Luận văn điểm bất động và ứng dụng

B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI Đ IN H T H Ị N G O A N Đ IỂ M B Ấ T Đ Ộ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C C h u y ê n n gàn h : T o n g iả i tíc h M ã số : 60 46 01 02 N gười hướng dẫn khoa học T S Lê Đ ìn h Đ ịn h H À N Ộ I, Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Định, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 T ác g iả Đ in h T h ị N g o a n Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Lê Đình Định luận văn: Đ i ể m b ấ t đ ộ n g v ứ n g d ụ n g công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2015 T ác g iả Đ in h T h ị N g o a n M ục lục M đầu, C h n g M ộ t số k iế n th ứ c c h u ẩ n b ị Khái niệm tính ổn định phương trình sai phân Định lí điểm bất động Amman 1.3 Một số kết tính ổn định phương trình sai phân 13 C h n g S ự tồ n tạ i n g h iệ m c ủ a p h n g tr ìn h sa i p h â n p h i tu y ế n 17 Sự tồn nghiệm phương trình sai phân 17 2 Nghiệm đơn điệu phương trình sai phân 19 2.3 Tính bị chặn nghiệm 22 2.4 Nghiệm đơn điệu không bị chặn 26 2.5 Sự ổn định địa phương 31 C h n g ứ n g d ụ n g 3.1 Giải phương trình sai phân 37 37 3.2 Dáng điệu toàn cục phương trình ßx •^n+l l + x nk—1 42 51 T ài liệ u th a m k h ảo 52 M đầu Lí chọn đề tài Bài toán nghiên cứu tồn tại, tính điểm bất động ánh xạ vấn đề thời thu hút quan tâm nhà toán học giới đạt nhiều kết quan trọng Với không gian X / : X —>• X ánh xạ Điểm X G X thỏa mãn x ữ = f ( x o) gọi điểm bất động ánh xạ / vấn đề đặt với điều kiện không gian X ánh xạ / / có điểm bất động điểm bất động Các định lý điểm bất động xuất từ đầu kỷ XX Công trình Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Nguyên lý ánh xạ co Banach định lý điểm bất động đơn giản sử dụng rộng rãi v ề sau, kết kinh điển mở rộng nhiều lớp ánh xạ không gian khác ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học Một ứng dụng xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu, tính bị chặn phương trình sai phân phi tuyến đề cập luận văn Nội dung luận văn tham khảo chủ yếu tài liệu щ 16] Luận văn cấu trúc thành 03 chương: Chương dành để trình bày số kiến thức phương trình sai phân, tập hợp thứ tự, định lí điểm bất động dùng để nghiên cứu chương sau Chương luận văn trình bày tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Chương luận văn trình bày áp dụng định lí điểm bất động ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: t \ tí \ X ™ x n+ = g { X n ) f { X n - 1) x n+1 = Pxn "— + Xn-1 M ục đích nghiên cứu • Giúp hiểu định lý điểm bất động Amman không gian thứ tự • Áp dụng định lý để xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân N h iệm vụ nghiền cứu Áp dụng định lý điểm bất động Amman để xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Điểm bất động ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: t \ tí Xn+ = g{xn) f { x n- )\ Xvà™x n+1 _= Pxl — + X n-1 Phương pháp nghiên cứu • Các phương pháp giải tích hàm • Các phương pháp phương trình sai phân N hữ ng đóng góp đề tài Luận văn trình bày áp dụng định lý điểm bất động Amman ứng dụng định lý vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: í \f( \l)X *£n+1 — 9\p^n)ỉ\p^n— VỄ1 3?n+l —PXn7 + x n- Chương M ột số kiến thứ c chuẩn bị 1.1 K hái niệm tín h ổn định phương trình sai phân Mục trình bày khái niệm tính ổn định phương trình sai phân tổng quát Đ ịn h n g h ĩa 1 Phương trình sai phẫn cấp k + phương trình có dạng *^n+ f { x n ĩ %ĩl—1 • • • ^ n —fc) J ^ 0,1, (1 ) f m ột hàm liên tục ánh xạ tập J k+1 vào J Tập hợp J m ột khoảng hay đoạn M, hợp khoảng J c z Đ ịn h n g h ĩa Một nghiệm phương trình fll.l|) ỉà m ột dẫy { x n}™=_k mà thỏa mãn (1.1) với n > Nếu phương trình (1.1) có điều kiện ban đầu *£— fc+ij • ■■5Zo € J Xl = f { x 0,x _ , , x _ k) x = f { x l , x 0, , x _ k+1) nghiệm {^n} “=_fc (1.1) tồn với n > —k xác định nhờ điều kiện ban đầu Một nghiệm phương trình (1.1) số với n > —k gọi m ột nghiệm phương trình (1.1) Nghĩa là, xn = X m ộ t n g h i ệ m c ă n b ằ n g Vn > —k phương trình (1.1), X g ọ i m ộ t điểm phương trình (1.1) Đ ịn h n g h ĩa (Tính ổn định) Ta nói m ột điểm cân X phương trình (1.1) là: (i) Ôn định địa phương với e > 0, tồn ô > cho { x n}n=-k m ột nghiệm phương trình (1.1) mà \x_k - x\ + \ x i- k - x\ H - 1- \x0 - x\ < ô \xn — x\ < e, Vn > —k (ỉỉ) Ồn định tiệm cận địa phương X ổn định địa phương tồn > cho {^n}°°=_fc m ột nghiệm phương trình (1.1) mà \x_k - x\ + \xi_k - x\ -{ - 1- |aj0 - x\ < lim x n ĩl— >00 = X (%%%) Hút toàn cục với nghiệm { x n}™=_k phương trình (1.1) ta có lim x n = X ĩl— >00 (ỉv) Ôn định tiệm cận toàn cục X ổn định địa phương X m ột điểm hút toàn cục phương trình (1.1) (v) Không ổn định X không ổn định địa phương (vi) Điểm gốc (source) tồn r > cho với nghiệm {^n}“=_fc phương trình (1.1) mà < \x_k — x\ + \xi-k — x\ + - \- \x0 - x\ < r tồn N > cho \xN — x\ > r Rõ ràng từ định nghĩa ta thấy điểm gốc điểm không ổn định phương trình (1.1) Giả sử / hàm khả vi liên tục lân cận mở điểm X Đặt Pi = ^ - { x , X , , x) với ỉ = , , , k ƠUị đạo hàm riêng f(uo, Ui , , Uỵ) theo biến Uị điểm cân X phương trình (1.1) Khi phương trình Vn +1 = PũZn + P l Z n - i ^ - h P k Z n - k , n = 0,1, ( ) Xét phương trình X = G (x ) = ậxk + xk (3.4) hay X — /3xh = + xk Do đó, hiển nhiên x ữ nghiệm phương trình (3.4) Các nghiệm không âm khác, có nghiệm phương trình gi (x) = x k — f3xk + = (3.5) T rư n g hợ p 1: K h i Ả: = ta có, 01 (x) = X + (1 - /3) Nếu Ị3 < 1, gi(x) > với X > phương trình có điểm cân x ữ Nếu /3 > 1, tồn điểm cân dương, Xị — Ị3 — T rư n g hợ p : K h i Ả; Ỷ 1Thì ta có g[(x) = x k~2(kx - Ị3(k - 1)) Nếu < Ả; < ta có g[{x) > với X > Í7i(0+) = —00 , 1, dễ dàng thấy hàm g i ( x ) có giá trị tuyệt đối cực tiểu x c = k Vì ^i(O) = 1,^1 (oo) = 00 , , , , i { x c) = l k{ k - i ) k~l - -, 38 hàm g i ( x ) có hai không điểm dương gi ( xc) < 0, có không điểm dương gi ( xc) = 0, không điểm dương 9i {x c) > Do đó, k > 1, mệnh đề sau đúng: k (i) Nếu /3 < — phương trình (3.1) điểm cân (k-iy dương; (ii) Nếu /3 = dương X i k — phương trình (3.1) có điểm cân {k-iy P ( k - 1) = k k (iii) Nếu /3 > ——— phương trình (3.1) có hai điểm cân (k — 1) * J ^ IX ^ P ( k ^ ^ dương Xị vàX x- cho Xịu < -< x k - (a) Xét trường hợp phương trình (3.1) có điểm cân x + ) Với < k < 1, hàm xk không khả vi X = ta áp dụng kết tính ổn định phương trình tuyến tính hóa + ) Với A; = phương trình tuyến tính hóa điểm cân ^0 = y n+1 - Pyn + 0yn_i = 0, = , , với phương trình đặc trưng p { \ ) = X2 - Ị3X = Hiển nhiên, ta có Ai = À2 = Ị3 ÍẼO = ổn định tiệm cận địa phương với /3 < + ) Với k > phương trình đặc trưng trở thành: P ( A) = A2 = 39 nghiệm phương trình đặc trưng Ai = À2 = Vì thế, với k > l , x ữ ỉầ ổĩì định tiệm cận địa phương Xét trường hợp phương trình (3.1) có (b ) dương Khi đó, phương trình tuyến tính hóa yn+1 - kyn + ^ - y n- i = 0, X X điểm cân = , , (3.6) với phương trình đặc trưng P(A) = A2 - kX^Ĩ- = (3.7) Hơn nữa, G (x ) = 1+ x k ’ H{ x ) = + xk’ G'(x) = — ^ - r , H' (x) = f ~ kỉ t v v ’ ĩ + xk v ’ P ( l + Xk) (3.8) v Trước tiên, xét trường hợp tồn điểm cân dương Xị Khi Xị = Ị3(k — 1) k k ( k - 1) * - - , p = — ^ r r , G , (Xi) = v ầ H , —k(k - 2) ( z i ) = -^ - K Từ B ản g[37ĨỊkhi < k < 2, phương trình đặc trưng có nghiệm Ai = < À2 < Với k = nghiệm Ai = À2 = với k > ta có Ai = A2 > (c) Xị Xét trường hợp phương trình (3.1) có hai điểm cân dương x 2, „ № - ) , „ k < Xi < — , < x /3 > k_1 k (k — 1) * + ) Xét điểm Xị , ta chứng tỏ Ị3(k — 1) fk\ — tương đương với bất đẳng thức thứ hai (3.9) Để chứng minh bất đẳng thức thứ (3.9) cần chứng tỏ Điều tương đương với phương trình gi( x) = có nghiệm đoạn rP(k - 1) P-ị X fl{k — 1) /3 Á \ , — Hiên nhiên, - < — nêu chì nêu < k < Vì Jv b gi b k < hàm g i ( x ) = tăng X > ỵ H' ( x 2) > tương đương với < k < gi ỵ— “ ) ta có > 0- Vì Do H' ( x 2) > k ^ (.k — 1) * k < /3 < - — r < k < ( k — )' Khi x điểm hút hai nghiệm phương trình đặc trưng thỏa mãn IAi I, |À2Ị < Trường hợp lại H ’(x 2) < 0, điều k l < Ả ; < v ổ > - — r k > (k — 1)* Bảng ^ trình bày thông tin số điểm cân tính ổn định với giá trị khác 13 k (xem trang 50) 3.2 D điệu toàn cục phương trình Px ì X n + " + * L Trong mục ta trình bày dáng điệu toàn cục phương trình (3.1) Đ ịn h lý Giả sử (Ị3.2Ị) Khi điều sau tương đương: 42 (a) Mọi nghiệm (3.1) bị chặn m ột số dương < k < 4; (3.10) k > (3.11) (b) Nếu phương trình (3.1) có m ột nghiệm tăng không bị chặn; (c) Phương trình (3.1) ỉà ổn định k = ậ > < k < l v ậ > (3.12) C h ứ n g m in h Với chứng minh phần (a) (b), ta sử dụng Định lí A Bổ đề A Định lí ^ , Với số L > ta có g(x) = Ị3xk f ( x ) < với X > L điều kiện (2.6) (2.7) thỏa mãn Trong trường hợn này, p = q = k Hơn nữa, g không bị chặn, nên theo Định lí 2.4 nghiệm phương trình (3.1) bị chặn số dương k2 < 4k, điều tương đương với (3.10) Tiếp theo, ta chứng tỏ tồn nghiệm tăng không bị chặn với k > Hiển nhiên giả thiết (H1)-(H3) thỏa mãn Do G(x) với X /3xk + xk < X với X > L = m a x {l, x } điểm cân không âm lớn phương trình (3.1) Theo Bổ đề 2.4 điều kiện (H4) thỏa mãn Theo Định lí 2.6 ta thu (a) (b) 43 (c) Từ tính ổn định địa phương, ta suy điểm cân x ữ = điểm hút với k > với k = l v ầ Q < / < l Rõ ràng, trường hợp phương trình (3.1) không ổn định Nếu điều kiện (3.12) □ áp dụng định lí 1.4 ta thu (c) Đ ịn h lý Giả sử (|3.2[) Khi phát biểu sau đúng: (a) Điểm x ữ = m ột điểm hút toàn cục nghiệm không âm phương trình (3.1) k = V Ồ < ^ < k l < k < < ( < (3.13) (k-iy (b) Tồn m ột điểm cân dương Xị phương trình (3.1) mà điểm hút toàn cục nghiệm dương < Ả ; < Ị3 > (3.14) k = > C h ứ n g m in h , (a) Điều kiện (3.13) điều kiện cần Thật vậy, từ bảng 3.1 ta thấy rằng, (3.13) không thỏa mãn, tồn điểm cân dương tương ứng với nghiệm số mà không bị hút điểm x = Bây giờ, ta chứng tỏ (3.13) điều kiện đủ cho tính hút toàn cục Hiển nhiên, từ bảng |3.l| ta suy Xq = điểm cân phương trình (3.1|) Hơn nữa, từ Định lí 3.1, nghiệm bị chặn số dương tồn số nguyên N cho %N < X N - - 44 (3.15) Trái lại, với n = , , xn x n—\ { xn} bị chặn, nên tồn giới hạn dương dãy { xn} điều vô lí _ Từ phương trình (3.1) (3.15) — — - < với + xk %N + — 11 ^-I- /< X_ N N —l PXN~-1 11 -I^ *N-1 X > nên < XN Bằng cách quy nạp theo n ta thu { x n} không tăng, dãy không âm, nên dãy hội tụ x ữ = (b) Bây giờ, ta xét nghiệm dương phương trình (|3.1|) tức nghiệm với điều kiện ban đầu x > X-I > Từ bảng (3.1) ta thấy với k > với = /? < 1, £0 = ổn định tiệm cận địa phương, từ không tồn điểm hút toàn cục Điều chứng tỏ điều kiện (3.14) điều kiện cần Bây giờ, giả sử (3.14) đúng, ta thấy từ giả thiết Định lí 1^5 thỏa mãn Cụ hàm k-l F(u,v) = + vk liên tục (0, 00 ) X (0, 00) Do đó, F không tăng theo u giảm theo V, hàm u F ( u , u ) tăng theo u Khi đó, điểm cân dương Xị hút toàn cục nghiệm dương phương trình (3.1) □ Ta có kết sau: 45 H ệ q u ả Giả sử điều kiện (Ị3.2Ị) Khi phát biểu sau đúng: (a) Nếu (3.13) x ổn định tiệm cận toàn cục; (b) Nếu (3.14) điểm cân dương Xị ỉà ổn định tiệm cận toàn cục Bây ta xét trường hợp phương trình (|3.l|) có hai (^0 ^i) ba (^ 05^1 ^ 2) điểm cân Trước tiên, ta giới thiệu tập hợp sau: s = tập tất nghiệm phương trình (3.1); Sq = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới x ữ; s x = tập tất nghiệm không tầm thường tăng thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới Xi; Si = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới Xí ] Sao = tập tất nghiệm không tầm thường không bị chặn giảm phương trình (3.1) Đ ịn h lý 3 Giả sử (3.2) k > Ị3 = k ( k - 1) fc-l (3.16) k cho { x n} c s Khỉ phát biểu sau đúng: (a) Phương trình (3.1) có hai điểm x ữ = № -1 ) k ’ 46 Xị = (b) Nếu < k < 2, So, Sỉ í , Sco = , So u Sf c s Hơn nữa, điều kiện ban đầu < x0 < X - i , X q < Xị, X- (3.17) x ữ chọn cho c s {a:n } (c) Nếu < k < 4, So, Sĩ é , S ỉ , = , So u Sf c s (3.18) # 0, S+ = 0, s0u Sf u Soa = 51 (3.19) (d) Nếu k > 4, So, Sf, C h ứ n g m in h Theo phần (a) bảng 3.1 ta có G (x ) = /3xk + Xk < X — với X > Hơn nữa, / ^ /^ = từ Định lí 2.2 suy tồn nghiệm đơn điệu tăng phương trình (3.1) mà hội tụ X\ Từ Định lí 2.3 neu điều kiện biên X-I x chọn cho < x < X - ,X0 < Xi, nghiệm { xn} giảm lim x n = x ĩl—too Từ Định lí ^ , k > 4, tồn nghiệm đơn điệu tăng không bị chặn < A; < không tồn nghiệm Chứng minh phần (b) hoàn thành Để chứng minh phần (c) (d) ta cần chứng tỏ k > 2, nghiệm mà không đơn điệu tăng đơn điệu giảm thực hội tụ Giả sử { x n} dãy nghiệm không tăng, tồn số nguyên Nq cho x No < x No-x 47 Trong bất đẳng thức ngặt Trái lại, Xn 0- i = Xn = x No+i = Xị nghiệm {:rn} tầm thường, điều mâu thuẫn Tiếp theo, quy nạp ta kết luận xn+1 < x n với n > N q Vì x n > nên { x n} hội tụ Ta chứng tỏ lim x n = 71—>00 Trái lại, tồn x' > cho lim xn = x' Xét dãy { y n} xác định _ n Un J n = 0,1, %n—1 Hiển nhiên, lim yn = n —>00 yn < với n > N + (3.20) Hơn nữa, Vn+1 3'7l+ xn $^71 ^n—1 “ z ' ~z ^ “ z n_i + x ị , Xn @Xn_ị ^ ĩ ' ~z —~ x n_ị + , xn x n_x Un—1 ■ Điều mâu thuẫn với (3.20) chứng minh hoàn thành □ N h ậ n x é t Nếu (3.16) đúng, Định ỉí 3.3 cho ta m ột đặc trưng đầy đủ nghiệm dương phương trình (3.1) trừ < k < Đ ịn h lý Giả sử (3.2) k > Ị3 = k ( k- 1) k- ' k Khi đó, phát biểu sau ỉà đúng: (a) Phương trình (|3.ip có hai điểm cân ỉà Xq = < Xị < (k - ) < x 2\ k (b) Nếu < k < 4, SoA _A + ^ 0, Soo=0, So u u Sỉ c s (3.21) Hơn nữa, điều kiện ban đầu X_1 x chọn cho < x < X-i,Xq < Xị, {;cn} c Sq (c) Nếu k > 4, s ữ, s r , S+, Soc Ỷ 0, So u s-x u s t u S n C S (3.22) Hơn nữa, điều kiện ban đầu X_1 x chọn cho < x0 < X - , X < Xị , {:cn} c 49 Sq k p # < k < > Mô tả điểm c.b Nghiệm Ai, A2 xữ = Không xác định Xi > Điểm hút l^lli 1-^21 < k = < /3 < 1 x — Điểm hút Ai = 0, A2 = /3 k = = 1 Xo = Ai = 0, A2 = z0 = ^1 = 0, A2 > k = = X\ > Điểm hút |^l|j 1^2 [ < 1 1< k < k (k — l ) ( fc_1)/fc x ữ = Điểm hút x = Điểm hút _ Xl — A2 — P { k - 1) k Ai = 1, < A2 < x ữ = Điểm hút < < k < < — l ) ( fc- 1) / fc k = _ i ) ! / fc = ^ ỵ Ai = A2 = y-n < Ai < < A2 ^2 Ễ ^ ^ £— —, oo^ |Ai|, |A2| < x = Điểm hút Ai = A2 = ãi e ^ 0, *2 e 1< k < y-n 1^ ° ° ) < Ai < < A2 l^1! = |Aa| = Ai = A2 = £i s ^0, < Ai < < A2 ^ y n Ẽ2 e ( ^ fcfc~ £0 = Điểm hút |Ai| = |A2| > đẩy Ai — A2 — k k > k> (k — p > ^ _ -q(fc-i)/fc £0 = Điểm hút £0 = Điểm hút Ai — A2 — 0 < p < Ai = A2 = II c* ■< II -< k> Xo = Điểm hút ãi = k _ !)(fc-i)/fc o II cq k _ 1j(fc-i)/fc < p < II I— -< 1< k < 2 ãi > Ai = 1, A2 > x = Điểm hút Ax = A2 = ĩ i Ễ (o, *2 e00) đ^y £ y-n < Ai < < A2 I*1!’ I^2I > Bảng 3.1: Phân tích tính ổn định tuj]gến tính hóa phương trình (3.1) K ết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Một số kiến thức phương trình sai phân, tập hợpsắp thứ tự, định lí điểm bất động Amman không gian thứ tự; Sự tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân phi tuyến; ứng dụng định lý điểm bất động Amman để nghiên cứu tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu, tính bị chặn phương trình sai phân phi tuyến Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn tận tình, chu đáo TS Lê Đình Định Do lực nghiên cứu trình độ thân hạn chế nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, xếp trình bày kết theo mục đích luận văn đề Luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 51 Tài liêu th am khảo [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, (2002), Các định ỉý điểm bất động, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [2] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, (2004), Phương pháp sai phãn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp, (2001), Phương trình sai phẫn m ột số ứng dụng, NXB Giáo Dục [4] E Camouzis, E.A Grove and G Ladas, (1995), Monotone unsta­ ble solutions of difference equations and conditions f o r boundedness, Journal of Diffirence Equations and Applications, Vol 1, 17-44 [5] E Camouzis, G Ladas, I.w Rodrigues, and s Northshield, (1994), Ị3x^ On the Rational Recursive Sequence Xn+1 = - — , Computers - x n+l Math Appl 28 37-43 [6] E A Grove and G Ladas, (2005), Periodicities in nonlinear dif­ ference equations, Advances in Discrete M athematics and Applica­ tions, Vol 4, Chapman & H all/CRC Press [7] V Hutson and K Schmitt, (1992), Persistence and the Dynamics of Biological Systems, Math Biosciences 111 1-72 [8] J.H Jaroma.V.L Kocic, and G Ladas, (1992) Global Asym ptotic Stability of a second - Order Diffirence Equation, in J.Wiener and 52 [...]... rj < Ip о TỊ (e) Từ (a), (c) và (d ) ta suy ra Ф < Ф = > ф2 = ф о ф < ф о ,ф < ' ф о ' ф = 'ф2 Bổ đề được chứng minh □ Tiếp theo chúng tôi trình bày một vài định lí điểm bất động được sử dụng trong các phần sau Trước tiên, định lí điểm bất động hữu ích của Amman IỊTTỊ, pp 506-507] Đ ịn h lý 1 1 Giả sử X là m ột tập hợp có thứ tự, giả sử T : X —>• X là m ột toán tứ trên X và thỏa mãn các điều kiện sau:... phản đối xứng: nếu X < y và y < (ỉỉỉ) Tính bắc cầu: nếu X < y và y < z thì X X thì X = y, < z Đ ịn h n g h ĩa 1 5 Cho X là tập sắp thứ tự và Y c X Khi đó Y được gọi là m ột xích (chain) trong X nếu và chỉ nếu Y khác rỗng và với mọi x , y e Y thì hoặc X < y hoặc y < X Đ ịn h n g h ĩa 1 6 Cho X là tập sắp thứ tự và Y c X Khi đó u G X được gọi là m ột chặn trên của Y nếu và chỉ nếu X < u,Vx G Y Điểm y... phương trình (1.1) tại điểm cân bằng X, và phương trình Xk+1- p 0Xk p k- l \ - p k = 0 (1.3) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) tại điểm cân bằng X 1.2 Đ ịnh lí điểm bất động A m m an Để thuận tiện chúng ta định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng trong các phần tiếp theo Đ ịn h n g h ĩa 1 4 Một tập hợp X được gọi là tập sắp thứ tự nếu và chỉ nếu X khác rỗng và với mọi cặp (x,... ta gọi điểm cân bằng X của phương trình (1.1) là điểm không- hy p erb olic Điểm cân bằng ngựa nếu X của phương trình (Ịl.lh được gọi là điểm yên X là hyperbolic và tồn tại một nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun nhỏ hơn 1 và một nghiệm khác của phương trình •-■ĩđặc trưng (1.3) có modun lớn 1 Đặc biệt, một điểm yên ngựa cân bằng là không ổn định Kết quả dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ... là hàm giảm thì nghiệm (2.5) là giảm hoàn toàn □ Bổ đề được chứng minh Đ ịn h lý 2 3 Giả sử cắc giả thiết (H1)-(H3) ỉà thỏa mãn và cho x ữ = 0 và I q ỷ 0- Nếu các điều kiện ban đầu Z_1 và x ữ được chọn là £-1 > Xữ và x ữ G I q , thì nghiệm { £ n} của phương trình (2.1) là giảm và lim n —¥00 x n = XQ 21 C h ứ n g m in h Từ (2.1), (1.7) và (H l) ta có Xi = g( x0) f { x - i ) < g( x0) f ( x 0) < x 0... ỉ , thì điểm cân bằng X của phương trình (1.1) là ổn định địa phương 2 Nếu có ít nhất m ột nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun lớn hơn 1, thì điểm cân bằng X của phương trình (1.1) là không ổn định 3 Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) có modun lớn hơn 1, thì điểm căn bằng X của phương trình (Ịl.lb là điểm gốc 13 Điểm cân bằng X của phương trình (ỊTTTỊ) được gọi là điểm hyperbolic... ta có điều phải chứng minh (c) Với ÍC € ta có ^0 < 0(^0) < 0(^) < ộ { x m ) = và do đó ệ( [ xữ, x m]) c [x0,^ m] Khi đó với ĩ] và ộ ẽ -M ta có 77 O0 e B[Ẽ 0 ,Ẽm] 11 Hơn nữa, vì 77 < i B và Ф < ỈBi nên 77 о ф < ĩ) о iß = 77 < %в, và như vậy 77 о ф £ М (d) Do 77 G M ta có X £ ( x ị , x i+i) ta có Xị = r ỉ ( x ị ) < ĩ ) ( x ) < r ỉ ( x ị ) = x i+ 1 Vì vậy, Ĩ](F) = F, r/(J+) С J + u F, và 77(J-) С J -... là tăng và f là không tăng; (H3) Hàm G được xác định bởi G {x ) = g( x ) f ( x ) sao cho tồn tại những điểm x ữ, x i , x 2, x 3, , x m, như sau: 0 < XQ, Xị, x 2, x 3, , xm < oo, (1 12) và sao cho mỗi i = 0 , , m, G(xi) = õtị và G ( x ) ^ X vì X G ( xi , xi+i) sau đó áp dụng cho phương trình ạxị ■^71+1 với n = 0,1, 2 (1.13) 1 + xì - 1 với /3,k là những hằng số Giả sử ệ,ĩỊ) ẽ B[x0, x m\ và ĩ]... - i ) f ( 0) = oo ỉ—>oo 23 và từ (2.9), lim X n - 1 = 00 ✓ Ap dụng quy nạp ta có lim x n - k = oo với k = 1 ,2 , _ i —>oo (2.10) Xét dãy {ajfc} được định nghĩa bởi ữfc_i(p - ak) = q với h = 1 , 2 , (2 11) a0 = p Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số nguyên N > 1 sao cho aN < 0 và dị > 0 với i = 0 , 1 , , N — 1 (2 12) Nếu p2 < q thì ữi < 0 và (2.12) được chứng minh Nếu p2 > q Ta giả sử... ) / ( ‘^ní —(fc+2)) — A B (2.15) q ocm - { k + 2) Và như vậy (2 16) lim n Hi k— = 0, với A; = 0 , 1 , , N HOŨ X71,— ( f c + l ) Từ (Ị2.11D, (|2.12|) và (|2.15|), ta có với i > N 0 và j, k = 0 , 1 , , N, T , xp~aì Xqlak7 x < A B ^ z t ± = A B ^ z l = AB