Về những bài toán tổ hợp và xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ “VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT” HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy Mặc dù nghiêm túc q trình tìm tịi, nghiên cứu chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q thầy bạn để luận văn em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thanh Tân Mục lục Mở đầu Chương 1: Những toán đếm 1.1 1.2 2.2 Cơ sở lý thuyết tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Giai thừa hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 1.1.4 Tổ hợp 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp Các dạng toán đếm 1.2.1 Các phương pháp đếm 1.2.2 Các toán đếm Chương 2: Những toán xác suất 2.1 23 Cơ sở lý thuyết xác suất 23 2.1.1 Một số định nghĩa xác suất 23 2.1.2 Quan hệ biến cố 26 2.1.3 Các cơng thức tính xác suất 28 Một số toán xác suất 31 2.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển 31 2.2.2 Tính xác suất công thức cộng nhân xác suất 37 2.2.3 Tính xác suất cơng thức xác suất có điều kiện 44 2.2.4 Tính xác suất cơng thức xác suất đầy đủ Bayes 48 2.2.5 Tính xác suất công thức Becnoulli 57 2.2.6 Tính xác suất định nghĩa hình học 62 2.2.7 Các toán biến ngẫu nhiên rời rạc 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu Tổ hợp xác suất lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm, khai thác ứng dụng nhiều vào đời sống sản xuất Hiện giáo dục phổ thông, tổ hợp xác suất nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học, cao đẳng, chí kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Mặc dù nội dung khơng khó học sinh thường xun gặp khó khăn giải toán này, toán liên quan đến xác suất Luận văn chủ yếu tập trung vào dạng toán xác suất, từ giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc toán liên quan đến xác suất Luận văn chia thành hai chương Chương Những toán tổ hợp Chương Những toán xác suất Tất toán tổ hợp chương móng để xây dựng giải số toán xác suất chương Hy vọng tài liệu hữu ích giảng dạy học tập thầy, cô em học sinh Chương Những toán đếm Chương ta nhắc lại số lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, số nguyên lý đếm tập có liên quan chương trình phổ thông 1.1 1.1.1 Cơ sở lý thuyết tổ hợp Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B , có n cách thực phương án A, m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n + m cách Tổng qt, giả sử mơt cơng việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak , có n1 cách thực phương án A1 , n2 cách thực phương án A2 , , nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc thực n1 + n2 + · · · + nk cách Biểu diễn dạng tập hợp Số phần tử tập hữu hạn A kí hiệu |A| Nếu A1 , A2 , , An n tập hữu hạn, đơi khơng giao |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | hay n n |Ak | Ak = k=1 k=1 Quy tắc nhân Giả sử công việc bao gồm hai cơng đoạn A B , cơng đoạn A làm theo n cách, cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo nm cách Tổng quát, giả sử công việc bao gồm k cơng đoạn A1 , A2 , , Ak , ơng đoạn A1 thực theo n1 cách, cơng đoạn A2 thực theo n2 cách, cơng đoạn A3 thực theo n3 cách, , công đoạn Ak thực theo nk cách Khi cơng việc thực theo n1 n2 nk cách Biểu diễn dạng tập hợp Nếu A1 , A2 , , An n tập hữu hạn với |Ak | = mk (k = 1, 2, , n) Khi n |A1 × A2 × · · · × An | = m1 × m2 × · · · × mn = mk k=1 1.1.2 Giai thừa hoán vị Giai thừa Định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n! tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n n! = · · · · · (n − 1) · (n), n ∈ N∗ Quy ước 0! = 1, 1! = Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử Pn = n! = · · · · (n − 1)n 1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Công thức Akn = n! = n(n − 1)(n − k + 1) (với ≤ k ≤ n) (n − k)! Chú ý Một chỉnh hợp chập n n phần tử hoán vị n phần tử Ann = Pn = n! 1.1.4 Tổ hợp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử n ≥ Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (1 ≤ k ≤ n) Kí hiệu Cnk (1 ≤ k ≤ n) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức Cnk = n! k!(n − k)! Chú ý Cn0 = Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) k+1 (1 ≤ k ≤ n) Cnk + Cnk+1 = Cn+1 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hốn vị có lặp tổ hợp có lặp Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi dãy có độ dài k phần tử A, mà phần tử lặp lại nhiều lần xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Chú ý Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nk Hoán vị lặp Định nghĩa Hốn vị phần tử xuất lần gọi hoán vị lặp Chú ý Số hoán vị lặp n phần tử k loại, mà phần tử từ loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất n lần kí hiệu P (n1 , n2 , , nk ) tính công thức P (n1 , n2 , , nk ) = n! n1 !n2 ! nk ! Tổ hợp lặp Định nghĩa Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Một tổ hợp chập m (m không thiết phải nhỏ n) n phần tử thuộc A gồm m phần tử, mà phần tử phần tử A Chú ý Số tổ hợp có lặp chập m n phần tử n−1 m Cnm = Cn+m−1 = Cn+m−1 1.2 Các dạng toán đếm 1.2.1 Các phương pháp đếm Phương pháp đếm trực tiếp Tùy theo tốn ta chia trường hợp hay không chia trường hợp để đếm trường hợp thỏa mãn yêu cầu toán Phương pháp đếm vị trí + B1 Chọn vị trí cho số thứ theo yêu cầu toán, suy số vị trí cho số + B2 Sắp xếp số lại Phương pháp đếm loại trừ + B1 Đếm số phương án xảy ta có kết n1 + B2 Đếm số phương án khơng thỏa mãn u cầu tốn ta có kết n2 + B3 Số phương án n = n1 − n2 Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp Phương pháp lấy trước xếp sau + B1 Chọn trước cho đủ số lượng thỏa mãn tích chất mà toán yêu cầu + B2 Sắp xếp Phương pháp dùng cho tốn có xếp, cạnh nhau, có mặt Phương pháp tạo vách ngăn + B1 Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí tạo m + vách ngăn + B2 Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu toán vào m + vách ngăn Công thức bao hàm loại trừ Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Từ với ba tập hữu hạn A1 , A2 , A3 ta có |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − |A2 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , , Ak ta có |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 − + (−1)k−1 Nk , Nm (1 ≤ m ≤ k ) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | Nm = 1≤i1 y − x ⇔  (y − x) + (l − y) > x  l  y>    l y 1) c) Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X 67 Lời giải Gieo mơt đồng tiên ba lần khơng gian mẫu có 23 = phần tử a) Tập giá trị X {0, 1, 2, 3} Ta có 3 P (X = 0) = , P (X = 1) = , P (X = 2) = , P (X = 3) = 8 8 Bảng phấn bố xác suất X X P 8 b) P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = 8 1 + = 8 c) Kỳ vọng 3 E(X) = + + + = 1, 8 8 Phương sai 3 V (X) = 02 + 12 + 22 + 32 − (1, 5)2 = 0, 75 8 8 Độ lệch chuẩn σ(X) = V (X) = 0, 866 Bài tập 2.63 Gieo xúc sắc cân đối ba lần Gọi X số lần xúc sắc xuất mặt sáu chấm a) Lập bảng phân bố xấc suất X b) Tính E(X) V (X) Lời giải a) Gọi Ai biến cố “lần gieo thứ i cho ta mặt chấm” (i = 1, 2, 3), H biến cố “có lần giéo xúc sắc xuất mặt chấm” Ta có H = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 P (X = 1) = P (H) = P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 ) 25 25 25 75 + + = = 216 216 216 216 68 X P 125 216 75 216 15 216 216 Tương tự P (X = 2) = 15 + P (X = 3) = 216 216 Vậy bảng phân phối xác suất X b) Kỳ vọng E(X) = 125 75 15 + + + = 0, 216 216 216 216 Phương sai V (X) = 02 75 75 75 125 + 12 + 22 + 32 − (0, 5)2 = 216 216 216 216 12 Bài tập 2.64 Số ca cấp cứu bệnh viện vào tối thứ biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất sau Biết có ca cấp X P 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 cứu phải tăng cường thêm bác sĩ trực a) Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ b) Tính xác suât để xảy ca cấp cứu vào tối thứ Lời giải a) Vì có hai ca cấp cứu phải tăng cường thêm bác sĩ trực nên xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0, + 0, + 0, 05 = 0, 35 b) Xác suất để xảy ca cấp cứu vào tối thứ bảy P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0, + 0, + 0, + 0, + 0, 05 = 0, 85 69 Bài tập 2.65 Anh A hàng ngày từ nhà đến quan phải qua bốn ngã tư có cột đèn tín hiệu giao thơng, xác suất gặp đền đỏ ngã tư 0,4 thời gian chờ đèn đỏ trung bình lần ba phút a) Lập bảng phân bố xác xuất theo số lần anh A gặp đèn đỏ b) Hỏi trung bình lần từ nhà tới quan anh A phải chờ đèn đỏ phút Lời giải a) Gọi X biến ngẫu nhiên số ngã tư anh A gặp đèn đỏ lần từ nhà đến quan, X nhận giá trị {0, 1, 2, 3, 4} Ta có P (X = k) = C4k 0, 4k 0, 64−k , k = 0, 1, 2, 3, Vậy P (X = 0) = C40 0, 40 0, 64 = 0, 1296, P (X = 1) = C41 0, 41 0, 63 = 0, 3456, P (X = 2) = C42 0, 42 0, 62 = 0, 3456, P (X = 3) = C43 0, 43 0, 61 = 0, 1536, P (X = 4) = C44 0, 44 0, 60 = 0, 0256 Bảng phân bố xác suất X X P 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 b) Kỳ vọng E(X) = x0 p0 + x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 = 0.0, 1296 + 1.0, 3456 + 2.0, 3456 + 3.0, 1536 + 4.0, 0256 = 1, Vậy thời gian trung bình lần từ nhà đến quan anh A phải chờ đèn đỏ 1, 6.3 = 48 70 Bài tập 2.66 (xem [2]) Hai xạ thủ độc lập với bắn vào bia Mỗi người bắn viên Xác suất bắn trúng xạ thủ thứ 0,7, xạ thủ thứ hai 0,8 Gọi X số viên đạn trúng bia Tính kỳ vọng X Bài tập 2.67 (xem [6]) Xác suất bắn trúng vòng 10 An 0,4; An bắn lần Gọi X số lần trúng vòng 10 a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X) V (X) Bài tập 2.68 Chọn ngẫu nhiên ba đứa trẻ sáu trai bốn gái Gọi X số bé gái số ba đứa trẻ chọn Lập bảng phân bố X, tính E(X), V (X) Bài tập 2.69 Có hai túi, túi thứ chứa ba thẻ đánh số 1, 2, túi thứ hai bố thẻ đánh số 4, 5, 6, Rút ngẫu nhiên từ túi thẻ cộng hai số ghi hai thẻ với Gọi X số thu a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X), V (X), σ(X) Bài tập 2.70 Một trắc nghiệm có bốn câu Mỗi câu có năm phương án trả lời có phương án Nếu trả lời năm điểm, trả lời sai không điểm An làm thi cách chọn ngẫu nhiên phương án trả lời Gọi X tổng số điểm An nhận a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X), V (X), σ(X) 71 Kết luận Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết lý thuyết tổ hợp xác suất Các tập ví dụ tác giả chọn lọc tỉ mỉ phong phú nhằm làm bật phần lý thuyết trình bày Cụ thể chương một, tác giả phân tích số dạng tốn tổ hợp hay gặp chương trình phổ thông, đồng thời kết hợp với số tập nâng cao nhằm phát triển tư cho học sinh Ở chương hai, tác giả sâu vào số dạng toán xác suất, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với đối tượng học sinh Đặc biệt phần xác suất nâng cao, tác giả nhiều cách giái cho toán xác suất, từ giúp người đọc có nhận thức sâu sắc xác suất, mảng kiến thức mà học sinh trung học phổ thơng cịn mơ hồ Mặc dù nghiêm túc, cố gắng trình làm luận văn thời gian lực thân nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận góp ý, bổ sung thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 72 Tài liệu tham khảo [1] Các chuyên đề tổ hợp xác suất mạng internet [2] Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đồn Quỳnh, Ngơ Xn Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, “Bài tập đại số giải tích 11 nâng cao”, NXB Giáo dục, 2007 [3] Đào Hữu Hồ,“Hướng dẫn giải toán xác suất ứng dụng”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996 [4] Đào Hữu Hồ, “Xác suất thống kê”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996 [5] Hoàng Hữu Như, Nguyễn Văn Hữu, “Bài tập xác suất thống kê toán học”, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1976 [6] Lê Hồnh Phị, “Phân loại phương pháp giải toán tổ hợp xác suất”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [7] Đặng Hùng Thắng, “Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 73 ... Chương Những toán tổ hợp Chương Những toán xác suất Tất toán tổ hợp chương móng để xây dựng giải số toán xác suất chương Hy vọng tài liệu hữu ích giảng dạy học tập thầy, cô em học sinh Chương Những. .. 2.2.3 Tính xác suất cơng thức xác suất có điều kiện 44 2.2.4 Tính xác suất công thức xác suất đầy đủ Bayes 48 2.2.5 Tính xác suất cơng thức Becnoulli 57 2.2.6 Tính xác suất định... thức tính xác suất 28 Một số toán xác suất 31 2.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển 31 2.2.2 Tính xác suất cơng thức cộng nhân xác suất