Luận án đã đưa ra chứng minh khác ngắn gọn hơn chứng minh của Hart và Iosevich cho tập khoảng cách và tập tích trên trường hữu hạn, tìm điều kiện để tập khoảng cách và tập tích trên trường hữu hạn có bậc lớn nhất có thể.
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC ———————————- ĐỖ DUY HIẾU TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC PHƯƠNG PHÁP PHỔ CỦA ĐỒ THỊ TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN TỔ HỢP CỘNG TÍNH Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học Mã số: 9.46.01.10 Hà Nội - 2019 Luận án hoàn thành tại: Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Anh Vinh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp Viện họp Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi ngày tháng năm 2019 Bảng kí hiệu Cho p số nguyên tố lẻ, r ≥ số tự nhiên q = pr | A| lực lượng tập hợpA Zq vành hữu hạn có q phần tử Z0q tập phần tử không khả nghịch Zq Z× q tập phần tử khả nghịch Zq Fq trường hữu hạn có q phần tử F∗q phần tử khác trường hữu hạn Fq Cho f , g hàm số theo biến t g ∈ o( f ) có nghĩa g(t)/ f (t) → t → ∞ f g có nghĩa g ∈ o ( f ) f g có nghĩa tồn số c > 0, cho f ≥ cg t đủ lớn f = Θ( g) có nghĩa tồn số c1 , c2 > cho c1 f ≤ g ≤ c2 f t đủ lớn Cho G = (V, E) đồ thị ( x, y) cạnh có hướng từ x đến y { x, y} cạnh vô hướng x y đồ thị G Lời mở đầu Một tốn mở cổ điển hình học tổ hợp toán khoảng cách Erd˝os [11] Bài tốn u cầu tìm số khoảng cách khác tối thiểu xác định tập N điểm mặt phẳng Euclid Erd˝os gọi số khoảng cách tối thiểu g( N ) giả thuyết g( N ) √N LogN Dựa khẳng định hình học đơn giản đường tròn, ơng chứng minh g( N ) N 1/2 Số mũ 1/2 cải thiện cách chậm chạp vòng 50 năm qua loạt lý luận phức tạp sử dụng công cụ từ nhiều lĩnh vực khác toán học Tháng 11 năm 2010, Guth Katz [13] chứng minh khẳng định gần tối ưu toán này: tập N điểm mặt phẳng có g( N ) N LogN khoảng cách phân biệt Cùng với toán đánh giá lực lượng tập khoảng cách nhiều toán đánh giá lực lượng tập hợp nhiều người quan tâm, đánh giá lực lượng tập tích vơ hướng, đánh giá tổng - tích, đánh giá lực lượng tập thể tích khối, tìm hàm nở Trong Luận án này, sử dụng (n, d, λ) - đồ thị Bổ đề trộn nở để nghiên cứu toán tổ hợp cộng tính Những kết Luận án trình bày Chương Chương Trong Chương 3, sử dụng phương pháp phổ đồ thị dựa vào (n, d, λ) - đồ thị Bổ đề trộn nở để nghiên cứu số toán tập khoảng cách, tập tích, tập thể tích khối, tập tổng - tỉ số, hàm nở hai biến Trong Chương 4, thay Bổ đề trộn nở Bổ đề trộn nở mở rộng Bổ đề trộn nở mở rộng cho đồ thị có hướng phương pháp phổ đồ thị để nghiên cứu, tổng quát kết tập khoảng cách đa tạp quy Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận kề Giả sử G = (V, E) đơn đồ thị vơ hướng có tập đỉnh V, tập cạnh E Đồ thị G có n đỉnh Khơng tính tổng qt, ta đánh số đỉnh đồ thị số 1, 2, , n Khi ta biểu diễn đồ thị ma trận vuông A = ( j )n×n Ma trận kề đồ thị G định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 ([7, Định nghĩa 2.1]) Cho G = (V, E) đơn đồ thị, ma trận kề A = ( j )n×n G xác định sau: 1 {i, j} ∈ E, j = 0 {i, j} ∈ / E Chúng ta lưu ý rằng, {i, j} ∈ E { j, i } ∈ E nên j = a j i Do ma trận kề A ma trận đối xứng 1.2 Phổ đồ thị Ma trận kề đồ thị vơ hướng có tính đối xứng, có đầy đủ giá trị riêng thực có sở trực giao vectơ riêng Chúng ta có định nghĩa phổ đồ thị sau: Định nghĩa 1.2.1 ([7, Chương 2]) Phổ đồ thị G tập giá trị riêng (tính bội) ma trận kề đồ thị G Lý thuyết phổ đồ thị xuất lần vào năm 1950 Đối với đồ thị với số đỉnh nhỏ, cách đơn giản để tìm phổ tìm nghiệm đa thức đặc trưng χ( x ) = det( A − xI ) Đối với đồ thị có kích thước lớn việc tính phổ đồ thị thơng qua tìm nghiệm đa thức đặc trưng gặp khó khăn 1.3 (n, d, λ) - đồ thị Bổ đề trộn nở Cho đồ thị G, gọi λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn giá trị riêng ma trận kề G Đại lượng λ( G ) = max{λ2 , |λn |} gọi giá trị riêng thứ hai G Đồ thị G = (V, E) gọi (n, d, λ) - đồ thị đồ thị d - quy, có n đỉnh giá trị riêng thứ hai G bị chặn λ Kí hiệu E(S, T ) số cặp có thứ tự (s, t) cho s ∈ S, t ∈ T (s, t) cạnh G Bổ đề trộn nở sau công cụ quan trọng phương pháp phổ đồ thị để nghiên cứu tốn tổ hợp cộng tính Bổ đề 1.3.1 (Bổ đề trộn nở, [1]) Giả sử G = (V, E) (n, d, λ) - đồ thị với hai tập S, T ⊂ V, ta có: E(S, T ) − d|S|| T | ≤λ n |S|| T | Hanson, Lund Roche-Newton [14] chứng minh kết tương tự Bổ đề trộn nở cho số cạnh hai đa tập đỉnh Cụ thể, ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.3.2 (Bổ đề trộn nở mở rộng, [14]) Cho G = (V, E) (n, d, λ) - đồ thị Cho B C hai đa tập đỉnh G, đó: E( B, C ) − d| B||C | ≤λ n ∑ m B ( b )2 ∑ m C ( c )2 b∈ B c∈C với m X ( x ) bội x X Cho G = (V, E) đồ thị có hướng có n đỉnh thỏa mãn | N + ( x )| = | N − ( x )| = d với x ∈ V, N + ( x ) tập đỉnh đỉnh x, N − ( x ) tập đỉnh vào đỉnh x Chúng ta định nghĩa ma trận kề G AG sau: 1 (i, j) ∈ E, aij = 0 (i, j) ∈ / E Giả sử λ1 = d, λ2 , , λn giá trị riêng AG Các giá trị riêng có giá trị phức nên khơng thể xếp chúng chứng minh |λi | ≤ d với ≤ i ≤ n Chúng ta định nghĩa λ( G ) = max|λi |=d |λi | Ma trận A ma trận chuẩn tắc At A = AAt , với At ma trận chuyển vị A Ta nói đồ thị có hướng đồ thị chuẩn tắc ma trận kề ma trận chuẩn tắc Cho đồ thị chuẩn tắc G, gọi N + ( x, y) tập đỉnh z cho ( x, z), (y, z) cạnh G N − ( x, y) tập đỉnh z cho (z, x ), (z, y) cạnh G Ta chứng minh đồ thị G đồ thị chuẩn tắc | N + ( x, y)| = | N − ( x, y)| với cặp đỉnh x, y Đồ thị có hướng G gọi (n, d, λ) - đồ thị có hướng G đồ thị chuẩn tắc có n đỉnh, d - quy (tức | N + ( x )| = | N − ( x )| = d với đỉnh x) λ( G ) ≤ λ Cho G (n, d, λ) - đồ thị có hướng với hai tập đỉnh B, C ⊂ V Gọi E ( B, C ) số cặp (b, c) cho b ∈ B, c ∈ C (b, c) ∈ E( G ), E( G ) tập cạnh đồ thị G Vu [29] phát triển mở rộng Bổ đề trộn nở cho đồ thị có hướng sau: Bổ đề 1.3.3 (Bổ đề trộn nở cho đồ thị có hướng, [29]) Cho G = (V, E) (n, d, λ) - đồ thị có hướng Với hai tập đỉnh B, C ⊂ V, ta có: d E ( B, C ) − | B||C | ≤ λ n | B||C | Sử dụng kĩ thuật tương tự chứng minh [14, Bổ đề 16] [29, Bổ đề 3.1], thu kết sau: Bổ đề 1.3.4 (Bổ đề trộn nở mở rộng cho đồ thị có hướng) Cho G = (V, E) (n, d, λ) - đồ thị có hướng Cho B C hai đa tập đỉnh đồ thị G, ta có: d E ( B, C ) − | B||C | ≤ λ n ∑ m B ( b )2 ∑ m C ( c )2 b∈ B với m X ( x ) bội x X c∈C Chương Một số (n, d, λ) - đồ thị (n, d, λ) - đồ thị cơng cụ phương pháp phổ đồ thị mà sử dụng chương Lưu ý rằng, cần xây dựng đồ thị khác phụ thuộc vào tốn Vì vậy, chương này, xây dựng số (n, d, λ) - đồ thị cho phương trình đại số trường vành hữu hạn Trong tham số n, d, λ tham số n d xác định đơn giản Vì vậy, làm để xác định λ vấn đề khó khăn (n, d, λ) - đồ thị G không gian R (R = Fq Zq ) thường định nghĩa sau: • Tập đỉnh thường V = R × R × × R R× × R× × × R× • Hai đỉnh a, b đồ thị nối với cạnh f ( a, b) = t, t ∈ R f : V × V → R hàm số Chúng ta đánh giá λ qua bước sau: • Bước 1: Đếm số nghiệm hệ phương trình f ( a, x) = t f (b, x) = t, với a, b, x ∈ V ( G ) • Bước 2: Từ số nghiệm hệ phương trình ta biểu diễn A2 thông qua A phương trình đại số, giả sử phương trình A2 = h ( A ), với h hàm số • Bước 3: Từ A2 = h( A), tính chất ma trận đối xứng tính chất đồ thị quy để tìm λ Chúng ta sử dụng phương pháp để tìm tham số n, d, λ số (n, d, λ) - đồ thị 2.1 Đồ thị tổng - bình phương Đồ thị tổng - bình phương F S q trường hữu hạn Fq định nghĩa sau: Tập đỉnh đồ thị tổng - bình phương F S q tập Fq × Fq Hai đỉnh a = ( a1 , a2 ) b = (b1 , b2 ) ∈ V (F S q ) nối với cạnh { a, b} ∈ E(F S q ) a1 + b1 = ( a2 + b2 )2 Ta có định lí sau: Định lí 2.1.1 Đồ thị F S q q2 , q, 2q − đồ thị Tương tự, đồ thị tổng - bình phương RSq vành hữu hạn Zq định nghĩa sau: Tập đỉnh đồ thị tổng - bình phương RSq tập Z × Z× q Hai đỉnh a = ( a1 , a2 ) b = (b1 , b2 ) ∈ V ( RSq ) nối với cạnh { a, b} ∈ V ( RSq ) a1 + b1 = ( a2 + b2 )2 Ta có định lí sau: Định lí 2.1.2 Đồ thị RSq p2r − p2r−1 , pr − pr−1 , (2r − 1) p2r−1 − đồ thị 2.2 Đồ thị tổng - tích Cho λ ∈ Fq , đồ thị tổng - tích F P q (λ) định nghĩa sau: Tập đỉnh đồ thị tổng - tích F P q (λ) tập Fq × Fq Hai đỉnh a = ( a1 , a2 ) b = (b1 , b2 ) ∈ V (F P q (λ)) nối với cạnh { a, b} ∈ E(F P q (λ)) a1 + b1 + a2 b2 = λ Ta có định lí sau: Định lí 2.2.1 Đồ thị F P q (λ) q2 , q, 2q − đồ thị Tương tự, với d số tự nhiên lớn 1, định nghĩa đồ thị tổng - tích Fq, d sau: Tập đỉnh đồ thị tổng - tích Fq, d tập Fq × Fdq Hai đỉnh U = ( a, b) V = (c, d) ∈ V (Fq, d ) nối với cạnh {U, V } ∈ E(Fq, d ) a + c = b · d Vinh [34] thu kết sau: Định lí 2.2.2 ([34, Bổ đề 9.1]) Đồ thị tổng - tích Fq, d qd+1 , qd , qd/2 − đồ thị Đồ thị tổng - tích RP q vành hữu hạn định nghĩa sau: Tập đỉnh đồ thị tổng - tích RP q tập Zq × Zq Hai đỉnh a = ( a1 , a2 ) b = (b1 , b2 ) ∈ V (RP q ) nối với cạnh { a, b} ∈ E(RP q ) a1 + b1 = a2 b2 Vinh [31] thu kết sau: Định lí 2.2.3 ([31, Định lí 2.3]) Đồ thị RP q p2r , pr , 2rp2r−1 − đồ thị Cho d số tự nhiên lớn Trên vành hữu hạn ta định nghĩa đồ thị tổng - tích Rq, d sau: Tập đỉnh đồ thị tổng - tích Rq, d tập V (Rq, d ) = Zq × Zdq Hai đỉnh U = ( a, b) V = (c, d) ∈ V (Rq, d ) nối với cạnh {U, V } ∈ E(Rq, d ) a + c = b · d Ta có định lí sau: Định lí 2.2.4 Đồ thị tổng - tích Rq, d q d +1 , q d , 2rp(2r−1)d − đồ thị 2.3 Đồ thị tích - tổng Cho λ ∈ F∗q bất kì, đồ thị tích - tổng P S q (λ) định nghĩa sau: Tập đỉnh đồ thị tích - tổng P S q (λ) tập F∗q × Fq Hai đỉnh a = ( a1 , a2 ) b = (b1 , b2 ) ∈ V (P S q (λ)) nối với cạnh { a, b} ∈ E(P S q (λ)) a1 b1 ( a2 + b2 ) = λ Vinh [32] thu kết sau: Định lí 2.3.1 ([32, Định lí 3.6]) Đồ thị P S q (λ) (q − 1)q, q − 1, 3q − đồ thị Trên vành hữu hạn định nghĩa đồ thị tích - tổng P SRq sau: Tập đỉnh V (P SRq ) = Z× q × Zq Hai đỉnh a = ( a1 , a2 ) b = ( b1 , b2 ) ∈ V (P SRq ) nối với cạnh a1 b1 ( a2 + b2 ) = Ta có định lí sau: Định lí 2.3.2 Đồ thị P SRq p2r − p2r−1 , pr − pr−1 , (2r − 1) p2r−1 − đồ thị 2.4 Đồ thị tích Cho dạng song tuyến tính khơng suy biến B(·, ·) Fdq , với λ ∈ F bất kì, đồ thị tích Bq, d (λ) định nghĩa sau: Tập đỉnh đồ thị tích Bq, d (λ) tập V ( Bq, d (λ)) = Fd \(0, , 0) Hai đỉnh a b ∈ V ( Bq, d (λ)) nối với cạnh { a, b} ∈ E( Bq, d (λ)) B( a, b) = λ Khi λ = 0, đồ thị tích trở thành đồ thị Erd˝os - Rényi, đồ thị tính giá trị riêng [2] Với λ = 0, Vinh [34] có định lí sau: Định lí 2.4.1 ([34, Bổ đề 9.2]) Cho d số tự nhiên lớn λ ∈ F∗ , đồ thị Bq, d (λ) qd − 1, qd−1 , 2qd−1 − đồ thị Tương tự, vành hữu hạn với λ ∈ Zq tùy ý, định nghĩa đồ thị tích Bq (d, λ) sau: Tập đỉnh đồ thị Bq (d, λ) tập Zdpr \(Z0pr )d Hai đỉnh a b ∈ V ( Bq (d, λ)) nối với cạnh { a, b} ∈ E( Bq (d, λ)) 10 Sử dụng giải tích Fourier trường hữu hạn, Iosevich Rudnev [21] chứng minh |E | ≥ 2q(n+1)/2 ∆(E ) = Fq Hart Iosevich [17] tìm điều kiện tập E để |∆(E )| thỏa mãn |E | q q Cụ thể, với E = E1 × × En , E1 , , En ⊂ Fq n2 2n−1 |∆(E )| q Hart, Iosevich, Koh Rudnev [15] thu kết tương tự cho tập tích không gian vectơ trường hữu hạn n2 Cụ thể, với E = E1 × × En , E1 , , En ⊂ Fq thỏa mãn |E | |Π(E )| q Từ ta có, A ⊂ Fq có lực lượng | A| |∆( An )|, |Π( An )| q 2n−1 n q 2n−1 q Sử dụng phương pháp phổ đồ thị, cách chứng minh khác ngắn gọn cho kết Cụ thể, [18] thu kết sau: Định lí 3.2.1 ([18, Định lí 2.3 Định lí 2.4]) Với A ⊂ Fq thỏa mãn | A| ta có: n | A|2n−1 q, q n −1 n |∆F ( A )|, |ΠF ( A )| q1/2 Khi đó, Covert, Iosevich Pakianathan [8] sử dụng giải tích Fourier thu kết tương tự vành hữu hạn Với E ⊂ Znq thỏa mãn |E | r (r + 1) q (2r −1)n + 2r 2r , ta có: Z× q ⊂ ∆Zq (E ), ΠZq (E ) Sử dụng phương pháp phổ đồ thị, [18] đưa điều kiện tập A ⊂ Zq để |∆Zq ( An )|, |ΠZq ( An )| q Định lí 3.2.2 ([18, Định lí 2.7 Định lí 2.8]) Với A ⊂ Zq thỏa mãn | A| |∆Zq ( An )|, |ΠZq ( An )| q, | A|2n−1 (rq2−1/r )n−1 q1− 2r , ta có: 3.2.2 Ý tưởng chứng minh Trước hết, sử dụng phương pháp phổ đồ thị cho đồ thị tổng - bình phương, ta có bổ đề sau: Định lí 3.2.1 Với A, B, C ⊂ Fq , ta có: a + (b − c)2 : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C 14 q, | A|| B||C | q Ý tưởng chứng minh Bổ đề 3.2.1: Giả sử D = a + (b − c)2 : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ⊂ Fq Gọi N số nghiệm phương trình −d + a + (b − c)2 = 0, ( a, b, c, d) ∈ A × B × C × D Với a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ta có giá trị d ∈ D thỏa mãn phương trình nên N = | A|| B||C | Mặt khác, N số cạnh hai tập đỉnh (− D ) × B A × (−C ) đồ thị tổng−bình phương F S q Từ Bổ đề 1.3.1 Định lí 2.1.1, suy điều phải chứng minh Chúng ta chứng minh ý Định lí 3.2.1 cách sử dụng Bổ đề 3.2.1 quy nạp theo n Tương tự, sử dụng phương pháp phổ đồ thị Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3 chứng minh kết tập tích 3.3 Tập thể tích khối 3.3.1 Giới thiệu tổng quan tập thể tích khối Cho A ⊂ Fq , tập thể tích khối Vn ( A) tập A định nghĩa sau Vn ( A) = ( A − A) · ( A − A) · · · ( A − A) n Sử dụng giải tích Fourier, Hart, Iosevich Solymosi [16] chứng minh với A ⊂ Fq thỏa mãn | A| q + 2n Vn ( A) = Fq Sử dụng bất đẳng thức tam giác 1+ 2k Ruzsa, Balog [4] cải thiện kết Cụ thể, với A ⊂ Fq thỏa mãn | A| ≥ q , k số tự nhiên k > Khi A nhóm cộng Fq cần thêm điều kiện | A| ≥ q + V2k+1 ( A) = Fq Họ thu kết sau: Định lí 3.3.1 ([4, Hệ 1]) Với A ⊂ Fq thỏa mãn | A| ≥ q Nếu A nhóm cộng Fq thỏa mãn | A| ≥ q + Khi đó, ta có: |Vk ( A)| ≥ q 1− 2k Sử dụng phương pháp phổ đồ thị Hệ 3.3.1, [19] thu kết tập thể tích khối Định lí 3.3.2 ([19, Định lí 1.4]) Với A ⊂ Fq thỏa mãn | A| q , ta có: | A |2 |Vn ( A)| q, n − q Trong trường hợp đặc biệt, từ Định lí 3.3.2 dẫn đến A ⊂ Fq thỏa mãn | A| q 1+ 2n |Vn ( A)| q 15 Với A ⊂ Zq định nghĩa tập thể tích khối tương tự trường hữu hạn Khi sử dụng phương pháp phổ đồ thị cho đồ thị tích - tổng vành hữu hạn, thu kết tương tự cho tập thể tích khối vành hữu hạn Cụ thể, [19] chứng minh kết sau: Định lí 3.3.3 ([19, Định lí 1.5]) Với A ⊂ Zq thỏa mãn | A| q1− 2r , ta có: | A |2 r |Vn ( A)| p , r −1+ n1−1 2rp Sử dụng phương pháp phổ đồ thị Định lí 3.3.2, [19] cải thiện kết Balog Định lí 3.3.4 ([19, Định lí 1.6]) Với A ⊂ Fq thỏa mãn | A| 1+2· 2k q2 , k > 1, ta có: V2k+1 ( A) = Fq Sử dụng kĩ thuật tương tự, chúng tơi [19] có kết tương tự vành hữu hạn 3.3.2 Ý tưởng chứng minh Sử dụng phương pháp phổ đồ thị cho đồ thị tích - tổng P S q (λ), ta có bổ đề sau: Định lí 3.3.1 Cho A, B ⊆ F∗q C, D ⊆ Fq , thỏa mãn | A|| B||C || D | ≥ 3q3 Khi đó, ta có: AB(C − D ) = Fq Ý tưởng chứng minh Định lí 3.3.2: Đặt D = { a(b − c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C } ∩ F∗q với A, B, C ⊂ Fq Sử dụng phương pháp phổ đồ thị cho đồ thị tích - tổng P S q Ta có: | A|| B||C | q Từ đó, ta đặt A = Vn−1 ( A), B = C = A từ Hệ 3.3.1, ta có: | A |2 |Vn ( A)| q, q 2n −1 |D| q, Điều phải chứng minh Ý tưởng chứng minh Định lí 3.3.4: Đặt A = Vk ( A), B = Vk ( A), C = D = A, thay 1+2· 2k vào Bổ đề 3.3.1 từ Định lí 3.3.2 ta có, | A| ≥ cq phải chứng minh 16 V2k+1 ( A) = Fq Điều 3.4 Tập tổng - tỉ số 3.4.1 Giới thiệu tổng quan toán tổng - tỉ số Bài tốn đánh giá tổng - tích nhiều người quan tâm, A cấp số cộng | A + A| = 2| A| − 1, A cấp số nhân | AA| = 2| A| − Tuy nhiên, hai tập A + A A · A bé Erd˝os Szemerédi giả thiết max{| A + A|, | A · A|} ≥ c| A|2− , với > Cho tới thời điểm tại, kết tốt toán Roche - Newton - Rudnev - Shkredov [26] nhóm tác giả chứng minh với A ⊂ F p thỏa mãn A ≤ p5/8 max{| A + A|, | A · A|} ≥ c| A|1+ Tập tỉ số định nghĩa sau A : A = { a/b : a, b ∈ A} Người ta hy vọng thu kết tương tự thay tập tích tập tỉ số Roche Newton [25] thu kết tương tự cho tập tổng - tỉ số Cụ thể, với | A| } A ⊂ Fq thỏa mãn | A ∩ cG | ≤ max{| G |1/2 , c ∈ Fq max{| A + A|, | A : A|} với G trường Fq | A|12/11 Balog, Broughan, Shparlinski [5] thu kết cho tập tổng - tỉ số Giả sử | A| } | A|10/9 A ⊂ Fq thỏa mãn | A ∩ cG | ≤ max{| G |1/2 , max{| A + A + A + A|, | A : A|} với G trường Fq c ∈ Fq Trong chương Luận án, sử dụng phương pháp phổ đồ thị, thu kết tổng quát tập tổng - tỉ số Định lí 3.4.1 Cho A ⊆ F∗q , ta có: max{| A + + A |, | A : A|} d +1 d +1 q| A|d , | A| 3d+1 d +1 d +1 qd Sử dụng kĩ thuật tương tự, thu kết tương tự vành hữu hạn 3.4.2 Ý tưởng chứng minh: Chúng ta sử dụng phương pháp phổ đồ thị cho đồ thị tổng - tích Fq,d để chứng minh, lưu ý xét phương trình s1 · b1−1 + s2 · b2−1 + + sd · bd−1 + c = t, (si , b j , c, t) ∈ S × B × C × T, S = A · B, T = A + A + + A + C 17 3.5 Hàm nở hai biến 3.5.1 Giới thiệu tổng quan hàm nở hai biến Cho Fq trường hữu hạn với q phần tử, E tập Fdq Với hàm f : Fdq −→ Fq , kí hiệu f ( E) = { f ( x ) : x ∈ E} ảnh f tập E Chúng ta nói f hàm nở d biến với số | f ( E)| ≥ C | E|1/d+ cho tập E Một vấn đề nhiều quan tâm xác định lớp hàm nở Ví dụ, tốn khoảng cách Erd˝os [11], với hàm ∆ : Rd × Rd −→ R, ∆( x, y) = x − y Nó giả thuyết hàm nở 2d biến với số = 1/2d Trong phần lớn trường hợp hàm số chứa nhiều phép toán có đầy đủ phép cộng phép nhân tập ảnh hàm số có tính giãn nở mạnh Vì vậy, việc tìm lớp hàm nở hai biến khó khăn nhiều so với việc tìm hàm nở nhiều biến Garaev Shen [12] chứng minh f = x (y + 1) hàm nở hai biến với x, y ∈ A tập A có kích thước lớn Cụ thể, với A ⊆ F∗p , ta có: | A( A + 1)| | A |2 p | A |, √ p Sử dụng bất đẳng thức tam giác Ruzsa, Timothy, Jones Roche - Newton [28] chứng minh f = x (y + 1) hàm nở hai biến với x, y ∈ A | A| < p1/2 Cụ thể, với A ⊆ Fq thỏa mãn | A| < p1/2 | A( A + 1)| ≥ | A|57/56 Trong Luận án này, sử dụng phương pháp phổ đồ thị thu kết tương tự cho trường hợp tập A có kích thước lớn Cụ thể, ta có định lí sau: Định lí 3.5.1 Với A ⊂ Fq \ {0, q − 1}, ta có: | A( A + 1)|, | A + A2 | | A |2 q | A |, √ q , A2 = { a2 : a ∈ A} Chúng ta thu kết tương tự vành hữu hạn Zq 3.5.2 Ý tưởng chứng minh hàm nở f = x (y + 1) Chúng ta sử dụng phương pháp phổ đồ thị cho đồ thị Tích Bq, (1) để chứng minh, lưu ý xét phương trình (s · b−1 + 1)c = t, (s, b, c, t) ∈ S × B × C × T, S = A( D + 1), B = D + 1, T = C ( A + 1) 18 Chương Tập khoảng cách đa tạp quy 4.1 Giới thiệu tổng quan tốn tập khoảng cách đa tạp quy Đặt D (x) = x12 + · · · + xd2 đa thức Fq [ x1 , , xd ] Với E ⊂ Fdq , định nghĩa tập khoảng cách tập E sau ∆(E ) = { D (x − y) : x, y ∈ E } Đã có nhiều kết nghiên cứu lực lượng tập khoảng cách ∆(E ), ví dụ số báo [6, 9, 10, 21, 22, 23] Trong chương Luận án, nghiên cứu toán trường hợp E tập đa tạp quy Chúng ta bắt đầu định nghĩa sau: Định nghĩa 4.1.1 ([9, Định nghĩa 2.1]) Với E ⊂ Fdq , kí hiệu 1E hàm đặc trưng tập E Cho F (x) ∈ Fq [ x1 , , xd ] đa thức Đa tạp V = {x ∈ Fdq : F (x) = 0} gọi đa tạp quy |V | = Θ(qd−1 ) 1V (m) 1V (m) = qd ∑ q−(d+1)/2 với m ∈ Fdq \ 0, χ(−m · x)1V (x) x∈Fdq Chúng ta có số ví dụ đa tạp quy: Hình cầu với bán kính khác 0: S j = x ∈ Fdq : x = j , j ∈ F∗q Paraboloid: P = x ∈ Fdq : x12 + · · · + xd2−1 = xd Hình cầu định nghĩa "khoảng cách Minkowski" với bán kính khác 0: M j = x ∈ Fdq : x1 · x2 · · · xd = j , j ∈ F∗q 19 Năm 2007, Iosevich Rudnev [21] sử dụng biến đổi Fourier thu kết tập khoảng cách hình cầu đơn vị trường hữu hạn Fdq Cụ thể, với E ⊂ S1 Fdq với d ≥ d Nếu |E | ≥ Cq với số C đủ lớn, tồn c > cho |∆(E )| ≥ cq d Nếu d số chẵn |E | ≥ Cq với số C đủ lớn, ∆(E ) = Fq d Nếu d số chẵn, tồn c > E ⊂ S1 cho |E | ≥ cq ∆(E ) = Fq Nếu d số lẻ |E | ≥ Cq d +1 với số C > đủ lớn, ∆(E ) = Fq Nếu d số lẻ, tồn c > E ⊂ S1 cho |E | ≥ cq d +1 ∆(E ) = Fq Sử dụng biến đổi Fourier, Covert, Koh Pi [9] cải thiện kết Cụ thể, với V ⊂ Fdq đa tạp quy k ≥ số nguyên E ⊆ V thỏa mãn |E | q d −1 + k −1 ∆k, D (E ) ⊇ F∗q với d chẵn, d ≥ 2, ∆k, D (E ) = Fq với d lẻ , d ≥ 3, ∆k, D (E ) = D ( x1 + · · · + x k ) : x i ∈ E , ≤ i ≤ k Sử dụng phương pháp phổ đồ thị, thu kết tổng quát sau: Định lí 4.1.1 ([20, Định lí 1.4]) Cho Q dạng tồn phương khơng suy biến Fdq Giả sử V ⊂ Fdq đa tạp quy k ≥ số nguyên Với E ⊂ V thỏa mãn q d −1 + k −1 = o (|E |), với t ∈ F∗q bất kì, ta có: ( x1 , , x k ) ∈ E k : Q ( x1 + · · · + x k ) = t = (1 − o (1)) |E |k q Định lí 4.1.1 ([20, Hệ 1.5]) Cho Q dạng tồn phương khơng suy biến Fdq Giả sử V ⊂ Fdq đa tạp quy k ≥ số nguyên Với E ⊂ V thỏa mãn q d −1 + k −1 = o (|E |), ta có: ∆k,Q (E ) ⊇ F∗q d Đặt P( x) = ∑ a j x sj , s ≥ a j = với j = 1, , d đa j =1 thức Fq [ x1 , , xd ] Chúng chứng minh kết tổng quát cho tập ∆k, D (E ) ta thay hàm D đa thức P( x) Cụ thể, ta có kết sau: 20 Định lí 4.1.2 ([20, Định lí 1.6]) Giả sử V ⊂ Fdq đa tạp quy k ≥ số nguyên Với E ⊂ V X ⊂ Fq thỏa mãn | X ||E |2k−2 | X + ∆k, P (E )| q(d−1)(k−1)+2 , ta có: q Định lí 4.1.2 ([20, Hệ 1.7]) Giả sử V ⊂ Fdq đa tạp quy k ≥ số nguyên Với E ⊂ V thỏa mãn |E | q d −1 + k −1 , ta có: |∆k, P (E )| q 4.2 Ý tưởng chứng minh Gọi V đa tạp quy định nghĩa sau V = {x ∈ Fdq : F (x) = 0}, với F ∈ Fq [ x1 , , xd ] Đồ thị Cayley CV định nghĩa sau, tập đỉnh V = Fdq tập cạnh đồ thị CV E(CV ) = {( x, y) ∈ H × H : y − x ∈ V } Sử dụng tính chất đồ thị Cayley, ta có định lí sau: Định lí 4.2.1 Đồ thị Cayley CV (qd , |V |, cq(d−1)/2 ) - đồ thị có hướng, với số c > Với số tự nhiên chẵn k = 2m ≥ E ⊂ Fdq , định nghĩa Λk (E ) sau Λk (E ) = ( x , , x k ) ∈ E k : x + · · · + x m = x m +1 + · · · + x k Với E ⊆ Fdq , định nghĩa νk (t) sau νk (t) = ( x1 , , x k ) ∈ E k : Q ( x1 + · · · + x k ) = t Trong phương pháp phổ đồ thị, thay Bổ đề trộn nở Bổ đề trộn nở mở rộng sử dụng đồ thị Eq (d, Q, t) ta có định lí sau: Định lí 4.2.2 Cho E ⊂ Fdq Khi đó, ta có: Nếu q d +1 Λk (E ) = o (|E |k ) k số chẵn, ( x1 , , x k ) ∈ E k : Q ( x1 + · · · + x k ) = t 21 = (1 + o (1)) |E |k q Nếu q d +1 (Λk−1 (E ))1/2 (Λk+1 (E ))1/2 = o (|E |k ) k số lẻ, k ( x1 , , x k ) ∈ E : Q ( x1 + · · · + x k ) = t |E |k = (1 + o (1)) q Tương tự, phương pháp phổ đồ thị, thay Bổ đề trộn nở Bổ đề trộn nở mở rộng cho đồ thị có hướng sử dụng đồ thị Cayley CV ta có định lí sau: Định lí 4.2.3 Cho E tập đa tạp quy V Fdq với |E | > q(d−1)/2 Nếu k ≥ chẵn, Λk (E ) q (d−1)(k−2) |E | + |E |k−1 q Nếu k ≥ lẻ, Λk−1 (E )Λk+1 (E ) q (d−1)(k−2) |E | + (d−1)(k−3)−2 q |E | k +1 |E |2k−2 + q2 Từ Định lí 4.2.3 Định lí 4.2.2, suy điều phải chứng minh Để chứng minh Định lí 4.1.2 sử dụng kĩ thuật tương tự cho đồ thị +1 ) nghiên cứu [33] chặn | X + ∆ CP (F2d k, P (E )| từ chứng minh q Định lí 2.6 [33] 22 Kết luận Trong Luận án này, sử dụng phương pháp phổ đồ thị để thu số kết lý thuyết tổ hợp cộng tính Cụ thể, chúng tơi thu kết sau: • Trong Chương 3, sử dụng phương pháp phổ đồ thị để nghiên cứu cải thiện số kết tập khoảng cách, tập tích, tập thể tích khối, tập tổng - tỉ số, hàm nở hai biến trường vành hữu hạn – Luận án đưa chứng minh khác ngắn gọn chứng minh Hart Iosevich cho tập khoảng cách tập tích trường hữu hạn, tìm điều kiện để tập khoảng cách tập tích trường hữu hạn có bậc lớn – Đồng thời, cải thiện kết tập thể tích khối trường hữu hạn, tìm điều kiện để tập thể tích khối có bậc lớn mở rộng kết tập thể tích khối vành hữu hạn – Bên cạnh đó, chúng tơi đưa kết tổng qt cho tập tổng - tỉ số trường vành hữu hạn – Ngồi ra, chúng tơi xây dựng hàm nở hai biến f = x (y + 1) g = x + y2 trường vành hữu hạn • Trong Chương 4, sử dụng phương pháp phổ đồ thị mở rộng để nghiên cứu đưa kết tổng quát cho tập khoảng cách đa tạp quy thay hàm khoảng cách dạng tồn phương khơng suy biến đa thức chéo Các hướng nghiên cứu tiếp theo: • Cải thiện kết đạt được: Tuy khó cải thiện kết đạt trường hợp tổng quát, người ta cải thiện trường hợp đặc biệt số chiều không gian xét tập mặt đặc biệt parabol, hyperbol, đường tròn, mặt cầu Trong Chương 4, chúng 23 nghiên cứu tốn khoảng cách đa tạp quy Tuy nhiên, hướng nghiên cứu xét tập mặt đặc biệt đến có nhiều hướng mở Trong thời gian tới, hy vọng có thêm nhiều kết tốt tiếp tục theo đuổi hướng nghiên cứu • Nghiên cứu tốn tổ hợp cộng tính tập bé: Phương pháp phổ đồ thị cách sử dụng đơn giản nghiên cứu nhiều tốn tổ hợp cộng tính Tuy nhiên, điểm yếu phương pháp nghiên cứu kết cho tập lớn Cụ thể, kết sử dụng phương pháp phổ đồ thị có ý nghĩa tập A ⊂ Fq (hoặc Zq ) thỏa mãn điều kiện | A| q1/2 Gần đây, có số tác giả sử dụng liên thuộc điểm - đường thẳng bất đẳng thức tam giác Ruzsa để nghiên cứu số toán tổ hợp cộng tính tập nhỏ Trong thời gian tới, tiến hành nghiên cứu số toán tập bé với hy vọng thu nhiều kết có ý nghĩa • Sử dụng phương pháp khác: Ngồi phương pháp đồ thị phương pháp sử dụng giải tích Fourier sử dụng rộng rãi Chúng tơi có nghiên cứu ban đầu sử dụng phương pháp Cụ thể, sử dụng giải tích Fourier, chúng tơi chứng minh f = x + y−1 hàm nở hai biến trường vành hữu hạn với x, y ∈ A | A| q1/2 Trong thời gian tới, chúng tơi tiếp tục tìm hiểu sâu giải tích Fourier sử dụng phương pháp để nghiên cứu số toán tổ hợp cộng tính 24 Cơng trình liên quan đến Luận án D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields, Journal of Number Theory, 173 (2017), 602–613 D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779–792 D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces, Indiana University Mathematics Journal, 65 (2016), 2125–2136 Các kết liên quan đến Luận án tác giả báo cáo Seminar Phòng sở tốn học cho tin học, Viện Tốn học Hội nghị nghiên cứu sinh năm Viện Toán học (10/2015, 10/2016, 10/2017) Hội thảo Toán rời rạc NTU- VIASM lần thứ (27 – 30/12/2014, VIASM) Hội nghị Quốc tế Tổ hợp, Lý thuyết đồ thị ứng dụng (15 – 17/04/2018, VIASM) 25 Tài liệu tham khảo [1] N Alon and Fan R K Chung, Explicit Constructions of linear sized tolerant networks, Discrete mathematics, 2(1988), 15 - 19 [2] N Alon and M Krivelevich, Constructive bounds for a Ramsey-type problem, Graphs and Combinatorics, 13 (1997), 217 - 225 [3] E Bannai, O Shimabukuro and H Tanaka, Finite analogues of non-Euclidean spaces and Ramanujan graphs, European Journal of Combinatorics, 25 (2004), 243 259 [4] A Balog, Another Sum-Product Estimate in Finite Fields, Sovremennye Problemy Matematiki, 16 (2012), 31 - 37 [5] A Balog, K A Broughan, I E Shparlinski, Sum-products estimates with several sets and applications, Integers, 12 (5) (2010), 895 - 906 [6] J Bourgain, N Katz, and T Tao, A sum product estimate in finite fields and Applications, Geometric and Functional Analysis, 14 (2004), 27 - 57 [7] N Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, 1993 [8] D Covert, A Iosevich, and J Pakianathan, Geometric configurations in the ring of integers modulo pl , Indiana University Mathematics Journal, 61 (2012), 1949 1969 [9] D Covert, D Koh, Y Pi, The k-resultant modulus set problem on algebraic varieties over finite fields, Finite Fields and Their Applications, 48 (2017), 68 - 86 [10] D Covert, D Koh, and Y Pi, On the sums of any k points in finite fields, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 30(1) (2016), 367 - 382 26 [11] P Erd˝os, Integral distances, Bulletin of the AMS - American Mathematical Society 51 (1945), 996 [12] M Z Garaev and C.-Y Shen, On the size of the set A(A + 1), Math Z., 265 (1) (2010), 125-132 [13] L Guth and N Katz, On the Erd˝os distinct distances problem in the plane, Annals Of Mathematics, 181 (2015), 155 - 190 [14] B Hanson, B Lund, and O Roche-Newton, On distinct perpendicular bisectors and pinned distances in finite fields, Finite Fields and Their Applications, 37 (2016), 240 - 264 [15] D Hart, A Iosevich, D Koh and M Rudnev, Averages over hyperplanes, sumproduct theory in vector spaces over finite fields and the Erd˝os-Falconer distance conjecture, Transactions of the AMS, 363 (2011) 3255 - 3275 [16] D Hart, A Iosevich, J Solymosi, Sum-product Estimates in Finite Fields via Kloosterman Sums, International Mathematics Research Notices (2007) Vol 2007, article ID rmn007, 14 pages [17] D Hart and A Iosevich, Sum and products in finite fields: an integral geometric view - pint, Contemporary Mathematics, 464 (2008), - [18] D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779 - 792 [19] D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces, Indiana University Mathematics Journal, 65 (2016), 2125 - 2136 [20] D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields, Journal of Number Theory, 173 (2017), 602 - 613 [21] A Iosevich and M Rudnev, Erd˝os distance problem in vector spaces over finite fields, Transactions of the American Mathematical Society, 359 (2007), 6127 - 6142 [22] D Koh and H Sun, Distance sets of two subsets of vector spaces over finite fields, Proceedings of the American Mathematical Society, 143(4) (2015), 1679 - 1692 [23] D Koh and C-Y Shen, The generalized Erd˝os-Falconer distance problems in vector spaces over finite fields, Journal of Number Theory, 132(11) (2012), 2455 - 2473 27 [24] W.M Kwok, Character tables of association schemes of affine type, European Journal Combinatorics, 13 (1992), 167 - 185 [25] O Roche-Newton, Sum-ratio estimates over arbitrary finite fields, arxiv.org/abs/1407.1654v1 [26] O Roche-Newton, M Rudnev, and Shkredov, New sum-product type estimates over finite fields, Advances in Mathematics, 293 (2016), 589 - 605 [27] M Rudnev, On the number of incidences between points and planes in three dimensions, Combinatorica, 38 (1) (2018), 219 - 254 [28] Timothy, G F Jones and O Roche-Newton, Improved bounds on the set A(A+1), Journal of Combinatorial Theory, 120 (2013), 515 - 526 [29] V H Van, Sum-product estimates via directed expanders, Mathematical research letters, 15(2) (2008), 375 - 388 [30] L A Vinh, Explicit Ramsey graphs and Erd˝os distance problem over finite Euclidean and non-Euclidean spaces, Electronic Journal of Combinatorics, 15 (2008), Article R5 [31] L A Vinh, Sum and shifted-product subsets of product-sets over finite rings, The Electronic Journal of Combinatorics, 19(2) (2012), P33 [32] L A Vinh, Graphs generated by Sidon sets and algebraic equations over finite fields, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 103(6) (2013), 651 - 794 [33] L.A.Vinh, On the generalized Erd˝os–Falconer distance problems over finite fields, Journal Number Theory, 133 (2013), 2939 - 2947 [34] L A Vinh, The solvability of norm, bilinear and quadratic equations over finite fields via spectral of graphs, Forum Mathematicum, 26 (2014), 141 -175 28 ... hàm nở Trong Luận án này, sử dụng (n, d, λ) - đồ thị Bổ đề trộn nở để nghiên cứu toán tổ hợp cộng tính Những kết Luận án trình bày Chương Chương Trong Chương 3, sử dụng phương pháp phổ đồ thị dựa... dụng phương pháp để tìm tham số n, d, λ số (n, d, λ) - đồ thị 2.1 Đồ thị tổng - bình phương Đồ thị tổng - bình phương F S q trường hữu hạn Fq định nghĩa sau: Tập đỉnh đồ thị tổng - bình phương. .. – Đồng số nghiệm phương trình với số cạnh hai tập đỉnh A, B đồ thị – Sử dụng Bổ đề trộn nở để đưa đánh giá số cạnh đồ thị, tương ứng với đánh giá cho tập hợp mà quan tâm Phương pháp phổ đồ thị