Ước chung lớn nhất và số mũ đúng trong một số bài toán Tổ hợp - Lê Phúc Lữ

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP I. Các kiến thức cần nhớ. Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng lập luận số học hoặc dùng thuật toán Euclid. Các ví dụ minh họa. 1) Trên trục số, các điểm n[r]

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP I Các kiến thức cần nhớ

1 Cho a b, số nguyên dương Khi đó, đại lượng axby gọi tổ hợp tuyến tính ,

a b Gọi S tập hợp số có giá trị nguyên dương Khi đó, minSd với ( , )

d  a b UCLN a b, Để chứng minh điều này, ta sử dụng lập luận số học dùng thuật toán Euclid

2 Cho a b, 

 p số nguyên tố Khi v ap( ) số mũ p phân tích tiêu chuẩn a ta có vp ab v ap( )v bp( ), a b| vp b v bp( ) v ap( )

a  

 

 

 

3 Công thức Legendre: cho pnguyên tố n nguyên dương,  

1

!

p k

k

n v n

p 

         Số hoán vị n đối tượng, có k đối tượng giống !

! n

k Đặc biệt, số hoán vị chuỗi nhị phân độ dài a có b số !

!( )!

b a

a

C b a b  II Các ví dụ minh họa

Ví dụ

1) Trên trục số, điểm nguyên đánh số từ đến k cho đoạn thẳng có độ dài 2m trung điểm đánh số trung bình cộng số hai đầu mút Tính số cách đánh số

2) Thay điều kiện đoạn thẳng có độ dài 2m độ dài 2n Lời giải

1) Gọi A i( ) điểm nguyên có tọa độ i trục số Nếu số nhỏ dùng a khơng tính tổng qt, giả sử đánh cho A(0) Khi đó, dễ thấy số A m A( ), (m) có trung bình cộng a nên đánh số a Từ đó, suy số A km( ) đánh số Lập luận tương tự, suy vị trí có số dư chia cho m đánh số vị trí khác số dư đánh số độc lập với Vậy số cách đánh số k

m

2) Đặt d ( , )m n lập luận tương tự, số A i( ) A i( xmyn) đánh số Và ta có giá trị nhỏ nhấtminxm yn d

  

 nên số cách đánh số

m

Ví dụ

1) Hỏi có tồn hay khơng số ngun dương n2 cho có hốn vị n số nguyên dương thỏa mãn: số liên tiếp hoán vị chênh lệch 2014 2016? 2) Câu hỏi tương tự thay 2014 2016 2015 2016?

Lời giải

1) Khơng tồn tất số hốn vị tính chẵn lẻ, vô lý

2) Xét số 4031 2015 2016  hốn vị cần tìm là: 1, 2017, 2, 2018, 3, 2019, , 2015, 4031, 2016 (tăng 2016, giảm 2015)

Ví dụ

1) Cho đa giác có 2015 đỉnh ban đầu, tất đỉnh tô xanh Ở bước, ta quyền chọn đỉnh liên tiếp đổi màu chúng: từ xanh sang đỏ đỏ sang xanh Hỏi có thể đổi tất đỉnh đa giác sang màu đỏ không?

2) Câu hỏi tương tự thay 3? Lời giải

1) Xét bất biến: tính chẵn lẻ số đỉnh xanh Dễ thấy lần thao tác, đỉnh xanh tăng 2, giảm khơng đổi Ban đầu có 2015 (lẻ) đỉnh xanh, đạt trạng thái (chẵn) đỉnh xanh để toàn đỉnh đỏ

2) Câu trả lời khẳng định Ta chuyển nhóm sau:

(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (2015,1, 2)

Mỗi đỉnh đổi màu lần, nên toàn chuyển sang màu đỏ Ví dụ

1) Chứng minh C chia hết cho ip p 1 i p1 2) Chứng minh

2n k

C số chẵn với số nguyên dương k thỏa 1k2n 1 Lời giải

1) Ta có !

!( )!

i p

p C

i p i 

 , tử chia hết cho p, mẫu gồm tích số bé p nên nguyên tố với p Suy i

p

2) Đặt k 2mt với t lẻ 0mn Khi đó, ta có

       

2 2 2

(2 )!

(2 )! ( )! (2 )!

!(2 )!

n

n

k n n

n

v C v v v k v k

k k           

Ta có 2(2 )! 22 2 2

2 2

n n n

n n n n

n

v                       2 1 1

2 2 2

( )! (2 )!

2 2

2

m n m m n m

m n

i i i i

i i m

m n

n i i n

i i m

t t t t

v k v k

                                              

Điều nhóm tổng số hạng thứ có ,2

2

m n m

i i

t  t

 với im ta biết ,

x y [ ] [ ]x  y  x y Từ suy  

2 2n

k

v C  hay

2n k

C số chẵn

Chú ý ta tổng quát thành: Biểu thức Cnk số chẵn v n2( )v k2( ) III Các tập áp dụng

Bài Một xâu nhị phân gọi đẹp số hoán vị phần tử xâu số lẻ Xác định số xâu nhị phân thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:

i Xâu có độ dài 99, bao gồm 66 số 33 số

ii Các xâu liên tiếp có độ dài tùy ý tính từ đầu xâu đẹp Hướng dẫn Ta có nhận xét sau đây:

1) Tất 64 số phải 0: C64x với 0 x 64 ln chẵn nên có số hốn vị 64 số đầu chẵn, không thỏa mãn

2) Tất số từ vị trí 65 đến 96 1: C96x với 0x31 ln lẻ

Từ đó, ta hoàn thành việc xếp 96 số xâu, lại số số Kiểm tra trực tiếp trường hợp 001, 010,100 , ta thấy có xâu 001 thỏa mãn (vì hoán vị xâu độ dài 97,98,99 tương ứng 32 32 33

97, 98, 99

Bài Cho đa giác có n đỉnh với n3 ban đầu, tất đỉnh tô xanh Ở bước, ta chọn kn đỉnh liên tiếp đổi màu chúng: từ xanh sang đỏ đỏ sang xanh 1) Tìm điều kiện cần đủ cho số n k, để chuyển tất đỉnh sang đỏ

2) Nếu n k, không thỏa điều kiện 1, xác định số lượng đỉnh màu đỏ lớn chuyển theo quy tắc nêu

Hướng dẫn

1) Đặt d ( , )n k Đánh số đỉnh từ đến n chia chúng thành d nhóm rời có số dư chia cho d, nhóm có n

d đỉnh Khi đó, lần thao tác, số đỉnh bị đổi màu nhóm k

d Nếu v n2( )v k2( ) dễ thấy k

d chẵn, cịn n d lẻ

Số đỉnh bị đổi màu nhóm chẵn sau lượt nên khơng thể chuyển tồn đỉnh nhóm sang đỏ (từ n

d  ), tức khơng thể chuyển cho tồn đa giác Nếu v n2( )v k2( ) k

d n

d lẻ Gọi q số nhỏ cho kq n dễ thấy q n, lại đặt t n

q

 t k k

t lẻ Ta tiến hành đổi màu (1, 2, , ), (k t1,t2, ,tk), (các bắt đầu số chia t dư 1) Dễ thấy số xuất k

t lần, số lẻ nên chúng chuyển sang màu đỏ

2) Do nhóm, ta khơng thể thực việc chuyển toàn đỉnh sang màu đỏ nên có nhiều n

d  đỉnh chuyển Suy ra, có nhiều n

d n d

d

 

  

 

  đỉnh chuyển sang màu đỏ Dễ thấy cách chuyển 1) thỏa mãn

Bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, người ta đánh số điểm có tọa độ nguyên số từ đến k cho: hình chữ nhật có kích thước 2m2n mà cạnh song song với trục tọa độ có tâm đánh số trung bình cộng số đánh cho đỉnh

1) Tính số cách đánh số

Hướng dẫn

1) Lập luận tương tự trường hợp chiều, ta thấy điểm A x y( , ) đánh số trùng với điểm có tọa độ A x( pm qn y rm sn ,   ) với p s, tính chẵn lẻ q r, tính chẵn lẻ Giả sử d ( , )m n đặt d m m n n1  1 , tính chẵn lẻ m n1, 1 ảnh hưởng đến cách chọn

, , ,

p q r s để có điểm có quan hệ với (tức phải đánh số) Nếu m n,

d d lẻ m n1, lẻ, dẫn đến A x y( , ) A x y d( ,  ) độc lập với Do đó, đỉnh hình vng cạnh nhau, kích thước d d đánh số độc lập Kết k2d2 Ngược lại m n1, 1 khác tính chẵn lẻ, dẫn đến A x y( , ) A x y d( ,  ) phụ thuộc có đỉnh hình vng kích thước d d đánh số độc lập Kết kd2

2) Trong trường hợp chiều, ta có hình hộp chữ nhật có kích thước 2m2n2p có cạnh song song với trục tọa độ tâm đánh số trung bình cộng số đánh cho đỉnh Bài tốn đề thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2014 Đáp số cần phải xét trường hợp tương tự (lẻ - lẻ - lẻ, lẻ - lẻ - chẵn lẻ - chẵn - chẵn)

Bài

Cho số nguyên dương a b, Một số nguyên dương n gọi “hoán vị được” tồn hoán vị n số nguyên dương ( ,x x1 2, ,xn) mà xi1xi a b i, , 1,n1 Tìm

điều kiện cần đủ a b, để tồn vơ số số hốn vị

Hướng dẫn Điều kiện cần đủ ( , ) 1a b  Trước hết, ta xây dựng cho a b Giả sử ab 1, ta tăng lên b đơn vị giảm cho a số lần đến số nhỏ Sau đó, lại tăng lên b đơn vị giảm cho a Rõ ràng lần tăng cho bthì số dư số chia cho a thay đổi, nên sau thực a lần, ta tất số từ đến a b

Cuối cùng, ta dùng quy nạp để số (k a b k ),  thỏa mãn IV) Các tập tự luyện (các toán xếp thứ tự tăng dần theo độ khó).

Bài (Chọn đội tuyển KHTN 2012) Trên mặt phẳng tọa độ ta đánh dấu tất điểm nguyên ( , )a b với a b, số nguyên tố Khi với số ngun k điểm ( , )a b nối với điểm (a kab b , ) ( ,a b kab ) cạnh (khơng có hướng)

b) Ta gọi cạnh nối điểm ( , )a b với điểm (a kab b , ), ( ,a b kab ) cạnh dương

k cạnh âm k0 Với đường nối điểm ( , )a b với (1,1) , ta tính số lần đổi dấu cạnh gọi v a b( , ) giá trị nhỏ số lần đổi dấu tất đường nối Hỏi ( , )a b thay đổi điểm đánh dấu v a b( , ) nhận giá trị lớn tùy ý hay không?

Bài (VN TST 2011) Trên mặt phẳng tọa độ, có cào cào điểm (1;1) Nó nhảy từ điểm A sang điểm B tam giác OAB có diện tích

2 tọa độ A, B nguyên dương Tìm điểm ( , )m n cho cào cào nhảy đến sau hữu hạn bước Chứng minh cào cào nhảy đến ( , )m n kể sau m n bước

Bài (USA MTS 2015)Cho số nguyên dương n4 Người ta xếp n số nguyên dương đường trịn cho:

i Tích hai số khơng nằm cạnh chia hết cho 2015 2016 ii Tích hai số nằm cạnh khơng chia hết cho 2015 2016 Tìm giá trị lớn n.

Bài (VMO 2013) Cho dãy số 1, 2, 3, ,1000 Ở lượt, người ta xác định tất cặp số đứng cạnh điền vào hai số tổng chúng Hỏi sau thực số lần số lượng số 2013 dãy bao nhiêu?

Bài (Codeforces contest 2014) Cho bàn bida hình chữ nhật có kích thước m n với

,

m n Một viên bida bàn di chuyển theo góc 45 hợp với hai cạnh bàn Khi chạm cạnh bàn, xoay góc 90 tiếp tục di chuyển, cịn đến góc bàn bị đẩy bật di chuyển theo phương cũ chiều ngược lại Tìm số lớn viên bida đặt lên ô bàn cho cho viên chúng di chuyển theo hướng khơng chạm vào viên bida khác

Gợi ý đáp số

Bài Sử dụng thuật toán Euclid, ý ( , ), (a b a b b , ), ( ,a a b ) nối điểm Bài Chú ý cách thay đổi tọa độ từ điểm A sang B, điều kiện cần tìm ( , ) 1m n  Bài Phân tích 2015  5 13 31, 2016  2 75 để tìm điều kiện, đáp số n8

Bài Ta thấy cách xây dựng số nêu q trình thực thuật toán Euclid ( , )m n (m n n , ), ( ,m m n ) Đáp số (2013) 1198. 