Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 6: Ước lượng tham số - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

[r]

Bài 6: Ước lượng tham số

Bài 6: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Các kiến thức cần có

Mục tiêu

• Giới thiệu số khái niệm liên quan đến toán ước lượng tham số biến ngẫu nhiên: ước lượng điểm, ước lượng không chệch, ước lượng hiệu quả, ước lượng vững, … trình bày số kiến thức khái niệm ước lượng khoảng đưa phương pháp ước lượng số tham số thống kê thường gặp kỳ vọng, phương sai tỷ lệ

•Kiến thức ước lượng khoảng có ý nghĩa quan trọng chuẩn bị cho nội dung toán kiểm định giả thuyết

• Ước lượng điểm

• Khái niệm ước lượng điểm • Ước lượng khơng lệch • Ước lượng hiệu • Ước lượng vững • Ước lượng khoảng

• Khái niệm ước lượng khoảng

• Ước lượng khoảng cho kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

• Ước lượng khoảng cho phương sai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Bài 6: Ước lượng tham số

TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình

Để ước lượng phế phẩm dây chuyền sản xuất mua lại, công ty Thiên An kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm nhà máy sản xuất thấy có 12 phế phẩm Với độ tin cậy 95% , ước lượng tỷ lệ phế phẩm nhà máy Nếu muốn độ xác 0,03 phải lấy tối thiểu sản phẩm?

Câu hỏi

1 Nhà sản xuất cần phải xem chất lượng dây chuyền sản xuất Vấn đề đặt làm thể để nhà quản lý có thểước lượng tỷ lệ phế phẩm bình quân dây chuyền?

2. Khoảng ước lượng cho tỷ lệ phế phẩm nhà máy giám đốc muốn độ tin cậy cho ước lượng 95%?

Bài 6: Ước lượng tham số Trong ta xét toán ước lượng tham số, tốn quan có nhiều ứng dụng thống kê toán

Bài toán:

Cho biến ngẫu nhiên X với tham số θ chưa biết, dựa vào thông tin mẫu (X1, X2, …, Xn)

hãy ước lượng tham số θ

6.1. Ước lượng điểm 6.1.1. Khái niệm

Thống kê (hàm đa biến) Θ =* G(X , X , , X )1 2 n dùng làm ước lượng cho tham số θ gọi ước lượng điểm cho θ

Với mẫu cụ thể (x1, x2, …,xn), giá trị thống kê *

Θ θ =* G x , x , , x( 1 2 n), giá trị lấy làm giá trịước lượng tương ứng cho θ

Ví dụ 1:

Đối với biến ngẫu nhiên X, thống kê:

n i i

1

X X

n =

= ∑ ước lượng điểm cho: E(X)

θ = μ = Giá trị cụ thể ước lượng điểm x

Đối với tham số cho trước, có nhiều thống kê lấy làm ước lượng cho tham số (nói chung hàm đa biến có thểđược coi ước lượng tham số).Tuy nhiên,

người ta thường quan tâm đến ước lượng có tính chất “Tốt”, “Phù hợp” (theo nghĩa đấy) tham sốđang quan tâm “Không chệch”, “Hiệu quả” “Vững” tính chất tốt thường xét đến ước lượng tham số

6.2. Ước lượng không chệch CHÚ Ý

Thống kê hàm đa biến, mẫu ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Khi gán biến ngẫu nhiên vào vị trí đối số tương ứng hàm đa biến nói trên, ta thu

được biến ngẫu nhiên Lúc thống kê trở thành biến ngẫu nhiên ta

Bài 6: Ước lượng tham số

Ví dụ 2:

Thống kê n i

i

1

X X

n =

= ∑ ước lượng không chệch cho tham sốμ Thật vậy, ta có:

n n n

i i

i i i

1 1

E(X) E X E(X )

n = n = n =

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥= = μ = μ

⎢ ⎥

⎣ ∑ ⎦ ∑ ∑

Ví dụ 3:

Ta có:

n

2 2

i i

2 2

1 n

E(S ) E (X X)

n n

n n

E(S' ) E S E(S )

n n

=

⎡ ⎤ −

= ⎢ − ⎥= σ ≠ σ

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥= = σ

− −

⎣ ⎦

∑

Vậy S2 ước lượng chệch σ2và S’2 ước lượng không chệch σ2

6.2.1. Ước lượng hiệu

Định nghĩa 2:

Thống kê Θ* gọi ước lượng hiệu cho tham số θ E(Θ = θ*) Θ*có phương sai nhỏ ước lượng không chệch θ

6.2.2. Ước lượng vững

Định nghĩa

Thống kê Θ* gọi ước lượng vững cho θ nếu:

*

Bài 6: Ước lượng tham số

Ví dụ 4:

Theo Luật số lớn ta thấy thống kê

n i i

1

X X

n =

= ∑

ước lượng vững kỳ vọng μ

Trên số tính chất thường xét đến đánh giá thống kê dùng làm ước lượng cho tham số Trong thực hành, số tham sốđơn giản kỳ vọng phương sai, người ta quan tâm đến nhiều tham số khác phải có phương pháp thích hợp để tìm ước lượng cho tham số cần quan tâm

6.3. Ước lượng khoảng

Trong phần ta nói đến việc tìm ước lượng điểm cho tham số dựa vào liệu mẫu Tuy nhiên, vấn đề quan trọng làm đểđánh giá chất lượng ước lượng thu ước lượng điểm khó cho ta kết luận xác vềđộ sai lệch tham số ước lượng điểm Trong mục ta đưa cách tiếp cận khác đểước lượng tham sốđó ước lượng khoảng Phương pháp sử dụng rộng rãi tiến hành phép kiểm định lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, …

6.3.1. Khái niệm

• Khoảng với hai đầu mút ngẫu nhiên:

(L; U) (= L(X , X , , X ); U(X , X , , X )1 n n )

được gọi ước lượng khoảng (hai phía) cho tham số θ với độ tin cậy 1− α nếu:

{ n n }

P L(X , X , , X )< θ <U(X , X , , X ) = − α1 Khoảng (L;+∞) (−∞; U) gọi ước lượng phía cho θ với độ tin cậy 1− α nếu:

{ n } { n }

P L(X , X , , X )< θ =P θ <U(X , X , , X ) = − α1

Với mẫu cụ thể (x1,x2,…,xn) giá trị khoảng ước lượng cho θ là:

Bài 6: Ước lượng tham số

6.3.2. Ước lượng khoảng cho kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Cho biến ngẫu nhiên X ~ N( ,μ σ2) với tham số μ chưa biết mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…,Xn) có giá trị cụ thể (x1,x2,…,xn)

6.3.2.1. Trường hợp σ2 biết Từ tính chất phân phối chuẩn, ta có

2 X

X ~ N( ,μ σ / n) ; − μ n ~ N(0,1)

σ

Với độ tin cậy 1− α ta cần tìm điểm uα/ 2 cho:

/ /

/ /

X

P u n u

P X u X u

n n

α α

α α

⎧− < − μ < ⎫= − α

⎨ σ ⎬

⎩ ⎭

σ σ

⎧ − < μ < + ⎫= − α

⎨ ⎬

⎩ ⎭

trong phân vị uα/ 2 thoả mãn Φ0(uα/ 2) 1= − α/ Tra bảng phân phối chuẩn ta tìm uα/ 2

Với mẫu cụ thể (x1,x2,…,xn) ta có khoảng ước lượng (hai phía) cho μ là: / /

(x u ; x u )

n α n α

σ σ

μ ∈ − +

Tương tự ta có khoảng ước lượng phía μ là: • Ước lượng giá trị tối thiểu:

(x u ; )

n α σ

μ ∈ − + ∞

trong Φ0(u ) 1α = − α, tra bảng phân phối chuẩn ta tìm uα

• Ước lượng giá trị tối đa: ( ; x u )

n α σ μ ∈ −∞ +

a/2 L -a a/2

- ua/2 ua/2

Hình 1: Đồ thị phân phối chuẩn phân vị xác định khoảng tin cậy

CHÚ Ý

Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: normsinv (1-α/2) Tham khảo phần phụ lục

CHÚ Ý

Độ tin cậy 1− α thường

Bài 6: Ước lượng tham số

Ví dụ 5:

Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm 25 hộ gia đình vùng ta có bảng số liệu:

Thu nhập 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12 Số hộ

Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình vùng với độ tin cậy 95%, biết thu nhập biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ =0,

Giải:

Gọi X biến ngẫu nhiên thu nhập hộ gia đình vùng, ta có:

2

X ~ N( ;0, )μ

Từđó x 11,672= , 0(u / 2) 0,975 ; u0,025 1,96

α α

Φ = − = = Vậy khoảng ước lượng thu nhập trung bình μ là:

0, 0,

(11,672 1,96; 11,672 1,96) (11,594; 11,75)

25 25

μ ∈ − + =

Ví dụ 6:

(Xét Ví dụ 5) Hãy ước lượng giá trị tối thiểu giá trị tối đa mức thu nhập trung bình vùng với độ tin cậy 99%

Giải:

Ta có độ tin cậy 1− α =99% , α =0,01, tra bảng ta có: uα =u0,01=2,33

Ước lượng giá trị tối thiểu: 0,

(11,672 2,33; ) (11,579; + ) 25

μ ∈ − + ∞ = ∞

Ước lượng giá trị tối đa:

0,

( ;11,672 2,33) ( ;11,765) 25

Bài 6: Ước lượng tham số

n n

/ /

n n

/ /

X

P t n t ;

S'

S' S'

X t X t ,

n n − − α α − − α α ⎧ − μ ⎫

− < < = − α

⎨ ⎬

⎩ ⎭

⎧ − < μ < + ⎫= − α

⎨ ⎬

⎩ ⎭

trong phân vị tαn 1−/ 2 tìm từ bảng phân phối Student Vậy với mẫu cụ thể ta có khoảng ước lượng cho μ:

n n / /

s ' s '

x t ; x t

n n − − α α ⎛ ⎞ μ ∈⎜ − + ⎟ ⎝ ⎠

Tương tự ta có khoảng ước lượng phía là: • Ước lượng giá trị tối thiểu:

n

s ' x t ;

n − α ⎛ ⎞ μ ∈⎜ − + ∞⎟ ⎝ ⎠

phân vị tn 1α− tìm từ bảng phân phối Student • Ước lượng giá trị tối đa:

n

s ' ; x t

n − α ⎛ ⎞ μ ∈ −∞⎜ + ⎟ ⎝ ⎠

Ví dụ 7:

Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm 25 hộ gia đình vùng ta có bảng số liệu:

Thu nhập 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12 Số hộ

Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình vùng với độ tin cậy 95%, biết thu nhập biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

CHÚ Ý

Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: tinv(α,n-1) Tham khảo phần phụ lục

a/2 1 -a a/2

a/2 n-1 a/2

n-1

t t t

Bài 6: Ước lượng tham số

Giải:

Gọi X thu nhập hộ gia đình vùng, lúc

2

X ~ N( ;μ σ ), trường hợpσ chưa biết Ta có:

2

x 11,672, s'= =0,0188, s' 0,137 =

1− α =0,95 ; α =0,05

n 24 / 0,025

tα− =t =2,06

Vậy khoảng ước lượng cho thu nhập trung bình là: (11,62; 11,73)

μ ∈

Tương tự ta có khoảng ướng lượng phía Ước lượng giá trị tối thiểu:

n 24 0,05

tα− =t =1,71 0,137

11,672 1,71; ) (1,625; 25

⎛ ⎞

μ ∈⎜ − + ∞ = + ∞⎟

⎝ ⎠

Ước lượng giá trị tối đa: 0,137

( ; 11,672 1,71) ( ; 11,719) 25

μ ∈ −∞ + = −∞

6.3.2.3. Xác định cỡ mẫu

Ước lượng khoảng hai phía choμ trường hợpσđã biết là:

0

k=10 k=¥

k=1

x

Hình 3: Đồ thị phân phối Student với bậc tự khác

CHÚ Ý

Bài 6: Ước lượng tham số Ta thấy cỡ mẫu lớn độ sai lêch

giữa μ x nhỏ, ta gọi ε độ xác ước lượng Trong (*) ta thấy cho trước độ xác ước lượng ε0 cỡ mẫu tối thiểu là:

2 /

0

n =[(σ uα ) ] 1.+ ε

trong [ ] ký hiệu phần nguyên

Ví dụ 8:

(xét Ví dụ 5) cho trước độ xác 0,05 cần phải lấy mẫu điều tra Ta có ε =0 0,05; 0,2; σ = u0,025 =1,96

Vậy cỡ mẫu tối thiểu cần phải lấy là:

[ ]

2 0,

n [( 1,96) ] 61, 465 62 0,05

= + = + =

Tương tự trường hợp σ chưa biết ta có:

n /

s '

| x | t

n

− α

ε = − μ <

Vậy cho trước độ xác ε0 cỡ mẫu tối thiểu là:

n /

0

s '

n =[( tα− ) ] 1+

ε

Ví dụ 9:

Xét Ví dụ 7, xác định cỡ mẫu biết độ xác 0.05 Ta có: ε =0 0,05; s' 0,137; t= 240,025 =2,06

Vậy: n0 [(0,137 2,06) ] 12 [31,85 32.] 0,05

= × + = + =

6.3.3. Ước lượng khoảng cho phương sai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn

2

N( ;μ σ ) mẫu ngẫu nhiên

(X1, X2,…,Xn) có giá trị mẫu (x1, x2,…,xn) Khi

thống kê:

2

2

(n 1)S'− χ =

σ