ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀ NỘI TRƯỜNGĐẠIHỌCGIÁODỤC PHẠMQUANGHỪNG PHÁTTRIỂNKỸNĂNGGIẢITOÁNTỔHỢPCHOHỌCSINHTRU NGHỌCPHỔTHÔNGBANNÂNGCAO LUẬNVĂNTHẠCSĨSƯPHẠM TOÁN Chuyênngành LÝLUẬN VÀPHƯƠNGPHÁP DẠYHỌC(BỘMÔN TOÁN) Mãsố[.]
Kỹnăngvàkỹnănggiảitoán
Kháiniệmkỹnăng
Trongthựctiễnlaođộngsảnxuất,họctập,conngườiluônluônphảiđốimặtvớinhữ ngnhiệmvụnhậnthứchaythựchànhnhấtđịnh.Muốngiảiquyếtđượccôngviệc,đòihỏi conngườiphảisửdụngkinhnghiệmđãcó,vậndụngvốnhiểubiết,tìmhiểunhữngquyluậ tbảnchấtđốivớinhiệmvụ,biếtđềramộtchiếnlượcthựchiệnvàthựchiệncácbiếnđổihợ pquyluật.Quátrìnhlaođộngnghiêmtúc,quátrình“thửsai”liêntụcđódầndầnconngười đãhìnhthànhchobảnthâncáchthức (kỹnăng)đểgiảiquyếtnhiệmvụđặtra.
TheoTừđiểnTiếngviệt:“Kỹnănglàkhảnăngvậndụngnhữngkiếnthứcthunhậnđ ượctrongmộtlĩnhvựcnàođóvàothực tế”[19,tr426].
TheoTâml ý h ọclứatuổiv à t â m l ý h ọcs ư phạmthì:“Kỹnăngl à khảnăngvậnd ụngkiếnthức(kháiniệm,cáchthức,phươngpháp…)đểgiảiquyếtmộtnhiệmvụmới”[6 ,tr131].
Cónhiềuđịnhnghĩak h á c nhauvềk ỹn ă n g , nhưngchúngđ ề u c ó đ i ể mchungl à,kỹnăngđượchìnhthànhkhichúngtaápdụngkiếnthứcvàothựctiễn.K ỹnănghọcđược doquátrìnhlặpđilặplạimộthaymộtnhómhànhđộngnhấtđịnhnàođó.Kỹnăngluôncóc hủđíchvàđịnhhướngrõrệt,nghĩalàluôngắnchặtvớiýthứccủachủthể.
Nhưvậy,kỹnănglànănglựchaykhảnăngcủachủthểthựchiệnthuầnt h ụcmột h a y mộtchuỗihànhđộngtrênc ơ sởhiểubiết(kiếnt h ứchoặckinhnghiệm)nhằmtạorak ếtquả đặtra.
Kỹnăngkhácvớiphảnx ạ Phảnxạlàphảnứngcủacơthểvớimôitrường,phảnxạm angtínhthụđộng.Nhưngkỹnănglàphảnứngcótínhtíchcực,cóýthức,hoàntoànc hủđộng.
Kỹnăngkhácvớithóiquen.Thóiquenhầuhếtđượchìnhthànhvôthức,khókiểms oát.Trongkhiđókỹnăngđượchìnhthànhdoýthức,chủđộngr è n luyện,giankhổ màthànhtài.
Kỹnăngcũngkhácvớikiếnthức.Kiếnthứclàhiểu,làbiết,nhưngchưaphảilàlàm,t hậmchíkhôngbaogiờlàm.Vìkhôngtácđộngvàothựctếkháchquannênkiếnthứ cthườngíttạorathànhquảcụthểchochủthể.Trongkhiđó,kỹnănglạilàhànhđộn g,việclàmthànhthụcdựatrênnềntảngkiếnthứcngàycàngsâusắchơn.
Cónhiềucáchphânloạikỹnăngkhácnhau.Nếuquansáttổngthểthìcób a loại:kỹ năngchuyênmôn,kỹnăngsống,kỹnănglàmviệc.Nếuquansátliênđớichuyênmônthìcó :kỹnăngcứng,kỹnăngmềm,kỹnănghỗnhợp.Nếuquans á t tínhhữuíchcộngđồngxãhội thìcókỹnănghữuíchvàkỹnăngphảnlợiích.
Trongthựctếdạyhọc,họcsinhthườnggặpkhókhănkhivậndụngkiếnt h ứcvàogi ảiquyếtcácbàitậpcụthể.Mỗisựvậtcóthểcónhiềuthuộctínhbảnchấtkhácnhau,mỗithu ộctínhbảnchấtđótươngứngvớinhữnghoạtđộng,mụcđíchnhấtđịnh.Dođóphảibiếtlựa chọnnhữngthuộctínhphùhợpvớimụctiêuđ ặ tratrướckhihànhđộng.Sựdễdànghaykh ókhănkhivậndụngkiếnthức,quátrìnhhìnhthànhkỹnăng,tùythuộcvàokhảnăngnhậ ndạngkiểubàitoán,pháthiện,nhìnthấytrongcácgiảthiếtđãchocủabàitoán,cónhữngt huộctínhv à nhữngquanhệnàolàbảnchấtđểthựchiệngiảiquyếtbàitoánđãcho.
Đặcđiểmcủa kỹnăng
Mọikỹnăngđềuphảidựatrênnềntảngkiếnthức,cấutrúccủakỹnănggồm:hiểurõ mụcđích-biếtcáchthứcđiđếnkếtquả- hiểurõnhữngđiềukiệnđ ể triểnkhaicáccáchthứcđó.
Kiếnthứclàcơsởcủacáckỹnăngkhivàchỉkhikiếnthứcđóphảnánhđ ầ y đủcác thuộctínhbảnchấtcủađốitượng,đượcthửnghiệmtrongthựctiễnv à tồntạitrongýthức vớitưcáchcủahànhđộng.
Cùngvớivaitròcơsởcủatrithức,cầnthấyrõtầmquantrọngcủakhảnăngv ậnd ụngtr ithứcvàothựctiễnlaođộngsảnxu ất.Cầnhướngmạnhvàoviệcvậndụngtrithứcv àrènluyệnkỹnăng.Kỹnăngchỉcóthểhìnhthànhvàpháttriểntronglaođộng.
Sựhìnhthànhkỹnăng
Mọikỹnăngdùhìnhthànhnhanhhaychậm,bềnvữnghaylỏnglẻo,đềuphụthuộc vàokhátkhao,vàoquyếttâmvàonănglựctiếpnhậncủachủthể,phụthuộcvàocáchthứclu yệntập,vàvàochínhmứcđộphứctạphayđơngiảncủak ỹnăngđó.Dùhìnhthànhnhanhh a y chậmt h ì quátrìnhhìnhthànhkỹnăngcũngphảitrảiquanhữngbướcsauđây:
Hìnhthànhmụcđích.Chủthểphảitựtrảlờicáccâuhỏinhư:Tạisaotôiphảisởhữu kỹnăngnày?Hay:Sở hữu kỹnăngnàytôisẽcólợigì?
Trongthựctếdạyvàhọc,sựhìnhthànhkỹnănglàlàmchohọcsinhnắmvữngmộth ệthốngphứctạpcácthaotácnhằmbiếnđổivàlàmsángtỏnhữngthôngtinchứađựngtr ongcácbàitập.Muốnvậykhihìnhthànhkỹnănghọctậpchohọcsinhcần:
Giúphọcsinhbiếtcáchtìmtòiđểx á c địnhđượcyếutốđ ã cho,yếutốphảitìmvàmố iquanhệgiữachúng.
Rènluyệnkỹnănggiảitoán
Vịtrí,chứcnăngcủabàitậptoántrongtrườngphổthông
TheonhàtoánhọcvàsưphạmMỹG.Polya:“Trongtoánhọc,nắmvữngbộmônto ánquantrọnghơnrấtnhiềusovớimộtkiếnthứcthuầntúymàtacót h ểbổsungnhờmộtc uốnsáchtracứuthíchhợp.Vìvậycảtrongtrườngtrunghọccũngnhưtrongcáctrườngch uyênnghiệp,takhôngchỉtruyềnthụchohọcsinhnhữngkiếnthứcnhấtđịnh,màquantrọn ghơnnhiềulàphảidạychohọđếnmộtmứcđộnàođónắmvữngmônhọc.Vậythếnàolànắ mvữngmôntoán?Đól à biếtgiảitoán”[22,tr82]. Đốivớihọcsinh,giảitoánlàhìnhthứcchủyếucủahoạtđộngtoánhọc.C á c bàitập toánlàmộtphươngtiệnhiệuquảvàkhôngthểthaythếđượctrong việcgiúphọcsinhnắmvữngtrithức,pháttriểntưduy,hìnhthànhkỹnăngkỹxảo,ứngdụn gtoánhọcvàothựctiễn.
Mỗibàitậptoánđượcđặtravàomộtthờiđiểmphùhợpcủaquátrìnhdạyhọc,luônch ứađựngnhữngchứcnăngkhácnhau.Cácchứcnăngđềunhằmthựchiệncácmụcđíchdạy học.
Chứcnăngdạyhọc:Bàitậptoánnhằmhìnhthành,củngcốchohọcsinhnhữngtrit hức,kỹnăng,kỹxảoởcácgiaiđoạnkhácnhaucủaquátrìnhdạyhọc.
Chứcnănggiáodục:Bàitậptoánnhằmhìnhthànhchohọcsinhthếgiớiquanduyvậ tbiệnchứng,hứngthúhọctập,sángtạo,cóniềmtinvàphẩmchấtđạođứccủangườil aođộngmới.
Chứcnăngpháttriển:Bàitậptoánnhằmpháttriểnnănglựctưduychohọcsinh,rènl uyệnnhữngthaotáctrítuệhìnhthànhphẩmchấtcủatư duykhoahọc.
Kháiniệmkỹnănggiảitoán
Kỹnănggiảitoánlàkhảnăngvậndụngcáctrithứctoánhọcđểgiảicácb à i tậptoá nb ằngcácphươngpháps u y l u ậ n,chứngminhhayt í n h toán.Rènluyệnkỹnănggiảibài tậptoánlàmộtnhiệmvụquantrọnghàngđầucủadạyhọcb ộmônToántrongtrườngphổth ông.Tùytheonộidungkiếnthứctoánhọcmàc ó nhữngyêucầurèn luyệnkỹnăngkhácnhau.
Rènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinh
ĐểđạtđượccácmụcđíchdạyhọcmônToánởtrườngphổthôngthìviệctruyềnthụ kiếnthức,rènluyệnkỹnănglàcơsởvìcácmụcđíchkhácmuốnthựchiệnđượcphảidựatrê nmụcđíchnày.Phảichútrọngrènluyện,thựchiệncáchoạtđộngtươngứngthìkiếnthức mớiđượccủngcố,mởrộng,pháttriển.Việcr è n luyệnkỹnăngtoánhọcnóiriêng,kỹnăn ghoạtđộngnóichunglàmộtyêuc ầuquantrọng,đảmbảomốiliênhệgiữa“học”với“hành
Dạyh ọcsẽkhôngcókếtquảnếuh ọcsinhchỉhọcthuộclòngc á c kháiniệm,cáccôn gthứcmàkhôngthựchànhviệcgiảibàitập,khôngbiếtvậndụngh a y vậndụngthànhthạ o.
Dạyt oá nl à dạykiếnthức,k ỹnăng,pháttriểnt ư du yv à xâydựngtínhc á c h cho họcsinh.Việchìnhthànhvàrènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinhsẽgiúpngườihọchiể usâusắckiếnthứctoán,nắmvữngcácthaotáctưduy,cáchoạtđộngtrít u ệ,tậpdượtc á c h o ạtđộngnghiênc ứukhoah ọc,gópphầnbồidưỡngconngườiViệtNam.
Cáchthứnhất:Saukhicungc ấ p , truyềnt hụ ,gợimởg i ả i quyếtv ấ n đ ề , khámph ávốntrithứctoánhọccầnthiếtthìyêucầuhọcsinhvậndụngtrithứcđóđểgiảicácbài toánliênquantheomứcđộtăngdần.
Cáchthứhai:Dạychohọcsinhnắmđượcnhữngdấuhiệuđặctrưng,từđócóthểđịn hhướngmộtsốdạngbàitoánvà cácthuậttoántươngứng.
Giúphọcsinhhìnhthànhvànắmvữngmạchkiếnthứcxuyênsuốtchươngtrìnhtoá nphổthông.Trongmôntoáncóthểkểtớicáckiếnthứcsau: a Các hệthốngsố; b Hàmsốvàánhxạ; c Phươngtrìnhvàbấtphươngtrình; d Địnhnghĩavàchứngminhtoánhọc; e Ứngdụngtoánhọc.
Giúphọcsinhpháttriểntưduy: a Tưduylôgicvàngônngữchínhxác,trongđócótưduythuậttoán; b Khảnăngsuyluậnphánđoán,tưduytrừutượng,tưởngtượngkhônggian; c Nhữngthaotáctưduy:phântích,tổnghợp,kháiquát…; d Cácphẩmchấttrítuệnhư:tưduyđộclập,tưduylinhhoạt,sángtạo.
Nhữngkỹnăng cầnthiếtkhigiảitoán
Kỹnăngtổnghợp:Liênhệcácdữliệutrongbàitoán,tómtắtnộidungbàitoán,kếtcấ ulạiđềtoánđãđịnhhướnggiải;
RènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinhtheoquytrìnhbốnbướccủaPolya
Bước1 :Hiểurõnộidungbàitoán. Đểgiảiđượcmộtbàitoán,trướchếtphảihiểubàitoánđóvàcóhứngthúvớiviệcgiảibàit oánđó.Vìthếngườigiáoviênphảichúýgợiđộngcơ,kíchthícht r í tòmò,hứngthúchohọ csinhvàgiúpcácemtìmhiểubàitoánmộtcáchtổngquát.
Cóthểphảiphântíchbàitoánđãchothànhnhữngbàitoánđơngiảnhơn.Xétbàitoá ntrongnhữngtrườnghợpđặcbiệt,trongnhữngtrườnghợpcụthể,b à i toántươngtựhayc ũngcóthểxemxétbàitoántổngquát.Từđó,cóýtưởnggiảivà xâydựngđượcmộtchươngtrìnhgiải.
Nhìnlạitoànbộcácbướcgiải,rútra trithứcphươngphápđể giảimộtloạib à i toánnàođó.
Việckiểmtralờigiảimộtbàitoánlàrấtquantrọngtronggiảitoántổhợp,n ó giúpt atr ánhnh ữngsail ầmđiểnhìnhnhưxétthiếuhoặcthừatrườnghợp.Mặtkhác, việckếtthúcmộtbàitoánnàylạilàsựmởđầumộtbàitoánkhác,điềuđ ó rấtcóíchchorènlu yệnhọcsinhgiỏi.
Trongquátrìnhgiảibàitậptoán,cầnkhuyếnkhíchhọcsinhtìmnhiềucáchgiảichom ộtbàitoán.Mọicáchgiảiđềudựavàomộtsốđặcđiểmnàođócủadữk i ện,chonêntìmđượ cnhiềucáchgiảilàluyệntậpchohọcsinhbiếtcáchnhìnnhậnmộtvấnđ ề theonhiềukhíac ạnhkhácnhau,điềuđ ó rấtbổíchchoviệcpháttriểnnănglựctưduy.Mặtkháctìmđượcnh iềucáchgiảithìsẽtìmđượcc á c h giảihaynhất,đẹpnhất.
Vậndụngcácphươngphápdạyhọchiệnđạitrongpháttriểnkỹnăngg i ảitoánt ổhợp
BồidưỡngkỹnănggiảiToánchohọcsinhcầnkếthợpvớicáchoạt độngtrítuệkhác
ViệcbồidưỡngkỹnănggiảiToánchohọcsinhcầnđượctiếnhànhtrongmốiquanhệ hữucơvớicáchoạtđộngtrítuệnhư:Phântích,tổnghợp,sosánh,tươngtự,trừutượnghóa,kháiquáthóa,hệthốnghóatrongđóphântíchvàtổnghợpđóngvaitrònềntảng.Đểbồidưỡ ngtínhmềmdẻo,tínhnhuầnnhuyễncủat ư duy,họcsinhcầnđượcluyệntậpthườngxuyê nnănglựctiếnhànhphântíchđồngthờivớitổnghợpđểnhìnthấyđốitượngdướinhiềukhí acạnhkhácnhau.
Trêncơsởsosánhtừngtrườnghợpriênglẻ,dùngphéptươngtựđểchuyểntừtrườnghợpri êngnàysangtrườnghợpriêngkhác,khaithácmốiliênhệmậtthiếtvớitrừutượnghóa,làm rõmốiquanhệchunggiữamệnhđềxuấtphátvàmệnhđ ề tìmđượcbằngđặcbiệthóavàhệt hốnghóa,tacóthểtậpluyệnchohọcsinhkháiquáthóatàiliệutoánhọc,tạokhảnăngtìmđư ợcnhiềugiảipháptrênnhiềugócđộvàtìnhhuốngkhácnhau,khảnăngtìmranhữngmốiliê nhệtrongnhữngs ựkiệnbênngoàitưởngn h ư khôngcóliênhệvớinhau,khảnăngtìmrag i ả ipháplạhoặcduynhất.
TheoHoàngChúng([1 ,tr25]),c á c phươngphápđ ặ cbiệthoá,tổngquáthoávàtươ ngtựcóýnghĩarấtquantrọngtrongsángtạotoánhọc.Cóthểvậndụngcácphươngphápn àyđểgiảicácbàitoánđãcho;đểmòmẫmvàdựđoánk ếtquả,tìmraphươnghướnggiảibàit oánđểmởrộng,đàosâuvàhệthốnghóac á c kiếnthức,từđógiúppháthiệnranhữngvấnđ ềmới,nhữngbàitoánmới,hoặcgiúptanhìnthấys ựl i ê n hệg i ữanhiềuv ấnđ ề vớinhau.
N h ờcónhữngphươngphápđó,họcsinhcóthểmởrộng,đàosâukiếnthứcbằngcáchnêu lênv à giảiquyếtnhữngvấnđềtổngquáthơn,nhữngvấnđềtươngtự,hoặcđisâuvàonhữ ngtrườnghợpđặcbiệtcóýnghĩatoánhọc.
BồidưỡngkỹnănggiảiToánchohọcsinhcầnđặttrọngtâmvàoviệc rènkhảnăngpháthiệnvấnđềmới,khơidậyýtưởngmới
Khid ạyl ý thuyết,giáoviêncầntậndụngphươngphápt ậ p d ư ợ tnghiêncứu,trong đógiáoviêncầntạoracáctìnhhuốnggợivấnđềđểdẫndắthọcsinht ì m tòikhámp h á k i ế nt h ứcmới.Trongquátrìnhnày,tuỳtheotừngloạiđốitượngmàhọcsinhtựlựctiếpcậncác kiếnthứcvớicácmứcđộkhácnhau.
Chúýthườngxuyêntậpdượtchohọcsinhsuyluậncólý(thôngquaquans á t sosánh,đặcbiệthóa,kháiquáthóa,quynạp,tươngtự, )đểcóthểtựmình tìmtòi,dựđoáncáckếtquả,đểtìm cáchgiảimộtbàitoán,chứngminhmộtđịnhl ý , bồidưỡngchohọcsinhcácphươngphápc hứngminhtoánhọc nhưphântích,tổnghợp,phảnchứng,quynạpđểcóthểtựmìnhtìmtòi,dựđoánđượccácq uiluậtcủathếgiớikháchquan,tựmìnhpháth i ệnv àphátbiểuvấnđ ề ,d ựđoánđượckếtqu ả,tìmđượchướnggiảicủamộtbàitoán,hướngchứngminhđịnhlý.Nóicáchkháclàtăngc ườngcảhaibướcsuyđoánvàsuydiễn.
Khiluyệntậpcủngcố,cầnlựachọnmộtvàivídụcócáchgiảiriêngđơngiảnhơnlàáp dụngcôngthứctổngquátđểkhắcphụctínhìcủatưduy,tránhhànhđộngmáymóc,không thayđổiphùhợpvớiđiềukiệnmới.Cầncoitrọngc á c bàitậptrongđóchưarõvấnđềcầnch ứngminh,họcsinhphảitựxáclập,tựt ì m tòiđểpháthiệnvấnđềvàgiảiquyếtvấnđề.
BồidưỡngkỹnănggiảiToánchohọcsinhlàmộtquátrìnhlâudàicầntiếnhànhtron gtấtcảcáckhâucủaquátrìnhdạyhọc
Bồidưỡngkỹnănggiảitoánchohọcsinhlàmộtquátrìnhlâudàicầntiếnhànhthườn gxuyênhếttiếthọcnàysangtiếthọckhác,nămnàysangnămkháctrongtấtcảcáckhâu củaquátrìnhdạyhọc,trongnộikhoácũngnhưcáchoạtđộngngoạikhoá.Cầntạođiềukiệ nchohọcsinhcódịpđượcrènluyệnkhảnăngt ư duysángtạotrongviệctoánhọchóacáctìn hhuốngthựctế,trongviệctựsángt á c nhữngđềtoán,tìmtòinhữngcáchgiảimới,nhữngk ếtquảmớikhaitháctừc á c bàitoánđãgiải.
Khâukiểmtrađánhgiáphảiđượcxemlàkhâuquantrọngsongsongvớiviệcdạyh ọc.Cácđềkiểmtra,cácđềthicầnđượcsoạnvớiyêucầungoàiviệck i ểmtraviệcnắmbắt cáckiếnthứccơbảncònphảicónhữngcâukiểmtrađượcnănglựctưduysángtạocủahọcs inh.Họcsinhchỉcóthểlàmđượchoànchỉnh cácđềkiểmtrađótrêncơsởbộclộ rõnănglực tưduysángtạocủabảnthânchứkhôngphảichỉlàhọctủ,vậndụngkiếnthứcthiếusángtạo.
Ngoàiracầntổchứccáchoạtđộngngoạikhóa,câulạcbộtoánhọc.Cáchoạtđộngđ ótạođiềukiệnchohọcsinhcódịpđượcrènluyệnkhảnăngtưduysángtạo,rènluyệnchoh ọcsinhkhảnănglàmviệcđộclậpvàkíchthíchhứngthúhọctậpcủahọcsinh.
ChútrọngbồidưỡngtừngyếutốcụthểcủakỹnănggiảiToánquaviệcx â y dựngvà dạyhọc hệthốngbàitập
Trongquátrìnhdạyhọc,giáoviêncầnchúýbồidưỡngtừngyếutốcủakỹnănggiảito án,đặcbiệtlàtínhmềmdẻo,tínhnhuầnnhuyễn, tínhđộcđáo.Cóthểkhaithácnộidungcácvấnđềdạyhọc,đềxuấtcáccâuhỏithôngminh nh ằmgiúphọcsinhlậtđilậtlạivấnđềtheocáckhíacạnhkhácnhauđểhọcsinhnắmvữngb ảnchấtcáckháiniệm,cácmệnhđề,tránhđượclốihọcthuộclòngmáymócvà lốivậndụngthiếusángtạo.
Việctìmnhiềulờigiảicủabàitoángắnliềnvớiviệcnhìnmộtvấnđềdướinhiềukhíac ạnhkhácnhau,từđómởđườngchosựsángtạophongphú.Ngoàir a , khidạygiảibàitậpcầ nđưaracácbàitậpmới,đểhọcsinhtậpdượtsángtạo,r a cácbàitập"khôngtheomẫu",khô ngđưađượcvềcácloạitoángiảibằngcáchá p dụngcácđịnhlý,quytắctrongchươngtrình đểbồidưỡngtínhđộc đáocủa tưduysáng tạo.
Mộtsốsailầmđiểnhìnhcủahọcsinhkhigiảitoántổhợp
Bàitoán TrongLớp10Toán1có15bạnnamvà21bạnnữ.Giáoviênchủnhiệmcầ nchọnh a i h ọcsinh,mộtb ạnnamv àmộtb ạnn ữ,đ i dựđạihộiĐoàn.Hỏigiáoviêncóbao nhiêucáchchọn?
Phântích Sailầmphổbiếnhọcsinhthườngmắcphảikhigiảibàitoánn à y l à dùngquytắccộngchorằngcó15+216(cáchchọn).Thựcraởđâyphảidùngquytắcn hân,tứclàcó15.21315(cách chọn).
Khókhăntiếptheohọcsinhgặpphảilà:mộtbàitoánkhôngbiếtkhinàos ử dụngtổ hợp,khinàosửdụngchỉnhhợp.Khókhănnàysẽđượcgiảiquyếtnếuhọcsinhđểýb ảnchấtcủatổhợplàsắpxếptùyýkhôngcóthứtự, cònchỉnhhợpthìcóthứtự.Taxétbàitoánsau:
Bàitoán Mộtdạtiệccó12namvà10nữđềukhiêuvũgiỏi.Cầnchọnra6người(3na mvà 3nữ) đểghépthành3cặpnhảy Hỏicóbaonhiêucáchghép?
Lờigiải2.Sốcáchchọn3nữtrong12nữlàC 3 cách.
Lờigiải3.Sốcáchchọn3nữtrong12nữlàC 3 cách.
Dođósốcáchchọn6người(3nam,3nữ)làC 3 C 3 cách.
Vìmộtđôicóhaibạn(1nam,1nữ)nênchọnra1nam(trong3nam)và 1nữ(trong3nữ)thìcó3.39cách.
Lờigiải4.Sốcáchchọn3nữtrong12nữlàC 3 cách.
Dođósốcáchchọn6người(3nam,3nữ)làC 3 C 3 cách.
Trong6ngườichọnrathìcó3! cáchghépgiữacácđôinàyvớinhau(làhoánvịcủa3namhoặccủa3nữ).
Phântích Quansátcáclờigiảitrêntathấy:ởlờigiải1- rõrànglàsaivìb à i toánkhôngyêucầuxếpthứtự;lờigiải2- thiếusốcáchchọnđểghépthànhc á c đôi;lờigiải3- thoạtnhìnthìcóvẻnhưđúng,tuynhiênởbướccuốiđãnhầml ẫnviệcchọnra3đôivớiviệcc hỉđơnthuầnchọnra1namvà1nữ;lờigiải4-l à lờigiảiđúng.
Đôikhi,họcsinhmắcphảisailầ m“Xétthiếucá c trườnghợptrongbàitoángiảibằ ngphươngphápgiántiếp” Xétbàitoánsau:
Bàitoán Từ20câuhỏitrắcnghiệmgồm9câ u hỏidễ,7câuhỏitrungbìnhvà4câ uhỏikhóngườitachọnra7câuhỏiđểlàmđềkiểmtrasaochophảic ó đủcả3loạidễ,trungbì nhvàkhó.Hỏicóthểlậpđượcbaonhiêuđềkiểmtra?
Loại1.Chọn7câuhỏitùyýtrong20câuhỏicóC 7 cách.
Trườnghợp1.Chọn7câuhỏidễtrong9câuhỏicóC 7 cách.
Trườnghợp3.Chọn7câuhỏidễvàtrungbìnhtrong16câuhỏi cóC 7 cách. Trườnghợp4.Chọn7câuhỏidễvàkhótrong13câuhỏicóC 7 cách.
Trườnghợp5.Chọn7câuhỏitrungbìnhvàkhótrong11câuhỏicóC 7 cách.
Loại1.Chọn7câuhỏitùyýtrong20câuhỏicóC 7 cách.
Trườnghợp1.Chọn7câuhỏidễvàtrungbìnhtrong16câuhỏi cóC 7 cách. Trườnghợp2.Chọn7câuhỏidễvàkhótrong13câuhỏicóC 7 cách.
Trườnghợp3.Chọn7câuhỏitrungbìnhvàkhótrong11câuhỏicóC 7 cách.
Loại1.Chọn7câuhỏitùyýtrong20câuhỏicóC 7 cách.
Trườnghợp1.Chọn7câuhỏichỉcómộtloại(làmộtloạidễhoặctrungbình)thìc ó 7
Phântích Trongbàitoánviệcchọnra7câuhỏikhôngthỏamãnyêucầuthìcóthểxả yratrườnghợpchỉchọnmộtloạicâuhỏi(dễhoặctrungbình).
Trong3lờigiảiđượcđưarachoBàitoán2thìchỉcólờigiải3làlờigiảiđúng.Lờigiải 2thìxétthiếutrườnghợpchọn7câuhỏichỉthuộcmộtloại,cònl ờigiải1thìlạixétlặptrườn ghợp7câuhỏichỉthuộcmộtloại.
ộttìnhhuốnghọcsinhhaymắcphảilàđếmlặplại,hoặcđếmthiếucáccáchchọn củabàitoán Taxétmộtvídụcụthểnhư sau:
Bàitoán Chođagiácđều15đỉnh.Hỏicóbaonhiêutamgiáccânkhôngđềucóđỉnh làcácđỉnhcủađagiácđềutrên?
Lờigiải1.VớimỗiđỉnhAicủađagiácđềutacó7tamgiáccânvà1tamgiácđều.Vậ ysốtamgiáccânkhôngđềulà15 71 90
Lờigiải2.VớimỗiđỉnhA ic ủađagiácđềutacó7tamgiáccânvà1tam giácđều.Vậysốtamgiáccânkhôngđềulà đãđượctínhlặp3lần.Vậyđápsốlà 90 30.
Phântích ChúýrằngkhitamgiácA1A2A3c â ntạiA1(khôngđều)thìsẽkhôngthểcân tạiA2hoặcA3.VìvậyLờigiải1đúngcònLờigiải2sai.
Trongchươngnày,luậnvănđãtrìnhbàycácquanđiểmcủamộtsốtácgiảvềkháini ệmkỹnăng,rènluyệnkỹnăng,kỹnănggiảitoánvàvaitròcủaviệcr è n kỹnăngtrongdạy họctoánnhằmgópphầnpháttriểnvàbồidưỡngkỹnănggiảitoánchongườihọc.Nêurac ácbướctiếnhànhhoạtđộngdạyhọcđạthiệuquảcaotrongv i ệcrènk ỹnăng,đồngthờicũ ngđềcậpđếnvấnđ ề đổimớiphươngphápdạyhọcbộmônToántrongnhàTrườngphổthô ng.
Việctrangbịkiếnthức,kỹnăngcơbảnchohọcsinh,đặcbiệtbồidưỡngtưduysán gtạochohọcsinhlàmộtquátrìnhliêntục,trảiquanhiềugiaiđoạnvớinhữngmứcđộkhác nhau.Điềuquantrọngnhấttrongdạyhọcsángtạolàgiảiphónghoạtđộngtưduycủahọcs inhbằngcáchđểcácemtựhoạtđộng,tựkhámphát ì m tòi,p h ảikếthợptốtg i ữahoạtđộn ghọctậpvàhoạtđộngnhậnt h ức.Bêncạnhđótínhtíchcựcđượcnângdầntheomứcđộtừth ấpđếncao:tíchcựcđộngnão,độclậpsuynghĩđếntíchcựcsángtạo.Ngườithầycầnrènluy ệnhọctrònângdầncáchoạtđộngtừdễđếnkhó:từtheodõicáchchứngminh,đếnhoạtđộng mòmẫmdựđoánkếtquảvàcuốicùngtựlựcchứngminh.Việcdựđoán,mòmẫmkếtquảk hôngchỉtậpchohọcsinhphongcáchnghiêncứukhoahọc,tậpcácthaotáctưduycầnthiết, màcònlàbiệnphápquantrọngnhằmnângc a o tínhtíchcựccủahọcsinh.Khitựđưaradựđ oán,họcsinhsẽhàohứngvàcótráchnhiệmhơntrongquátrìnhtìmtòilờigiảichokếtquảdự đoáncủamình.
Vậndụnglinhhoạtcáchoạtđộngphântích,tổnghợp,sosánh,trừutượnghóa,khái quáthóa,cụthểhóavàcácphươngphápsuyluậnnhưquynạp,suydiễn,tươngtự;dễdà ngchuyểntừgiảiphápnàysanggiảiphápkhác;điềuchỉnhkịpthờisuynghĩnếugặptrởn gại.Suynghĩkhôngdậpkhuôn,khôngápdụngmộtcáchmáymócnhữngkinhnghiệm,ki ếnthức,kỹnăngđãcóvàotronghoàncảnhmới,điềukiệnmớitrongđócónhữngyếutốđãth ayđổi;cókhảnăngthoát
Rènluyệnkhảnăngphântíchbàitoán,hìnhthànhkỹnăngnhậndạngb à i toánc hohọcsinhdướimọigócđộ
Thiếtkếchuỗibàitập
Cóbaonhiêucáchphânphối2013quyểnsáchToángiốnghệtnhaucho100cửahàngbánsá chsaochomỗicửahàngnhậnđượcítnhất1cuốnsách.
Bàitoán1.2.(ĐềthihọcgiỏiMỹAIME1998)Tìmsốnghiệmnguyênkhông âm,lẻcủaphươngtrình x
Sốnghiệmnguyên dươngcủaphươngtrìnhchínhbằngsốcặp a 1 ;a 2 ;a 3 , thỏamãnđiềukiệntrên. Vớimỗinhóm3sốtựnhiênphânbiệtlấytừ2014sốtựnhiêntừ1đến2014,tac h ỉcómộtc á c h xắptheot h ứt ựtăngd ầ n.Vậys ốnghiệmnguyêndươngcủa phươngtrìnhđãcholà
Sốnghiệm nguyêndươngcủaphươngtrìnhchínhbằngsốcặp a 1 ;a 2 ;a 3 , thỏamãnđiều kiệntrên.Vớimỗinhóm3sốtựnhiênphânbiệtlấytừ2018sốtựnhiêntừ1đến2018,tachỉc ómộtcáchxắptheothứtựtăngdần.Vậysốnghiệmnguyêndương củaphươngtrìnhđãcholà
Bài toán tổng quát 2 Tìmsốnghiệmnguyênkhôngâmcủaphươngtrình x 1 x 2 x 3
(ĐềthichọnhọcsinhgiỏitoánRumani,BáoToánhọcTuổitrẻ,tháng10/2013).Lậpđược baonhiêusốtựnhiênchiahếtcho3,gồmnchữsố lấytừtậphợp X 3;4;5;6
a n1 chiahếtcho3thìtachọna nlà 3hoặc6,có2cách.
a n1 chiacho3dư1thìtachọna nlà 2hoặc5,có2cách.
a n1 chiacho3dư2thìtachọna nlà 1hoặc4,có2cách.
Dấuhiệuchiahếtcho3củamộtsốtựnhiênlàtổngcác chữsốcủasốđóchiahếtcho3.GọiS nlà sốcácsốtựnhiênchiahết cho3;mỗisốgồmnchữsốlấytừtậphợpX={3;4;5;6}.GọiP nlà sốcácsốtựnhiênkhôngc hiahếtcho3;mỗisốgồmnchữsốlấytừtậphợpX={3;4;5;6} DễthấyS 1 =2;S n +P n =4 n Tasẽlậpsốtựnhiênchiahếtcho3;mỗisốgồmn+1chữsốlấytừtậphợp
Bài3.Lậpđượcbaonhiêusốtựnhiênchiahếtcho3,nhỏhơn10 n , gồmcácchữ sốlấytừtậphợp X
GọiA nl à sốcácsốchiahếtcho3,gồmnchữsốlấy từtậpX.GọiB nl à sốcácsốchiacho3dư1,gồmnchữsốlấytừtậpX.GọiC nl à sốcácsốchiach o3dư2,g ồmnchữsốlấytừtậpX.
Nếudãynchữsốđầucótổngchiahếtcho3,tacó2cáchchọnchữsốthứn+1đ ểtạothànhs ốchiahếtcho3;có1cáchchọnchữsốthứn+1đểtạothànhsốchiacho3dư1;có1cáchchọ nchữsốthứn + 1 đểtạothànhsố chiacho3dư2.
Nếudãynchữsốđầucótổngchiacho3dư1,tacó1cáchchọnchữsốthứn+1đ ểtạothànhs ốchiahếtcho3;có2cáchchọnchữsốthứn+1đểtạothànhsốchiacho3dư1;có1cáchchọn chữsốthứn + 1 đểtạothànhsố chiacho3dư2.
Nếudãynchữsốđầucótổngchiacho3dư2,tacó1cáchchọnchữsốthứn+1đ ểtạothànhs ốchiahếtcho3;có1cáchchọnchữsốthứn+1đểtạothànhsốchiacho3dư1;có2cáchchọ nchữsốthứn + 1 đểtạothànhsố chiacho3dư2.
Bài4(VMO2015).Lậpđượcbaonhiêusốtựnhiênchiahếtcho3,nhỏhơn10 n gồmcác chữsốlấytừtậphợp X 0;1;2;5
Bài1 (ĐềthiĐạih ọcAnninh).Cób a o nhiêus ốnguyêndươngcó5 chữsố abcde saocho a b c d e
Côngđoạn1:Chọn5chữsốnguyêndươngbấtkỳtrong9chữsốtừ1đến9:có
Côngđoạn2:Từ5chữsốđãchọn,tạothànhsốthỏamãnyêucầubàitoán:chỉc ó mộtcách. Theoquytắcnhântacókếtquảlà C 5 số.
Bài2.Cóbaonhiêusốnguyêndươngcó5chữsố abcde saocho a b c d
Côngđoạn1:Chọn5s ốnguyêndươngbấtkỳtrong11sốtừ1đến11:có 5 cáchchọn.
Côngđoạn2:Từ5chữsốchọnđược,tạothànhsốthỏamãnyêucầubàitoán:c h ỉcó1cách. Theoquytắcnhântacókếtquảlà C 5 số.
Saukhigiảiđượcbàitoán,bướcquantrọngtiếptheolàtìmthêmnhữngl ờigiảikhá c,điềuđógiúphọcsinhbồidưỡngnănglựctìmhiểunhiềugiảiphápchomộtvấnđề,nhìnn hậnvấnđềdướinhiềugóccạnhkhácnhau,điềunàygiúphọcsinhpháttriểnnănglựcgiảito ánởnhữngphươngdiệnsau:
Rènluyệnkhảnăngtìmcác bàitoán,cáckiếnthứcliênquan.C á c phươngdiệnnàyđược ápdụngtrongcácvídụsau: n n n n n
Phântích. Đâyl à b à i toánchứngminhđẳngthứcchứatổngnhiềusốhạngtheoquyluật,vìvậ y taphảidựavàoviệcquansátsốhạngtổngquát.
Phântích.Quansátthấycóhaicôngthứcxuấthiệntrongbàitoánlà k và2 n Ýnghĩatổhợpcủa k làsốcáchchọnmộtnhómkphầntửtrong mộttậphợpcónphầntử.Còn2 nlà sốtậphợpconcủatậphợpgồmnphầntử.
Hướngdẫngiải.Xétbàitoán:Cón người,tìmsốcáchchọnramộtsốngười, trongđócó1ngườilànhómtrưởng.
Côngđoạn2:t a chọncácthànhviêncònlạicủanhóm.Theoyêucầucủađ ề bàith ìcácthành viêncònlạicóthểlàmộttậpcon bấtkỳ(kểcả ) củan-
Cáchgiảithứhai Đầutiêntacốđịnhsốngườikmàtađịnhchọnravớik=1,2,…,n.Tiếp theo,tachọnr ak ngườit ừn người:có k cáchchọnnhưvậy.Vớimỗicách k
1 kC n.Vì cùngmộtbàitoán, nênsosánhhaiđápsố,ta cóđpcm.
Nhậnxét Đâylàbàitoánchứngminhđẳngthứcliênquanđếnsốtổhợpchậpkcủanphầnt ử,dođócót hểđưavềbàitoánliênquanđếncácquytắcđếm,cụthểtathựchiệnđếmtheohaicáchkhác nhaurồisosánhkếtquả.Mặtkhác,vìliênquanđến số k tacóthểnghĩđếncáchápdụngcáccôngthứcvềsốnày.Cụthểbàitoán cóthểđượcgiảinhưsau:
XéttậphợpA={1,2,3, ,k,k+1, ,n,n+ 1}.Mỗitậpconk+ 1phầntửcủaAphảichứaítnhấtmộttrongcácphầntửk+1,k+2, ,n+1,dođócáctậpc onnàyđượcchiathànhcácloạinhư sau:
chứak+1vàkphầntửchọntừ{1,2, ,k}:có C k tậphợpnhư vậy
chứan+1vàkphầntửchọntừ{1, 2, ,n}: có C k tậphợp Vậysốtậpconk+1phầntửcủa Alà C C
Mặtkhácsốtậpconk+1phầntửcủaAlàsốcáchchọnk+1phầntửtừn+1 phầntử,dođóbằng C k 1 Từđósuyrađiềuphảichứngminh.
Phântích.Bàitoáncóthểphátbiểutheocáchkháclàrútgọnmộttổngnhiềusốhạn g.Vìvậytacóthểnghĩđếnviệcphântíchsốhạngtổngquátdướidạngmộthiệucủah aisốhạngkhác.Khithayvàotổngđãcho,tasẽr ú t gọnđượctheoyêucầu.Liênhệ đếnmộttínhchấtquenthuộc
Phântích.Bàitoánchứngminhđẳngthứcphụthuộcsốtựnhiênn,vìvậyt a cóthển ghĩđếnphươngphápquynạptheon.
Phươngán2:3=2+1+0.Tacó2cáchchọna1(là2hoặc1).Khiđócònlại
2015vịtrí,chọnra1vịtríxếpchữsố2hoặc1cònlại,có 1
2015 cách.Các vịtrícònlạichỉcó1cáchxếpchữsố0.Vậyphươngánnàycóthỏamãnb àitoán).
Phươngán3:3=1+1+1+0.Tachỉcó1cáchchọna1.Sauđócòn2015vị trí,tachọnra2vịtríđểđiềnvàođóchữsố1,vậycó 2
2015cách.Cácvịtrí cònl ạ i chỉcómộtcáchđiềnchữsố0.Vậyphươngánn à y cóthỏamãnb àitoán).
y 2015 2017.Sốdãy a 1 ,a 2 , , a 2016 cũngchính bằngsốd ã y y 1 ,y 2 , ,y 2015 vàbằngsốcáchchọn2015s ố t ự nhiênphânbiệt trong2017số.Vậytạođược C 2015 (sốthỏamãnbàitoán).
Vídụ7.ộ ttổhọcsinhgồm10bạn,trongđócó3bạnhọcsinhhaynóichuyệncótênlàA, B,C.Hỏicóbaonhiêucáchxếp10bạnhọcsinhthànhmộthàngngangmà3bạnhaynóich uyệnkhôngđứngcạnhnhautừngđôimột?
Trườnghợp1:3 bạnc ó tênA,B,C luônđứngcạnhnhau.Có3 ! cáchhoánvịA,B,C.Sauđócoi3bạnA,B,Cchiếmmộtvịtrícùngvới7vịtrícủa7e mkhônghaynóichuyện,xếpthànhmộthàngngang,tacó8! cá ch xếp.Theoquytắcnhâncó3!.8!cáchxếpởtrường hợpnày.
A 3c á c h xếphaingườinày.Chọnmộtngườikhônghaynóichuyệnđứng liềntiếptheo,tacó7cáchchọn.Cònlạimộtngườihaynóichuyệnvà6ngườikhô ngh a y n ó i chuyện,t a c ó 7 ! cáchxếp.Theoquyt ắ c nhâncó A 3.7
A 3c á c h xếphaingườinày.Chọnh a i ngườikhôngnóichuyệnđ ể xếp đứngliềncạnhhaibênhaingườihaynóichuyệnđó,tacó A 2 cáchxếphai ngườinày.Bâygiờ4ngườivừaxếpđượccoinhưchiếmmộtvịtrícùng với6vịtrícủa6ngườicònlại.Tacó7!cáchxếp.Nhưvậycó
…;10.Cầntìmrax 1;x 2 ;x 3lần lượtlàvịtrícủa3bạnA,B,C.ĐểA,B,Ckhôngđứngcạn hnhauthìphảicó
28,có C 8 cáchchọnb a số.VìA,B,C cóthểđổichỗcho nhaunêncó3!cáchđổivịtríA,B,C.SaukhicóvịtrícủaA,B,Cthìcó7! cáchxếp7bạnkhônghaynóichuyện.Theoquytắcnhântacóthỏamã nyêucầubàitoán.
Taxếp7bạnkhônghaynóichuyệnthànhhàngngang,có7! cáchxếp.Khiđót ạ o nên8vịtrí( 2 vịtríđầuvàcuối,6vịtríxengiữa7bạn),cóthểchọnratừ đó3vịtríđểxếpbạnhaynóichuyệnvàothìsẽđảmbảo2bạnnóichuyệnbấtkỳ đềukhôngđứngcạnhnhau,cóxế pthỏamãnđềbài.
3cách chọn.Theoquytắcnhân,tacó3!.A 3 cách
Chomộtnhómgồm5cô gái,kíhiệulàG1,G2,G3,G4,G5v à12chàngtrai.Có17ch iếcghếđượcxếpthànhmộthàngngang.Ngườitaxếpnhóm ngườiđ ã chongồivàocácchiếcghếđósaochocácđiềukiệnsauđồng thờithỏamãn:1/ỗighếcóđúngmộtngườingồi;
4/GiữaG4v àG5cóítnhất1chàngtraivànhiềunhất4chàngtrai.
Cách1.(Kỹ thuậtđánh số) Đánhsốthứtựcácghếtừtráisangphảilà1,2,
…,17.Gọix 1l à sốchàngtraiđượcxếpbêntráiG1,x 2l à sốchàngtraiởgiữaG1v àG2,x 3là số chàngtraiởgiữaG2vàG3,x 4l à s ố chàngtraiở giữaG3v àG4,x 5l à s ố chàngtraiở giữaG4v àG
Vớicácẩnkhôngâmvàcóthêmđiềukiệny 5≤ 3.Tiếptheo,sửdụngbàitoánchiakẹocủaE ulerởdạngx 1+ y 2+ x 3+ x 4+ x 6= 8–y 5 tađượcsốcáchphân ghếchoc á c c ô gáilà C 4 C 4 C 4 C 4 1161 Vìcòncó12chàngtrai cóthể hoánđổivịtríở12chiếcghếdànhchohọnêncó12! cáchxếpcácchàngtrai.Vậysốcáchxếpthỏamãnyêucầubàitoánlà12!.1161.
Cách3.Giả sửgiữaG1v à G 2 c ómnam(mkhôngnhỏhơn3),nhưvậytacósố cáchxếpmnamnàylà
A 12, tagọiđâylànhóm1.GiảsửgiữaG4v àG5cónnam (nchạytừ1đến4),chọntrongsố12-mnam,ta có sốcáchxếpnemnàylà A
Tagọinhómnàylànhóm2.EmnữG3,coilànhóm3.Bâygiờsắpxếp3nhómn ày cùng1
2-m-nchàngtraivào15-m- nvịtrísaochothứtự3nhómlầnlượtlànhóm1,nhóm3,nhóm2.Trướchếttachọn3vịtrítr ong15-m-nvịtríđểxếp3nhómtheothứtựyêucầu,sauđóhoánvị12-m-nchàngtraivàocác vịtrícònlại.
Mộtbàitoáncóthểphảisửdụng,kếthợpnhiềuphươngphápmớiđiđếnl ờigiải, tùyvàotừngtìnhhuốngbàitoáncụthểmàmỗiphương phápcóưuđiểmriêng.Trướcbấtkỳbàitoánnào,côngviệcđầutiêncủagiảitoánlàtừgiảth iếtv à nhữngyêucầucủabàitoánphảixácđịnhđược:
Trongtácp h ẩm“Giảibàitoánn hư thếnào?”,G.Polyađ ã viết:“Cáchgiảin à y đúng thật,nhưnglàmthếnàođểpháthiệnranhữngsựkiệnnhưvậy? vàlàmt h ếnàođểtựmìnhpháthiệnrađược?”.QuanđiểmnàycủaG.Polyamuốnnhấnmạ nhý nghĩac ủ aviệcd ạyc h o h ọcsinhbiếtt ựt ì m t ò i l ờig i ải,t ựpháthiệnnhữngkếtquả mới.
Sángtạobàitoánmớilàmộtbướcquantrọngtrongquátrìnhgiảitoán,mộtphươ ngthứcrènluyệntưduysángtạotoánhọc,mộttrongnhữngmụctiêuchínhcủahọctậpsán gtạo Đểxâydựngbàitoánmới,cóthể hướngdẫnhọcsinhtheocácconđườngsauđây:
Sửdụngcácthaotáctưduynhư:tươngtự,đặcbiệthóahaytổngquáthóa đểđiđếnbàitoántươngtự,bàitoánđảo,đặcbiệthóah a y tổngquáthóa.
Nghiêncứusâubảnchấtc ủ a bàitoán,đoánnhậnđượccơsởs ự hìnhthànhc ủabàitoán đểxâydựngcácbàitoáncùngdạng.
Vídụ9.Xétbàitoánsau:Cóbaonhiêucáchxếp14họcsinhthànhmộthàngdọc? Đápsố:14!. Ởtrêncáchsắpxếplàhàngdọc,từđềbàinày,mộtcâuhỏirấttựnhiênlà“nếuxếpthe ovòngtrònthìsao?”, dođódẫnđếnbàitoánsau:
Bàitoán9.1.Có baonhiêucáchxếp14họcsinhthànhmộtvòngtròn? Đápsố:13!.
Bàitoán9.2.Có baonhiêucáchxếp14họcsinhcủalớp12A,trongđócó3họcsinhcủatổ1, thànhmộthàngdọcsaochocáchọcsinhcủatổ1luôncạnhnhau? Đápsố:12!.3!.
Lậtngượcgiảthiết,thayđiềuk i ệncủab à i toántừ“cạnhnhau”thành“khôngcạnh nhau”tađượcbàitậpsau:
Bàitoán9.3.Có baonhiêucáchxếp14họcsinhcủalớp12A,trongđócó3họcsinhcủatổ1, thànhmộthàngdọcsaochokhôngcóhaihọcsinhcủatổ1nàoở cạnhnhau?Đápsố:11!A 3 cách.
Bàitoán9.4.Có baonhiêucáchxếp14họcsinh,trongđócó3họcsinhtổ1,4họcsinhtổ2,
Bàitoán9.5.Có baonhiêucáchxếp14họcsinh,trongđócó3họcsinhtổ1,4họcsinhtổ2,
Bàitoán9.6.B ạnNgọcMinhnhậnxétrằngcó12!.3! cáchxếp14họcsinhcủalớp12A,trongđócómộtsốhọcsinhcủatổ1,thànhmộthàngdọcs aochocáchọcsinhcủatổ1luôncạnhnhau.Hỏirằngtrongsố14emđócóbaonhiêubạn củatổ1?Đápsố: k 3
Bàitoán9.7.B ạnNhậtMinhnhậnxétrằngcó11!A 3 cáchxếpmộtsốhọcsinh củalớp12A,trongđócó3họcsinhcủatổ1,thànhmộthàngdọcsaochokhôngcóhaihọcsi nhcủatổ1nàoởcạnhnhau.Hỏirằngcótấtcảbaonhiêuhọcsinhc ủalớp12Athamgia xếphàng?Đápsố:có14họcsinhcủalớp12A.
Bàitoán9.8.Có 3!3!4!7! c á c h xếp14họcsinhthuộc3tổ,trongđócó3họcsinhtổ1,xhọcsinhtổ2,yhọcsinhtổ3t hànhmộthàngdọcs a o chocáchọc sinhcùngtổcạnhnhau.Tìmx,y?Đápsố: x 4
Bàitoán9.9.Có 2!3!4!7! c á c h xếp14họcsinhthuộc3tổ,trongđócó3họcsinhtổ1,xhọcsinhtổ2,yhọcsinhtổ3t hànhmộtvòngtrònsaochocáchọc sinhcùngtổcạnhnhau.Tìmx,y? Đápsố: x 4
Mộtcáchsángtạobàitoánmớiđólà:phátbiểubàitoán“gốc” dướihìnhthứckháctađượcbàitoán“mới”.
Bàitoán10.1’ BạnNgọcMinhcầnxếpthờikhóabiểutrong15ngàyhọc5môntheothứtự lầnlượtlàToán,Văn, Lý, Hóa,
Anh,mỗingàymộtmôn,mỗimônhọcmộtngày,haimônhọcliềnnhauphảicáchnhauítn hấtmộtngày Hỏibạnc ó baonhiêucáchxếpthờikhóabiểu?
TheonhàgiáoNguyễnVũLươngcóthểkếthợpmộtkếtquảcủatổhợpvớimộtk ếtquảcủa giảitích,sốhọc…đểhìnhthànhmộtbàitoántổhợpmới.
Bàitoán1(Tr ầnNgọcThắng).Tính S n làsốcácsốnguyêndươngAbiếtAbiểu diễntronghệthậpphâncónchữsốvà Alà sốnguyêndươngcónchữsốlẻ.
Bàitoán3 Gọi S k làsốcácsốnguyêndươngA biếtrằngAbiểudiễntronghệ thậpphâncókchữsốvà Alà s ốnguyêndươngcókchữsốlẻ.
Việcgiảicácbàitoánvớicáctìnhhuốngquenthuộctạochohọcsinhcảmgiáctoánh ọcrấtgầngũi,hơnnữacóthểtănghứngthúhọctậpchohọcsinh.Đặcbiệttổhợplàmộtloạ itoánmàgiáoviêndễdàngtìmcácbàitoánthựctếđểl à m vídụminhhọa.
Vídụ11.GiảsửbiểnsốxecủaTháiBìnhcódạng:17-haichữcái-nămchữsố(c ác ch ữcáiđượclấytrongbảngchữcáitiếngAnh). a) Hỏitrênlýthuyếtcóthểlậpđượcbaonhiêubiểnxe? b) Trongđócóbaonhiêubiểnxethỏamãn“tổngcủanămchữsốlàmộtsốcót ậncùngbằ ng9”?
Sángtạobàitoánmới
Sángtạobàitoánmớilàmộtbướcquantrọngtrongquátrìnhgiảitoán,mộtphươ ngthứcrènluyệntưduysángtạotoánhọc,mộttrongnhữngmụctiêuchínhcủahọctậpsán gtạo Đểxâydựngbàitoánmới,cóthể hướngdẫnhọcsinhtheocácconđườngsauđây:
Sửdụngcácthaotáctưduynhư:tươngtự,đặcbiệthóahaytổngquáthóa đểđiđếnbàitoántươngtự,bàitoánđảo,đặcbiệthóah a y tổngquáthóa.
Nghiêncứusâubảnchấtc ủ a bàitoán,đoánnhậnđượccơsởs ự hìnhthànhc ủabàitoán đểxâydựngcácbàitoáncùngdạng.
Vídụ9.Xétbàitoánsau:Cóbaonhiêucáchxếp14họcsinhthànhmộthàngdọc? Đápsố:14!. Ởtrêncáchsắpxếplàhàngdọc,từđềbàinày,mộtcâuhỏirấttựnhiênlà“nếuxếpthe ovòngtrònthìsao?”, dođódẫnđếnbàitoánsau:
Bàitoán9.1.Có baonhiêucáchxếp14họcsinhthànhmộtvòngtròn? Đápsố:13!.
Bàitoán9.2.Có baonhiêucáchxếp14họcsinhcủalớp12A,trongđócó3họcsinhcủatổ1, thànhmộthàngdọcsaochocáchọcsinhcủatổ1luôncạnhnhau? Đápsố:12!.3!.
Lậtngượcgiảthiết,thayđiềuk i ệncủab à i toántừ“cạnhnhau”thành“khôngcạnh nhau”tađượcbàitậpsau:
Bàitoán9.3.Có baonhiêucáchxếp14họcsinhcủalớp12A,trongđócó3họcsinhcủatổ1, thànhmộthàngdọcsaochokhôngcóhaihọcsinhcủatổ1nàoở cạnhnhau?Đápsố:11!A 3 cách.
Bàitoán9.4.Có baonhiêucáchxếp14họcsinh,trongđócó3họcsinhtổ1,4họcsinhtổ2,
Bàitoán9.5.Có baonhiêucáchxếp14họcsinh,trongđócó3họcsinhtổ1,4họcsinhtổ2,
Bàitoán9.6.B ạnNgọcMinhnhậnxétrằngcó12!.3! cáchxếp14họcsinhcủalớp12A,trongđócómộtsốhọcsinhcủatổ1,thànhmộthàngdọcs aochocáchọcsinhcủatổ1luôncạnhnhau.Hỏirằngtrongsố14emđócóbaonhiêubạn củatổ1?Đápsố: k 3
Bàitoán9.7.B ạnNhậtMinhnhậnxétrằngcó11!A 3 cáchxếpmộtsốhọcsinh củalớp12A,trongđócó3họcsinhcủatổ1,thànhmộthàngdọcsaochokhôngcóhaihọcsi nhcủatổ1nàoởcạnhnhau.Hỏirằngcótấtcảbaonhiêuhọcsinhc ủalớp12Athamgia xếphàng?Đápsố:có14họcsinhcủalớp12A.
Bàitoán9.8.Có 3!3!4!7! c á c h xếp14họcsinhthuộc3tổ,trongđócó3họcsinhtổ1,xhọcsinhtổ2,yhọcsinhtổ3t hànhmộthàngdọcs a o chocáchọc sinhcùngtổcạnhnhau.Tìmx,y?Đápsố: x 4
Bàitoán9.9.Có 2!3!4!7! c á c h xếp14họcsinhthuộc3tổ,trongđócó3họcsinhtổ1,xhọcsinhtổ2,yhọcsinhtổ3t hànhmộtvòngtrònsaochocáchọc sinhcùngtổcạnhnhau.Tìmx,y? Đápsố: x 4
Mộtcáchsángtạobàitoánmớiđólà:phátbiểubàitoán“gốc” dướihìnhthứckháctađượcbàitoán“mới”.
Bàitoán10.1’ BạnNgọcMinhcầnxếpthờikhóabiểutrong15ngàyhọc5môntheothứtự lầnlượtlàToán,Văn, Lý, Hóa,
Anh,mỗingàymộtmôn,mỗimônhọcmộtngày,haimônhọcliềnnhauphảicáchnhauítn hấtmộtngày Hỏibạnc ó baonhiêucáchxếpthờikhóabiểu?
TheonhàgiáoNguyễnVũLươngcóthểkếthợpmộtkếtquảcủatổhợpvớimộtk ếtquảcủa giảitích,sốhọc…đểhìnhthànhmộtbàitoántổhợpmới.
Bàitoán1(Tr ầnNgọcThắng).Tính S n làsốcácsốnguyêndươngAbiếtAbiểu diễntronghệthậpphâncónchữsốvà Alà sốnguyêndươngcónchữsốlẻ.
Bàitoán3 Gọi S k làsốcácsốnguyêndươngA biếtrằngAbiểudiễntronghệ thậpphâncókchữsốvà Alà s ốnguyêndươngcókchữsốlẻ.
Việcgiảicácbàitoánvớicáctìnhhuốngquenthuộctạochohọcsinhcảmgiáctoánh ọcrấtgầngũi,hơnnữacóthểtănghứngthúhọctậpchohọcsinh.Đặcbiệttổhợplàmộtloạ itoánmàgiáoviêndễdàngtìmcácbàitoánthựctếđểl à m vídụminhhọa.
Vídụ11.GiảsửbiểnsốxecủaTháiBìnhcódạng:17-haichữcái-nămchữsố(c ác ch ữcáiđượclấytrongbảngchữcáitiếngAnh). a) Hỏitrênlýthuyếtcóthểlậpđượcbaonhiêubiểnxe? b) Trongđócóbaonhiêubiểnxethỏamãn“tổngcủanămchữsốlàmộtsốcót ậncùngbằ ng9”?
Bàitoángắnliềnthựctế
Bàigiải a) Chọn2chữcái(cóthểlặplại,cóthứtự) từ26chữcái,có 26 2 cách;
Chọn5chữsố(cóthểlặplại,cóthứtự)từ10chữsố,có10 5 cách.
26 2 10 5 67600000biểnsốxe. b) 2chữcái(cóthểlặplại,cóthứtự) từ26chữcái,có 26 2 cách;
Chọn4chữsốđầutiên(cóthểlặplại,cóthứtự)từ10chữsố,có10 4 cách.
Giảsửđãchọn4chữsốabcd,tachứngminhkhiđóchỉcóduynhấtchữsốe saochoabcdec óa+b+c+d+ecótậncùngbằng9.Thậtvậy,chọnelàchữsố tậncùngcủaabcde;nếucóevàe’saochoabcdevà abcde'cùngthỏamãnthì(a +b+c
Rènkỹnăngcơbảnvớicácdạngtoánthườnggặp
Cácbàitoánliênquanđến P;A k ;C k
Trongphầnnày,taxétcácbàitoángiảiphươngtrình–bấtphươngtrình, chứngminhđẳngthức–bấtđẳngthứcchứa
Vídụ12.1.Gi ảicácphươngtrình,hệphươngtrình,bấtphươngtrìnhsau:
CácbàitoánvềnhịthứcNewton
Loại3:Tìmhệsốtongkhaitiểntamthức,tíchhainhịthức Đểlàmđượccácbàitậpphầnnày, chúngtacầnnắmđược:
Vídụ14.1.[ĐH, khốiA-2004]Tìmhệsốcủax 8 trongkhaitriểnthànhđa thứccủa
Vídụ14.2.[ĐH, khốiD-2003]Vớinlàsốnguyêndương,gọia 3n3 là hệsố của x 3n
Vídụ14.3.Tìm hệsốcủa x 4 trong khaitriểnthànhđathứccủa 1xx 2 x 3 1
Cácbàitoánđếm
ChoAlàtập gồm mphầntửvàBlàtậpgồmnvịtríkhácnhau.Yêu cầubàitoánl à sắpxếpcácphầntửcủatậphợpAvàocácvịtrítrongtậphợpBtheomộtđiề ukiệnnàođó.
Cáchgiải:TaxemtronghaitậpAvàBtậpnàoítphầntửhơnthìphầntửcủat ậpđóđượcc họn phầntửcủatậpcònlại.
Vídụ15.Cho tậphợpA={1, 2, 3,4,5}.TừtậpAlậpđượcbaonhiêusố: a) Có6 chữsốsaochotrongmỗisốđóchữsố1xuấthiện2lần,còncácsốkhácxuấthiệnđúngmộtlầ n. b) Có7chữsốsaochotrongmỗisố đósố1xuấthiện2lần,số2xuấthiện3lầncòncácsốkhácxuấthiệnkhôngquámộtlần.
TathấytậpA có5phầntử,cònsốcầnlậpcó6chữsố(6vị trínhưhìnhvẽtrên).Nhưvậyc á c phầntửcủa
+Đặtsố5vào1trong6ôtrên:có6cách.
+Cuốicùngsố1phảiđặtvào2ôcònlại, tứclà có1cáchđặt.
+)Đặtsố1:Chọn2ôtrong7ôcó 2 cách.
+)Đặtsố2:Chọn3ôtrong5ôcònlạicóC 3 cách.Khiđócònlại2ôvà3số 3,4,5.
2004]Trongmộtmônhọc,thầygiáocó30câuhỏikhácnhaugồm5câuhỏikhó,10câuhỏit rungbình,15câuhỏidễ.Từ30câuhỏiđóthểlậpđượcbaonhiêuđềkiểmtra,mỗiđềgồm5 câuhỏikhácnhau,saochotrongmỗiđềnhấtthiếtphảiđủbaloạicâuhỏi(khó,trungbình,dễ)vàsốcâuhỏid ễkhôngíthơnhai.
Vídụ17 Cho tậpA={2;5}.Hỏicóthểlậpđượcnhiêusốcó10chữsốsaochokhôngcóchữs ố2nàođứngcạnhnhau.
2 9 1 +Xếp9số5thànhhàngcó1 cách.Khiđótạonên10vịt r í đểxếps ố2.
+Xếp8số5thànhhàngcó1cách.Kh iđótạonên9vịtríđểxếpsố2.
+Xếp7số5thànhhàngcó1cách.Kh iđótạonên8vịtríđểxếpsố2.
+Xếp6số5thànhhàngcó1cách.Kh iđótạonên7vịtríđểxếpsố2.
+Xếp5số5thànhhàngcó1cách.Kh iđótạonên6vịtríđểxếpsố2.
Cácbàitậpdạngnàyyêucầuxếphaihoặc nhiềuphầntửđứng cạnhnhau.Vívậyta“buộc”cácphầntửnàythànhmộtnhómvàcoinhưmộtphầntử.
Vídụ18.M ộtnhómhọcsinhgồm4họcsinhlớpA,3họcsinhlớpB,5họcsinhlớpC.Hỏicó baonhiêucáchsắpxếpcáchọcsinhtrênthànhmộthàngngangs a o cho4họcsinhlớpAđứ ngcạnhnhau,3họcsinhlớpBđứngcạnhnhau.
Ta“buộc”4họcsinhlớpAlạivàcoinhưmộtphầntửA,“buộc”3họcsinhlớpB lạicoinhưp hầntửB.Khiđóxếp7họcsinh(gồm5họcsinhlớpCvà2phầnt ửA,B)thànhmộthàngcó7!cách.
SauđóxếpthứtựtrongnhómA có4!cách;xếpthứtựnhómBcó3!cách.Tóml ạicócảthảylà7!.4!.3!cáchsắpxếp.
Vídụ19.Trong hộpcó20quảcầukíchthướckhácnhaugồm10quảcầuxanh;1 0 quảcầu vàng.Hỏicóbaonhiêucáchlấyra9quảcầusaocho9quảlấyrađócóđủhailoạiđủcảhaimà u?
Xétbàitoánđối:Lấyra9quảcầukhôngđủcả2loạixanh,vàng.Tứclà9quả lấyrahoàntoànlàmàuxanhhoặchoàntoànlàmàuvàng.CóC 9 C 9 cách.
Nhữngkỹnăngnângcao
Kỹnăngđánhsố
[20,tr145]Xétđagiáclồinđỉnh(ítnhất8đỉnh).Hỏicóbaonhiêutứgiáccó4cạnhlà4đường chéocủađagiácđó?
3đỉnhsaochokhôngcóhaiđ ỉ nhnàol i ềnkềnhau( c á c cạnhtứgiáctạothànhlàđườngché ocủađ a giácđ ã cho).Vịt r í b a đỉnhnàyl àa,b,c t ac ó hệđiềukiện
Vídụ24.BạnNgọcMinhcầnxếpthờikhóabiểutrong15ngàyhọc5môntheot h ứtựlầnlư ợtlàToán,Văn,Lý,Hóa,Anh,mỗingàymộtmôn,mỗimônhọcmộtngày,haimônhọcliề nnhauphảicáchnhauítnhấthaingày.Hỏibạncóbaonhiêucáchxếpthờikhóabiểu?
Bài1.Mộtsinhviênmuốnlàmviệc5ngàytrongphòngthínghiệmtrongkỳhọccuốicù ngcủamình.Saumỗingàylàmviệc,côtacầnítnhất6ngàytrongvănphòngđểxửlýsốliệ utrướckhiquaylạiphòngthínghiệm.Saungàycuốicùngởphòngthínghiệm,côtacần1 0ngàyđểhoànthànhbáocáophảinộpvàongàycuốicùngcủakỳhọc.Biếtrằngkỳhọccó10 5ngày,hỏicôtacóbaonhiêuc á c h đểlênlịchlàmthínghiệm?
Bài2.Mộttổcó10namvà5nữ.Hỏicóbaonhiêucáchxếptổthànhmộthàngngang, saocho2họcsinhnữbấtkỳkhôngđứngcạnhnhau?
Đếmbằnghaicách
(IMOHKPrelim2003)Có15sinhviênthamgiamộtkhóahọcmùah è Hàngngàycó3si nhviênởlạisaugiờhọcđểlàmvệsinhphònghọc.Saukhóahọcngườitanhậnthấy,mỗic ặphaisinhviênbấtkỳđềuchỉlàmvệsinhcùngnhauđúngmộtlần.Hỏikhóahọckéodàibao nhiêungày?
Mỗingàycó3sinhviênở lạivệsinhphòng,sốcáchchọncặp2trong3sinh viênđólà C 2 Giảsửkhóahọckéodàinngày,vàmỗicặphaisinhviênbấtkỳ đềuchỉlàmvệsinhcùngnhauđúngmộtlần,tasuyra đẳngthứcsau C 2 nC 2
Hướngkhaithác1.Tổngquáthóa bàitoán:Cónsinhviênthamgiamộtkhóahọcmùahè.Hàngngàycó3sinhviênởlạisaug iờhọcđểlàmvệsinhphònghọc.Saukhóahọcngườitanhậnthấy,mỗicặphaisinhviênbấ tkỳđềuchỉlàmv ệsinhcùngnhauđúngmộtlần.Hỏikhóahọckéodàibaonhiêungày? Đápsố:Khóahọckéodàisốngàylà n n 1 m
Hướngkhaithác2.Tacóthểthayđổigiảthiếtđểchuyểntừbàitoánđẳngt h ứctổhợpthà nhbàitoánbấtđẳngthứctổhợp.Tachuyểngiảthiết“mỗicặph a i sinhviênbấtkỳđềuchỉlà mvệsinhcùngnhauđúngmộtlần”thành‘mỗic ặphaisinhviênbấtkỳđềuchỉlàmvệsinh cùngnhautốiđamộtlần’;hoặc‘mỗicặphaisinhviênbấtkỳđềuchỉlàmvệsinhcùngnhauít nhấtmộtlần’.
(LiênXô1965)Trongcuộchộithảocó40cuộchọp,mỗicuộchọpcó10thànhviên.Cho biếthaithànhviênbấtkỳchỉcùngdựhọpvớinhautốiđamộtlần.Chứngminhrằngcuộchội thảocónhiềuhơn60thànhviên.
Trongmộtcuộchọpcó10thànhviên,sốcáchchọnhaithànhviêntrongcuộc họplà C 2 Cuộchộithảocó40cuộchọp,haithànhviênbấtkỳchỉhọpcùng nhaut ốiđ a mộtlần,n ê n suyr a bấtđẳngthức C 2 40C 2
Hướngkhaithác1.Nếutathaygiảthiết“haithànhviênbấtkỳchỉcùngdựhọpvớinhaut ốiđamộtlần”thành“haithànhviênbấtkỳcùngdựhọpvớinhauí t nhấtmộtlần”,tasẽsuyra đượcsốthành viêncónhiềunhấtlà60người.
Hướngkhaithác2.Tatổngquáthóabàitoánnhưsau:Trongcuộchộithảocók cuộchọp, mỗicuộchọpcómthànhviên.Chobiếthaithànhviênbấtkỳchỉcùngdựhọpvớinhautốiđa mộtlần.Chứngminhrằngcuộchộithảocónhiều hơn km m 1
Phươngán1 : Chọnha i phầnt ử củaB.Phươngá n nà ycót h ể thựchiện theoC 2 cách.
Phươngán2 :Chọnha i phầnt ử củaC.Phươngánn ày cóthểthựchiện theoC 2 cách.
Phươngán3:GồmhaicôngđoạnlàchọnmộtphầntửcủaB (cóncáchchọn)rồichọ ntiếpmộtp h ầ n t ử c ủ aC (cón cáchchọn).Theoquyt ắ c nhân,phươngán3có n.n n 2 cáchth ựchiện.
n 2 cáchc h ọnhaip h ầntử củaA.M ặtkhác,sốcáchchọnhaiphầntửcủacủaAl à
Vídụ28.(Nguyênlýbaohàmvà loạitrừ)NếuA 1 , A 2 ,…,Anl à c á ctậphợpbấtk ỳthìtacó n n
A i i1 thìxkhông đượcđ ế ml ầnnàoở v ếtrái,cũngkhôngđ ư ợ c đ ế ml ầnnàoở v ếphải.Nếux thuộc U n
A i i1 thìxđượcđếmmộtlầnởvếtrái.Tachứngminhxcũngđượcđếm mộtlầnởvếphải.Nhưthế,mộtphầntửxbấtkỳđượcđếmnhưnhauởcảhaiv ế,dođóhaiv ếbằng nhau.
1 nênxthuộcvàomộtsốtậpconAi.Giảsửxthuộcrtập con.Khiđóxsẽđượcđếmrlầnởtổngthứnhấtởvếphải, 2 r lầnởtổngthứhai
Sửdụngphươngpháptruyhồi
Vídụ29.Trênmặtphẳngcónđườngthẳngsaochokhôngcóhaiđườngthẳngnàosongso ng,khôngcóba đườngthẳngnàođồngquy.Hỏicá c đườngthẳngnà ychiamặtphẳngthà nhmấyphần?
GọiS(n)làsốphầnmặtphẳngđượcchiabởinđườngthẳng. Đườngthẳngthứn+1,theogiảthiếtsẽphảicắtnđườngthẳngtrướctạinđiểm;đườngthẳng thứn+1nàysẽbịnđiểmđóchiathành(n+1)đoạn.ỗiđoạnnàysẽbiếnmộtmiềncũthànhh aimiềnmới,nênsốmiềntănglênlàn+1.
Víd ụ 30.Từc ácsốthuộctập E 1;2;3;4;5;6;7;8;9 cóthểl ậpđ ượcbaonhiêusốt ựnhiêncónchữsốmàtrongmỗisốđóđềuchứamộtsốlẻchữsố1vàmộtsốchẵnchữsố2( nlàsốnguyêndươngchotrước).
Kíhiệu X nlà tậptấtc ả cácsốt ự nhiênc ónchữsố đượclậpt ừ cácsố củatập
B n , C n , D nlần lượtlàtậptấtcảcácsốtựnhiêncónchữsốđượclậptừ cácsốcủatậpEmàtrongmỗisốđólầnlượtchứa(lẻcácchữ số1,chẵncác chữsố2);
(lẻcácchữsố1,lẻ cácchữsố2);(chẵncácchữsố1,lẻcácchữsố2);
A n+1 ;TừmộtphầntửthuộcB nc ó mộtcáchthêmmộtchữsốhàngđơnvịđểthànhmộtphần tửthuộcA n+1 ;TừmộtphầntửthuộcC nc ó 0cáchthêmmộtchữsốhàngđơnvịđểthànhmộtp hầntửthuộcA n+1 ;TừmộtphầntửthuộcD nc ó mộtcáchthêmmộtchữsốhàngđơnvịđểthàn hmộtphầntửthuộcA n+1 ;
Xétmộtphầnt ử thuộc A n, t a thựchiệnphépbiếnđổi:giữnguyêncácchữsốkhác1và2,cácc hữsố1(nếucó)đổithành2vàcácchữsố2(nếucó)đổithành
1tađượcmộtphầntửcủa C n, nếulấymộtphầntửthuộc C nvà cũngthựchiện phépbiếnđổitrêntađượcmộtphầntửcủa A n Phépbiếnđổinàylàmộtsong ánhtừtập A n vàotập C n nên A n C n ,dođótừ(1)suyr a A n
(HọcsinhgiỏiBàRịaVũngTàu2010)Chosốnguyêndươngn.Cóbaonhiêusốtựnhiêncó nchữsố,trongmỗisốđócácchữsốđềulớnhơn1vàkhôngcóhaichữ sốkhácnhaucùngnhỏhơn7đứngliềnnhau.
Kíhiệu X nlà tậptấtcảcácsốtựnhiêncónchữsốthỏamãnđềbài, A n, B n làcác tậpconcủal ớnhơn6.
Nếutậncùnglớnhơn6(thuộc B n) thìcó5cáchthêmvàochữsốcuốiđể đượcmộtphầntửcủa A n1 vàđúng3cáchthêmvàochữsốcuốiđểđược mộtphầntửcủa B n1
Vídụ32.C óbaonhiêusốnguyêndươngnthỏamãncácđiềukiện: a) ncó1000chữsố; b) Tấtcảcácchữsốcủanlàlẻ; c) Hiệuhaichữsốliêntiếpbấtkỳcủanluônbằng2.
Từbsuyracácchữsốcủanchọntừcácchữsố1,3,5,7,9.TrongtậphợpS kc á c sốnguyên dươngncókchữsốthỏamãna,c , tagọiA k ,B k ,C k ,D k ,E klần lượtlàtậphợpcácsốcó chữsốtậncùnglà1,3,5,7,9.
C nlần lượtlàtậphợpcácbộsốcóa nbằng -1;0;1tươngứng.Dễthấy: i 1 i
Có20đườngthẳngtrêncùngm ộtmặtphẳng.Chúngchiamặtphẳngthànhbaonhiêuphần. a) Có5đườngthẳngsongsongvớinhau. b) Có5đườngthẳng đồngquytạimộtđiểm.
Bài2.Mộtngườivượtcầuthangcónbậcbằngcáchlúcthìbướcmỗibướcmộtb ậc,lúcthìb ướcmỗibước haibậc.GọiT nl à sốcáchvượtnbậccầuthang. a) LậpvàgiảicôngthứctruyhồitínhT n; b) Chứngminh
Bài3.Mộtngườiphảitrảmộtmóntiềnlànnghìnđồngbằngcáchtrảlầnlượtmộttronghail oạigiấybạcmệnhgiá1nghìnđồngvà2nghìnđồng.GọiT nl à sốc á c h trảnnghìnđồngnhư thế. a) LậpvàgiảicôngthứctruyhồitínhT n; b) Chứngminh TT
Bài4.ChohìnhcầutâmO,bánkínhR.Vẽnđườngtrònlớn(tâmO,bánkínhR).Trongđ ókhôngcóbađườngtrònnàocùngđiquamộtđiểm.KíhiệuT nl à sốphầnmặtcầutạonênbởi nđườngtrònđó. a) LậpvàgiảiphươngtrìnhtruyhồitínhT n TínhT 10 b) TínhT 10trong trườnghợpcó3đườngtròncùngđiqua1điểm. c) TínhT 10trong trườnghợpcó4đườngtròncùngđiqua1điểm.
…;A 12t â m O.Tadùng4màuđỏ,xanh,vàng,tímđểtôcácmiềntamgiácOA iAi+1( ichạytừ1 đến12;A 13 =A 1 )saochohaimiềntamgiáckềnhauđượctôbởihaimàukhácnhau.Hỏicó baonhiêucáchtômầunhưvậy?
Bài6.Cónngườingồithànhmộthàngngangvàonchiếcghế.Hỏicóbaonhiêuc á c h lậphà ngmớichonngườiđómàtrongmỗicáchlậphàngmới:mỗingườihoặcgiữnguyênvịtrícủ amình,hoặcđổichỗchongườiliềnbêntrái,hoặcđổichỗchongườiliềnbênphải.
Trongphầntrìnhbàynộidungc ủachươngnày,luậnvănđặcbiệtquantâmđếnc á c h thứcdẫndắth ọcsinhtheohướngtíchc ựchoạtđộngcủangườihọc,nhằmhiệnthựchoá việcrènluyệncáckỹnăngtoánhọctrongnhữngđiềukiệnthựctếcủaquátrìnhdạyhọcnhằ mrènluyệnnhữngkỹnăngnângcao,tìmk i ếmlờigiảichínhxác, khoahọcchohọcsinh.
Nộidungthựcnghiệm
Lớpthựcnghiệm
Họcsinhlớp11toán1và11Toán2TrườngTHPTChuyênTháiBình,họcsinhmỗilớ plà35em.
Tiếnhànhthựcnghiệm
Tổchứcdạyhọcởcả2lớp.Chúngtôichọnlớp11Toán2dạythựcnghiệmv à lớp11T oán1làmđốichứng.
Giáoviêndạythựcnghiệm:NguyễnThịPhượng,PhạmQuangThắnglànhữngg iáoviêncủatrườngcótrìnhđộĐạihọcSưphạmToán,cókinh
Đánhgiákếtquảthựcnghiệm
Cơsởđểđánhgiákếtquảthựcnghiệm
Câu2thuộcdạngbàitậpcónhiềucáchgiảinhằmkiểmtrakhảnănghọcsinhcódễd àngv ậndụngk ỹnănggiảib à i t ậpvàovấnđ ề cụt h ểhaykhông?
Lớ p đối chứng nhiềukhíacạnhkhácnhau;khảnăngtìmragiảipháphay,lạtuyđãbiếtnhữnggiảiphápkh ác.
Câu3làbàitậpcótínhđặcthùnhằmkiểmtratínhlinhhoạt,khảnăngnhìnnhận,pháth iệnvàlợidụngnhữngyếutốđặcthùtiềmẩntrongđềtoánđểtìmragiảiphápưuviệt,thóiqu enbiếtnghiêncứunhữngđiềukiện,nhữngtìnhhuốngc ụthểcủabàitậptrướckhiápdụngc ácthuậttoántổngquát.
Kếtquảcủathựcnghiệmsưphạm
Vớithangđiểm:Câu1:4điểm,Câu2:3điểm,Câu3:3điểmthìkếtquảđiểmbàiki ểmtranhưsau: Điểm
Kếtquảđiểmchothấy:Lớpthựcnghiệmcó94,3%họcsinhđạtđiểmkhág i ỏi.Tro ngđócó5emđạtđiểm10.Trongkhiđóởlớpđốichứngtỉlệnàychỉlà54,3%vàkhôngcóđiể m10nào.Nhìnchung,ởlớpthựcnghiệmcácemcóxut h ếtìmlờigiảitíchcựchơnvàlậpl uậnkhigiảitoánchặtchẽhơn.Cómộtsốemđ ạ t điểmtốiđalàdocácemđãcólờigiảihay, ngắngọn.Lớpđốichứngkhôngc ó emnàođạtđiểmtốiđa.
Thôngquathựcnghiệmsưphạm,từviệctìmhiểu,đánhgiákếtquảthốngk ê dạyhọ ckỹnănggiảitoáncủagiáoviênvàrènluyệnkỹnănggiảitoáncủahọcsinhtrongquátrìn hhọctập,chúngtathấyrằng:
Thựctiễnd ạ y h ọc hiệnn a y ở c á c trườngcònmộts ố vấnđ ề đángquantâm,đólà việcđổimớiphươngphápgiảngdạycònchưathựcsự đượcchútrọng,đặcbiệtlà việcbồidưỡngkỹnănggiảitoántrongnhàtrườngcònhạnchếtrongcảnhậnthứcvà trongviệcthựchiệncủagiáoviên.
Đạisốtổhợplàphầnkhóđốivớihọcsinh,hơnnữaphầnnàyhiệnnayđượctrìnhbà ychohọcsinhphổthôngởlớp11nênviệctiếpthugặpmộts ố khókhăn,vìvậyviệcr ènluyệnkỹnăngchohọcsinhgiảitoántổhợpvàpháttriểntưduychohọcsinhlàrất cầnthiết.
Quaquátrìnhgiảngdạytôinhậnthấy,đểgiảicácbàitoánvềtổhợpcầnrấtnhiều thủthuật,kỹnăng,phương pháp,nhưngtrướchết phải dạychohọcsinh phânbiệtđượccáckháiniệm:quytắccộng,quytắcnhân,hoánvị,chỉnhhợp,tổhợp,sauđóđ ưaracácvídụđiểnhìnhtrongđócósửdụngcácthủthuật,phươngphápcơbản,từđóhọcsinh mớicóthểlàmquendầndần.
Rènluyệnkỹnănglàmộtphẩmchấtrấtcầnthiếtcủaconngườimớitrongx ã hộiphát triển.Việcrènluyệnkỹnănggi ảitoánlàkhảthivàcầnthiếttiếnhànhngaytrongnhàtrư ờngphổthông,điềunàyđãđượcnhậnthứcthànhmộtnhiệmvụđặtrachongànhgiáodụ c.DạyhọcmôntoánnóichungvàphânmônĐạisốnóiriêngcóđiềukiệnthuậnlợiđểthựchi ệnnhiệmvụdạyhọcnày.
Đãtiếnhànhđiềutra,thựcnghiệmsưphạm,bướcđầuxácđịnhđượctínhc ấ p thiết củaviệcdạy họckỹnănggiảitoánvàxácđịnhđượctínhkhảthicủaphươngánđã đề xuất,đồngthờibướcđầucóthểkhẳngđịnhđượcgiảthuyếtkhoahọcđưaratronglu ậnvănlàđúngđắn.
Đãhoànthànhnhiệmv ụ nghiêncứuđềr a Hơnnữa,đ ề t à i v à phươngphápnghi êncứucủaluậnvănnàycòncóthểtiếptụcđượcápdụngchonhiềunộidungkháccủ amôntoánvàchocáclớp,cáccấphọckhácnhau.
Ngoàira,trongluậnvăncònđưathêmmộtsốvídụthựctiễnlànhữngbàitoáncầnsử dụngkiếnthứcvềtổhợp,mộtsốbàitoánnângcaođểgiáoviênv à họcsinhthamk h ả o , nhữngb à i toánđ ó phùhợpvớiđặcđ i ể m trườngTHPTChuyên.
Saukhinghiêncứulýluậnvàtổngkếtthựcnghiệmsưphạmtôithấygiáoviêncầnrè nluyệnkỹnănggiảitoántrongtừngbàihọccụthể,điềunàysẽkíchthíchtínhtòmò,hamtì mhiểukhámphácủahọcsinh,đồngthờicácemcũngphầnnàobiếtđượckiếnthứcToánh ọcđượcứngdụngtrongthựctiễncuộcsốngxungquanhmìnhnhưthếnào.Từđócácemcà nghamthíchvàthúcđẩyviệctựhọc,cũngnhưócsángtạocủacácem.Điềuđógiúpíchrất nhiềuchocôngviệccũngnhưcuộcsốngcủacác emsaunày.
Quaviệcthựchiệnluậnvăn,chúngtôiđãthunhậnđượcnhiềukiếnthứcbổí c h vềlýl uậnquacácsách,báo,tạpchívàcáccôngtrìnhnghiêncứuvềcáclĩnhvựcliênquanđếnđềt àicủaluậnvăn.Chúngtôihyvọngrằng,trongthờigiantiếptheonhữngt ư tưởngv à g i ải phápđãđ ư ợ c đềxuấts ẽt i ếpt ụcđượcthửnghiệm,khẳngđịnhtínhkhảthitrongviệcphá ttriểnkỹnăng,bồidưỡngtưduysángtạochohọcsinhtrườngchuyên.
(2004) Vaitròc ủacácbàitoánt ổhợptrongviệcrènluyệntưduytoánhọcvà kỹnănggiảitoán.NxbĐHSPHN.
Phươngphápluậnduyvậtbiệnchứngvớiv i ệcdạyhọc,nghiêncứutoánhọc,tập1.N xbĐHQGHN.
(2005) Đổimớiphươngphápd ạyh ọcmônToánTHPTn h ằmhìnhthànhvàpháttri ểnnăngl ự csángtạochohọcsinh.NxbGiáodục.
TRANGMẠNG INTERNET www.dien1dan1toan1hoc.n1et,www.mathl in1ks.ro, www Mathscope
Họcsinh: Sáchgiáokhoa,vởghi.Ôntậpcáckiếnthứcvềhaiquitắcđ ế m cơ bản.
Hỏi2.Cóbaonhiêusốtựnhiênchiahếtcho5,màtrongbiểudiễnthậpphâncủanó gồm6 chữsốphânbiệtvàkhôngcócácchữsố6,7,8,9. Đáp.Họcsinhlênbảnglàm(chiahaiphươngán).
Hỏi1 ChoA = { a , b , c } V iếttấtc ảcácchỉnhhợpchập2c ủaA.
Giáoviênhướngdẫnhọcsin hnhậnxét. Đáp1.Cácnhómthựchiệnyê ucầu.
ChotậpAgồmnphầ ntửvàsốnguyênk vớ i 1k n K h i l ấyrakphầntửcủaA vàsắpxếpchúngtheo mộtthứtự,tađượcm ộtchỉnhhợpchậpkc ủan phầntửcủaA.
Nhậnxét:Haichỉnhh ợpkhácnhaukhivàch ỉkhihoặccóítnhấtmộ tphầntửcủachỉnhhợ pnàykhônglàphầntử củachỉnhhợpkia,hoặ ccácphầntửcủahaic hỉnhh ợpgiốngnhaun hưngđượcsắpx ếpthe ot h ứtự khácnhau.
Hỏi1 ChotậphợpP gồm6điểmphânbiệt.Hỏitạon ênbaonhiêuvectơkhác
Mỗivectơcóthểxemlàmộtcỉ nhhợpchập2củatập6điểmđã cho.
6 b) Số các chỉnhhợp Địnhl í 2 : Sốcácch ỉnhh ợpchậpk của mộttậphợpcónphầ ntử (1k n) l à:
Hỏi1.Nhậnxétvềcáchchọnba nđạidiện? Đáp1.Mỗicáchchọnbanđại diệnl à mộtchỉnhhợpchập3c ủa20phầntử.
VíDụ1:Từ20họcsin hcầnchọnramộtbanđ ạidiệngồm1lớptrưở ng,1lớpphóvà1thưkí.Hỏicómấyc á c h
Hỏi3.Nhậnxétvềcáchviếtm ộtsốtựnhiêngồm5chữsốkhá cnhau?
Hỏi4.GọiHStính? Đáp2 Mỗicáchsắpxếplàm ộtchỉnhhợpchập4của6phầnt ử
– Sốcácsốcó5chữsốkhácnh au(kểcảsốcóchữsố0ởđầu)l ậptừ7chữsố trênlà: A 5
– Sốcácsốcó5chữsốkhácnh au( v ớic h ữs ố0 ở đầu)lậptừ7 chữsốtrênlà:
VíDụ2:Mộtngườim uốnxếp4photượngv àomộtd ã y 6chỗtrốn gtrênmộtkệtrangtrí.
VíDụ3 : Từc á c chữ số0,1,2,3,4, 5,6cóthểlậpđượcba onhiêus ốt ựnhiêngồ m5chữsốkhácnhau?
– Phânbiệthoánv ịv à chỉ nhhợp;cáchvậndụngđểg iảitoán.
VíDụ5:Có5bạnNhâ n, Nghĩa,Lễ,Trí, Dũng. a) Cóbaonhiêuc áchxếpcácbạ nđứngthành mộthàngdọc? b) Cóbaonhiêuc áchchọnhaib ạn,mộtbạnlà mbàitập1,bạn kialàmbàitập 2.
Tiếtdạy: 27 Bài2:H O Á N VỊ–CHỈNHHỢP–TỔHỢP(tiếptheo)
Họcsinh: Sáchgiáokhoa,vởghi.Ôntậpcáckiếnth ứcvềhai quitắcđ ế m cơ bản,hoánvị,chỉnhhợp.
Giáoviênhướngdẫn họcsinhrútranhậnxét. Đáp1 C á cnhómthựchiện yêucầu.
Trongmộttổhợp,khôngqu antâmđ ế nt h ứtực ủacácp hầntử.
ChotậpAcónphầntửvàsốn guyênk (1 k n) Mỗ itậpconcủaAcókphầntửgọ ilàmộttổhợpchậpkcủanp hầntửcủaA.
Nhậnxét:Haitổhợpkhácnh aukhiv à c h ỉkhic ó í t nhất mộtphầntửcủatổhợpnàykh ônglàp h ầnt ửcủatổhợpkia.
Giáoviênchohọcsin hgiảivídụ6(sáchgiáok hoa)đ ể củng
Mộtcáchsắpxếpmộttổhợ pchậpk c ủaA chot a mộtchỉ nhhợpchậpkcủa
Mộtt a m g i á c có3 đỉnhth uộcP làmộttậpcon b)Sốcáctổhợp Địnhlí3: Sốcáctổhợpchậ pkcủamộttậphợpcónphầ nt ử (1k n) là: k
Quiước C 0 1 thì(2) n cốđịnhlí3 gồm3phầntửcủa P.
Tínhchất1 : Chosốnguy êndươngnvàsốnguyênkv ới 0 k n Khi đó C k C n k n n
Tínhchất2: Chocácsống uyênn , k v ới 1k n Khiđó: C k C k
VíDụ1:Trongmộtlớpcó20 h ọcsinhnam,1 5 họcsinhn ữ.T h ầygiáochủnhiệmcầnc họn4họcsinhnamv à 3 h ọc sinhnữđithamgiachiếndịc h"Mùahèxanh"củaĐoàn.H ỏicóbaonhiêucáchchọn.
Bài7.Mộtbằngláixechứamộtdãy3kýtựalphbettheosaulàmộtdãy3chữsố.Cóbaonhi êubằngláixeđượctạothànhnếuovà0khôngcùngcómặt.
Bài8.Xácđịnhsốsốnguyêndươngnhỏhơn2016chứaítnhấtmộtchữsố1trongcáchviết thậpphân.
Bài9.Cóbaonhiêusốcó5chữsốlớnhơn21300saochocácchữsốcủanólàphânbiệtvà lấytừcácchữsố{1;2;3;4;5}.
Bài10.Có6viênbigồmhaiviênbixanh,haiviênbiđỏvàhaiviênbivàng.Hỏicóbaonhiê ucáchxếp6viênbithànhmộthàngsaochokhôngcóhaiviênbicùngmàuxếpcạnhnhau(cá cviênbichỉkhácnhauvềmàusắc)?
…;x ;y;z}làtậphợp26chữcáitiếngAnh.Tìmsốtừcó5kýtựsaochocáckýtựđượctạot hànhtừtậpE;vàkýtựđầuvàcuốilà cácnguyênâmphânbiệt,cáckýtựcònlạilà cácphụâmphânbiệt.
Bài12.Trongmộtcuộchọpcó7namvà3nữ.Cóbaonhiêucáchsắpxếphọthànhmộthà ngsaocho:
Câua.3ngườinữtạothànhmộtnhóm(nghĩalàkhôngcóngườinamnàongồig i ữahaingư ờinữ).
Bài13.Giữacácsố20000và70000,tìmsốcácsốnguyênchẵnmàcácchữsốphânbiệt. Bài14.Cho Slàtậphợpcácsốtựnhiênmàcác chữsốđượcchọntừ
Bài16.Chodãynhịphâncóchiềudàilà7.Hỏicóbaonhiêudãychứa3chữsố0và4chữsố1
Bài17.Tìmsốdãytamphâncóđộdàilà10có2chữsố0,3chữsố1và5chữsố2.
Bài18.Chotậphợp A1;2;3; ;18.Cóbaonhiêucáchchọnra5sốtrong tập Asaochohiệucủahaisốbấtkìtrong5sốđókhôngnhỏhơn2.
Bài19.Giảsửcó8ngườichơia;b;c;d;e;f;g;hthamdựmộtgiảitennisđơn.Ở vòngđầutiê n,họchiathành4cặpđểthiđấu.Hỏisốcáchsắpxếp.
Bài20.Chomộtđagiáclồicó16cạnh Chứngminhcóítnhấthaiđườngchéo màgócgiữachúngnhỏhơn
Câub.NamB1 và nữG1khôngngồikềnhau.Câuc.Khôngcónữnàongồi kềnhau.
Bài25.Cóbaonhiêusốtựnhiêncó3chữsốsaochotổngcácchữsốcủamỗisốl à 11. Bài26.Hãyxácđịnhsốhìnhvuôngmàcácđỉnhcủanólàcácđiểmtronglưới vuông10×10sau(10 điểm,9 ô).
PHỤ LỤC ĐỀKIỂM TRA THỰC NGHIỆM
9.Hỏitạođượcbaonhiêudãysốmàcácchữsố1,2,3đôimộtkhôngđứngcạnhnhau(kểcảb achữsố1,2,3khôngđứngcạnhnhau).
Bài3:Chotrướccácsốtựnhiênnvàk.Hãytínhsốcácánhxạ f: 1;2; ;n ¥sao cho f 1