Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Trn Th Hin XC SUT THIT HI TRONG Mễ HèNH RI RO KHểA LUN TT NGHIP I HC Ngnh: Toỏn - ng dng Mó s: H Ni - 2013 TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Trn Th Hin XC SUT THIT HI TRONG Mễ HèNH RI RO KHểA LUN TT NGHIP I HC Ngnh: Toỏn - ng dng Mó s: Ngi hng dn: ThS Nguyn Trung Dng H Ni - 2013 LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca khúa lun, em xin by t lũng bit n sõu sc ti Thc s Nguyn Trung Dng ngi ó tn tỡnh hng dn em cú th hon thnh khúa lun ny Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn-ng dng, i hc S Phm H Ni ó dy bo em tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc ti khoa Nhõn dp ny em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, c v, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin khúa lun tt nghip H Ni, ngy 29 thỏng 05 nm 2013 Sinh viờn Trn Th Hin Mc lc Chng Kin thc c bn 1.1 Thi im Markov 1.2 Quỏ trỡnh Martingale 1.3 Quỏ trỡnh Possion 10 1.3.1 Quỏ trỡnh m 1.3.2 Quỏ trỡnh Possion 10 11 Chng Xỏc sut thit hi mụ hỡnh ri ro 12 2.1 Bi toỏn thit hi 12 2.1.1 Bi toỏn "thit hi" i vi mt cụng ty bo him 2.1.2 Xỏc sut thit hi 12 15 2.2 p dng phng phỏp martingale c lng xỏc sut thit hi nh lý Cramer-Lundberg 17 2.2.1 Ta t li bi toỏn 2.2.2 Cỏc gi thit ca nh lý Cramer-Lundberg 2.2.3 Phỏt biu nh lý 2.2.4 Chng minh nh lý Cramer-Lundberg 17 18 19 19 2.3 Bi toỏn thit hi i vi quỏ trỡnh ri ro vi gia s ph thuc 23 2.3.1 Kt qu chớnh 2.3.2 Vớ d 23 32 LI M U Mt cụng trỡnh rt sm ca Filip Lundberg mt lun ỏn tin s ni ting i hc Uppsala (Thy in) nm 1903 ó a n vic sỏng lp lý thuyt ri ro ti chớnh Lundberg ó nhn rng cỏc quỏ trỡnh Poisson phi l cỏc cụng c trung tõm mụ hỡnh v bo him ti chớnh Bng mt phộp bin i thi gian thớch hp, ụng ó cú th hn ch vo vic phõn tớch cỏc quỏ trỡnh Poisson thun nht S phỏt hin ca ụng cng nh vic Bachelier tỡm chuyn ng Brown vo nm 1900, l nn tng then cht cho vic xõy dng cỏc mụ hỡnh toỏn hc v ti chớnh Sau ú, Harald Cramer v trng phỏi Stockholm ó phỏt trin cỏc ý tng ca Lundberg v úng gúp vo vic hỡnh thnh nờn lý thuyt cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn toỏn hc Vi cỏc kt qu ú, Cramer ó úng gúp mt cỏch ỏng k vo c lý thuyn bo him ln lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc Mụ hỡnh toỏn hc u tiờn nhng úng gúp ú l mụ hỡnh Cramer-Lundberg, c mụ t khúa lun ny V mt trng hp m rng ca mụ hỡnh Cramer-Lundberg l nghiờn cu xỏc sut thit hi i vi quỏ trỡnh ri ro, ú cỏc s tin chi tr l dóy cỏc bin ngu nhiờn ph thuc v khong thi gian gia hai ln ũi tr cng l dóy bin ngu nhiờn ph thuc Mụ hỡnh vi cỏc dóy bin ngu nhiờn ph thuc yu l phự hp vi thc t hn so vi mụ hỡnh dóy bin ngu nhiờn c lp Khúa lun trung lm rừ c s toỏn hc ca lý thuyt ri ro núi chung v ng dng vo bo him ti chớnh núi riờng B cc ca khúa lun bao gm chng: Chng ca khúa lun trỡnh by cỏc khỏi nim, túm tt mt s kt qu nh lý xỏc sut, quỏ trỡnh martingale liờn tc Chng ca khúa lun trung trỡnh by ý tng: cỏc khỏi nim v gi thit yờu cu ca bi toỏn v ni dung c bn ca nh lý Cramer-Lundberg gii bi toỏn thit hi Cui chng l mt trng hp m rng ca bi toỏn Do thi gian thc hin khúa lun khụng nhiu, kin thc cũn hn ch nờn lm khúa lun khụng trỏnh nhng hn ch v sai sút Tỏc gi mong nhn c s gúp ý v nhng ý kin phn bin ca quý thy cụ v bn c Xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 29 thỏng 05 nm 2013 Sinh viờn Trn Th Hin LI CAM OAN Tụi xin cam oan: Khúa lun tt nghip l kt qu ca s n lc t bn thõn v s hng dn tn tỡnh ca thy hng dn : ThS Nguyn Trung Dng Ni dung khúa lun khụng trựng lp vi bt kỡ cụng trỡnh nghiờn cu no ó cụng b H Ni, ngy 29 thỏng 05 nm 2013 Sinh viờn Trn Th Hin Chng Kin thc c bn 1.1 Thi im Markov Cho (, A , P) l khụng gian xỏc sut y , tc l A cha tt c cỏc cú xỏc sut ( N cú xỏc sut , nu tn ti A A cho P(A) = v N A ) {An , n T} l dóy cỏc -trng khụng gim ca A , v mi At v mi At cha tt c cỏc cú xỏc sut nh ngha 1.1 Gi s : [0, ] l bin ngu nhiờn ( cú th ly giỏ tr ) Ta núi rng l thi im Markov ( i vi {A , n N} ), nu { : () t} At t T Nu thờm vo ú P( < ) = 1, thỡ c gi l thi im dng Ta t A l lp gm tt c cỏc A ca cho: A A v A ( t) At Nh vy, A gm cỏc bin c quan sỏt c tớnh n thi im Khi ú, d dng thy rng A l -trng ca trng A Vớ d 1.1 Nu () t( T ), hoc bng , thỡ hin nhiờn l thi im Markov Vớ d 1.2 Gi s Xt [0, ] l quỏ trỡnh ngu nhiờn liờn tc, v F l úng ca R t inf{t : X F} nu tn ti t nh th t F := nu Xt / F t [0, ) Khi ú, F l thi im Markov i vi {t ,t [0, )} Tht vy, t G = R/F Khi ú, G l m, ú tn ti cỏc úngKn cho G = n Kn Ta cú: {F t} = {Xr / Kn } At {Xs / Kn } = n s v n ln ta cú: k 1 cn (v) = ln EevSn k ln Ee2 vY1 (2.3.29) n Chng minh Chỳng ta s chng minh bt ng thc (2.3.29) ca b bng phng phỏp quy np theo k u tiờn, xột k = ngha l dóy {Yi , i 1} l 1ph thuc Chỳng ta tỏch dóy {Yi , i 1} thnh hai dóy (1) (Yi ) = (Y1 ,Y3 , ) (2) (Yi ) = (Y2 ,Y4 , ) t (1) (Sn1 ) = (Y1 +Y3 + ) (2) (Sn2 ) = (Y2 +Y4 + ) 24 Khi ú, vi mi v > 0: (1) (2) EevSn = Eev(Sn1 +Sn2 ) = Eev[(Y1 +Y3 + )+(Y2 +Y4 + )] = E ev(Y1 +Y3 + ) + e(Y2 +Y4 + ) 1 Ee2v(Y1 +Y3 + ) Ee2v(Y2 +Y4 + ) [Ee2vY1 ] n4 ã [Ee2vY2 ] n4 nu n chn, = n1 [Ee2vY1 ] n+1 [Ee2vY2 ] nu n l Vi n chn: cn (v) = n n 1 ln EevSn ln [Ee2vY1 ] ã [Ee2vY2 ] = ln Ee2vY1 n n Vi n l: cn (v) = n ln EevSn n1 ln [Ee2vY1 ] = n+1 4n = n+1 ã [Ee2vY2 ] n1 2vY2 ln Ee2vY1 + n1 4n ln Ee ln Ee2vY1 Vy vi n ln cn (v) ln EevY1 (Chỳ ý rng dóy {Yi , i 1} cựng phõn phi) Vy bt ng thc (2.3.29) ỳng vi k = Tip theo ta xột trng hp k = 2, hay dóy {Yi , i 1} l 3ph thuc Chỳng ta li tỏch {Yi , i 1} thnh hai dóy (1) (Yi ) = (Y1 ,Y2 ,Y5 ,Y6 , ) (2) (Yi ) = (Y3 ,Y4 ,Y7 ,Y8 , ) 25 t (1) (Sn1 ) = (Y1 +Y5 + ) + (Y2 +Y6 + ) (2) (Sn2 ) = (Y3 +Y7 + ) + (Y1 +Y8 + ) Thỡ (1) (2) (1) (2) = Eev(Sn1 +Sn2 ) = EevSn1 ã evSn2 EevSn Ee (1) 2vSn1 ã Ee (2) 2vSn2 Ta li cú (1) Ee2vSn1 = Ee2v[(Y1 +Y5 + )+(Y2 +Y6 + )] = Eev(Y1 +Y5 + ) ã e(Y2 +Y6 + ) 1 Ee4v(Y1 +Y5 + ) Ee4v(Y2 +Y6 + ) [Ee4vY1 ] n41 ã [Ee4vY2 ] n41 nu n chn, = n1 n1 +1 [Ee4vY1 ] [Ee4vY2 ] nu n1 l Vi n1 chn: n1 n1 (1) 1 ln Ee2vSn1 ln[Ee4vY1 ] ã [Ee4vY2 ] = ln Ee4vY1 n1 n1 Vi n1 l: n1 (1) ln Ee2vSn1 n1 ln[Ee4vY1 ] = n1 +1 4n = n1 +1 ã [Ee4vY2 ] n1 ln Ee4vY1 + n14n1 ln Ee4vY2 ln Ee4vY1 Tng t chỳng ta cú: 2vSn(2) 1 Ee ln Ee4vY3 = ln Ee4vY1 n2 2 26 Do ú: n ln Ee2vSn (1) (2) 2n ln Ee2vSn1 + ln Ee2vSn2 = n1 2n n1 = (1) n2 ln Ee2vSn1 + 2n n2 (2) ln Ee2vSn2 ln Ee4vY1 Vy bt ng thc (2.3.29) cng ỳng vi k = Gi s quy np bt thc (2.3.29) ỳng vi (k 1) Tc dóy {Yi , i 1} l (2k1 1)ph thuc Ta s chng minh rng (2.3.29) cng ỳng vi k, hay {Yi , i 1} l dóy (2k 1)ph thuc Tht vy, xột dóy bin ngu nhiờn {Yi , i 1} l (2k 1)ph thuc, cựng phõn phi F Ta tỏch dóy trờn thnh hai dóy con: (1) (Yi ) = (Y1 ,Y2 , ,Y2k1 ,Y2k +1 ,Y2k +2 ) (2) (Yi ) = (Y2k1 +1 ,Y2k1 +2 , ,Y2k ,Y2k +2k1 +1 ,Y2k +2k1 +2 , ) (1) (2) Khi ú hai dóy Yn1 v Yn2 l (2k1 1)ph thuc v ta cú biu din (1) (2) Sn = Sn1 = Sn2 vi (1) (Sn1 ) = Y1 +Y2 + +Y2k1 + (2) (Sn2 ) = Y2k1 +1 +Y2k1 +2 + +Y2k + ) thỡ EevSn (1) (2) (1) (2) = Eev(Sn1 +Sn2 ) = E[evSn1 ã evSn2 ] Ee (1) 2vSn1 ã Ee (2) 2vSn2 (2.3.30) Theo gi thit quy np ta cú: (1) k1 k 1 ln Ee2vSn1 k1 ln Ee2v2 Y1 = k1 ln Ee2 vY1 n1 2 27 (2.3.31) (2) k1 k 1 ln Ee2vSn2 k1 ln Ee2v2 Y2 = k1 ln Ee2 vY2 n2 2 (2.3.32) (Nhc li rng dóy bin ngu nhiờn {Yi , i 1} cú cựng phõn phi) T (2.3.30), (2.3.31) v (2.3.32) ta cú n (1) (2) 2n ln Ee2vSn1 + ln Ee2vSn2 = n1 2n n1 = 2k ln Ee2vSn (1) n2 ln Ee2vSn1 + 2n n2 (2) ln Ee2vSn2 k ln Eev2 Y1 Chỳng ta cú bt ng thc cn chng minh B ó c chng minh Bõy gi ta i chng minh nh lý u tiờn (u, ) = P( (Sn > u)) Sau ú vi mi < v < 2k P(Sn > u) n=1 n chỳng ta chng t rng P(Sn > u) e vu n=1 ã encn (v.) n=1 hay vu e P(Sn > u) n=1 encn (v.) n=1 Tht vy: evu P(Sn > u) = evu E1[Sn >u] = Eevu 1[Sn >u] EevSn 1[Sn >u] + EevSn 1[Sn u) n=1 28 encn (v.) n=1 hay P(Sn > u) e vu n=1 ã encn (v.) n=1 k T b (2.3.29) dóy cn (v) = n1 ln EevSn 21k ln Ee2 vY1 , kt hp vi gi thit (iii) tn ti : < < cho ln EeY1 = 0, ú vi mi v < 2k tớnh cht ca hm logarit cn (v) = cn ( 2k ) 21k ln EeY1 = 0, nờn vi mi R < 2k thỡ 21k ln EeY1 < t = 21k ln EeY1 < 0, T ú vu e e ncn (v.) e vu n=1 en = Cevu n=1 (do chui en hi t ti C ), suy n=1 P(Sn > u) Cevu n=1 iu ny tha vi mi v < R nờn P(Sn > u) Cevu Vy cui cựng n=1 chỳng ta thu c kt qu (u, ) = P{U(t) < vi mt t no ú} Cevu Tip theo xin m rng bi toỏn "thit hi" bo him cho trng hp dóy bin ngu nhiờn {Yi , i 1} l mph thuc nhng khụng cựng phõn phi di õy u tiờn t nhn xột: vi mi m tn tai k N cho m 2k nờn chỳng ta cú th phõn lp dóy bin ngu nhiờn {Yi , i 1} thnh: {Y1 ,Y1+2k , }, {Y2 ,Y2+2k , }, {Y2k ,Y22k , } Dóy th i, i = 1, 2, , 2k cú cựng phõn phi Fi v cú k vng hu hn l EYi , ú cỏc Fi l khỏc 29 B 2.3 .Nu dóy bin ngu nhiờn {Yi , i 1} l (2k 1)-ph thuc, khụng cựng phõn phi (theo ngha trờn), thỡ vi mi v > v n ln cn (v) = k k k k 1 ln EevSn k+1 ln Ee2 vY1 Ee2 vY2 Ee2 vY2 n (2.3.33) Chng minh Chỳng ta chng minh bt ng thc (2.3.33) ca b bng cỏch quy np theo k u tiờn xột k = 1, ngha l dóy {Yi , i 1} l 1-ph thuc.Khi ú vi mi v > thỡ n v Ee vSn = Ee Yi = Ee[ (Y1 +Y3 + +Yn1 ) + (Y2 +Y4 + +Yn2 )] i=1 õy n1 + n2 = n v n1 n2 , ng thi ta cng chng minh c rng n2 n1 > 2n 2n ú: EevSn = E ev(Y1 +Y3 + +Yn1 ) ã ev(Y2 +Y4 + +Yn2 ) Ee 1 2v(Y1 +Y3 + +Yn1 ) 2v(Y2 +Y4 + +Yn2 ) Ee t ú cn (v) = n ln EevSn = n1 2n = n2 2n n Ee2vY1 n1 Ee2vY2 n2 n2 ln Ee2vY1 + 2n ln Ee2vY2 ln Ee2vY1 Ee2vY2 62 ln(Ee2vY1 Ee2vY2 ) Vy bt ng thc (2.3.33) ỳng vi k = Gi s (2.3.33) ỳng vi k 1, tc {Yi , i 1} l dóy (2k1 1)-ph thuc,chỳng ta s chng minh bt ng thc(2.3.33) cng ỳng vi k hay {Yi , i 1} l (1) (2) dóy (2k 1)-ph thuc Tht vy, ta t Sn = Sn1 + Sn2 vi lu rng dóy (1) (2) bin ngu nhiờn Sn1 v Sn2 u l dóy (2k1 1)-ph thuc Khi ú EevSn (1) (1) (2) (2) = Eev(Sn1 +Sn2 ) = EevSn1 ã EevSn2 Ee (1) 2vSn1 30 Ee (2) 2vSn2 nờn cn (v) = 1n ln EevSn (1) (1) n1 2n n1 = (2) ln Ee2vSn1 + 2n ln Ee2vSn2 2n (2) n2 2vSn2 ln Ee2vSn1 + 2n n2 ln Ee Theo gi thit quy np n1 n2 (1) ln Ee2vSn1 ln Ee2 = 6k ln Ee2 = 6k ln Ee2 = 6k ln Ee2 n1 2n 6k ( ln Ee2vSn2 2) k1 2vY 1 6k k vY k vY 1+2k1 Ee2 k1 2vY k vY k1 2vY 1+2k1 Ee2 k vY 2k1 Ee2 k1 2vY 2+2k1 Ee2 k vY 2+2k1 Ee2 k1 2vY 2k1 Ee2 k1 2vY 2k1 +2k1 Ee2 k vY 2k1 +2k1 Ee2 T ú: cn (v) + n2 2n 6k k vY ln Ee2 k vY ln Ee2 ln Ee2 ln Ee2 6k+1 k vY 2+2k1 Ee2 k vY n2 2n 6k k vY k vY 1+2k1 Ee2 k vY Ee2 k vY Ee2 k vY 2k1 Ee2 Ee2 k vY 2k1 +2k1 k vY k Ee2 k vY k Ee2 hay cn (v) = k k k k 1 ln EevSn k+1 ln Ee2 vY1 Ee2 vY2 Ee2 vY2 n H qu 2.1 Trong gi thit ca bi toỏn "thit hi" nu gi thit bin ngu nhiờn {Yi , i 1} l m-ph thuc v khụng cựng phõn phi ng thi nu 31 tn ti i : < i < , (i = 1, 2, , 2k ) cho Ee1Y1 = Ee2Y2 = = Ee2k Y2k = thỡ vi mi < R < ), chỳng ta cú: 2k (2.3.34) ( õy l s nht cỏc i , i = 1, 2, , 2k (u, ) = P{U(t) < vi mt t no ú} CeRu Chng minh Chng minh tng t nh lý (2.3.1) vi cỏc chỳ ý sau: u tiờn, theo b (2.3.2) cn (v) = 2k vY k k k 1 ln EevSn k+1 ln Ee2 vY1 Ee Ee2 vY2 n tip theo, t gi thit 2.3.34 ta cú: cn (v) cn ( k vSn 2k vY1 Ee2 vY2 2k vY2k ) = ln Ee ln Ee Ee 2k 6k+1 Vy vi mi < r < nh lý (2.3.1) 2.3.2 2k = : cn (r) < v chỳng ta tip tc chng minh nh Vớ d Ta ch s tn ti ca gi thit (iii) ca nh lý (2.3.1) Cho dóy (Zn ) l dóy bin ngu nhiờn khụng õm, c lp cựng phõn phi (1 , à11 ) (Tn ) cng l dóy bin ngu nhiờn khụng õm, c lp cựng phõn phi (2 , à12 ) (Zn ) c lp vi (Tn ) t Xn = Zn + Zn+1 + + Zn+m1 ,tn = Tn + Tn+1 + + Tn+m1 Khi ú (Xn ), (tn ) u l cỏc dóy bin ngu nhiờn mph thuc v Xn exp(1 ), tn exp(2 ) 32 Chỳng ta cú: = Ee(X1 ct1 ) = EeX1 ã Eect1 EeY1 + EeX1 = e Eect1 + = + x x e dx = e( )x dx = e2 x ecx dx = + 1 e( +c)x dx = Suy ra: EeY1 = 1 ã +c = = + c c c = c c = c Do ú tn ti = c1 c Chỳ ý rng, vi iu kin c > thỡ < < ; cũn 1 Etn = l khong thi gian trung bỡnh gia hai ln ũi tr liờn tip, Etn = l s tin ũi tr trung bỡnh v hng s c l dng ch chi phớ bo him 33 KT LUN Trong khúa lun ny em ó trỡnh by t tng ni dung ca cỏc kt qu c in ca Cramer-Lundberg vi cỏc dóy cỏc bin ngu nhiờn l c lp cựng phõn phi v trng hp m rng l dóy cỏc bin ngu nhiờn ph thuc Tỡm hiu v trỡnh by cỏc khỏi nim, kt qu xỏc sut nh lý Cramer-Lundberg vi cỏc dóy bin ngu nhiờn l c lp cựng phõn phi Xỏc sut thit hi mụ hỡnh ri ro m rng vi cỏc dóy bin ngu nhiờn ph thuc Tuy nhiờn thi gian thc hin khúa lun khụng nhiu cũn cú nhng sai sút em rt mong nhn c s gúp ý ca quý thy cụ v bn c 34 Ti liu tham kho [1] Nguyn Duy Tin - V Vit Yờn, Lý thuyt xỏc sut, NXB Giỏo dc 2009 [2] Nguyn Duy Tin, Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng, NXB i hc Quc Gia H Ni 2005 [3] Trn Hựng Thao, Nhp mụn toỏn hc ti chớnh, NXB Khoa hc v k thut H Ni 2009 [4] Sheldon M.Ross and Evol A.Rekoz ă [5] David Williams, Probability with Martingale [6] Tomasz Rolski, Hanspeter Schondli, Volker Schmidt, Jozef Teugels NXB Stochastic.Processes for Iusurane and Finance, John Wiley and Son 1999 [7] Bựi Khi m - Nguyn Huy Hong, Bỏo: ỏnh giỏ xỏc sut thit hi i vi quỏ trỡnh ri ro vi gia s ph thuc 35 [...]... gọi là xác suất thiệt hại với chân trời hữu hạn (b) Xác thiệt hại trong thời gian vô hạn là ψ(u) được định nghĩa bởi: ψ(u) = ψ(u, ∞), u ≥ 0 ψ(u, T ) cũng được gọi là xác suất thiệt hại với chân trời vô hạn (c) Thời điểm thiệt hại τ(T ) là một thời điểm ngẫu nhiên được định nghĩa bởi: τ(T ) = inf{t : 0 ≤ t ≤ T,U(t) < 0} Ta quy ước inf 0/ = ∞ Ta thường viết τ = τ(∞) cho trường hợp thời điểm thiệt hại với... xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào có độ dài t là một biến ngẫu nhiên có phân phối Possion với trung bình là λt (λ < 0) Điều đó có nghĩa là, với mọi s,t ≥ 0 ta có: −λt P{Nt+s − Ns = n} = e [λ (t)]n · n! n = 0, 1, Từ đó ta có E(Nt ) = λt Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson 11 Chương 2 Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro 2.1 Bài toán thiệt hại 2.1.1 Bài toán "thiệt hại" đối... ngẫu nhiên {U(t),t ≥ 0} xác định bởi U(t) = u + ct − S(t) (2.1.4) trong đó u là số vốn ban đầu của công ty bảo hiểm, c là phí bảo hiểm, tức là số tiền khách hàng phải đóng cho công ty bảo hiểm trong một đơn vị thời gian, và S(t) là số tiền mà công ty phải tra cho khách hàng tính cho đến thời điểm t, định bởi (2.1.2) 2.1.2 Xác suất thiệt hại Định nghĩa 2.2 (a) Xác suất thiệt hại trong thời gian hữu hạn,... bảo hiển có lợi nhuận thực sự là ρ > 0 Độ an toàn tương đối có thể hiểu là phí suất rủi ro 16 2.2 Áp dụng phương pháp martingale để ước lượng xác suất thiệt hại Định lý Cramer-Lundberg 2.2.1 Ta đặt lại bài toán Giả thử diễn biến của quỹ vốn của công ty bao hiểm U = (Ut )y≥0 là một quá trình ngẫu nhiên trong một không gian xác suất cơ bản (Ω, A , P), vốn ban đầu là U0 = u > 0, phí bảo hiểm mà các khách... 0 với Ti (ω) > t Ta ký hiệu τ = τ(ω) = inf{t : Ut (ω) ≤ 0} là thời điểm đầu tiên mà quỹ vốn của công ty bảo hiểm trở lên âm hoặc bằng 0 Ta sẽ gọi τ là thời điểm thiệt 17 hại Ta cần ước lượng: Xác suất thiệt hại P(τ < ∞) và xác suất thiệt hại trước thời điểm t : P(τ < t) Ta có thể suy ra rằng P(τ < ∞) chính là ψ(u) và nếu t ≤ T thì P(τ < t) = ψ(t, T ) 2.2.2 Các giả thiết của định lý Cramer-Lundberg... cũng có: P(T < ∞) ≤ e−Ru 22 g(R) = 0 2.3 Bài toán thiệt hại đối với quá trình rủi ro với gia số phụ thuộc Định nghĩa 2.3 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc Dãy biến ngẫu nhiên (Xn )n≥1 gọi là m− phụ thuộc (n ≥ 0), nếu Fn và Fk+n là độc lập, với ∀n ≥ 1 Nhận xét rằng (Xn )n≥1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thì nó là dãy 0-phụ thuộc Trong nghiên cứu xác suất thiệt hại với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥... trị âm hoặc dương Ta có sự mở rộng của bài toán xác suất thiệt hại đối với quá trình rủi ro có giả thiết các số tiền chi trả là dãy biến ngẫu nhiên phụ thộc và khoảng thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp cũng là biến ngẫu nhiên phụ thuộc Dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc m ∈ N∗ Giả sử X1 , X2 , là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, A , P) Ký hiệu Fn = σ (X1 , X2 , ), F... phân phối xác suất Gt (x) của S(t) được cho bởi G(t(x)) = P(S(t) ≤ x) ∞ n −λt (λt) = ∑e F n∗ (x), x ≥ 0,t ≥ 0, n! n=0 (2.1.3) n trong đó F n∗ (x) = P( ∑ Xi ≤ x) là tích chập n-lần của các hàm phân i=1 phối chung F của các biến ngẫu nhiên Xi Ta quy ước tích chập 0-lần của một hàm phân phối tổng quát H là được cho bởi  0 nếu x≥0 0∗ H (x) = 1 nếu x < 0 14 • Quá trình rủi ro Quá trình rủi ro là một... T2 , (0 = T0 < T1 < T2 < ), trong đó số tiền mà công ty bảo hiểm phải trả cho khách hàng tại các thời điểm đó là một dãy biến ngẫu nhiên không âm X1 , X2 , (quy ước X0 = 0) Vậy quỹ vốn Ut của công ty bảo hiểm tại thời điểm t sẽ là : Ut = u + ct − St (2.2.8) St = ∑ Xi I(Ti ≤t) (2.2.9) trong đó i≥1 Ở đây ký hiệu IA là hàm chỉ tiêu của biến cố A Trong đó hàm xác định trên Ω và chỉ lấy hai giá... trên, ta có mô hình Cramer-Lundberg Nếu ta thay điều kiện (d) bởi điều kiện (d ) sau đây: d’ Các khoảng cách thời gian Yk xác định bởi (2.1.1) là độc lập cùng phân phối, với kỳ vọng hữu hạn chung là λ1 Thì ta có một mô hình đổi mới Chú ý 2.1 1 Một hệ quả của định lý trên là: N(t) là một quá trình 13 Poisson thuần nhất với cường độ λ > 0 Do đó: P{N(t) = k} = e−λt (λt)k k! , k = 0, 1, 2, 2 Mô hình đổi ... 2009 [4] Sheldon M.Ross and Evol A.Rekoz ă [5] David Williams, Probability with Martingale [6] Tomasz Rolski, Hanspeter Schondli, Volker Schmidt, Jozef Teugels NXB Stochastic.Processes for Iusurane...TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Trn Th Hin XC SUT THIT HI TRONG Mễ HèNH RI RO KHểA LUN TT NGHIP I HC Ngnh: Toỏn - ng dng Mó s: Ngi hng dn: ThS Nguyn Trung Dng H Ni... chp 0-ln ca mt hm phõn phi tng quỏt H l c cho bi nu x0 H (x) = nu x < 14 Quỏ trỡnh ri ro Quỏ trỡnh ri ro l mt quỏ trỡnh ngu nhiờn {U(t),t 0} xỏc nh bi U(t) = u + ct S(t) (2.1.4) ú u l s ban