Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện. phát triển tư duy học sinh qua một số bài toán về bất đẳng thức lớp 8

Một vấn đề được đặt ra là dạy như thế nào để học sinh không những nắm v÷ng néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng mµ ph¶i rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t­ duy l« gÝc, rÌn luyÖn kü n¨ng lµm [r]

A-Đặt vấn đề I- Më ®Çu Cùng với phát triển đất nước ta, nghiệp giáo dục không ngừng đổi Vì các nhà trường càng phải luôn luôn chú trọng đến chất lượng học sinh cách toàn diện Bởi phải có đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, môn toán đã góp phần tạo điều kiÖn cho c¸c em häc tèt b¶n th©n m«n to¸n vµ c¸c m«n khoa häc kh¸c Một vấn đề đặt là dạy nào để học sinh không nắm v÷ng néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng mµ ph¶i rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t­ l« gÝc, rÌn luyÖn kü n¨ng lµm c¸c bµi tËp cña bé m«n to¸n còng nh­ c¸c môn khoa học khác, có thái độ, quan điểm rõ ràng các bài tập mình để c¸c em t¹o ®­îc sù høng thó say mª viÖc häc tËp, tiÕp thu kiÕn thøc vµ cã thể đưa các kiến thức đó áp dụng ngoài sống đời thường là câu hỏi mà thầy cô luôn phải đặt để có thể truyền đạt kiến thức cách tốt cho các em häc sinh th©n yªu cña m×nh Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập c¸c em häc sinh, qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt ch¾t läc nh÷ng nội dung kiến thức cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển rút nội dung kiến thøc chÝnh bµi häc gióp häc sinh cã thÓ n¾m ®­îc c¸i quan träng, néi dung chính bài học đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư vµ kÜ n¨ng ph©n tÝch néi dung vµ lµm c¸c bµi tËp to¸n häc mét c¸ch chÆt chÏ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận các dạng bài toán đã học mét c¸ch nhanh nhÊt Qua thời gian giảng dạy môn toán trường THCS Mai Lâm, thân tôi đã cố gắng chú trọng rèn luyện tư cho học sinh quá trình học toán và đã đạt số kết quả, có thể đây là bước đầu trao đổi thành đề tµi vÒ kinh nghiÖm rÌn luyÖn t­ häc to¸n cña häc sinh T«i m¹nh d¹n viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Rèn luyện ,phát triển tư học Trang Lop8.net sinh qua số bài toán bất đẳng thức lớp 8” mình để cùng trao đổi với các đồng nghiệp nhằm mục đích cùng trao đổi học hỏi lẫn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp trường cách tốt II- Thực trạng vấn đề nghiên cứu * Trường THCS Mai Lâm có 668 học sinh cụ thể chất lượng là: 75 % Mức độ đạt yêu cầu đó 20 % Học sinh khá và giỏi (kết khảo sát chất lượng đầu năm) *§èi víi häc sinh líp 8: Số học sinh: 192 em đó 20 học sinh khá giỏi - Ph©n chia thµnh c¸c nhãm tiÕp thu kiÕn thøc nh­ sau : + Nhóm em tiếp thu nhanh, giải vấn đề nhanh, linh hoạt: 30% + Nhãm HS biÕt vËn dông trùc tiÕp: 55 % + Nhãm HS ch­a biÕt vËn dông : 15 % ( Ph©n chia c¸c nhãm tiÕp thu vÒ bé m«n To¸n ) - Häc sinh ch­a biÕt lËp luËn trªn c¬ së khoa häc chÆt chÏ vµ biÕt c¸ch tù học, tự giải vấn đề chiếm tới 85 % - Về tài liệu: SGK, SGV đầy đủ, sách nâng cao, sách tham khảo học sinh vµ gi¸o viªn cßn h¹n chÕ, phÇn lín lµ gi¸o viªn vµ häc sinh tù mua s¾m - Qua qu¸ tr×nh trùc tiÕp gi¶ng d¹y To¸n c¸c khèi líp 6,7, 8, tõ c¸c tiÕt luyện tập, các tiết kiểm tra, các tiết bồi dưỡng học sinh yếu kém và ôn thi học sinh giỏi và các tiết dự thăm lớp các đồng nghiệp Tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng, không tìm hướng giải đã tìm không biết làm nh­ thÕ nµo, lµm tõ ®©u, c¸c bµi lµm cña c¸c em c¸c giê kiÓm tra trªn líp các bài kiểm tra tiết thường là không chặt chẽ, không có tính logic nhiều làm cho lời giải cách rời rạc để nhiểu chỗ không hợp lý, đặc biệt là nh÷ng bµi to¸n khã, nh÷ng t×nh huèng to¸n häc mang tÝnh thøc tiÔn Trang Lop8.net B- Giải vấn đề I- C¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn: Hình thành thái độ học tập môn toán cho học sinh Phân loại bài tập và yêu cầu đối tượng học sinh qua bài tập để phù hợp và hiệu giải bài tập bất đẳng thức RÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh Tham kh¶o c¸c tµi liÖu th­ viÖn, trªn b¸o chÝ còng nh­ th«ng qua mạng internet, ý kiến các đồng nghiệp, các chuyên gia, điều tra, thống kê kết học tập học sinh, hiệu trang công tác giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm kịp thời các vấn đề nghiên cứu và số vấn đề liên quan II- C¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn Hình thành thái độ học tập môn toán cho học sinh Học sinh cấp THCS lứa tuổi hiếu động, bồng bột, giải vấn đề hÇu nh­ dùa vµo c¶m tÝnh N¾m ®­îc sù ph¸t triÓn t©m lÝ nµy, gi¸o viªn cÇn ph¶i tạo cho học sinh thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc nhằm tạo cho học sinh tính kỉ luật, khoa học…đồng thời kích thích hướng thú say mê học tập học sinh qu¸ tr×nh häc tËp m«n to¸n Để làm điều này là người giáo viên cần có nhiều biện pháp như: cho học sinh học tập theo nhóm để rèn luyện tính tập thể, tổ chức học tập hình thức trò chơi, tiến hành đo đạc, giới thiệu bài toán lí thú,… Đặc biệt là phải phân rõ các dạng toán cách rõ ràng để học sinh dễ hình dung và dễ tiÕp thu nã Phân loại và yêu cầu đối tượng học sinh qua bài tập để phù hợp và hiệu qu¶ gi¶i bµi tËp §­îc chia lµm phÇn + Giíi thiÖu kiÕn thøc c¬ b¶n + C¸c bµi tËp ¸p dông Trang Lop8.net (ở phần này chia làm các dạng toán để học sinh có hệ thống quá trình lµm c¸c bµi tËp) RÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh qua c¸c d¹ng bµi tËp Giíi thiªu kiÕn thøc c¬ b¶n a) §Þnh nghÜa a > b nÕu a – b > b) TÝnh chÊt (Cã tÝnh chÊt) - Tính chất 1: Cộng cùng số vào hai vế bất đẳng thức a>b  a+c>b+c - Tính chất 2: Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng số dương a  b  a.c > b.c  c  - Tính chất 3: Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng số âm a  b  a.c < b.c  c  Nhận xét: Phần này giáo viên giới thiệu nội dung kiến thức nhất, là tiền đề để làm các bài tập áp dụng Trong dạng giáo viên phải nhấn mạnh đã dũng tính chất gì, hướng phân tích bài toán, tìm lời giải thì phải hướng dẫn mẫu và cách trình bày lời giải để học sinh đỡ lúng túng cách trình bày lời giải C¸c bµi to¸n ¸p dông I Khi nào biểu thức có giá trị âm dương D¹ng 1: BiÓu thøc cã d¹ng tæng VÝ dô 1: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x, cho: a) Biểu thức A = 2x – > có giá trị dương b) BiÓu thøc B = – 2x cã gi¸ trÞ ©m Gi¶i a) 2x – >  2x >  x > 1 Víi mäi x > th× A > 2 b) – 2x <  < 2x  < x  x > Víi mäi x > th× B < Nhận xét:- đây đã dùng chiều ngược lại tính chất (a – b >  a > b) Trang Lop8.net D¹ng 2: BiÓu thøc ®­a vÒ d¹ng tÝch Ví dụ 2: Tìm các giá trị x để biểu thức A = (x - 1)(x + 3) có giá trị âm Gi¶i A <  (x - 1) vµ (x + 3) tr¸i dÊu  x 1   x 1    -3 < x < x    x  3 Do x – < x +   Chú ý: Dùng trục số để lấy khoảng nghiệm trường hợp này -3 x < để trắng, x  loại (dùng dấu “ ” trên trục số) x > -3 để trắng, x  -3 loại (dùng dấu “ ” trên trục số) PhÇn cßn l¹i trªn trôc sè kh«ng bÞ g¹ch bá chÝnh lµ phÇn nghiÖm chung (RÌn luyÖn kÜ n¨ng lÊy tËp nghiÖm trªn trôc sè) NhËn xÐt: TËp cho häc sinh kh¶ n¨ng viÕt gän tËp nghiÖm b»ng c¸ch dïng trôc sè Ví dụ 3: Khi nào biểu thức x2 – 3x có giá trị dương? Gi¶i Biến đổi B = x(x - 3) C¸ch 1: B > c¸c thõa sè x, x – cïng dÊu Do x – < x nªn TH1: Cùng dương  < x – < x  x < TH2: Cïng ©m  x – < x <  x < Cách 2: chú ý: x = x = làm cho các thừa số x và x – 0, đó ta xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña x a) Với x < thì thừa số âm  B > b) Víi < x < th× hai thõa sè tr¸i dÊu  B < c) x > thì hai thừa số cùng dường  B > KÕt luËn: VËy B >  x > hoÆc x < Trang Lop8.net Cã thÓ tæng hîp c¸c kÕt qu¶ trªn vµo b¶ng xÐt dÊu nh­ sau: x x - x-3 - x(x - 3) - + + - + + + (RÌn luyÖn kÜ n¨ng lÊy tËp nghiÖm b»ng c¸ch dïng b¶ng) NhËn xÐt: - RÌn cho häc sinh thªm mét c¸ch gi¶i kh¸c b»ng c¸ch dïng b¶ng xÐt dÊu - Mét bµi to¸n kh«ng chØ cã c¸ch gi¶i mµ cã thÓ cã nhiÒu c¸ch, tuú vµo tõng bài toán mà chúng ta có thể chọn cách đơn giãn để trình bày - Một số bài toán muốn đơn giãn thì cần phải quan sát bài toán, có thuộc vào các bài toán giải phương pháp đặc biệt không Có bài toán thì cần phải ph©n tÝch tõ bªn nh÷ng còng cã nh÷ng bµi to¸n cÇn ph¶i ph©n tÝch tõ phÝa ngoµi míi t×m ®­îc lêi gi¶i hay Dạng 3: Biểu thức đưa dạng thương Ví dụ 4: Tìm các giá trị x để biểu thức A = x3 cã gi¸ trÞ ©m x 1 Gi¶i A <  x + vµ x – tr¸i dÊu Do x – < x +  x 1   x 1      -3 < x < x    x  3 Nhận xét: - Có thể dùng trục số xét dấu bảng xét dấu để thu gọn tập nghiệm, học sinh có thể thấy việc dùng trục xét dấu nó đơn giản bảng xét dấu - Xét dấu dạng tích tương tự việc xét dấu dạng thương Ta có thể quy dạng tích để xét dấu - LuyÖn c¸ch dïng dÊu “  ”thay cho ch÷ “vµ” hoÆc dïng dÊu “  ” thay cho ch÷ “hoặc” để giải toán II Khi nµo th× A > B hoÆc A < B Thực chất loại toán này là tìm giá trị biến để biểu thức A – B có giá trị dương âm Trang Lop8.net VÝ dô 5: Cho biÓu thøc A = x5 Tìm các giá trị x để A > x8 Gi¶i Do A >  x5 ( x  5)  ( x  8) 3 -1>0  >0  >0  <0 x8 x8 x8 x8  x + <  x < -8 VËy x < -8 th× A > VÝ dô 6: Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× x 1  x  Gi¶i 3 1 x 1  x   x 1 x    x    x   x > 24 4 4 Nhận xét: Rèn luyện cho học sinh khả quy đồng mà mẫu số chữ ví dụ số 5, đồng thời rèn luyện quy tắc chuyển vế ứng dụng các bất đẳng thức tương tự các đẳng thức III T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Mét biÓu thøc cã thÓ cã nh÷ng gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt Ch¼ng h¹n biểu thức x2 Biểu thức này có giá trị dương x  Có giá trị x = Nh­ vËy biÓu thøc x2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng x = BiÓu thøc nµy kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt ThËt vËy, gi¶ sö x2 cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ m t¹i x1 th× x2 còng b»ng m x2 là số đối x1 Giả sử x1 > 0, ta chứng tỏ tồn giá trị x3 mà x32  m Ta chọn x3 > x1 > đó x32  x12 Mà x12  m nên x32 > m , trái với ®iÒu gi¶ sö m lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc Muèn t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña biÓu thøc f(x) , ta ph¶i thùc hiÖn hai yªu cÇu: Chøng tá r»ng f(x)  m (m lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña x råi chØ r»ng dÊu “=” ®­îc x¶y Muèn t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTNN) cña biÓu thøc f(x) , ta ph¶i thùc hiÖn hai yªu cÇu: Chøng tá r»ng f(x)  m (m lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña x råi chØ r»ng dÊu “=” ®­îc x¶y Trang Lop8.net Nếu chứng minh yêu cầu thứ thì chưa đủ để kết luận giá trị lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Ch¼ng h¹n ta cã x  3  Muèn dÊu “=” x¶y ta ph¶i cã x2 + = 0, ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y v× x2 +  víi mäi x Nh­ vËy mÆc dï (x2 + 3)  nh­ng kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc (x2 + 3)2, GTNN cña biÓu thøc nµy lµ x = Mét sè vÝ dô kh¸c: xÐt biÓu thøc x2 + (x - 2)2 Ta còng cã x2 + (x - 2)2  dấu đẳng thức không xảy GTNN biểu thức này là x = Phương pháp: Để chứng tỏ f(x)  m (m là số), ta thường dùng đến bất đẳng thøc: x2  ; |x|  Để chứng tỏ f(x)  m (m là số), ta thường dùng đến bất đẳng thøc: -x2  ; -|x|  Sau đây số ví dụ việc sử dụng bất đẳng thức VÝ dô 7: TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = 2(x + 3)2 – Gi¶i Ta cã: (x + 3)2   x  R  2(x + 3)   2(x - 5) –  -5 (Sö dông tÝnh chÊt 1) TGNN cña A =  x = x + =  x = -3 Chó ý: Cã nh÷ng biÓu thøc kh«ng cã GTLN vµ GTNN Ch¼ng h¹n A = 4x ; B = Tuy nhiªn nÕu xÐt c¸c gi¸ trÞ cña biÕn mét tËp x hîp hÑp h¬n, biÓu thøc lµ cã thÓ cã GTLN hoÆc GTNN Ch¼ng h¹n, xÐt x  R; x  Q; x  Z th× biÓu thøc x + kh«ng cã GTNN nh÷ng nÕu xÐt x  N th× biÓu thøc đó có GTNN với x = VÝ dô 8: Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc D = Tìm giá trị đó Gi¶i Trang Lop8.net 14  x cã gi¸ trÞ lín nhÊt 4 x Biến đổi D = 14  x  x  10 10  1 = 4 x 4 x 4 x D lín nhÊt vµ chØ 10 lín nhÊt 4 x TH1: x >  10 <0 4 x TH2: x >  10 10 > Ph©n sè có tử và mẫu dương, tử không đổi nên 4 x 4 x (1) giá trị lớn mẫu nhỏ Mộu – x nguyên dương, nhỏ – x =  x = Khi đó 10  10 4 x Tõ (1) vµ (2)  (2) 10  10 VËy D lín nhÊt b»ng 11 t¹i x = 4 x Nhận xét: Dạng toán tìm giá trị nhỏ mà tử và mẫu có biến bậc thì phương pháp chung là phải là biến tử số (bằng cách nhóm, thêm, bớt, … ) cßn biÕn ë mÉu sè - Dựa vào điều kiện đề bài để đưa kết Tham khảo ý kiến các đồng nghieep, các loại sách tham khảo tôi thấy hầu hết các sách trình bày theo lối - §­a c¸c néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n - Đưa các dạng toán và hướng giải các dạng bài toán này - Mét sè chó ý lµm c¸c d¹ng bµi to¸n nµy - Đưa số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo Đó chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà các lên lớp giáo viên không thể bồi dưỡng Vì kiến thức lớp là các kiến thức học sinh từ yÕu, kÐm, trung b×nh còng nh­ häc sinh kh¸ giái n¾m ®­îc c¸i c¨n b¶n cña tri thøc - Kinh nghiệm đúc rút quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không còng cè l¹i phÇn kiÕn thøc c¬ b¶n mµ häc sinh ®­îc häc ë líp mµ cßn còng cè cho học sinh số kĩ năng, cách giải các bài toán, cách phân tích các bài toán để có thể giải số bài toán khó quy số dạng nào đó mà học sinh Trang Lop8.net đã có dịp bồi dưỡng, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh cách tư các bài toán, từ dễ đến khó, từ đơn giãn đến phúc tạp, số “kĩ xảo” để giải các bài toán dạng bất đẳng thức này Đây là dạng toán mà lớp các học sinh chưa có dịp học mét c¸ch cô thÓ - Đồng thời rèn luyện cho các em có tinh thần học tập, khả tự học, tự đọc và t×m c¸c lêi gi¶i hay, phong phó, tao h­ng phÊn cho häc tËp bé m«n to¸n nµy, môn học mà nhiều người cho là khô khan - Bất đẳng thức là lĩnh vực mà theo tôi là tương đối khó Bởi phải luyện cho học sinh nhiều học sinh nắm các dạng toán này để có thÓ gi¶i ®­îc nhiÒu bµi tËp h¬n Trang 10 Lop8.net C- KÕt luËn I- KÕt qu¶ nghiªn cøu vµo gi¶ng d¹y - Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng daỵ, đại đa số học sinh lúng tóng lµm bµi tËp, chØ dõng l¹i ë nh÷ng bµi tËp c¬ b¶n vµ dÔ, c¸c bµi to¸n ph¶i sẵn dạng quen thuộc đã làm thì học sinh theo dạng đó làm được, chưa có suy luận logic, phân tích bài toán hợp lý để giải các bài toán mà nó chưa có s½n d¹ng quen thuéc NÕu cã bµi tËp n©ng cao th× lµm xong bµi nµo chØ biÕt c¸ch làm bài đó không biết cách suy luận để chuyển bài toán dạng đã làm, đã giải, không biết mở rộng bài toán đã làm - Sau ¸p dông kinh nghiÖm nµy vµo gi¶ng d¹y t«i thÊy: + Häc sinh vËn dông nhanh kiÕn thøc vµo gi¶i to¸n +Häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tõ c¬ b¶n më réng lªn nh÷ng bµi to¸n n©ng cao chÝnh x¸c vµ nhanh h¬n +T¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t­ thµnh thãi quen, suy nghÜ, ph©n tÝch néi dung vµ yªu cÇu cña bµi to¸n mét c¸ch cÈn thËn, chÝnh x¸c trước giải bài toán học nói riêng và các bài toán nói chung +T¹o nÕp suy nghÜ, nÕp khai th¸c chiÒu s©u, hay më réng bµi to¸n +Tạo nếp tự học, độc lập suy nghĩ đại đa số học sinh, đồng thời cã ý thøc tham kh¶o ý kiÕn, c¸ch lµm hay cña c¸c em häc sinh kh¸c để từ đó rút lời giải hay quá trình giải toán + Gióp häc sinh say mª, høng thó qu¸ tr×nh häc tËp bé m«n to¸n h¬n nãi riªng còng nh­ c¸c bé m«n khoa häc kh¸c nãi chung II- Kiến nghị đề xuất: - Vấn đề sách tham khảo trường trung học sở Mai Lâm còn hạn chế, chưa đáp ứng đủ yêu cầu, giáo viên và học sinh vì cần đầu tư thêm vÒ tµi liÖu häc tËp còng nh­ c¸c thiÕt bÞ phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y ®­îc tèt hơn, giáo viên chủ động công tác giảng dạy và học sinh tích cực viÖc häc tËp Trang 11 Lop8.net - Với việc đổi phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực, phát huy tính độc lập học sinh không thể chốc lát mà là quá trình lâu dài bước từ thấp đến cao Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn cho học sinh nắm nội dung kiến thức tiết học, chương, cấp học để học sinh giải các bài toán cách chặt chẽ, có đủ sở lý luận lời giải m×nh, häc to¸n vµ vËn dông to¸n häc vµo c¸c bé m«n kh¸c còng nh­ vµo thùc tÕ Bản thân tôi ít nhiều qua ba năm đã cố gắng thể chuyên đề này trường dù còn nhiều điều phải học tập và phấn đấu để đạt kết cao Nh­ng t«i vÉn m¹nh d¹n ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy ¸p dông vµo viÖc giảng dạy, ít nhiều có kết với đối tượng học sinh tôi phân công giảng d¹y Mong các cấp quản lý chuyên môn, các đồng nghiệp góp ý thêm để tôi làm hoµn thµnh s¸ng kiªn kinh nghiÖm mét c¸ch tèt h¬n! TÜnh Gia, ngµy 10 th¸ng n¨m 2009 Người viết NguyÔn Sü C¬ Trang 12 Lop8.net