ideal chính và miền Dedekind
Các định lý trong mục 2.4 được phát biểu trên một miền Dedekind đặt biệt đó là miền các ideal chính, vấn đề đặt ra là các tính chất đó còn đúng trên miền Dedekind bất kỳ hay không. Sau đây chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng tính chất.
2.5.1. Nhận xét định lý 2.4.1
Nhắc lại: “Cho M là module hữu hạn sinh trên miền các ideal chính R thì
𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀), hơn nữa 𝑑(𝑀) = 𝑟0(𝑀)khi và chỉ khi M không xoắn”.
Nếu ta thay giả thiết 𝑅 là miền các ideal chính trong định lý trên bằng miền Dedekind 𝐷 bất kỳ thì định lý trên không còn đúng, để chứng tỏ đều này chúng ta hãy xét ví dụ sau đây:
Ví dụ. Xét vành 𝐷 =ℤ+ℤ√−5 và ideal 𝐼 = 〈3,1 +√−5〉. Khi đó 𝐷 là miền Dedekind (đã chứng minh trong ví dụ 2.2.6), ta xem 𝐼 như là 𝐷-module và 𝐼 được sinh bởi hai phần tử, ta cũng đã có 𝐼 không là ideal chính, nên 𝐼
không thể sinh bởi một phần tử, vậy ta có
𝑑(𝐼) = 2
Mặt khác ∀𝛼,𝛽 ∈ 𝐼 ⊂ 𝐷,𝛼,𝛽 ≠0, ta có 𝛽𝛼 + (−𝛼)𝛽 = 0, do đó hai phần tử khác 0 bất kỳ trong 𝐼 đều phụ thuộc, cho nên ta có
𝑟0(𝐼) = 1 Dễ thấy
𝑟𝑃(𝐼) = 0,∀𝑃
Vậy ta có 𝑟(𝐼) = 1 < 2 = 𝑑(𝐼).
Tuy nhiên định lý trên vẫn đúng nếu 𝑀 là module 𝑃-nguyên sơ, cụ thể ta có định lý sau đây.
2.5.2. Định lý
Cho M là module P-nguyên sơ hữu hạn sinh trên miền Dedekind D thì
𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀).
Cho 𝛽 ∉ 𝑃, khi đó ∀𝑥 ∈ 𝑀 thì tồn tại duy nhất 𝑥′ ∈ 𝑀 sao cho 𝑥 = 𝛽𝑥′, do 𝑥′là duy nhất nên ta ký hiệu 𝑥′ =𝑥/𝛽.
Sự tồn tại. Giả sử 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑘, từ (〈𝛽〉,𝑃) = 1 ta có (〈𝛽〉,𝑃𝑘) = 1 nên tồn tại 𝑢 ∈ 𝐷,𝑣 ∈ 𝑃𝑘 sao cho 𝑢𝛽+𝑣 = 1. Khi đó 𝑥 = (𝑢𝛽+𝑣)𝑥 =𝛽(𝑢𝑥).
Sự duy nhất. Giả sử 𝑥 =𝛽𝑥′ =𝛽𝑥", suy ra 𝛽(𝑥′ − 𝑥") = 0, giả sử
𝑂(𝑥′− 𝑥") =𝑃𝑙 thì ta có (〈𝛽〉,𝑃𝑙) = 1 nên tồn tại 𝑠 ∈ 𝐷,𝑡 ∈ 𝑃𝑙 sao cho
𝑠𝛽 +𝑡 = 1. Khi đó 𝑥′− 𝑥" = 𝑠𝛽(𝑥′ − 𝑥") +𝑡(𝑥′ − 𝑥") = 0, vậy 𝑥′ =𝑥". Bây giờ ta xét 𝐷𝑃 là vành địa phương của 𝐷 theo ideal 𝑃.
𝐷𝑃 = �𝛼β �𝛼 ∈ 𝐷,β ∈ 𝐷\𝑃� ⊂ 𝑄(𝐷)
Ta có 𝐷𝑃 là miền các ideal chính (xem [1], trang 19, mệnh đề 1.4.25). Do nhận xét nên ta có thể xem 𝑀 như là 𝐷𝑃 module với phép nhân ngoài
(𝐷𝑃) ×𝑀 ⟶ 𝑀
�𝛼β,𝑥� ⟼ 𝛼 �𝑥β�
Tập {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là hệ sinh của 𝑀 trên 𝐷 khi và chỉ khi nó là hệ sinh của 𝑀 trên 𝐷𝑃.
Suy ra 𝑀 là module hữu hạn sinh trên 𝐷 khi và chỉ khi 𝑀 là module hữu hạn sinh trên 𝐷𝑃, và cũng suy ra được 𝑑(𝑀) trên 𝐷 và trên 𝐷𝑃 là như nhau.
Chứng minh, chiều thuận là hiển nhiên ta chỉ cần chứng minh chiều đảo. Giả sử 𝑀 =〈𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛〉 là trên 𝐷𝑃. Khi đó ∀𝑥 ∈ 𝑀 thì tồn tại
𝑎1,𝑎2, … ,𝑎𝑛 ∈ 𝐷,𝑏1,𝑏2, … ,𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃 sao cho 𝑥 = �𝑎𝑏𝑖 𝑖 (𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 Đặt 𝑏 =𝑏1.𝑏2…𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃, 𝑐𝑖 =𝑏𝑎𝑖 𝑏𝑖 = (𝑏1.𝑏2…𝑏𝑖−1𝑏𝑖+1…𝑏𝑛)𝑎𝑖 ∈ 𝐷. Khi đó 𝑏𝑥 =� 𝑐𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1
Gọi 𝑘 = max1≤𝑖≤𝑛{𝑘𝑖| 𝑂(𝑥𝑖) = 𝑃𝑘𝑖}, khi đó 𝑃𝑘 ⊂ 𝑂(𝑥𝑖),∀𝑖 = 1, … ,𝑛. Mặt khác từ 𝑏 ∉ 𝑃 ta suy ra (〈𝑏〉,𝑃𝑘) = 1, do đó tồn tại 𝑢 ∈ 𝐷,𝑣 ∈ 𝑃𝑘 sao cho 𝑢𝑏 +𝑣 = 1, nên ta có
𝑥 = (𝑢𝑏 +𝑣)𝑥 = 𝑢𝑏𝑥+𝑣𝑥 = 𝑢𝑏𝑥 =� 𝑢𝑐𝑖𝑥𝑖
𝑛 𝑖=0 Từ đó ta có 𝑀 =〈𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛〉 là trên 𝐷.
Tập {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛}là độc lập tối đại của 𝑀 trên 𝐷 khi và chỉ khi nó là tập độc lập tối đại của 𝑀 trên 𝐷𝑃.
Suy ra 𝑟(𝑀) trên 𝐷 và trên 𝐷𝑃 là như nhau.
Chiều thuận. Giả sử {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập độc lập tối đại của 𝑀 trên 𝐷. Khi đó nếu có �𝑎𝑏𝑖 𝑖 (𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 = 0 Với 𝑎𝑖 𝑏𝑖 ∈ 𝐷𝑃,∀𝑖 = 1, … ,𝑛. Đặt 𝑏 =𝑏1.𝑏2…𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃, 𝑐𝑖 =𝑏𝑎𝑖 𝑏𝑖 = (𝑏1.𝑏2…𝑏𝑖−1𝑏𝑖+1…𝑏𝑛)𝑎𝑖 ∈ 𝐷. Khi đó � 𝑐𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0
Do {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛}độc lập trên 𝐷 nên 𝑐𝑖𝑥𝑖 = 0,∀𝑖 = 1, … ,𝑛, hay (𝑏1.𝑏2…𝑏𝑖−1𝑏𝑖+1…𝑏𝑛)𝑎𝑖𝑥𝑖 = 0,∀𝑖 = 1, … ,𝑛
Với mỗi 𝑖 ta đặt 𝑑𝑖 =𝑏1.𝑏2…𝑏𝑖−1𝑏𝑖+1…𝑏𝑛 ∉ 𝑃, nên 𝑑𝑖 ∉ 𝑂(𝑥𝑖) = 𝑃𝑘𝑖. Khi đó �〈𝑑𝑖〉,𝑂(𝑥𝑖)� = 1, do đó tồn tại 𝑢𝑖 ∈ 𝐷,𝑣𝑖 ∈ 𝑂(𝑥𝑖) sao cho 𝑢𝑖𝑑𝑖 +
𝑣𝑖 = 1. Khi đó
𝑎𝑖𝑥𝑖 = (𝑢𝑖𝑑𝑖 +𝑣𝑖)𝑎𝑖𝑥𝑖 =𝑢𝑖𝑑𝑖𝑎𝑖𝑥𝑖 +𝑣𝑖𝑎𝑖𝑥𝑖 = 0 Cho nên ta có
𝑎𝑖
Vậy {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập độc lập của 𝑀 trên 𝐷𝑃, hơn nữa {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập độc lập tối đại của 𝑀 trên 𝐷𝑃, vì nếu ∀𝑥 ∈ 𝑀 thì do {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập độc lập tối đại của 𝑀 trên 𝐷, nên {𝑥,𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập phụ thuộc trên 𝐷, tức tồn tại 𝑎,𝑎1, … ,𝑎𝑛 ∈ 𝐷,𝑎𝑥 ≠ 0 sao cho
𝑎𝑥+� 𝑎𝑖𝑥𝑖
𝑛 𝑖=1
= 0 Đẳng thức trên được viết lại
𝑎 1𝑥+� 𝑎𝑖 1 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0
Nghĩa là {𝑥,𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛}là tập phụ thuộc trên 𝐷𝑃.
Chiều đảo. Giả sử {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập độc lập tối đại của 𝑀 trên 𝐷𝑃. Khi đó hiển nhiên ta có {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập độc lập của 𝑀 trên 𝐷. Nếu với 𝑥 ∈ 𝑀 thì {𝑥,𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập phụ thuộc trên 𝐷𝑃, nên tồn tại 𝑎0
𝑏0,𝑎1 𝑏1, … ,𝑎𝑛 𝑏𝑛 ∈ 𝐷,𝑎0 𝑏0𝑥 ≠ 0 sao cho 𝑎0 𝑏0𝑥+� 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 Đặt 𝑏 =𝑏0𝑏1.𝑏2…𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃, 𝑐𝑖 =𝑏𝑎𝑖 𝑏𝑖 = (𝑏1.𝑏2…𝑏𝑖−1𝑏𝑖+1…𝑏𝑛)𝑎𝑖 ∈ 𝐷. Khi đó 𝑐0𝑥+� 𝑐𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 Trong đẳng thức trên có 𝑐0 =𝑏𝑎0 𝑏0 = (𝑏1.𝑏2…𝑏𝑛)𝑎0, từ 𝑎0 𝑏0𝑥 ≠ 0 ta có
𝑎0 ∉ 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑘 nên 𝑎0 ∉ 𝑃, kết hợp với 𝑏1,𝑏2, … ,𝑏𝑛 ∉ 𝑃, ta có 𝑐0 ∉ 𝑃 cho nên 𝑐0 ∉ 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑘 tức là 𝑐0𝑥 ≠ 0. Nên {𝑥,𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập phụ thuộc trên 𝐷. Vậy {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛} là tập độc lập tối đại của 𝑀 trên 𝐷.
Chứng minh định lý. Ta xét 𝑀 như là module trên miền các ideal chính 𝐷𝑃, do
𝑀 hữu hạn sinh trên 𝐷nên theo nhận xét thì 𝑀 hữu hạn sinh trên 𝐷𝑃. Vậy ta có 𝑀 là module hữu hạn sinh trên miền các ideal chính 𝐷𝑃, nên theo định lý
2.4.1 ta có 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) trên 𝐷𝑃, kết hợp với nhận xét và ta suy ra
𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) trên 𝐷.
2.5.3. Nhận xét định lý 2.4.2
Nhắc lại: “Cho M là module trên miền các ideal chính R. Gọi 𝑋 là tập các module con hữu hạn sinh của M. Khi đó 𝑟(𝑀) hữu hạn khi và chỉ khi
𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋{𝑑(𝐻)} hữu hạn, hơn nữa trong trường hợp này ta có 𝑟(𝑀) =
𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋{𝑑(𝐻)}”.
Nếu ta thay giả thiết 𝑅 là miền các ideal chính trong định lý trên bằng miền Dedekind 𝐷bất kỳ thì định lý trên cũng không còn đúng.
Ví dụ. Xét vành 𝐷 = ℤ+ℤ√−5 và ideal 𝑀 =〈3,1 +√−5〉. Khi đó 𝐷 là miền Dedekind, ta xem 𝑀 như là 𝐷-module.
Như trên ta đã có 𝑑(𝑀) = 2, mà 𝑀 ∈ 𝑋 nên 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋{𝑑(𝐻)}≥ 2 Ta cũng có 𝑟(𝑀) = 1.
Do đó 𝑟(𝑀) < 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋{𝑑(𝐻)}.
2.5.4. Nhận xét định lý 2.4.3
Nhắc lại: “Nếu 𝑀,𝑁 là các module hữu hạn sinh trên miền các ideal chính 𝑅 và 𝑁 không xoắn thì ta có 𝑑(𝑀⨁𝑁) = 𝑑(𝑀) +𝑑(𝑁)”.
Nếu 𝑅 là miền Dedekind bất kỳ thì định lý trên không còn đúng.
Ví dụ. Xét vành 𝐷 = ℤ+ℤ√−5 và ideal 𝑀 =〈3,1 +√−5〉. Khi đó 𝐷 là miền Dedekind, ta xem 𝑀 như là 𝐷-module. Xét ánh xạ
𝑓:𝐷⨁𝐷 ⟶ 𝑀
(𝑥,𝑦) ⟼ �1 +√−5�𝑥+ 3𝑦
Dễ thấy 𝑓 là toàn cấu module và ta có dãy khớp ngắn
0 ⟶Ker𝑓→ 𝐷⨁𝐷𝑖 → 𝑀 ⟶𝑓 0
Xét
𝑗:𝐷⨁𝐷 �⎯⎯⎯� Ker𝑓
Kiểm tra trực tiếp ta có
�2 +√−5�𝑥+ 3𝑦,�1− √−5�𝑥 − �1 +√−5�𝑦 ∈ Ker𝑓
Do đó 𝑗 là ánh xạ và là đồng cấu module. Hơn nữa nếu (𝑥,𝑦) ∈ Ker𝑓 tức là �1 +√−5�𝑥+ 3𝑦 = 0 thì �2 +√−5�𝑥+ 3𝑦 = 𝑥 và
�1− √−5�𝑥 − �1 +√−5�𝑦 =�1− √−5� � −3𝑦
�2 +√−5�� − �1 +√−5�𝑦=𝑦
Do đó 𝑗𝑖(𝑥,𝑦) = (𝑥,𝑦) hay 𝑗𝑖 = 1Ker𝑓. Vậy 𝑖: Ker𝑓 ⟶ 𝐷⨁𝐷 khả nghịch trái, nên dãy khớp ngắn trên chẻ ra, tức là Ker𝑓⨁𝑀 ≅ 𝐷⨁𝐷.
Khi đó ta có Ker𝑓 hữu hạn sinh và 𝑑(Ker𝑓⨁𝑀) = 𝑑(𝐷⨁𝐷) = 2. Mặt khác 𝑑(Ker𝑓) ≥1, 𝑑(𝑀) = 2, cho nên suy ra
𝑑(Ker𝑓⨁𝑀) < 𝑑(Ker𝑓) +𝑑(𝑀) Như vậy đa số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính không còn đúng trên miền Dedekind bất kỳ, vậy có tính chất nào vẫn đúng nếu xét trên miền Dedekind. Câu trả lời là có, tính chất sau đây nếu chuyễn từ miền các ideal chính sang miền Dedekind thì tính chất này vẫn đúng.
2.5.5. Nhận xét định lý 2.4.4
Nhắc lại:
Cho M là module trên miền các ideal chính R, 𝑟(𝑀) hữu hạn, P là ideal nguyên tố của R, N là module con của M. Khi đó ta có:
i) 𝑟0(𝑁) +𝑟0(𝑀/𝑁) = 𝑟0(𝑀). ii)𝑟𝑃(𝑁) +𝑟𝑃(𝑀/𝑁)≥ 𝑟𝑃(𝑀).
Nếu thay giả thiết miền các ideal chính 𝑅 là miền Dedekind 𝐷 bất kỳ thì định lý trên vẫn đúng. Phép chứng minh hoàn toàn tương tự như đã chứng minh ở định lý 2.4.4.
Chú ý. Từ định lý trên ta có hệ quả sau đây, hệ quả này có thể xem như là mở rộng của một kết quả đặt trưng về hạng của không gian vectơ trên một trường sang hạng của module không xoắn bất kỳ trên miền Dedekind (không nhất thiết là module tự do).
2.5.6.Hệ quả
Nếu 𝑀,𝑁 là module không xoắn bất kỳ trên miền Dedekind D, 𝑀 có hạng hữu hạn, và 𝑓:𝑀 ⟶ 𝑁 là đồng cấu D-module thì
𝑟(𝑘𝑒𝑟𝑓) +𝑟(𝐼𝑚𝑓) = 𝑟(𝑀)
Chứng minh. Vì ker𝑓 là module con của 𝑀, và 𝑀 có hạng hữu hạn, nên theo định lý 2.4.4 ta có
𝑟0(𝑘𝑒𝑟𝑓) +𝑟0(𝑀/𝑘𝑒𝑟𝑓) = 𝑟0(𝑀) Do 𝑀 không xoắn nên suy ra
𝑟(𝑘𝑒𝑟𝑓) +𝑟(𝑀/𝑘𝑒𝑟𝑓) = 𝑟(𝑀)
Theo định lý về đồng cấu module ta có M/𝑘𝑒𝑟f ≅ Im𝑓. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
KẾT LUẬN
Luận văn này chủ yếu mở rộng khái niệm hạng của nhóm abel sang hạng của module trên miền Dedekind và miền các ideal chính, chứng minh đầy đủ và so sánh một cách triệt để, trực quang các tính chất của hạng module trên miền Dedekind và miền các ideal chính bằng cách đưa ra ví dụ và phản ví dụ. Cụ thể chúng tôi đạt được kết quả như sau:
Cho 𝑀,𝑁 là module trên miền các ideal chính 𝑅 thì ta có:
i) 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀)(với M là hữu hạn sinh).
ii) 𝑟(𝑀) hữu hạn khi và chỉ khi 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋{𝑑(𝐻)} hữu hạn. Khi đó 𝑟(𝑀) =
𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋{𝑑(𝐻)}(với 𝑋là tập các module con hữu hạn sinh của M)
iii) 𝑑(𝑀⨁𝑁) = 𝑑(𝑀) +𝑑(𝑁)(với M, N hữu hạn sinh và N không xoắn).
iv) 𝑟0(𝑁) +𝑟0(𝑀/𝑁) = 𝑟0(𝑀) và 𝑟𝑃(𝑁) +𝑟𝑃(𝑀/𝑁) ≥ 𝑟𝑃(𝑀) (với 𝑟(𝑀) hữu hạn, P là ideal nguyên tố của R, N là module con của M ).
Nếu xét 𝑀,𝑁 là module trên miền Dedekind 𝐷 thì các tính chất i), ii), iii)
không còn đúng, nhưng tính chất iv) vẫn đúng. Đặt biệt chúng tôi phát hiện một điều rất hay là nếu 𝑀 là module 𝑃-nguyên sơ trên miền Dedekind thì tính chất i)vẫn đúng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] Võ Thị Vân Anh (2011), Module chia được trên miền Dedekind, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
[2] Dương Thị Phong Lan (2005), Cấu trúc một số lớp module trên vành chính, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
[3] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số (giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục, Tp. Hồ Chí Minh.
[4] Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, Tp. Hồ Chí Minh.
Tiếng anh
[5] Derek J. S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer-Verlag, New York.
[6] Joseph J. Rotman, An introduction to the theory of groups, Springer- Verlag, New York.
[7] H.Cartan and S.Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton University Press.
[8] L. Fuchs (1960), Abelian Groups, Pergamon Press.
[9] Saban Alaca and Kenneth S. Williams (2004), Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press.