là iđêan của [ , … , ] xác định bởi:
= ⋂ [ , … , ] Bài toán 3:
Cho = ( , … , ) ⊂ [ , … , ] và < . Tìm các đa thức ℎ , … , ℎ ∈ [ , … , ] sao cho = (ℎ , … , ℎ ).
Để giải quyết bài toán này ta cần khái niệm: Định nghĩa 2.1
Kí hiệu = [ , … , ] và = [ , … , ]. Thứ tự từ ≤ được gọi là thứ tự từ khử đối với các biến , … , nếu thỏa mãn điều kiện sau:
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Mệnh đề 2.1
Cho ≤ là thứ tự từ thõa mãn điều kiện sau đây :
… < … nếu + ⋯ + < + ⋯ + . Khi đó, ≤ là thứ tự từ khử đối với cụm biến , … , .
Chứng minh
Giả sử ∈ và ( ) ∈ . Ta sẽ chứng tỏ ∈ . Thật vậy, từ khởi đầu ( ) ∈ có nghĩa là nó chỉ chứa các biến có chỉ số lớn hơn . Theo giả thiết, bất kì đơn thức nào chứa biến có chỉ số nhỏ hơn hoặc bằng cũng sẽ thực sự lớn hơn ( ). Do mọi từ của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng ( ), các từ này không thể chứa biến có chỉ số nhỏ hơn bằng . Vì vậy, ∈ . □
Mệnh đề trên cho ta kết quả sau: Mệnh đề 2.2
Kí hiệu và cũng như định nghĩa trên. Cho ∈ . i) Nếu ( ) ∈ thì ∈ .
ii) Nếu là đa thức thuần nhất và ( ) ∈ thì ∈ . Định lí 2.2.1
Giữ kí hiệu trong Định nghĩa 2.2.1. Giả sử ≤ là một thứ tự từ khử đối với cụm biến , … , . Cho ⊂ . Khi đó, đối với mọi thứ tự từ cảm sinh từ ≤ trên tập tất cả đơn thức của , ta có:
( ∩ ) = ( ) ∩
Hơn nữa, cho , … , là cơ sở Gröbner của sao cho , … , là tập tất cả các đa thức của nó không chứa biến , … , . Khi đó,
, … , là cơ sở Gröbner của ∩ trong . Nói riêng: ∩ = ( , … , ).
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Với mọi ∈ ( ∩ ), tồn tại ∈ ⋂ sao cho ( ) = . Vì ∈ nên ( ) ∈ ( )⋂ . Ngược lại, với ∈ ( ) ∩ , tồn tại ∈ sao cho ( ) = . Lại có, ∈ nên ∈ nên ∈ ⋂ . Suy ra,
∈ ( ∩ ). Vậy ( ∩ ) = ( ) ∩ .
Đặt = ∩ . Rõ ràng ( ) ⊆ ( ) ∩ . Ta sẽ chứng tỏ ( ), ≤ , sinh ra ( ) ∩ . Giả sử ∈ ( ) ∩ . Vì , … , là cơ sở Gröbner, tồn tại ≤ để ( )| . Vì ∈ , tức là không chứa biến nào trong biến đầu tiên, nên ( ) cũng có tính chất này, tức là ( ) ∈ . Từ Định nghĩa 2.2.1 suy ra ∈ . Theo cách chọn , … , suy ra ≤ . Do đó, chia hết cho ( ), với ≤ nào đó. Vì ∈ , điều đó dẫn đến:
( ∩ ) ⊆ ( ), … , ( ) ⊆ ( ) Suy ra: ( ) = ( ) ∩ = ( ), … , ( )
Điều này cũng có nghĩa là , … , là cơ sở Gröbner của . Theo Định
lí 1.2.1, ta có: = ( , … , ). □ Thuật toán 2.2.1 Thuật toán khử biến
Tìm cơ sở Gröbner IDEALKHU( , … , ; , … , ) ≔ { , … , } của iđêan khử của ( , … , ) đối với các biến , … , .
Input: , … , : các đa thức trong [ , … , ] < : hai số tự nhiên
Output: , … , : các đa thức trong [ , … , ] { , … , } ≔ ( , … , )
≔ 0
FOR ≤ DO
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Có thể áp dụng bài toán khử biến để giải bài toán tìm biểu diễn của vành đa thức.
Bài toán 4 (Bài toán tìm biểu diễn của vành)
Cho ℎ , … , ℎ ∈ [ , … , ] là các phần tử trên vành đa thức của các biến , … , . Tìm biểu diễn của vành con của [ , … , ] sinh bởi các đa thức ℎ , … , ℎ , tức là tìm , … , ∈ [ , … , ] sao cho:
[ℎ , … , ℎ ] ≅ [ , … , ] ∕ ( , … , ). Lời giải Xét đồng cấu vành : ≔ [ , … , , , … , ] ⟶ [ , … , ] ⟼ ( = 1, … , ) ⟼ ℎ ( = 1, … , ). Đặt = . Rõ ràng − ℎ và , = 1, … , , = 1, … , . Tách phần đa thức của không chứa − ℎ nào ra, ta sẽ được = +
, trong đó ∈ ( − ℎ , … , − ℎ ) và ∈ ≔ [ , … , ]. Vì: ( ) = ( − ℎ ) = ⋯ = ( − ℎ ) = 0, nên ( ) = 0. Mà hạn chế của trên là đẳng cấu, nên = 0. Vậy :
= ( − ℎ , … , − ℎ )
Kí hiệu y là ánh xạ hạn chế của trên = [ , … , ]. Từ định nghĩa của dễ thấy y= [ℎ , … , ℎ ], còn y= ∩ ≔ , tức là iđêan khử của đối với các biến , … , . Khi đó ta có:
[ , … , ]/ ≅ [ℎ , … , ℎ ] là iđêan cần tìm.
Thuật toán 2.2.2 Thuật toán tìm biểu diễn vành đa thức
Tìm cơ sở Gröbner BIEUDIEN(ℎ , … , ℎ ) = { , … , } của iđêan định nghĩa của [ℎ , … , ℎ ]
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Input: ℎ , … , ℎ : các đa thức trong [ , … , ]
Output: , … , : các đa thức trong [ℎ , … , ℎ ] FOR ≤ DO
ℎ ≔ − ℎ
{ , … , } ≔ (ℎ , … , ℎ ; , … , ) Ví dụ
Elip: 2 + 2 + − 2 − 2 = 0 cắt đường tròn: + = 1 tại hai điểm. Để tìm hai điểm này, ta tìm một cơ sở Gröbner của iđêan
= (2 + 2 + − 2 − 2 , + − 1) ⊂ [ , ] Sử dụng thứ tự từ điển > để khử , ta được:
= 2 + + 5 − 2 và = 5 − 4
Khi đó, 5 = 4 thì = 0 hoặc = 4/5. Thay các giá trị này vào = 0 và giải với , ta tìm được hai giao điểm là (1, 0) và −3
5 ,4 5 . 2.3 Giao các iđêan