Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN Tran Th% Hien XÁC SUAT THIfiT HAI TRONG MƠ HÌNH RUI RO KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Ngành: Tốn - Úng dnng Mã so: Hà N®i 2013 TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN Tran Th% Hien XÁC SUAT THIfiT HAI TRONG MƠ HÌNH RUI RO KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Ngành: Tốn - Úng dnng Mã so: Ngưèi hưéng dan: ThS Nguyen Trung Dũng Hà N®i 2013 LèI CÃM ƠN Trưóc trình bày nđi dung chớnh cỳa khúa luắn, em xin by tú lòng biet ơn sâu sac tói Thac sy Nguyen Trung Dũng ngưòi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành khóa lu¾n Em xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn-úng dnng, Đai hoc Sư Pham H Nđi ó day bỏo em tắn tỡnh suot q trình hoc t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình hoc t¾p thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p Hà N®i, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Tran Th% Hien Mnc lnc Chương Kien thNc bán .6 1.1 Thèi điem Markov 1.2 Quá trình Martingale 1.3 Quá trình Possion 10 1.3.1 Quá trình đem 10 1.3.2 Quá trình Possion 11 Chương Xác suat thi¾t hai mơ hình rúi ro 12 2.1 Bài tốn thi¾t hai 12 2.1.1 Bài tốn "thi¾t hai" đoi vói m®t cơng ty báo hiem 12 2.1.2 Xác suat thi¾t hai 15 2.2 Áp dnng phương pháp martingale đe ưéc lưeng xác suat thi¾t hai Đ%nh lý Cramer-Lundberg 17 2.2.1 Ta đ¾t lai toán 17 2.2.2 Các giá thiet cúa đ%nh lý Cramer-Lundberg 18 2.2.3 Phát bieu đ%nh lý 19 2.2.4 Chúng minh đ%nh lý Cramer-Lundberg 19 2.3 Bài tốn thi¾t hai đoi véi q trình rúi ro véi gia so phn thu®c 23 2.3.1 Ket q .23 2.3.2 Ví dn 32 LèI Me ĐAU M®t cụng trỡnh rat súm cỳa Filip Lundberg mđt luắn án tien sĩ noi tieng ó đai hoc Uppsala (Thny Đien) năm 1903 đưa đen vi¾c sáng l¾p lý thuyet rúi ro tài Lundberg nh¾n rang q trình Poisson phái cơng cn trung tâm mơ hình ve báo hiem tài Bang m®t phép bien đoi thòi gian thích hop, ơng có the han che van đe vào vi¾c phân tích q trình Poisson thuan nhat Sn phát hi¾n cỳa ụng cng nh viắc Bachelier tỡm chuyen đng Brown vào năm 1900, nen táng then chot cho vi¾c xây dnng mơ hình tốn hoc ve tài Sau đó, Harald Cramer trưòng phái Stockholm phát trien ý tưóng cúa Lundberg đóng góp vào vi¾c hình thành nên lý thuyet q trình ngau nhiên tốn hoc Vói ket q đó, Cramer đóng góp m®t cách đáng ke vào cá lý thuyen báo hiem lan lý thuyet xác suat thong kê tốn hoc Mơ hình tốn hoc đau tiên nhung đóng góp mơ hình Cramer-Lundberg, đưoc mụ tỏ ú khúa luắn ny V mđt trũng hop mó r®ng cúa mơ hình Cramer-Lundberg nghiên cúu xác suat thi¾t hai đoi vói q trình rúi ro, so tien chi trá dãy bien ngau nhiên phn thu®c khống thòi gian giua hai lan đòi trá dãy bien ngau nhiên phn thu®c Mơ hình vói dãy bien ngau nhiên phn thu®c yeu phù hop vói thnc te so vúi mụ hỡnh dóy bien ngau nhiờn đc lắp Khúa lu¾n t¾p trung làm rõ só tốn hoc cúa lý thuyet rúi ro nói chung úng dnng vào báo hiem tài nói riêng Bo cnc cúa khóa luắn bao gom chng: Chng cỳa khúa luắn trỡnh by cỏc khỏi niắm, túm tat mđt so ket đ%nh lý xác suat, trình martingale liờn tnc Chng cỳa khúa luắn trung trình bày ý tưóng: khái ni¾m giá thiet u cau cúa tốn n®i dung bán cúa đ %nh lý Cramer-Lundberg giái tốn thi¾t hai Cuoi chương m®t trưòng hop mó r®ng cúa tốn Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu, kien thúc han che nên làm khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che sai sót Tác giá mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phán bi¾n cúa q thay ban đoc Xin chân thành cám ơn! Hà N®i, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Tran Th% Hien LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan: Khóa lu¾n tot nghi¾p ket cúa sn no lnc tn bán thân sn hưóng dan t¾n tình cúa thay hưóng dan : ThS Nguyen Trung Dng Nđi dung khúa luắn khơng trùng l¾p vói bat kì cơng trình nghiên cúu cơng bo Hà N®i, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Tran Th% Hien Chương Kien thNc bán 1.1 Thèi điem Markov • Cho (Ω, A , P) không gian xác suat đay đú, túc A chúa tat cá t¾p có xác suat ( t¾p N có xác suat , neu ton tai A ∈ A cho P(A) = N ⊂ A ) • {An, n ∈ T} dãy σ -trưòng khơng giám cúa A , moi At moi At chúa tat cá t¾p có xác suat Đ%nh nghĩa 1.1 Giá sú τ : Ω → [0, ∞] bien ngau nhiên ( có the lay giá tr% ∞ ) Ta nói rang τ thòi điem Markov ( đoi vói {A , n ∈ N} ), neu {ω : τ(ω) ≤ t} ∈ At ∀t ∈ T Neu thêm vào P(τ < ∞) = 1, τ đưoc goi thòi điem dùng Ta đ¾t Aτ lóp gom tat cá t¾p A cúa Ω cho: A ∈ A∞ A ∩ (τ ≤ t) ∈ At Như v¾y, Aτ gom bien co quan sát đưoc tính đen thòi điem τ Khi đó, de dàng thay rang Aτ σ -trưòng cúa trưòng A Ví dn 1.1 Neu τ(ω) ≡ t(∈ T ), ho¾c bang ∞, hien nhiên τ thòi điem Markov Ví dn 1.2 Giá sú Xt ∈ [0, ∞] trình ngau nhiên liên tnc, F t¾p đóng cúa R Đ¾t  inf{t : X ∈ F} neu ton tai t the t F τ :=  ∞ neu Xt ∈/ F ∀t ∈ [0, ∞) Khi đó, τF thòi điem Markov đoi vói {σ≤t , t ∈ [0, ∞)} Th¾t v¾y, đ¾t G = R/F Khi đó, G t¾p mó, ton tai t¾p đóngKn S cho G = n Kn Ta có: {τF ≤ t} = \ [ {Xs ∈/ Kn } = n s u) ≤ n=1 28 encn(v.) ∑ n=1 evuP(Sn > u) = evuE1[S >u] = Eevu1[Sn >u] n vS ≤ EevSn 1[S n >u] + Ee n 1[S = EevSn = encn(v) Suy ∞ ∑e vu ∞ P(Sn > u) ∑ encn(v.) n=1 ≤ n=1 29 u) ≤ e n=1 ∞ · ∑ encn(v.) n=1 k vSn Tù ≤ ln Ee2 vY1 , ket hop vói giá bo đe (2.3.29) dãy cn(v) = ln Ee thiet n 2k αY1 (iii) ton tai α : < α < ∞ cho ln Ee = 0, vói moi v u) ≤ Ce−vu n=1 ∞ đieu thóa mãn vói moi v < R ∑ P(Sn > u) ≤ Ce−vu V¾y cuoi nên thu đưoc ket n=1 ψ(u, ∞) = P{U (t) < vói m®t t đó} ≤ Ce−vu Tiep theo xin mú rđng bi toỏn "thiắt hai" bỏo hiem cho trưòng hop dãy bien ngau nhiên {Yi, i ≥ 1} m−phn thu®c khơng phân phoi dưói Đau tiên tù nh¾n xét: vói moi m ton tai k ∈ N cho m ≤ 2k nên có the ”phân lóp” dãy bien ngau nhiên {Yi, i ≥ 1} thành: {Y1,Y1+2k , }, {Y2 ,Y2+2k , }, {Y2k ,Y22k , } Dãy thú i, i = 1, 2, , 2k có phân phoi Fi có kỳ vong huu han EYi, Fi khác Bo đe 2.3 .Neu dãy bien ngau nhiên {Yi, i ≥ 1} (2k − 1)-phn thu®c, khơng phân phoi (theo nghĩa ó trên), vói moi v > n đú lón vS 2k vY k (2.3.33) k k n E vY1 vY2 Ee Ee cn(v) = ln ≤ k+1 e n Ee ln Chúng minh Chúng ta chúng minh bat thúc (2.3.33) cúa bo đe bang cách quy nap theo k Đau tiên xét k = 1, nghĩa dãy {Yi, i ≥ 1} 1-phn thu®c.Khi vói moi v > n v vSn Ee Ee = ∑ Yi i= = Ee[ (Y1 + Y3 + + Yn ) + (Y2 + Y4 + + Yn2 )] ó n1 + n2 = n n1 ≥ n2, đong thòi ta chúng minh đưoc rang n1 n2 đó: 2n EevSn ) tù ≥ 2n > = E ev(Y1+Y3+ +Yn1 · ev(Y2+Y4+ +Yn2 ) Ee 2v(Y2+Y4+ +Yn2 ) ≤ Ee2v(Y1 +Y3 + +Yn1 ) cn(v) = n1 ln EevSn ≤ Ee2vY1 n = n1 n 2vY1 ln Ee 2n = n2 + n2 n22 2vY Ee 2vY2 ln Ee 2n ln Ee2vY1 Ee2vY2 ≤ 62 2n V¾y bat thúc (2.3.33) vói k = 30 ln(Ee2vY1 Ee2vY2 ) Giá sú (2.3.33) vói k−1, túc {Yi, i ≥ 1} dãy (2k−1 −1)-phn thu®c,chúng ta se chúng minh bat thúc(2.3.33) đúng(1) vơi k hay {Yi, i ≥ 1} k dãy + vói lưu rang dóy (2) (2 1)-phn thuđc Thắt vắy, ta Sn = S S (1) (2) bien n2 (2 ngau nhiên S S đeu dãy n1 − 1)-phn thu®c Khi n1 n2 k−1 (1 ) EevSn (2 ) (1) (2) = Eev(Sn1 +Sn12 ) = EevSn.1 1· EevSn2 (2) (1) ≤ Ee 2vSn1 31 Ee2vSn2 nên cn(v) = ln EevSn ≤ n ln Ee2vSn1 + (1 ) 2n + n1 ) (1) 2vS n1 ln Ee n1 ≤ 2) n2 2vS ln Ee ( n2 2kvY1 = Ee kv Y Ee Ee − ln 6k 2k−12vY 2k−12vY Ee − 2k−12vY k 2+2 − 2k−1 2kvY k k 1+2 2Yk−12v 1+2 − Ee ln Ee 6k (2) 2vS n2 k 1 = 2k−12vY 2Yk−12v ln ln 2n n Ee 6k n2 Ee Theo giá thiet quy nap (2 ) 2n ln Ee 2vS(1 2n n1 n1 = ln Ee2vSn2 Ee 2k−1+2k−1 Ee = ln Ee 6k Tù đó: n c1n(v) 2kvY2 k Ee vY k 2+2 − Ee k vY k k − +2 − ≤ ln e2 vY1 Ee k−1 Ee2 vY k−1 vY 2n + E 6k n2 2n 6k n2 ln Ee k k 2kvY2 k 1+2 Ee − 2kvY k 2+2 Ee 2kvY k k − +2 − ≤ ≤ 2n 6k 6k+1 y ln E e ln k vY1 2kvY1 E e k Ee2 vY2 Ee k Ee2 vY2 2kvY1 vSn cn(v) = Ee n ln ≤ ln Ee k+1 Ee 2k vY k 2k vY k 2kvY2 2k vY k Ee Ee H¾ 2.1 Trong giá thiet cúa tốn "thi¾t hai" neu giá thiet bien ngau nhiên {Yi, i ≥ 1} m-phn thu®c khơng phân phoi Đong thòi neu ton tai αi : < αi < ∞, (i = 1, 2, , 2k) cho Eeα1Y1 = Eeα2Y2 = = Ee Y vói moi < R < α k (2.3.34) =1 α k 22 k ( ó α so bé nhat αi, i = 1, 2, , 2k ), có: ψ(u, ∞) = P{U (t) < vói m®t t đó} ≤ Ce−Ru Chúng minh Chúng minh tương tn đ%nh lý (2.3.1) vói ý sau: Đau tiên, theo bo đe (2.3.2) k vS k Ee 2kvY1Ee2 vY Ee2kvY n cn(v) = ln ≤ k+1 n Ee ln tiep theo, tù giá thiet 2.3.34 ta có: α vSn ln cn(v) ≤ cn( k ) = k+1 ln Ee Ee 2kvY1Ee2 k vY2 Ee 2k vY k = V¾y vói moi < r < : (r) < tiep tnc chúng minh α k cn đ%nh lý (2.3.1) 2.3.2 Ví dn Ta chí sn ton tai cúa α giá thiet (iii) cúa đ%nh lý (2.3.1) Cho dãy (Zn) dãy bien ngau nhiên khơng âm, đ®c lắp cựng phõn phoi (1, à1 ) (Tn) cng l dóy bien ngau nhiờn khụng õm, đc lắp cựng phân phoi Γ(λ , µ ) 32 (Zn) đc lắp vúi (Tn) Xn = Zn + Zn+1 + + Zn+m−1, tn = Tn + Tn+1 + + Tn+m−1 Khi (Xn), (tn) đeu dãy bien ngau nhiên m−phn thu®c Xn ∼ exp(λ1), tn ∼ exp(λ2) 33 Chúng ta có: = Eeα(X1−ct1) = EeαX1 · Ee−αct1 EeαY1 Ee αX1 = ¸ +∞ ¸ λ1e−λ1xeαxdx = λ1 +∞ e(α−λ )x dx = λ1 λ1 −α ¸ +∞ Ee−αct1 = λ2 e −λ2x −αcx e dx = ¸ λ2 +∞ λ1 e−(λ +cα)xdx = λ2 −α Suy ra: λ2 Ee αY1 =1 ⇔ λ1 λ1 − α · λ = +cα ⇔ λ1λ2 = λ1λ2 + λ1cα − αλ2 − cα ⇔ cα2 = λ1cα − αλ2 ⇔ cα = λ1 c − λ Do ton tai α= cλ1 − λ2 c < α < λ1; Chú ý rang, vói đieu ki¾n c > λ2 λ1 Etn = λ2 khống thòi gian trung bình giua hai lan đòi trá liên tiep, Etn = λ1 so tien đòi trá trung bình hang so c dương chí chi phí báo hiem KET LU¾N Trong khóa lu¾n em trình bày tư tưóng n®i dung cúa ket q co đien cúa Cramer-Lundberg vói dãy bien ngau nhiên đ®c lắp cựng phõn phoi v trũng hop mú rđng l dãy bien ngau nhiên phn thu®c Tìm hieu trình bày khái ni¾m, ket q xác suat Đ%nh lý Cramer-Lundberg vói dãy bien ngau nhiờn l đc lắp cựng phõn phoi Xỏc suat thiắt hai mụ hỡnh rỳi ro mú rđng vúi dãy bien ngau nhiên phn thu®c Tuy nhiên thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu có nhung sai sót em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cúa quý thay cô ban đoc 34 Tài li¾u tham kháo [1] Nguyen Duy Tien - Vũ Viet Yên, Lý thuyet xác suat, NXB Giáo dnc 2009 [2] Nguyen Duy Tien, Các mơ hình xác suat úng dnng, NXB Đai hoc Quoc Gia Hà N®i 2005 [3] Tran Hùng Thao, Nh¾p mơn tốn hoc tài chính, NXB Khoa hoc v ky thuắt H Nđi 2009 [4] Sheldon M.Ross and Evol A.Rekoăz [5] David Williams, Probability with Martingale [6] Tomasz Rolski, Hanspeter Schondli, Volker Schmidt, Jozef Teugels NXB Stochastic.Processes for Iusurane and Finance, John Wiley and Son 1999 [7] Bùi Khói Đàm - Nguyen Huy Hồng, Báo: Đánh giá xác suat thi¾t hai đoi vói q trình rúi ro vói gia so phn thu®c ...TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN Tran Th% Hien XÁC SUAT THIfiT HAI TRONG MƠ HÌNH RUI RO KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Ngành: Tốn - Úng dnng Mã so: Ngưèi hưéng dan:... thuyet xác suat thong kê tốn hoc Mơ hình tốn hoc đau tiên nhung đóng góp mơ hình Cramer-Lundberg, oc mụ tỏ ú khúa luắn ny V mđt trưòng hop mó r®ng cúa mơ hình Cramer-Lundberg nghiên cúu xác suat... Possion 11 Chương Xác suat thi¾t hai mơ hình rúi ro 12 2.1 Bài tốn thi¾t hai 12 2.1.1 Bài tốn "thi¾t hai" đoi vói m®t cơng ty báo hiem 12 2.1.2 Xác suat thi¾t hai