Phương pháp phổ của đồ thị trong một số bài toán tổ hợp cộng tính

VI›N HÀN LÂM KHOA HÅC VÀ CÔNG NGH› VI›T NAM VI›N TOÁN HÅC ———————————- ĐÉ DUY HI˜U PHƯƠNG PHÁP PHÊ CÕA ĐÇ THÀ TRONG MËT SÈ BÀI TỐN TÊ HĐP CËNG TÍNH LUŠN ÁN TI˜N SĨ TỐN HÅC Hà Nëi - 2019 VI›N HÀN LÂM KHOA HÅC VÀ CÔNG NGH› VI›T NAM VI›N TOÁN HÅC ———————————- ĐÉ DUY HI˜U PHƯƠNG PHÁP PHÊ CÕA ĐÇ THÀ TRONG MËT SÈ BÀI TỐN TÊ HĐP CËNG TÍNH Chun ngành: Cơ sð tốn håc cho tin håc Mã sè: 9.46.01.10 LUŠN ÁN TI˜N SĨ TON HC Ngới hợng dăn: PGS TS Lấ ANH VINH Hà Nëi - 2019 Tóm t-t Trong Luªn án này, chỳng tụi s sỷ dửng phng phỏp phờ cừa ỗ đº nghiên cùu v· lüc lưñng cõa mët sè tªp hđp khơng gian vectơ trưíng vành hỳu hÔn nh: Hm n hai bián, têp khoÊng cỏch tªp tích, tªp têng - t¿ sè, tªp kho£ng cỏch trờn a tÔp chớnh quy v têp th tớch khối Luên ỏn gỗm 04 chng chớnh: Trong Chng 1, chỳng tụi nh-c lÔi kián thực c bÊn liờn quan án phng phỏp Ôi số tuyán tớnh ỗ th: ma kã, phờ cừa ỗ th, (n, d, l) - ỗ th, Bờ ã trởn n Trong Chng 2, nghiên cùu mët sè (n, d, l) - ỗ th trờn n n khụng gian vect F q v Z q nh ỗ th tờng - tớch, ỗ th tớch - tờng, ỗ th tờng - bỡnh phng, ỗ th tớch, ỗ th Euclid hỳu hÔn Trong Chng 3, chỳng tụi sỷ dửng phỏp ỗ th nghiờn cùu mët sè tốn tê hđp cëng tính Cư th, chỳng tụi s sỷ dửng cỏc ỗ th xõy düng Chương đº đánh giá mët sè tªp hđp tªp kho£ng cách, tªp tích, tªp thº tích khối, têp tờng - t số, hm n hai bián trờn trớng v vnh hỳu hÔn Trong Chng 4, chỳng tụi sỷ dửng phng phỏp phờ cừa ỗ th m rëng đº nghiên cùu đưa k¸t qu£ têng quát cho tªp kho£ng cách cõa mët tªp đa tÔp chớnh quy Abstract In this thesis, we use the techniques from the spectral graph theory to study the cardinality of some sets in vector spaces over finite fields and finite rings, such as the images of two-variable expanders, the distance sets, the product sets, the sum - ratio sets, the volume set of boxes, and the distance sets in regular varieties The thesis consist of four main chapters In Chapter 1, we recall some basic knowledge related to linear algebraic methods in the graph: the adjacency matrix, the spectrum of a graph, the definition and properties of (n, d, l) - graph, and the expander mixing lemma In Chapter 2, we study some (n, d, l) - graphs in vector spacesover finite fields and finite rings, such as the sum - product graph, the product - sum graph, the sum - square graph, the product graph, and the finite Euclidean graph In Chapter 3, we use the expanding properties of the graphs in Chap-ter to evaluate the cardinalities of distance sets, product sets, volume sets of boxes, sum - ratio sets, and images of two-variable expanders in vector spaces over finite fields and finite rings In Chapter 4, we use the directed version of the expander mixing lemma to study the distance set problem in general regular varieties Líi cam đoan Tơi xin cam đoan Luªn án tªp hđp nghiên cùu cõa tơi Nhúng k¸t qu£ trích tø báo vi¸t chung nhªn đưđc sü cho phép sû dưng cõa ỗng tỏc giÊ Cỏc kát quÊ nờu Luên ỏn trung thüc chưa tøng đưñc mët khác cơng bè Líi c£m ơn Tơi xin chân thành cÊm n PGS TS Lờ Anh Vinh, ngới ó dăn d-t tơi vào đưíng nghiên cùu khoa håc Khơng ch l mởt ngới hợng dăn khoa hồc tên tõm, chia s cừa thƯy vợi tụi vã nhỳng buỗn, vui đíi thưíng suèt nhi·u năm qua mët sü đëng viên, khích l» lỵn đº tơi vúng vàng cuëc sèng Tôi xin chân thành c£m ơn PGS TSKH Phan Thà Hà Dương GS TSKH Ngô Đ-c Tân góp ý đº Luªn án cõa tơi hồn thi»n hn Nhỳng lới chia s, ch dÔy cừa thƯy cụ st q trình làm vi»c, nghiên cùu cõa tơi s³ hành trang quý báu đº tü tin nhúng ch°ng đưíng s-p tỵi Tơi xin c£m n TS PhÔm Vn Th-ng ó ỗng hnh cựng tụi đưíng nghiên cùu suèt thíi gian qua Tụi xin cÊm n ban lónh Ôo Viằn Toỏn hồc, Phòng sð tốn håc cho tin håc Trung tõm o tÔo sau Ôi hồc ó cung cĐp cho tơi mët nơi làm vi»c tèt, mët mơi trưíng håc thuêt lnh mÔnh hồc têp, nghiờn cựu thới gian làm nghiên cùu sinh ð Cuèi cùng, tụi xin tọ lũng biát n vụ hÔn tợi gia ỡnh tụi, nhỳng ngới luụn bờn cÔnh v thng yờu vô đi·u ki»n Hà Nëi, ngày 27 tháng 02 năm 2019 Đé Duy Hi¸u B£ng kí hi»u r mët sè tü nhiên q = p Cho p mët sè nguyên tè l´, r j Aj lüc lưđng cõa tªp hđpA Z l vnh hỳu hÔn cú q phƯn tỷ q Z0 q l têp cỏc phƯn tỷ khụng khÊ nghch trờn Zq l têp cỏc phƯn tỷ khÊ nghch trờn Zq Fq l trớng hỳu hÔn cú q phƯn tỷ Fq ph¦n tû khác cõa trưíng húu hÔn Fq Cho f , g l cỏc hm sè theo bi¸n t g o( f ) có nghĩa g(t)/ f (t) ! t ! ¥ fg có nghĩa g o( f ) f &g cú ngha l tỗn tÔi hơng số c > 0, cho f cg t đõ lỵn f = Q(g) cú ngha l tỗn tÔi cỏc hơng sè c1, c2 > cho c1 f g c2 f t đõ lỵn Cho G = (V, E) l mởt ỗ th (x, y) l mởt cÔnh cú hợng tứ x án y fx, yg l cÔnh vụ hợng giỳa x v y cừa ỗ th G Mửc lửc Lới m Ưu Giợi thiằu chung Ki¸n thùc chuân b 1.1 Ma kã 1.2 Phờ cừa ỗ th 1.3 (n, d, l) - ỗ th Bê đ· trën nð 10 17 17 17 20 Mët sè (n, d, l) - ỗ th 25 2.1 ỗ th tờng - bình phương 2.1.1 ỗ th tờng - bỡnh phng trờn trớng hỳu hÔn 2.1.2 ỗ th tờng - bỡnh phng trờn vnh hỳu hÔn 2.2 ỗ th tờng - tích 2.2.1 ỗ th tờng - tớch trờn trớng hỳu hÔn 2.2.2 ỗ th tờng - tớch trờn vnh hỳu hÔn 2.3 ỗ th tớch - tờng 2.3.1 ỗ th tớch - tờng trờn trớng hỳu hÔn 2.3.2 ỗ th tớch - tờng trờn vnh hỳu hÔn 2.4 ỗ th tớch 2.4.1 ỗ th tớch trờn trớng hỳu hÔn 2.4.2 ỗ th tớch trờn vnh hỳu hÔn 2.5 ỗ th Euclid hỳu hÔn Đánh giá lüc lưđng cõa mët sè tªp hđp trưíng vành 26 26 27 29 29 30 33 33 33 35 35 35 36 hỳu hÔn 3.1 Giợi thiằu vã phng phỏp phờ cừa ỗ th 37 37 3.2 Tªp kho£ng cách, tªp tích 3.2.1 Giỵi thi»u têng quan v· tốn tªp kho£ng cách tªp tích 3.2.2 Đánh giá tªp kho£ng cách trưíng vnh hỳu hÔn 3.2.3 Đánh giá têp tớch trờn trớng v vnh hỳu hÔn 3.3 Tªp thº tích khèi 3.3.1 Giợi thiằu tờng quan vã têp th tớch khối 3.3.2 Mởt số kát quÊ cƯn dùng 3.3.3 Đánh giá tªp th tớch khối trờn trớng hỳu hÔn 3.3.4 ỏnh giỏ têp th tớch khối trờn vnh hỳu hÔn 3.4 Tªp têng - t¿ sè 3.4.1 Giỵi thi»u têng quan v· toán têng - t¿ sè 3.4.2 ỏnh giỏ tờng - t số trờn trớng hỳu hÔn 3.4.3 Đánh giá têng - t số trờn vnh hỳu hÔn 3.5 Hàm nð hai bi¸n 3.5.1 Giỵi thi»u têng quan v· hàm nð hai bi¸n 3.5.2 Hàm nð f = x(y + 1) 3.5.3 Hàm nð g = x + y2 Tªp kho£ng cỏch trờn a tÔp chớnh quy 4.1 Giợi thiằu tờng quan vã bi toỏn têp khoÊng cỏch trờn a tÔp quy 4.2 Đánh giá cho dÔng ton phng khụng suy bián d s 4.3 Đánh giá cho đa thùc chéo P(x) = å ajx j 39 39 41 44 45 45 46 49 50 51 51 54 55 55 55 57 59 61 61 64 69 j=1 Kát luên 72 Tài li»u tham kh£o 76 Líi mð đ¦u Trong nhúng năm g¦n đây, tê hđp đưđc ùng dưng vào lĩnh vüc khoa håc khác như: khoa hồc mỏy tớnh, vêt lý, húa hồc, Vợi sỹ m rëng đó, nhi·u tốn tê hđp mỵi đíi vỵi nhi·u phương pháp vèn thc nhánh tốn håc khác đưđc áp dưng đº gi£i quy¸t như: xỏc suĐt, giÊi tớch, Ôi số, hỡnh hồc; nhớ ú ó thu ủc nhiãu kát quÊ mợi khụng hin nhiờn Luên ỏn "Phng phỏp phờ cừa ỗ th mởt sè tốn tê hđp cëng tính" sû dưng (n, d, l) - ỗ th v Bờ ã trởn n đº nghiên cùu tốn tê hđp cëng tính Nhỳng kát quÊ mợi cừa Luên ỏn ủc trỡnh by Chương Chương Trong Chương 3, chúng tụi sỷ dửng phng phỏp phờ cừa ỗ th dỹa vo (n, d, l) - ỗ th v Bờ ã trën nð đº nghiên cùu mët sè toán tªp kho£ng cách, tªp tích, tªp thº tích khèi, tªp tờng - t số, hm n hai bián Têp khoÊng cách, tªp tích: Mët tốn mð cê điºn hình håc tê hđp tốn v· kho£ng cách cõa Erdos˝ [20] Bài tốn u c¦u tìm sè kho£ng cách khác tèi thiºu đưñc xác đành bði mët tªp N điºm m°t ph¯ng Euclid Erdos˝ gåi sè kho£ng cách tèi thiºu g(N) v giÊ thuyát rơng g(N) & p N ễng quan sát düa mët kh¯ng đành hình håc LogN đơn gi£n đưíng tròn, r¬ng g(N) & N 1/2 Sè mũ 1/2 đưñc c£i thi»n mët cỏch chêm chÔp vũng hn 50 nm qua bi mởt loÔt cỏc lý luên phực tÔp, sỷ dửng cụng cư tø nhi·u lĩnh vüc khác cõa tốn håc Tháng 11 năm 2010, Guth Katz [26] chùng minh đưđc kh¯ng đành g¦n tèi ưu cõa N toỏn ny: têp N im bĐt k trờn mt ph¯ng s³ có g(N) & LogN kho£ng cách phân bi»t Mởt cỏch tng tỹ, phiờn bÊn hỳu hÔn cừa bi tốn kho£ng cách cõa Erdos˝ vi»c tìm lüc lưđng tèi thiºu cõa tªp kho£ng cách xác đành bði tªp 10 q 1/2 1/2 k (Lk 1(E)) (Lk+1(E)) = o(jEj ) Kát hủp vợi nh lớ 4.2.4, ta có đi·u ph£i chùng minh d s 4.3 Đánh giá cho đa thùc chéo P(x) = å ajx j j=1 chựng minh nh lớ 4.1.5, trợc hát chỳng ta cƯn xõy dỹng ỗ th Cayley d s sau: Cho P(x) = å ajx j Fq[x1, , xd] s måi j = 1, , d Đ°t j=1 aj 6= vỵi P (x1, , x2d) = P(x1, , xd) P(xd+1, , x2d) Fq[x1, , x2d] 69 d+1 Chúng ta đành nghĩa ỗ th Cayley CP0 (F q d ) nh sau: Tªp đ¿nh H = Fq d F q S = f(x0, x) Fq F q j x0 + P (x) = 0g Têp cÔnh l d+1 E(CP0 (F q )) = ((x0, x), (y0, y)) H d+1 ỗ th CP0 (F q H : y0 x) = ) đưñc nghiên cùu [57] Cư thº, ta có bê đ· sau: Bê đ· 4.3.1 ([57]) Cho d mët sè tü nhiên d (q Vỵi E x0 + P (y 2d+1 2d ,q d+1 1, CP0 (F q ) mët d , q ) ỗ th cú hợng d F q, X Fq v t Fq , đành nghĩa nP, k(t) sau: k nP, k(t) = f(a, x1, , xk) X E : a + P(x1 + + xk) = tg Đº chùng minh Đành lí 4.1.5, c¦n bê đ· sau: d Bê đ· 4.3.2 Cho E F q vỵi k mët sè ch®n k Ta có: å nP, k(t)2 jEj2kjXj2 + qdjXjLk(E)2 q t2Fq Chùng minh Cho A B đa tªp đưđc đành nghĩa sau: A = f(a, x1 xk/2, y1 yk/2) : a X, xi, yi Eg B = f(b, xk/2+1 + + xk, yk/2+1 + + yk/2+1) : b X, xi, yi Eg Ta có: å 2 2 k mA(x) = jXjLk(E) , å mB(x) = jXjLk(E) , jAj = jBj = jXjjEj x2A x2B M°t khác åt2Fq nP , k sè cÔnh tứ têp nh A vo têp nh B ỗ th d+1 CP0 (F q ) Do ú, tø Bê đ· 1.3.4 Đành lí 4.3.1 suy å nP, k(t)2 jEj2kjXj2 + qdjXjLk(E)2, q t2Fq tø ta suy đi·u ph£i chùng minh 70 jXj jEj Sû dưng kĩ thuªt tương tü, ta có k¸t qu£ tương tü cho trưíng hđp k mët sè l´ k d Bê đ· 4.3.3 Cho E F q vỵi k mët sè l´ k Ta có: å nP, k(t)2 jEj2kjXj2 + qdjXjLk 1(E)Lk+1(E) q t2Fq Bây gií chùng minh Đành lí 4.1.5 Chùng minh Đành lí 4.1.5 Tø chùng minh cõa Đành lí 2.6 [57], ta có: 2k jX + Dk, P(E)j & åt2Fq nP, k(t)2 Do đó, tø Bê đ· 4.3.2 Bê đ· 4.3.3, xột hai trớng hủp sau Vợi k chđn v k Ta có: j k, P X+D ( ) Vỵi k l´ k Ta có: E j & j ) ( j q dLk(E)2 Ej & XjjEj 2k , q ( d j (E) q Lk (E)Lk ) k, P X+D ( ) XjjEj 2k ,q Kát hủp vợi nh lớ 4.2.6, suy đi·u ph£i chùng minh 71 Kát luên Trong Luên ỏn ny, chỳng tụi ó sỷ dửng phng phỏp phờ cừa ỗ th thu ủc mởt số kát quÊ mợi lý thuyát tờ hđp cëng tính Cư thº, chúng tơi thu đưđc k¸t qu£ sau: Trong Chương 3, sû dưng phương phỏp phờ cừa ỗ th nghiờn cựu v cÊi thiằn mởt số kát quÊ vã têp khoÊng cỏch, têp tích, tªp thº tích khèi, tªp têng - t¿ sè, hm n hai bián trờn trớng v vnh hỳu hÔn – Luªn án đưa chùng minh khác ng-n gån chùng minh cõa Hart Iosevich cho tªp khoÊng cỏch v têp tớch trờn trớng hỳu hÔn, tỡm đi·u ki»n đº tªp kho£ng cách tªp tích trớng hỳu hÔn cú bêc lợn nhĐt cú th ỗng thới, chỳng tụi cÊi thiằn kát quÊ cừa têp th tớch khối trờn trớng hỳu hÔn, tỡm iãu kiằn têp th tớch khối cú bêc lợn nhĐt cú th v m rởng kát quÊ cừa têp th tớch khối trờn vnh hỳu hÔn Bờn cÔnh ú, chỳng tụi a kát quÊ tờng quỏt cho têp tờng t số trờn trớng v vnh hỳu hÔn Ngoi ra, chúng tơi xây düng hàm nð hai bi¸n f = x(y + 1) g = x + y trờn trớng v vnh hỳu hÔn Trong Chng 4, sỷ dửng phng phỏp phờ cừa ỗ th m rëng đº nghiên cùu đưa k¸t qu£ têng quỏt cho têp khoÊng cỏch trờn a tÔp chớnh quy thay hm khoÊng cỏch bơng dÔng ton phng khụng suy bián v a thực chộo 72 Cỏc hợng nghiờn cựu tiáp theo: CÊi thiằn cỏc kát quÊ ó Ôt đưđc: Tuy khó có thº c£i thi»n đưđc k¸t quÊ ó Ôt ủc trớng hủp tờng quỏt, nhng ngưíi ta có thº c£i thi»n trưíng hđp đ°c bi»t v· sè chi·u cõa không gian ho°c xét tªp m°t đ°c bi»t parabol, hyperbol, đưíng tròn, m°t c¦u Điºn hình như: Năm 2007, Iosevich Rudnev [34] sû dưng bi¸n đêi Fourier cÊi thiằn ủc kát quÊ cừa têp khoÊng cỏch trờn hình c¦u đơn Cư d thº, hå thu đưđc kát quÊ sau: Cho E S1 F q vợi d d Náu jEj Cq vợi hơng số C lợn, ú tỗn tÔi c > cho jD(E)j cq d N¸u d mởt số chđn v jEj Cq vợi hơng số C đõ lỵn, D(E) = F q d Náu d l mởt số chđn, tỗn tÔi c > E S1 cho jEj cq D(E) 6= Fq d+1 N¸u d mët số l v jEj Cq vợi hơng số C > đõ lỵn, D(E) = F q d+1 Náu d l số l, tỗn tÔi c > E S1 cho jEj cq D(E) 6= Fq Trong Chương 4, ó nghiờn cựu bi toỏn khoÊng cỏch trờn a tÔp quy Tuy nhiên, hưỵng nghiên cùu xét têp trờn cỏc mt c biằt án văn cũn mỵi có nhi·u hưỵng mð Trong thíi gian tợi, chỳng tụi hy vồng s cú thờm nhiãu kát quÊ tốt tiáp tửc theo uời hợng nghiờn cựu Nghiên cùu tốn tê hđp cëng tính trờn cỏc têp bộ: Phng phỏp phờ cừa ỗ th m°c dù cách sû döng đơn gi£n nghiên cùu đưđc nhi·u tốn tê hđp cëng tính Tuy nhiên, điºm y¸u cõa phương pháp ch¿ nghiên cùu ủc cỏc kát quÊ cho cỏc têp lợn Cử th, k¸t qu£ sû dưng phương pháp phê cõa ỗ th ch cú ý ngha têp A Fq (ho°c Zq) thäa mãn đi·u ki»n jAj & q 1/2 G¦n đây, có mët sè tác gi£ sû 73 dưng liên thc điºm - đưíng th¯ng b§t đ¯ng thùc tam giác Ruzsa đº nghiên cùu mët sè tốn tê hđp cëng tính tªp nhä Điºn hình như: Roche-Newton, Rudnev Shkredov [45] sû dưng [46] chùng minh vỵi A, B, C F thäa mãn jAj = jBj = jCj = N p jAB + Cj N 3/2 2/3 Trong thíi gian tỵi, chúng tơi s³ ti¸n hành nghiên cùu mët sè toỏn trờn cỏc têp vợi hy vồng s thu đưđc nhi·u k¸t qu£ có ý nghĩa Sû dưng phương phỏp khỏc: Ngoi phng phỏp ỗ th thỡ phng phỏp sû dưng gi£i tích Fourier đưđc sû dưng rëng rãi Chúng tơi có nhúng nghiên cùu ban đ¦u sû dưng phương pháp Cư thº, sû dưng gi£i tích Fourier, chúng tơi chùng minh đưđc f = x+y hàm nð hai bi¸n trờn trớng v vnh hỳu hÔn vợi x, y A j Aj 1/2 q Trong thíi gian tợi, chỳng tụi s tiáp tửc tỡm hiu sõu hn v· gi£i tích Fourier sû dưng phương pháp đº nghiên cùu mët sè tốn tê hđp cëng tớnh 74 Cụng trỡnh liờn quan án Luên ỏn D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields, Journal of Number Theory, 173 (2017), 602 - 613 D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779 - 792 D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces, Indi-ana University Mathematics Journal, 65 (2016), 2125 - 2136 75 Tài li»u tham kh£o [1] E Aksoy Yazici, B Murphy, M Rudnev, and I Shkredov, Growth estimates in positive characteristic via collisions, International Mathematics Research Notices, 23(2017), 7148 - 7189 [2] N Alon and Fan R K Chung, Explicit Constructions of linear sized tolerant networks, Discrete mathematics, 2(1988), 15 - 19 [3] N Alon and M Krivelevich, Constructive bounds for a Ramsey-type problem, Graphs and Combinatorics, 13 (1997), 217 - 225 [4] N Alon and J H Spencer, The probabilistic method, 2nd ed., WilleyInterscience, 2000 [5] A Balog, K A Broughan, I E Shparlinski, Sum-products estimates with several sets and applications, Integers, 12 (5) (2010), 895 - 906 [6] A Balog, A note on sum-product estimates, Publicationes Mathematicae, Debrecen, 79(3 - 4) (2011), 283 - 289 [7] A Balog, Another Sum-Product Estimate in Finite Fields, Sovremennye Problemy Matematiki, 16 (2012), 31 - 37 [8] E Bannai, O Shimabukuro and H Tanaka, Finite analogues of nonEuclidean spaces and Ramanujan graphs, European Journal of Combina-torics, 25 (2004), 243 - 259 [9] B Barak, R Impagliazzo, and A Wigderson, Extracting randomness us-ing few inde- pendent sources, SIAM Journal on Computing, 36 (2006), 1095 - 1118 76 [10] N Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, 1993 [11] J Bourgain and S Konyagin Estimates for the number of sums and products and for exponential sums over subgroups in fields of prime order, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 337(2) (2003), 75 - 80 [12] J Bourgain, N Katz, and T Tao, A sum product estimate in finite fields and Applications, Geometric and Functional Analysis, 14 (2004), 27 - 57 [13] J Bourgain, Mordell’s exponential sum estimate revisited, Journal of the AMS - American Mathematical Society, 18(2) (2005), 477 - 499 [14] J Bourgain, A Glibichuk, and S Konyagin Estimates for the number of sums and products for exponentials sums in fields of prime order, Journal of the London Mathematical Society, 73 (2006), 380 - 398 [15] M Chang, Factorization in generalized arithmetic progressions and applications to the Erdos˝ - Szemerédi sum - product problems, Geometric and Functional Analysis, 13 (2003), 720-736 [16] D Covert, A Iosevich, and J Pakianathan, Geometric configurations in l the ring of integers modulo p , Indiana University Mathematics Journal, 61 (2012), 1949 - 1969 [17] D Covert, D Koh, and Y Pi, On the sums of any k points in finite fields, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 30(1) (2016), 367 - 382 [18] D Covert, D Koh, Y Pi, The k-resultant modulus set problem on algebraic varieties over finite fields, Finite Fields and Their Applications, 48 (2017), 68 - 86 [19] P Erdos˝ and E Szemerédi, On sums and products of integers In Studies in pure mathematics, Birkhauser,ă Basel, (1983), 213 - 218 [20] P Erdos,˝ Integral distances, Bulletin of the AMS - American Mathematical Society, 51 (1945), 996 77 [21] G Elekes and I Ruzsa, Few sums, many products, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 40 (2003), 301 - 308 [22] G Elekes, On the number of sums and products, Acta Arithmetica, 81(4) (1997), 365 - 367 [23] M Z Garaev and C.-Y Shen, On the size of the set A(A + 1),Mathematische Zeitschrift, 265 (1) (2010), 125 - 132 [24] A A Glibichuk and S V Konyagin, Additive properties of product sets in fields of prime order, Centre de Recherches Mathematiques, CRM Prceed-ings and Lecture Notes, 43 (2007), 279 - 286 [25] C Godsil and G Royle, Algebraic Graph Theory, Springer (2001), ISBN - 387 - 95241 - 1, 2000 [26] L Guth and N Katz, On the Erdos˝ distinct distances problem in the plane, Annals Of Mathematics, 181 (2015), 155 - 190 [27] B Hanson, B Lund, and O Roche-Newton, On distinct perpendicular bisectors and pinned distances in finite fields, Finite Fields and Their Ap-plications, 37 (2016), 240 - 264 [28] D Hart, A Iosevich, D Koh and M Rudnev, Averages over hyperplanes, sum-product theory in vector spaces over finite fields and the Erdos˝ - Falconer distance conjecture, Transactions of the AMS, 363 (2011) 3255 - 3275 [29] D Hart, A Iosevich, J Solymosi, Sum-product Estimates in Finite Fields via Kloosterman Sums, International Mathematics Research Notices (2007) Vol 2007, article ID rmn007, 14 pages [30] D Hart and A Iosevich, Sum and products in finite fields: an integral geometric view - pint, Contemporary Mathematics, 464 (2008), - [31] D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779 - 792 78 [32] D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces, Indiana University Mathematics Journal, 65 (2016), 2125 - 2136 [33] D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields, Journal of Number Theory, 173 (2017), 602 - 613 [34] A Iosevich and M Rudnev, Erdos˝ distance problem in vector spaces over finite fields, Transactions of the American Mathematical Society, 359 (2007), 6127 - 6142 [35] D Koh and C-Y Shen, The generalized Erdos˝-Falconer distance problems in vector spaces over finite fields, Journal of Number Theory, 132(11) (2012), 2455 - 2473 [36] D Koh and H Sun, Distance sets of two subsets of vector spaces over finite fields, Proceedings of the AMS - American Mathematical Society, 143(4) (2015), 1679 - 1692 [37] Kevin Ford, Sums and products from a finite set of real numbers, Ramanujan Journal, 2(1-2) (1998), 59 - 66 [38] W.M Kwok, Character tables of association schemes of affine type, Euro-pean Journal of Combinatorics, 13 (1992), 167 - 185 [39] L Li and O Roche-Newton, An improved sum-product estimate for gen-eral finite fields, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 25 (3) (2011), 1285 - 1296 [40] Mei-Chu Chang, A sum-product estimate in algebraic division algebras, Israel Journal of Mathematics, 150 (2005), 369 - 380 [41] M Nathanson, On sums and products of integers, Proceedings of the AMS - American Mathematical Society, 125(1) (1997), - 16 [42] M Nathanson and G Tenenbaum, Inverse theorems and the number of sums and products, Asterisque, 258 (1999), 195 - 204 79 [43] O Roche-Newton, Sum-ratio estimates over arbitrary finite fields, arxiv.org/abs/1407.1654v1 [44] O Roche-Newton, M Rudnev, and Shkredov, New sum-product type estimates over finite fields, Advances in Mathematics, 293 (2016), 589 - 605 [45] O Roche-Newton, M Rudnev, and I.D Shkredov, New sum-product type estimates over finite fields, Advances in Mathematics, 293 (2016), 589 - 605 [46] M Rudnev, On the number of incidences between points and planes in three dimensions, Combinatorica, 38 (1) (2018), 219 - 254 [47] I Z Ruzsa, "On the cardinality of A + A and A A", Combinatorics, Vol II., Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 18, North-Holland, Amster-dam, (1978), 933 - 938 [48] A Sỏrkozy,ă On sums and products of residues modulo p, Acta Arithmetica, 118 (2005), 403 - 409 [49] A Sỏrkozy,ă On products and shifted products of residues modulo p, Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 8(2)(2008), A9 [50] I E Shparlinski, On the solvability of bilinear equation in finite fields, Glassgow Mathematical Joernal, 50 (2008), 523 - 529 [51] J Solymosi, On the number of sums and products, Bulletin of the London Mathematical Society, 37 (2005), 491 - 494 [52] Timothy, G F Jones and O Roche-Newton, Improved bounds on the set A(A+1), Journal of Combinatorial Theory, 120 (2013), 515 - 526 [53] P V Thang, L A Vinh and F d Zeeuw, Three-variable expanding polynomials and higher-dimensional distinct distances, arXiv:1612.09032v2 (2017) [54] V H Van, Sum-product estimates via directed expanders, Mathematical research letters, 15(2) (2008), 375 - 388 80 [55] L A Vinh, Explicit Ramsey graphs and Erdos˝ distance problem over finite Euclidean and non-Euclidean spaces, Electronic Journal of Combina-torics, 15 (2008), Article R5 [56] L A Vinh, Sum and shifted - product subsets of product-sets over finite rings, The Electronic Journal of Combinatorics, 19(2) (2012), P33 [57] L.A Vinh, On the generalized Erdos˝ - Falconer distance problems over finite fields, Journal of Number Theory, 133 (2013), 2939 - 2947 [58] L A Vinh, Graphs generated by Sidon sets and algebraic equations over finite fields, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 103(6) (2013), 651 - 794 [59] L A Vinh, The solvability of norm, bilinear and quadratic equations over finite fields via spectral of graphs, Forum Mathematicum, 26 (2014), 141 - 175 81 ... VI›T NAM VI›N TOÁN HÅC ———————————- ĐÉ DUY HI˜U PHƯƠNG PHÁP PHÊ CÕA ĐÇ THÀ TRONG MËT SÈ BÀI TỐN TÊ HĐP CËNG TÍNH Chun ngành: Cơ sð tốn håc cho tin håc Mã sè: 9.46.01.10 LUŠN ÁN TI˜N SĨ TOÁN HÅC Ngới... chớnh: Trong Chng 1, chỳng tụi nh-c lÔi kián thực c bÊn liờn quan án phng phỏp Ôi số tuyán tớnh ỗ th: ma kã, phờ cừa ỗ th, (n, d, l) - ỗ thà, Bê đ· trën nð Trong Chương 2, nghiờn cựu mởt số (n,... nhánh toán håc khác ó ủc ỏp dửng giÊi quyát nh: xỏc suĐt, giÊi tớch, Ôi số, hỡnh hồc; nhớ ú ó thu ủc nhiãu kát quÊ mợi khụng hin nhiờn Luên ỏn "Phng phỏp phờ cừa ỗ th mởt số bi tốn tê hđp cëng tính"