Một số bài toán tổ hợp đếm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Lê Anh Vinh Hà Nội – Năm 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.1 Nhắc lại tập hợp 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.3 Giai thừa hoán vị 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp 1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp tổ hợp lặp 1.5.1 Chỉnh hợp lặp 1.5.2 Hoán vị lặp 1.5.3 Tổ hợp lặp Error! Bookmark not defined CHƯƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN Error! Bookmark not defined 2.1 Một số toán đếm không lặp Error! Bookmark not defined 2.1.1 Bài toán lập số Error! Bookmark not defined 2.1.2 Bài toán chọn vật, chọn người, xếp Error! Bookmark not defined 2.1.3 Bài toán tương tự Error! Bookmark not defined 2.2 Một số toán đếm có lặp Error! Bookmark not defined 2.2.1 Bài toán lập số Error! Bookmark not defined 2.2.2 Bài toán đếm sử dụng tổ hợp lặp Error! Bookmark not defined 2.2.3 Bài toán đếm sử dụng chỉnh hợp lặp Error! Bookmark not defined 2.2.4 Bài toán đếm sử dụng hoán vị lặp Error! Bookmark not defined 2.2.5 Bài toán phân bố đồ vật vào hộp Error! Bookmark not defined 2.2.6 Bài toán tương tự Error! Bookmark not defined CHƯƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO Error! Bookmark not defined 3.1 Một số toán sử dụng nguyên lý bù trừ Error! Bookmark not defined 3.1.1 Nguyên lý bù trừ Error! Bookmark not defined 3.1.2 Các toán giải phương pháp bù trừ Error! Bookmark not defined 3.2 Một số toán giải phương pháp song ánh Error! Bookmark not defined 3.2.1 Phương pháp song ánh Error! Bookmark not defined 3.2.2 Các toán tổ hợp giải phương pháp song ánh Error! Bookmark not defined 3.3 Một số toán giải phương pháp hàm sinh Error! Bookmark not defined 3.3.1 Bài toán chọn phần tử riêng biệt Error! Bookmark not defined 3.3.2 Bài toán chọn phần tử có lặp Error! Bookmark not defined 3.4 Một số toán giải phương pháp hệ thức truy hồi Error! Bookmark not defined 3.4.1 Khái niệm mở đầu mô hình hóa hệ thức truy hồi Error! Bookmark not defined 3.4.2 Các toán tổ hợp giải hệ thức truy hồi Error! Bookmark not defined 3.4.3 Các toán tương tự Error! Bookmark not defined 3.5 Bài toán giải nguyên lí cực hạn - khả xảy nhiều nhất, Error! Bookmark not defined 3.6 Bài toán giải phương pháp xếp thứ tự Error! Bookmark not defined 3.7 Bài toán giải phương pháp liệt kê trường hợp Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN .Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp lĩnh vực nghiên cứu từ sớm Hiện giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học cao đẳng nước ta Mặc dù mức độ không khó học sinh gặp khó khăn giải toán Còn kỳ thi Quốc gia Quốc tế, toán tổ hợp có mặt thử thách thực với thí sinh, chí định thành tích đội tuyển dự thi Trong luận văn đề cập đến số toán tổ hợp toán học phổ thông, cụ thể toán tổ hợp sử dụng phương pháp đếm từ đến nâng cao Đây coi tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh THPT chủ đề Luận văn gồm ba chương: Chương 1- Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2- Một số toán tổ hợp Chương 3- Một số toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên toán tổ hợp luận văn ít, chưa có nhiều toán khó Ngoài khoá luận tránh khỏi sai sót nhiều góc độ, mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn CHƯƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP Chương nhắc lại số lý thuyết tập hợp hệ thống lý thuyết toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ bản, nâng cao hệ chuyên nghành toán 1.1 Nhắc lại tập hợp Tập hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A Tập hợp B gọi tập tập A phần tử tập B thuộc A B  A   x  B  x  A Tính chất: - Mọi tập hợp A có tập  A - Tập A có n phần tử số tập A 2n Tập hợp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có m phần tử gọi thứ tự với phần tử tập hợp ta cho tương ứng số tự nhiên từ đến m , cho với phần tử khác ứng với số khác Khi thứ tự m phần tử dãy hữu hạn m phần tử hai thứ tự  a1 , a2 , , am   b1 , b2 , , bm  phần tử tương ứng  a , a , , a  =  b , b , , b   = bi m m i  1,2, , m Số phần tử số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử số phần tử A kí hiệu là: A n  A A, B, C tập hợp hữu hạn, A B  A  B  A B A B C  A  B  C  A B  B C  C  A  A B C Tổng quát: Cho A1, A2 , , An n tập hợp hữu hạn (n  1) Khi │ A1  …  n +  n An │=  1i  k l  n i 1 Ai  n  1i  k  n Ai  Ak  n 1 Ai  Ak  Al +…+ (1) A1  A2   An 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Định nghĩa (Tài liệu chuẩn kiến thức 12) Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực không trùng với cách hành động thứ công việc có m + n cách thực Tổng quát Một công việc hoàn thành hành động T1, T2 , , Tn T1 có m1 cách thực T2 có m2 cách thực Tn có mn cách thực Giả sử hai việc làm đồng thời công việc có m1  m2   mn cách thực Biểu diễn dạng tập hợp: Nếu X , Y hai tập hợp hữu hạn, không giao X Y  X  Y Nếu X1, X , , X n n tập hữu hạn, đôi không giao X1  X   X n  X1  X   X n Nếu X , Y hai tập hữu hạn X  Y X Y\X Y  X Quy tắc nhân (Tài liệu chuẩn kiến thức 12) Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực hiên hai công việc nhỏ H1 H2 Trong đó: H1 làm n1 cách H làm n2 cách, sau hoàn thành công việc H1 Khi để thực công việc H có n1.n2 cách Tổng quát Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực k công việc nhỏ H1 , H ,…, H k đó: H1 làm n1 cách H làm n2 cách, sau hoàn thành công việc H1 … H k làm nk cách, sau hoàn thành công việc H k 1 Khi để thực công việc H có n1.n2 nk cách Biểu diễn dạng tập hợp: Nếu A1, A2 , , An n tập hợp hữu hạn  n  1 , số phần tử tích đề các tập hợp tích số phần tử tập thành phần Để liên hệ với quy tắc nhân nhớ việc chọn phần tử tích đề A1  A2   An tiến hành cách chọn phần tử A1 , phần tử A2 ,…, phần tử An Theo quy tắc nhân ta nhận đẳng thức: A1  A2   An  A1 A2 An 1.3 Giai thừa hoán vị Giai thừa Định nghĩa: Giai thừa n , kí hiệu n ! tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n n!  1.2.3. n  1  n  , n , n >1 Quy ước : 0!= 1!= Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp A , gồm n phần tử (n  1) Một cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu: Pn số hoán vị n phần tử Pn  n !  1.2 n  1 n 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Kí hiệu: Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Công thức: Ank = n! = n. n  1 n  k  1 (với  k  n ) (n  k )! Chú ý Một chỉnh hợp n chập n gọi hoán vị n phần tử Ann  Pn  n! Tổ hợp Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử ( n  1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (1  k  n ) Kí hiệu: C kn (1  k  n ) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức: C kn = n! k !(n  k )! Chú ý C n = n k Cn  Cn k (0  k  n) k k 1 k 1 C n + C n = C n1 (1  k  n ) 1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp tổ hợp lặp 1.5.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa (Phương pháp giải toán tổ hợp) Một cách xếp có thứ tự r phần tử lặp lại tập n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Nếu A tập gồm n phần tử chỉnh hợp phần tử tập Ar Ngoài ra, chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nk Định lý 1.5.1 Số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử n r Chứng minh Rõ ràng có n cách chọn phần tử từ tập n phần tử cho r vị trí chỉnh hợp cho phép lặp Vì theo quy tắc nhân, có n r chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Chú ý Số chỉnh hợp lặp chập p n phần tử n p Như chỉnh hợp có lặp lại phần tử yếu tố thứ tự cốt lõi, yếu tố khác biệt không quan trọng 1.5.2 Hoán vị lặp Trong toán đếm, số phần tử giống Khi cần phải cẩn thận, tránh đếm chúng lần Định lý 1.5.2 Số hoán vị n phần tử có n1 phần tử thuộc loại 1, có n2 phần tử thuộc loại 2, … có nk phần tử thuộc loại k n! n1 !n2 ! nk ! Chứng minh Để xác định số hoán vị trước tiên nhận thấy có Cnn cách giữ n1 số cho n1 phần tử loại 1, lại n – n1 chỗ trống Sau có Cnnn cách đặt n2 phần tử loại vào hoán vị, lại n – n1 – n2 chỗ trống Tiếp tục đặt phần tử loại 3, loại , … , loại k – vào chỗ trống hoán vị Cuối có Cnnn n  n cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị k k 1 Theo quy tắc nhân tất hoán vị là: Cnn1 Cnn2 n1 Cnnk n1  nk 1  n! n1 !n2 ! nk ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (1994), Tài liệu chuẩn kiến thức lớp 12, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán tổ hợp,Nhà xuất Hà Nội Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2009), Giải tích toán học rời rạc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Tạp chí toán học tuổi trẻ , Nhà xuất Giáo dục [...]... có n cách chọn một phần tử từ tập n phần tử cho mỗi một trong r vị trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp Vì vậy theo quy tắc nhân, có n r chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Chú ý Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là n p Như vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng 1.5.2 Hoán vị lặp Trong bài toán đếm, một số phần tử có... Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán tổ hợp, Nhà xuất bản Hà Nội 3 Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2009), Giải tích toán học rời rạc, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 4 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 5 Tạp chí toán học tuổi trẻ , Nhà xuất bản Giáo dục 8 ... phần tử có thể giống nhau Khi đó cần phải cẩn thận, tránh đếm chúng hơn một lần Định lý 1.5.2 Số hoán vị của n phần tử trong đó có n1 phần tử như nhau thuộc loại 1, có n2 phần tử như nhau thuộc loại 2, … và có nk phần tử như nhau thuộc loại k bằng n! n1 !n2 ! nk ! Chứng minh Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ta nhận thấy có Cnn cách giữ 1 n1 số cho n1 phần tử loại 1, còn lại n – n1 chỗ trống Sau