Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 7 ước LƯỢNG các số đặc TRƯNG của TỔNG THỂ

Chương ƯỚC LƯỢNG CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ I ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM • Cho ĐLNN X có tham số θ (θ trung bình tổng thể µ, phương sai tổng thể σ2 tỷ lệ tổng thể p) cần ước lượng  Ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: WX = (X1, X2,…, Xn)  Chọn = ϕ(X1, X2,…, Xn) hàm ước lượng θ Khi hàm ĐLNN X1, X2,…, Xn nên ĐLNN  Với mẫu cụ thể (x1, x2,…, xn) nhận giá trị cụ thể Giá trị đgl giá trị ước lượng θ hàm đgl ước lượng điểm θ I ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng: Ước lượng không chệch: đgl ước lượng không chệch θ nếu: E() = θ Ước lượng hiệu quả: đgl ước lượng hiệu θ nếu: ước lượng khơng chệch θ có Var() nhỏ Ước lượng vững: đgl ước lượng vững θ nếu: ∀ε > bé tùy ý cho trước ta có: ( ) lim Pθ ˆ- θ < ε = n→∞ Ước lượng hợp lý tối đa I ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Các kết quả: Trung bình mẫu ước lượng không chệch, hiệu quả, vững, hợp lý tối đa trung bình tổng thể µ Tỷ lệ mẫu F ước lượng không chệch, hiệu quả, vững, hợp lý tối đa tỷ lệ tổng thể p Phương sai mẫu điều chỉnh S2 ước lượng không chệch, hiệu quả, vững phương sai tổng thể σ2 Phương sai mẫu ước lượng hợp lý tối đa phương sai tổng thể σ2 II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG  • ĐLNN X có tham số θ chưa biết cần ước lượng  Lập mẫu ngẫu nhiên: WX = (X1, X2,…, Xn)  Chọn thống kê G = ϕ(X1, X2,…, Xn, θ) cho: chưa biết giá trị θ quy luật PPXS G hồn tồn xác định  Khi đó, với xác suất α bé (thường lấy α≤0,05), ta tìm hai số a, b thỏa mãn: P(a ≤ G ≤ b) = - α (tức xác suất để G nhận giá trị khoảng (a,b) (1-α) lớn, khả xảy cao)  Từ ta tìm khoảng () cho: P() = - α II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG • Lưu ý: • Vì G ĐLNN nên ĐLNN, khoảng () đgl khoảng ngẫu nhiên • (1 - α) đgl độ tin cậy (hệ số tin cậy) ước lượng • () đgl độ dài khoảng tin cậy, số, ĐLNN • Với mẫu cụ thể (x1, x2,…, xn), ta tính giá trị cụ thể (θ1, θ2); ta tìm khoảng cụ thể (θ1, θ2) chứa θ II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng tỷ lệ: Dựa vào tính chất: n pq F = ∑ X i ~ N(p; ) (n ≥ 30) n i=1 n F-p ⇒Z= ~ N(0,1) pq n 0.45 0.4 Với độ tin cậy (1 - α), Z ~ N(0,1) nên ta tìm số zα/2 cho: 0.35 0.3 0.25 α/2 0.2 α/2 0.15 0.1 0.05 0 - 10 zα/ 12 II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng tỷ lệ: F-p P(- z α/2 ≤ ≤ z α/2 ) = - α pq n  pq pq  ⇔ P  F - z α/2 ≤ p ≤ F + z α/2 ÷=1-α n n   Khi n lớn với mẫu cụ thể ta xấp xỉ pq f(1–f) Φ(zα/2) = 0,5 - 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 α/2 α/2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 - zα/ 10 12 II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng tỷ lệ: Vậy khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) tỷ lệ tổng thể p tương ứng với mẫu cụ thể có dạng: (f - ε; f + ε), đó: f(1 - f) ε = z α/2 n Suy ước lượng khoảng phía trái & ước lượng khoảng phía phải? ε đgl độ xác ước lượng 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 α/2 α/2 0.15 0.1 0.05 0 - zα/ 10 12 II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: Dựa vào tính chất: n 1σ X = ∑ X i ~ N(μ; ) (n ≥ 30) n i=1 n Ta có trường hợp: n ≥ 30, σ biết n ≥ 30, σ chưa biết n < 30, σ biết n < 30, σ chưa biết α/2 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 α/2 0.15 0.1 0.05 0 - 10 zα/ 12 II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: n ≥ 30, σ biết : 0.45 0.4 0.35 0.3 X-μ ⇒Z= ~ N(0,1) α/2 σ n 0.25 0.2 α/2 0.15 0.1 0.05 0 10 12 zα/ Với độ tin cậy (1 - α), Z zα/ ~ N(0,1) nên 2ta tìm số zα/2 cho: P(- z α/2 X-μ ≤ ≤ z α/2 ) = - α σ n II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: n ≥ 30, σ biết : σ  ⇔ P  X - z α/2 μ X ≤ + ≤z n  σ  α/2 = -÷α n Vậy khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) trung bình tổng thể µ tương ứng với mẫu cụ thể có dạng: ( - ε; + ε), đó: σ ε = z α/2 n ε đgl độ xác ước lượng 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 α/2 α/2 0.2 0.15 0.1 0.05 0 - zα/ 10 12 II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: n ≥ 30, σ chưa biết : 0.45 0.4 0.35 0.3 X-μ ⇒Z= ~ T(n - 1) α/2 S n 0.25 0.2 α/2 0.15 0.1 0.05 0 10 12 zα/ zα/xỉ Z ~ N(0,1) Do Vì n ≥ 30 nên ta xấp hợp trên, ta suy đó, làm tương tự trường khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) trung bình tổng thể µ tương ứng với mẫu cụ s thể có dạng: ( - ε; + ε), đó: ε = z α/2 n II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: n < 30, σ biết ĐLNN gốc X có α/2 phân phối chuẩn: 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 α/2 0.15 0.1 X-μ ⇒Z= ~ N(0,1) σ n 0.05 0 10 12 zα/ zα/ 2 Do đó, làm tương tự trên, ta suy khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) trung bình tổng thể µ tương ứng với mẫu cụ thể σ có dạng: ( - ε; + ε), đó: ε = z α/2 n II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: n < 30, σ chưa biết ĐLNN gốc X có phân phối chuẩn: X-μ ⇒Z= ~ T(n - 1) S n 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 α/2 α/2 0.1 0.05 0 10 12 tα/2 tα/2 ta suy Do đó, làm tương tự trên, khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) trung bình tổng thể µ tương ứng với mẫu cụ thể s có dạng: ( - ε; + ε), đó: ε = t α/2 n III XÁC ĐỊNH ĐỘ TIN CẬY Ước lượng tỷ lệ: f(1 - f) Từ công thức: ε = z α/2 n ⇒ z α/2 = ε n ⇒ Độ tin cậy (1 - α) f(1 - f) Ước lượng trung bình: s Từ cơng thức: ε = z α/2 n ⇒ z α/2 ε n = ⇒ Độ tin cậy (1 - α) s IV XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU Ước lượng tỷ lệ: f(1 - f) Từ công thức: ε = z α/2 n f(1 - f) ⇒ n = (z α/2 ) ε Ước lượng trung bình: s Từ cơng thức: ε = z α/2 n s ⇒ n = (z α/2 ) ε Tổng kết chương • Ước lượng điểm trung bình, phương sai, tỷ lệ tổng thể? • Khoảng ước lượng trung bình, tỷ lệ tổng thể? • Xác định độ tin cậy? • Xác định kích thước mẫu? ... hàm ước lượng: ? ?Ước lượng không chệch: đgl ước lượng không chệch θ nếu: E() = θ ? ?Ước lượng hiệu quả: đgl ước lượng hiệu θ nếu: ước lượng khơng chệch θ có Var() nhỏ ? ?Ước lượng vững: đgl ước lượng. ..I ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM • Cho ĐLNN X có tham số θ (θ trung bình tổng thể µ, phương sai tổng thể σ2 tỷ lệ tổng thể p) cần ước lượng  Ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: WX = (X1, X2,…,... cho trước ta có: ( ) lim Pθ ˆ- θ < ε = n→∞ ? ?Ước lượng hợp lý tối đa I ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Các kết quả: Trung bình mẫu ước lượng không chệch, hiệu quả, vững, hợp lý tối đa trung bình tổng thể µ Tỷ