Bài toán 1
Cho = ( , … , ) ∈ [ ] và ∈ [ ]. Phải chăng ∈ ? Sau đây là thuật toán giải, trong đó KL là kết luận của bài toán :
KL := true nếu ∈ ( , … , ), và KL := false nếu ∈ ( , … , ).
Thuật toán 2.1.1 : Thuật toán thử thành viên
Tìm THVIEN( ; , … , ) :=KL để kiểm tra ∈ ( , … , ) ? Input : , … , , : là các đa thức trong [ , … , ]
Output : KL
{ , … , } := CSGR( , … , ) ≔ ( ; , … , )
IF = 0 THEN KL := true ELSE KL := false
Tính đúng đắn của thuật toán này được đảm bảo bởi hệ quả của Định lí 1.3.2: ∈ khi và chỉ khi RemG( ) = 0. Trường hợp đặc biệt, khi = , Bài toán 1 trở thành bài toán kiểm tra xem có phải là iđêan thực sự không. Trong trường hợp này không cần phải làm như trên mà chỉ cần tìm một cơ sở Gröbner của và xét xem nó có chứa đa thức hằng nào đó không. Điều đó dựa vào nhận xét sau:
Bổ đề 2.1:
= [ , … , ] khi và chỉ khi một (hoặc mọi) cơ sở Gröbner của I chứa đa thức hằng.
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Giả sử = { , … , } là một cơ sở Gröbner bất kì của = [ , … , ]. Vì 1 ∈ nên 1 ∈ ( ) = ( ), … , ( ) . Theo bổ đề về các điều kiện tương đương của iđêan đơn thức, đơn thức 1 chia hết cho ( ) nào đó, với ≤ . Do 1 là đơn thức bé nhất nên ( ) phải là một hằng số khác không. Vậy là một đơn thức hằng.
Ngược lại, = { , … , } ⊆ là một cơ sở Gröbner của chứa đa thức hằng, ta có thể chọn = (0 ≠ ∈ ). Khi đó, ta có biểu diễn:
1 =1. + 0. + ⋯ + 0. + 0,
nên phần dư của 1 trong phép chia cho G bằng không. Do đó, 1 ∈ và = [ , … , ].
Ví dụ : Cho = ( − , − ), = −4 + + 3 , = − 5 + . Phải chăng ∈ ? ∈ ?
Xét thứ tự từ điển phân bậc với > > . Sử dụng thuật toán Buchberger ta tìm được cơ sở Gröbner gồm 5 đa thức sau:
= − , = − , = − , = − ,
= −
(Hơn nữa, đây là cơ sở Gröbner rút gọn). Thực hiện phép chia đa thức, ta được: = (−4 − 4 ). + 0. + 0. + 0. + (−3). + 0 Vậy ∈ .
Đối với g, vì ( ) = không chia hết cho từ khởi đầu ( ) nào, ≤ 5, nên ∉ .
Bài toán 2
Cho = ( , … , ), = ( , … , ) ⊂ [ ] là hai iđêan. Hãy xác định xem = ?
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Tìm giá trị để IDEALEQ( , … , , , … , ):=KL để kiểm tra ( , … , ) ≔ ( , … , )
Input: , … , ; , … , : đa thức trong [ , … , ] Output: KL
≔ ( , … , )
≔ ( , … , )
IF = THEN KL:=true ELSE KL:=false
Tính đúng đắn của thuật toán được đảm bảo bởi Mệnh đề 1.2.2. Ban đầu ta tìm cở sở Gröbner tối tiểu dựa vào thuật toán Buchberger và thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu. Cơ sở Gröbner rút gọn có thể tìm theo thuật toán tìm cơ sở Gröbner rút gọn.
Một cách giải khác là tìm cơ sở Gröbner của và và dựa vào bài toán 1 lần lượt thực hiện theo + phép thử phải chăng ∈ và ∈ . 2.2 Bài toán khử biến