.3 định, tính bị chặn, tính điệu củakhác phương trình sai phân nhiều lớp ánh xạ đơn không gian ứng dụng rộng rãi í \f( bị chặn \ X PXn điệu—không 26 2.4 Nghiệm đơn *£n+1 9\p^n)ỉ\p^n— l) VỄ1 3?n+l — nhiều lĩnh vực khác toán học Một + x n- 1những ứng dụng định địa phương 31 2.5 Sự Nhiệm vụổnnghiền cứu xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu, 37 ứng dụng Chương tính bị chặn phương sai phânđể phi đề cập luận Áp dụng địnhcủa lý điểm bất trình động Amman xéttuyến tồn nghiệm, tính ổn định, 37 3.1.này văn Nộiổn dung luận văn khảocủa chủphương yếu tàisai liệuphân щ 16] Giải phương trình phân tính không định,của tính bịsai chặn, tính tham đơn điệu trình Dáng điệu 03 phương trình 3.2 văn Luận cấutoàn trúccục thành chương: ßx •^n+l Chương lđược để trình bày số kiến thức phương + x k dành n— 42 Tài liệu tham khảo 321 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tính ổn định phương trình sai phân Mục trình bày khái niệm tính ổn định phương trình sai phân tổng quát Định nghĩa 1.1 Phương trình sai phẫn cấp k + phương trình có dạng *^n +1 f {x n ĩ %ĩl— • • • ^n— f c ) J ^ 0,1, (1.1) f hàm liên tục ánh xạ tập J k+ vào J Tập hợp J khoảng hay đoạn M, hợp khoảng J c z Định nghĩa 1.2 Một nghiệm phương trình fll.l| ) ỉà dẫy {x n }™ = _ k mà thỏa mãn (1.1) với n > Nếu phương trình (1.1) có điều kiện ban đầu *£—fc+ij • ■ ■ Zo € J Xl = f{x ,x_ 1, ,x_ k ) x = f{xl,x , ,x_ k +1 ) nghiệm {^n}“=_fc (1.1) tồn với n > —k xác định nhờ điều kiện ban đầu Một nghiệm phương trình (1.1) số với n > —k gọi nghiệm phương trình (1.1) Nghĩa là, x n = X Vn > —k nghiệm phương trình (1.1), X gọi điểm phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 (Tính ổn định) Ta nói điểm cân X phương trình (1.1) là: (i) Ôn định địa phương với e > 0, tồn ô > cho {x n }n=-k nghiệm phương trình (1.1) mà \x_ k - x\ + \xi- k - x\ H 1- \x - x\ < ô \x n — x\ < e, Vn > —k (ỉỉ) Ồn định tiệm cận địa phương X ổn định địa phương tồn > cho {^n}°°=_fc nghiệm phương trình (1.1) mà \x_ k - x\ + \xi_ k - x\ -{ -1- |aj0 - x\ < lim x = X ĩl —>00 n (%%%) Hút toàn cục với nghiệm {x n }™ = _ k phương trình (1.1) ta có lim x n = X ĩl —>00 (ỉv) Ôn định tiệm cận toàn cục X ổn định địa phương X điểm hút toàn cục phương trình (1.1) (v) Không ổn định X không ổn định địa phương (vi) Điểm gốc (source) tồn r > cho với nghiệm {^n}“=_fc phương trình (1.1) mà < \x_ k — x\ + \xi-k — x\ + -\- \x - x\ < r tồn N > cho \x N — x\ > r Rõ ràng từ định nghĩa ta thấy điểm gốc điểm không ổn định phương trình (1.1) Giả sử / hàm khả vi liên tục lân cận mở điểm X Đặt Pi = ^-{x, X , , x ) với ỉ = 0,1, , k ƠUị đạo hàm riêng f(uo, U i , , U ỵ ) theo biến U ị điểm cân X phương trình (1.1) Khi phương trình Vn+1 = PũZn + PlZ n -i ^ h PkZ n -k, n = , , (1.2) Tương tự, cận Y định nghĩa cận lớn gọi phương trình tuyến tính hóa phương trình (1.1) điểm cân Y X , phương trình Ta kí hiệu tập hợp ự lị với г = 0, — sau: X k + - p X k p k - l \ - p k = (1.3) ( x i , x i + i ) G(x) > X với X G ( x ị , x i + i ) ! ? = { (!- 4) trái lại, gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.2) điểm cân X vá ( x i , x i + 1)nếu G ( x ) < X với X G ( x i , x i + 1) { 1.2 Địnhкlí=điểm bất động Amman trái lại (1-5) Để thuận tiện định nghĩa số thuật ngữ sử dụng Đặt m—1 m— phần F = {ж 0, , x m } , J + = IJ /+, J - = IJ I ; (1.6) г=0 г=0 Định nghĩa 1.4 Một tập hợp X gọi tập thứ tự X Khi đó, ta thấy khác rỗng với cặp (x, y) G X X X có quan hệ < thỏa mẫn: К п = l ị u I Ị = ( X ị , x i + i ) với i = 0,1, , m - 1, (i) Tính phản xạ: X < X với xễI; (ũ) Tính phản đối xứng: X +< y y < X X = y, [ x , x m ] = J и J“ и F (1.7) (ỉỉỉ) Tính bắc cầu: X < y y < z X < z Định nghĩa 1.7 Toán tủT : X —»■ X gọi đơn điệu tăng với ф, Ф Định nghĩa Cho X ẽ X mà ф < 1.5 Ф thìTỘ < Тlàфtập thứ tự Y c X Khi Y gọi xích (chain) X Y khác rỗng với x,y eY Bây giờ, ta xét không gian B [ x , x m ] gồm tất hàm không giảm X < y y < X không âm xác định đoạn [ x , x m ] Quan hệ thứ tự < B [ x , x m ] Định nghĩanghĩa 1.6 Cho X tập thứ tự Y c X Khi u G X gọi định sau mộtVới chặn ф , Ф ecủa B [ xY0 ,nếu x m ] ,vàtachỉ nói rằngX < u,Vx G Y Điểm y GY gọi cận Y X < y , V x € Y y < u với cận u Y Kí ф < Ф hiệu y = sup(y) neu (b) Giả sử ộ e M, khiộ {đó x )với < ĩmọi p ( xi) = 0,1, với X G J, +m - 1, ( x ) với X evới J~ X X i ộ=( xộ){ x > i ) ĩ=p 0(a;) (1-8) = vớiẼ X e F X i , với X Cho Ỉ B kí hiệu ánh xạ đồng trongkhông gian B [ x ữ , x m] i+ = 0(ẽ ỉ+ i) > 0(2;) e I [ , với M c B [ x 0, x m ] định nghĩa Xi = ệ(Xị) < ệ{x) X e ự, ậo(x) = < ệ ( x ) =i Ị ) ( x ) cho □ = { ộ echứng B[x 0,®m] ệ < ệ Bổ đề minh.: ộ < i B } Bổ đề 1.2 Cho hàm f vàMg thỏa mãn giả thiết (1.9) H l1.1 ) fG ơ[[0, oo)];fl ơ[[0,(1.9) oo), [0, Bổ (đề Xét tậpoo), M [0, choe Khioo)]; phát biểu sau đúng: (H2) g tăng f không tăng; (a) H àm / xác định (H3) Hàm G Xi với X = Xi, ộ ữ ( x ) = < X i+ 1, i= 0,1, , 771, G{xX) = g (, x )i f=( x ) cho tồn m với €ự 0,1, , (1-10) điểm x ữ , x i , x , x , , x m , sau: Xị với X & ự, ỉ = 1, — 0,1, , m x , xM , , x m < oo, /à phần tử 2tập < XQ, Xị, hợp — (1.12) (b) Với ệo m, < ộ v smỗi a o ệc h o m & ỗ i Mta i = có 0, , Chứng minh, (a) Bởi ) (■ < ệ ( x ) < 1p ( x ) Từ Ф < î p , ta thấy với ĨỄ J+, ự>(:r) > VK 3') v ф = ф о ф < ф о , ф < ' ф о ' ф = 'ф ĩ ] ( ộ ( x ) ) > ĩ ] ( ĩ ị ) ( x ) ) với X £ Bổ đề chứng minh J~ □ -- 77 o ộ < 77 o i/j (a) Theo giả thiết (H3) kết hợp với (1.4), (1.5), (1.8) (1.9) ta có điều phải Tiếp theo trình bày vài định lí điểm bất động sử dụng chứng minh phần sau Trước tiên, định lí điểm bất động hữu ích Amman (b) Vớipp ÍC 506-507] € IỊTTỊ, ta có Định lý 1.1 Giả sử X ^0 < 0(^ tập 0) hợp < 0(^) có < thứ ộ{x tự, )giả = sử T : X —>• X m toán tứ X thỏa mãn điều kiện sau: ệ ( [ x ữ , x m ] ) c [x 0,^m] Khi với ĩ ] ộ ẽ -M ta có (a) Toán tử T : X —»■ X77ỉà điệu tăng X; O0đơn e B[Ẽ ,Ẽ m ] 1112 (b) Mọi chuỗi X có cận đúng; (c) Có phần tử ộ ữ £ X mà 00 < Tộ Khi T có điểm cố định nhỏ tập {ộ ẽ X '■ ộo < ộ} Định lý Ll cận thay cận ý (b) 00 < Tệ ữ thay Tộ0 < 00 ý (c) 1.3 Một số kết tính ổn định phương trình sai phân Kết sau gọi Định lý ổn định tuyến tính hóa hữu ích việc xác định tính ổn định địa phương điểm cân X Định lý 1.2 (P, Theorem 1.1 p.3]) Giả sử f hàm khả vi liên tục lân cận X Khi điều sau đúng: Nếu nghiệm phương trình đặc trưng (1.3) có modun nhỏ ỉ, điểm cân X phương trình (1.1) ổn định địa phương Nếu có nghiệm phương trình đặc trưng (1.3) có modun lớn 1, điểm cân X phương trình (1.1) không ổn định Nếu nghiệm phương trình đặc trưng (1.3) có modun lớn 1, điểm X phương trình (Ịl.lb điểm gốc 13 Điểm cân X phương trình (ỊTTTỊ) gọi điểm hyperbolic nghiệm phương trình đặc trưng (1.3) có modun 1, trái lại ta gọi điểm cân X phương trình (1.1) điểm không- hy p erbolic Điểm cân X phương trình (Ịl.lh gọi điểm yên ngựa X hyperbolic tồn nghiệm phương trình đặc trưng (1.3) có modun nhỏ nghiệm khác phương trình •-■ĩ- đặc trưng (1.3) có modun lớn Đặc biệt, điểm yên ngựa cân không ổn định Kết đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn đinh tiệm cận điểm cân gốc phương trình sai phân bậc hai x n + + p x n+1 + qxn = (1.14) 0, n = 0,1, Định lý 1.3 Giả sử p,q € M điều kiện cần đủ để phương trình (1.14) ổn định tiệm cận ỉà: \p\ < + Q < (1.15) Phương trình sai phẫn *£71+1 F { x n i ., 77/ 0,1, , gọi ổn định (permanent) tồn số c D với < c < D < 00 cho thỏa mãn điều kiện ban đầu Xo £ (0,oo), tồn số nguyên dương N mà phụ thuộc vào điều kiện ban đầu cho c < x n < D với n > N 14 Trường ơ(x) H\x) Các nghiệm Ai, x Điểm cân X ^ hợp Ai = Nếu p { 1) > p > — hay H'(x) € R < Ai < < A Điểm yên ngựa 0,0 < A < 1.1Ta có bảng tóm tắt G’(x) = H '{x) > Ai = 1,0 < A < G'(0) Các nghiệm Ai, Điểm cân X = G ' ( x ) 0=< H ' { x ) Điểm không ổn 2G ' ( x ) =G'(0) = 1 định H ' ( x>) 1> 0Ai = 0,|Ai|, Điểm 3G ' ( x ) 0, ổnđịnh địa phương củaX = xác định bởigiá trị G'(0) Nếu -P(l) = p = — hay G'(0) = 1, điều tương đương với A2 — Nếu p ( 1) = Ai < p < — hay G'(0) > 1, điều nàytươngđương với 1A2 — 35 36 Chương ứng dụng Chương trình bày ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng ' n +1 — 3.1 ị3x Giải phương trình sai phân Trong phần ta áp dụng kết phương trình sai phân ạxị %n +1 với điều kiện ban đầu (3.1) + X k’ n X_1 € [0, oo) and x € (0, 00) (3.2) với k , / G (0, oo) Khi k=2 phương trình ( Ị3.1D có dạng (3.3) + K-1 phương trình nghiên cứu [5j Ta đưa phương trình (3.1) dạng (2.1) cách đặt g{x) K= Px k, f(x) = + X 1 + 37 G ( x ) = - Ị3x k + X k' Xét phương trình X = G(x ) = ậx k + xk (3.4) hay X — /3x h + xk = Do đó, hiển nhiên x ữ nghiệm phương trình (3.4) Các nghiệm không âm khác, có nghiệm phương trình gi (x) = x k — f3x k + = (3.5) Trường hợp 1: Khi Ả: = ta có, (x) = X + (1 - /3) Nếu Ị3 < 1, g i ( x ) > với X > phương trình có điểm cân x ữ Nếu /3 > 1, tồn điểm cân dương, Xị — Ị — Trường hợp : Khi Ả; Ỷ 1- Thì ta có g [ ( x ) = x k ~ ( k x - Ị3(k - 1)) Nếu < Ả; < ta có g [ { x ) >0 với X > Í7i(0 +) = — 00, 1, dễ dàng thấy hàm gi(x ) có giá trị tuyệt đối cực tiểu x c = Vì ^i(O) = 1,^1 (oo) = 00, k , , , ạk{k-i)k~l i { x c ) = l -, 38 hàm g i ( x ) có hai không điểm dương g i ( x c) < 0, có không điểm dương g i ( x c) = 0, không điểm dương i { x c ) > Do đó, k > 1, mệnh đề sau đúng: (i) Nếu /3 < k — phương trình (3.1) điểm cân (k-iy dương; k — phương trình (3.1) có điểm cân (ii) Nếu /3 = {k-iy dương Xi = P ( k - 1) k k (iii) Nếu /3 > ——— phương trình (3.1) có hai điểm cân ( k — 1) * J ^ IX - X u ^ P( k ^ ^ - dương X ị x cho X ị < < x k (a) Xét trường hợp phương trình (3.1) có điểm cân x +) Với < k < 1, hàm x k không khả vi X = ta áp dụng kết tính ổn định phương trình tuyến tính hóa +) Với A; = phương trình tuyến tính hóa điểm cân ^0 = y n+1 - P y n + 0y n_i = 0, = , , với phương trình đặc trưng p { \ ) = X - Ị X = Hiển nhiên, ta có Ai = À = Ị ÍẼO = ổn định tiệm cận địa phương với /3 < +) Với k > phương trình đặc trưng trở thành: P ( A) = A2 = 39 nghiệm phương trình đặc trưng Ai = À = Vì thế, với k > l , x ữ ỉ ầ ổ ĩ ì định tiệm cận địa phương (b)Xét trường hợp phương trình (3.1) có X điểm cân dương Khi đó, phương trình tuyến tính hóa X y n+ - ky n + ^-y n -i = 0, = , , (3.6) với phương trình đặc trưng P(A) = A - kX^Ĩ- = (3.7) Hơn nữa, G (x) = H{x) = + xk ’ + xk ’ G ' ( x ) = —^-r, H ' ( x ) = f ~ k ỉ t v v ’ ĩ + xk v v ’ P(l + Xk) (3.8) Trước tiên, xét trường hợp tồn điểm cân dương X ị Khi _ Ị3(k — 1) k , _ X ị = -, p = —^rr, G ( X i ) k ( k - 1) * K = vầH , — k ( k - 2) ( z i ) = -^ Từ Bảng[37ĨỊ < k < 2, phương trình đặc trưng có nghiệm Ai = < À < Với k= nghiệm Ai = À = với k > ta có Ai = A > (c) Xét trường hợp phương trình (3.1) có hai điểm cân dương X ị x , „ № - ) - , „ k < X i < — , -< x /3 > k _ k ( k — 1) * +) Xét điểm X ị , ta chứng tỏ f k \ < ^ Ị3(k — 1) < (j) < k- 40 - (3 9) k Dễ dàng thấy điều kiện /3 > — tương đương với bất đẳng thức thứ hai (3.9) Để chứng minh bất đẳng thức thứ (3.9) cần chứng tỏ 91 Điều tương đương với phương trình gi(x) = có nghiệm đoạn f l { k — 1) /3 Á \ r P ( k - 1) P - ị X , — Hiên nhiên, - < — nêu chì nêu < k < Vì Jv b b k gi ỵ < hàm g i ( x ) = tăng X > ỵ —“) ta có H ' ( x 2) > tương đương với < k < g i > 0- Vì Do H ' ( x 2) > k (.k k ^ < / < - —r < k < — 1) * (k — 1)' Khi x điểm hút hai nghiệm phương trình đặc trưng thỏa mãn IAi I, |À 2Ị < Trường hợp lại H ’ ( x 2) < 0, điều k l < Ả ; < v ổ > - —r k > ( k — 1)* Bảng ^1 trình bày thông tin số điểm cân tính ổn định với giá trị khác k (xem trang 50) 3.2 Dáng điệu toàn cục phương trình X n + " + * L Pxì Trong mục ta trình bày dáng điệu toàn cục phương trình (3.1) Định lý 3.1 Giả sử (Ị3.2Ị) Khi điều sau tương đương: 42 (a) Mọi nghiệm (3.1) bị chặn số dương < k < 4; (3.10) (b) N ếu (3.11) k>4 phương trình (3.1) có nghiệm tăng không bị chặn; (c) Phương trình (3.1) ỉà ổn định k = ậ > < k < l v ậ > (3.12) Chứng minh Với chứng minh phần (a) (b), ta sử dụng Định lí A Bổ đề A Định lí ^6, Với số L > ta có g ( x ) = Ị3x k f ( x ) < với X > L điều kiện (2.6) (2.7) thỏa mãn Trong trường hợn này, p = q = k Hơn nữa, g không bị chặn, nên theo Định lí 2.4 nghiệm phương trình (3.1) bị chặn số dương k < 4k , điều tương đương với (3.10) Tiếp theo, ta chứng tỏ tồn nghiệm tăng không bị chặn với k > Hiển nhiên giả thiết (H1)-(H3) thỏa mãn Do G(x) /3x k + xk < X với X > L = max{l, x} với X điểm cân không âm lớn phương trình (3.1) Theo Bổ đề 2.4 điều kiện (H4) thỏa mãn Theo Định lí 2.6 ta thu (a) (b) 43 (c) Từ tính ổn định địa phương, ta suy điểm cân x ữ = điểm hút với k > với k = l v ầ Q < / < l Rõ ràng, trường hợp phương trình (3.1) không ổn định Nếu điều kiện (3.12) □ áp dụng định lí 1.4 ta thu (c) Định lý 3.2 Giả sử (|3.2[) Khi phát biểu sau đúng: (a) Điểm x ữ = điểm hút toàn cục nghiệm không âm phương trình (3.1) k = V Ồ < ^ < k l < k < (3.13) 0 (3.14) k = > Chứng minh, (a) Điều kiện (3.13) điều kiện cần Thật vậy, từ bảng 3.1 ta thấy rằng, (3.13) không thỏa mãn, tồn điểm cân dương tương ứng với nghiệm số mà không bị hút điểm x = Bây giờ, ta chứng tỏ (3.13) điều kiện đủ cho tính hút toàn cục Hiển nhiên, từ bảng |3.l| ta suy X Q = điểm cân phương trình ( 3.1|) Hơn nữa, từ Định lí 3.1, nghiệm bị chặn số dương tồn số nguyên N cho %N < XN-1- 44 (3.15) Trái lại, với n = , , x n x n —\ {x n} bị chặn, nên tồn giới hạn dương dãy { x n} điều vô lí Từ phương trình (3.1) (3.15) ——- < với X > nên + xk /_ P X N ~-1 < XN < XN % N +1 — -I1 -I1 ^ N — ^ *NBằng cách quy nạp theo n ta thu { x n } không tăng, dãy không âm, nên dãy hội tụ x ữ = (b) Bây giờ, ta xét nghiệm dương phương trình ( |3.1|) tức nghiệm với điều kiện ban đầu x0 > X - I > Từ bảng (3.1) ta thấy với k > với = /? < 1, £0 = ổn định tiệm cận địa phương, từ không tồn điểm hút toàn cục Điều chứng tỏ điều kiện (3.14) điều kiện cần Bây giờ, giả sử (3.14) đúng, ta thấy từ giả thiết Định lí 1^5 thỏa mãn Cụ hàm F(u,v) = k-l + vk liên tục (0, 00) X (0, 00) Do đó, F không tăng theo u giảm theo V, hàm u F ( u , u ) tăng theo u Khi đó, điểm cân dương X ị hút toàn cục nghiệm dương phương trình (3.1) □ Ta có kết sau: 45 Hệ 3.1 Giả sử điều kiện (Ị3.2Ị ) Khi phát biểu sau đúng: (a) Nếu (3.13) x ổn định tiệm cận toàn cục; (b) Nếu (3.14) điểm cân dương X ị ỉà ổn định tiệm cận toàn cục Bây ta xét trường hợp phương trình ( |3.l|) có hai (^0 ^i) ba (^0 ^ ^2 ) điểm cân Trước tiên, ta giới thiệu tập hợp sau: s = tập tất nghiệm phương trình (3.1); Sq = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới x ữ; s x = tập tất nghiệm không tầm thường tăng thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới Xi; Si = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới X í ] Sao = tập tất nghiệm không tầm thường không bị chặn giảm phương trình (3.1) Định lý 3.3 Giả sử (3.2) k > Ị3 = k fc ( k - 1) k-l (3.16) cho { x n } c s Khỉ phát biểu sau đúng: (a) Phương trình (3.1) có hai điểm x ữ = X ị = № -1) k ’ 46 (b) Nếu < k < 2, So, Sỉ í 0, Sco = 0, So u Sf c s (3.17) Hơn nữa, điều kiện ban đầu X - x ữ chọn cho < x < X - i , X q < X ị , {a:n} c s (c) Nếu < k < 4, = 0, So u Sf c s So, Sĩ é 0, Sỉ , (3.18) (d) Nếu k > 4, So, Sf, # 0, S+ = 0, s u Sf u Soa = (3.19) Chứng minh Theo phần (a) bảng 3.1 ta có G(x ) = /3x k + Xk < X — với X > Hơn nữa, /0 7^ /^ = từ Định lí 2.2 suy tồn nghiệm đơn điệu tăng phương trình (3.1) mà hội tụ X \ Từ Định lí 2.3 neu điều kiện biên X-I x chọn cho < x < X-1,X < Xi, nghiệm { x n } giảm lim x n = x ĩl—too Từ Định lí ^1, k > 4, tồn nghiệm đơn điệu tăng không bị chặn < A; < không tồn nghiệm Chứng minh phần (b) hoàn thành Để chứng minh phần (c) (d) ta cần chứng tỏ k > 2, nghiệm mà không đơn điệu tăng đơn điệu giảm thực hội tụ Giả sử {x n} dãy nghiệm không tăng, tồn số nguyên Nq cho x No < x N o - x 47 Trong bất đẳng thức ngặt Trái lại, X N - I = X N = x No+ i = Xị nghiệm {:r n} tầm thường, điều mâu thuẫn Tiếp theo, quy nạp ta kết luận x n + < x n với n > NQ Vì x n > nên {x n} hội tụ Ta chứng tỏ lim x n = 71 —>00 Trái lại, tồn x' > cho lim x n = x' Xét dãy { y n } xác định n Un J %n— n = 0,1, Hiển nhiên, lim y n = n —>00 y n < với n > N + (3.20) Hơn nữa, 3'7l+ V n +1 x n zn_i + x ị , “ $^71 ^ n — X n @ X n _ ị ^ x n z ' ~z ^ “ ĩ ' ~z — ~ x n _ị + , xn_x Un— ■ Điều mâu thuẫn với (3.20) chứng minh hoàn thành □ Nhận xét 3.1 Nếu (3.16) đúng, Định ỉí 3.3 cho ta đặc trưng đầy đủ nghiệm dương phương trình (3.1) trừ < k < Định lý 3.4 Giả sử (3.2) k k > Ị3 = k- ( k - ) 1k ' Khi đó, phát biểu sau ỉà đúng: (a) Phương trình (|3.ip có hai điểm cân ỉà Xq = < Xị < ạ(k -1) k < x2\ (b) Nếu < k < 4, SoA _ A + ^0, S o o = , So u u Sỉ c s (3.21) Hơn nữa, điều kiện ban đầu X_ x chọn cho < x < X - i , X q < X ị , t h ì {;cn} c S q (c) N ế u k > 4, t h ì s ữ , sr, S+, Soc Ỷ 0, So u s- x u st u S n C S (3.22) Hơn nữa, điều kiện ban đầu X_ x chọn cho < x0 < X - 1, X < X ị , {:cn } c Sq 49 k p 0 Điểm hút k=1 < /3 < 1 l ^ l l i 1-^21 < Ai = 0, A = /3 x — Điểm hút o II cq II I—1 -< k= = đượcThị Xođây: = = 0, Abất = Luận Tân, trình0 bày Thanh vấn 1đề sau [1]1 Đỗvăn Hồng Nguyễn Hà, (2002), Các định ỉýAiđiểm k=1 0=1 z0 = ^1 = 0, A > |^l|j động, Nhà xuất Đại học Sư Phạm Một số kiến thức phương X\ trình phân, tập hợpsắp thứ > 0sai Điểm hút 1^2 [ < k < k[2]< Lê 2tự,Đình xPhương Điểm hút Thịnh, Lê Đình Định, (2004), pháp sai phãn, NXB Đại ữ = định lí điểm bất động Amman không gian thứ tự; < p < _ j(fc-i)/fc < k < học Quốc gia Hà Nội.k f c_ f c x = Điểm hút _ (k tính — l)( )/ tính không — A2 — Ai = 1, Sự tồn nghiệm, ổn định, ổn định, tính bị chặn, P { k - 1) l k phi [3] Lê Đìnhđơn Thịnh, Đình Châu, Lê Xphân Đình Định, Phan Văn Hạp, (2001), >0 fc fc e n n 2 II c* ■ < II -< x0 = Điểm Biological Systems, Math Biosciences 111 1-72.hút Ax = A =0 k > p > ^ _ -q(fc-i)/fc ĩi Ễ (o, £ y-n < Ai < < A [8] J.H Jaroma.V.L Kocic, and G Ladas, (1992) Global Asymptotic *2 e 00) đ ^ y I* 1!’ I^ I > Stability of a second - Order Diffirence Equation, in J.Wiener and Bảng 3.1: Phân tích tính ổn định tuj]gến tính hóa phương trình 52 51 (3.1) [...]... nhiên, khi / là hàm giảm thì nghiệm (2.5) là giảm hoàn toàn Bổ đề □ được chứng minh Định lý 2.3 Giả sử cắc giả thiết (H1)-(H3) ỉà thỏa mãn và cho x ữ = 0 và IQ Ỷ 0- Nếu các điều kiện ban đầu Z_1 và x ữ được chọn là £-1 > Xữ và x ữ G IQ , thì nghiệm {£n} của phương trình (2.1) là giảm và lim n—¥ = 00 xn XQ 21 Chứng minh Từ (2.1), (1.7) và (Hl) ta có Xi = g ( x 0 ) f { x - i ) < g ( x 0 ) f ( x 0 ) < x 0